如何求已知轨道上物体的运动
命题30 问题22
求在任意给定时刻，运动物体在抛物线轨道上所处的位置。（如图6-1）
（图6-1）
设S 点为抛物线的焦点，A 为顶点，设4AS ×M 等于被截下的部分抛物线面积APS ，其中，APS 既可是以半径SP 在物体离开顶点后所划过的面积，也可是物体到达那里（顶点） 之前划过的部分。现在，我们知道这块截取的面积的量与它的时间成正比。G 为AS 中点，作垂线GH 等于3M ，再以点H 为圆心、HS 为半径作一圆，这个圆与抛物线的交点P 即为所求质量。作PO 垂直于横轴，再作PH ，则：
AG 2 ＋GH 2 ＝HP 2 ＝（AO -AG ）2 ＋（PO -GH ）2 ＝AO 2 ＋PO 2 -2AO ×AG -2GH ×PO ＋AG 2 ＋GH 2 ，所以，2GH ×PO ＝AO 2 ＋PO 2 -2AO ×AG ＝AO 2 ＋ PO 2 用 代替AO 2 ，再将等式除以3PO 、乘以2AS ，可得到： GH ×AS ＝ AO ×PO ＋ AS ×PO ＝ ×PO ＝ ×PO ＝面积APO -面积SPO ＝面积APS 。由于 GH ＝3M ，因此，GH ×AS ＝4AS ×M 。所以，被切割的面积APS 与给定面积4AS ×M 相等。
证明完毕。
推论1 因此，GH 与AS 的比，等于物体划过弧AP 所需时间与物体由顶点A 到焦点S 处主轴垂线所截的一段弧所需时间之比。
推论2 假设一圆周ASP 连续穿过运动物体P ，且物体在点H 处的速度与在顶点A 的速度之比为3∶8，那么，直线GH 与物体在相同时间以在顶点A 的速度由A 运动到P 所画直线之比也为3∶8。
推论3 用以下方法可求出物体经过任意给定弧AP 所需的时间。连接AP ，在它的中点上作一垂线，然后在点H 与直线GH 相交。
引理28
通常用任意多有限的项和元的方程，不能求出以任意直线切割的卵形面积。
假如在卵形内任意给定一点，一直线以这点作为极点，绕它做连续、匀速的旋转运动；在该直线上，有一可动点从极点不断向外移动，移动速度等于卵形中直线长的平方。在运动过程中，该点的运动轨迹是旋转数无穷的螺旋线。如果由上述直线所切割的卵形面积可由有限方程求出，那么，与该面积成正比的从动点到极点的距离也可由相同的方程求出，则螺旋线上的所有点都可由有限方程求出，而给定位置的直线与螺旋线的交点也同样可由有限方程求出。但是，每一条无限延伸的直线与螺旋线都相交于无限数量的点，而两线的交点都可由方程解出，即方程有多少个根就有多少个交点，有多少个交点也就应该有相应多的次数。因为，两个圆周相交于两个点，用一个二次方程可以求出一个交点，用这个方程也能求出另一个交点。两个圆锥曲线可以有四个交点，任意一个交点通常只能由四次方程求出，而用四次方程可以求出所有的交点。如果分别去找每一个交点，由于定律和条件都一样，因此，不管在什么情形下，其计算结果也完全一样，这意味着，它必定同时表达了所有的交点。圆锥曲线与三次曲线的交点最多有六个，必须用六次方程才能求出。而当两条三次曲线相交，其交点最多有九个，必须用九元方程才能求出。若非如此，所有的立体问题均可简化为平面问题，包括那些维数高于立体的问题也可简化为立体问题。但是，我在这里所讨论的曲线幂次却不能降低，因为方程幂次是用来表达曲线的，一旦降低，曲线就不是一个完整曲线，而是由两条或者更多条曲线组合而成，它们的交点则可由不同的计算分别求出。同理，直线与圆锥曲线的两个交点也需用二次方程求出，而直线与三次曲线的三个交点则需用三次方程求出，直线与四次曲线的四个交点需用四次方程求出，这样可以推广到无限。由于螺旋线是简单的曲线，不能简化分为更多的曲线，因此直线与螺旋线的无数个交点，就需要用次数和根都是无限多的方程来表达，因为所有的定律和条件都是相同的。如果由极点作相交直线的垂线，且垂线与相交直线均绕极点转动，那么螺旋线的交点会相互转变，在第一次旋转之后，第一个或最近的一个交点将变为第二个，在第二次旋转之后则会变为第三个，以此类推。当螺旋线的交点在进行转变时，方程不会发生任何改变，但它对交点直线位置量的大小及其变化起着决定作用。因此在每一次的转动之后，由于这些量都变为它们初始时的大小，则方程也会变为其最初的形式，而同一个方程可表达出所有的交点，并能表示交点的无数个根。简而言之，有限方程不能求出直线与螺旋线的交点，即由直线任意切割的卵形的面积，不能用有限方程来表示。
根据相同理由，如果螺旋线极点与动点的间距与被切割卵形的边长成正比，由此说明，该边长一般不能用有限方程表示。但是，我在这里所说的卵形并不与向外无限延伸的共轭图形相切。
推论 从焦点到运动物体的半径画出的椭圆面积，不能由给定时间的有限次方程求出，也不能通过几何上的有理曲线来描绘。在这里，我之所以称这些曲线在几何上是有理的，是指上面所有的点均可由长度的方程求出，也可以说是由长度的复合比值确定。其他的曲线如螺旋线、割圆曲线、摆线等，我将它们称做几何上是无理的。它们的长度有的是整数与整数的比，有的则不是（根据欧几里得《几何原本》第十卷），在算术上称为“有理”或“无理”。因此，在接下来的方法中，我将用几何上的无理曲线分割法来对椭圆面积作分割，所分割的面积与时间成正比。
命题31 问题23
找出物体在指定时间、给定的椭圆轨道上运动所处的位置。（如图6-2）
（图6-2）
作一椭圆APB ，设A 为椭圆APB 的主顶点，S 为焦点，O 为中心，以点P 作为所要求的物体的处所。延长OA 至点G ，使OG ∶OA ＝OA ∶OS 。作长轴的垂线GH ，再以O 为圆心、OG 为半径作圆GEF 。以直线GH 为底边，设圆轮GEF 绕其轴向前转动，同时，由点A 作摆线ALI ，完成之后，再以GK 与圆轮周长GEFG 的比，等于物体由A 点前进划出弧AP 所需的时间与绕椭圆旋转一周的时间之比。作垂线KL ，交摆线于点L ，再作LP 平行于KG ，交椭圆于点P ，P 点即为所要求的物体所处的位置。
证明：以点O 为圆心，OA 为半径作出半圆AQB ，使LP 延长之后交弧AQ 于点Q ，连接SQ 、OQ 。将OQ 交弧EFG 于点F ，作OQ 上的垂线SR 。则面积APS 与面积AQS 成正比，即与扇形OQA 和三角形OQS 的差成正比，或与 OQ ×AQ 和 OQ ×SR 的差成正比，由于 OQ 已给定，因此，与弧AQ 与直线SR 的差也成正比。又因为SR 与弧AQ 的矢之比，OS 与OA 之比，OA 与OG 之比，AQ 与GF 之比，以及AQ -SR 与GF -弧AQ 的矢之比都相等，所以面积APS 与GF 和弧AQ 的矢之差成正比。
证明完毕。
附注
由于要作出这条曲线比较困难，因此，在此最好采用近似求解法。（如图6-3）首先，选择一个定角B ，使其与半径的对应角57.29578角的比，等于焦距SH 与椭圆直径AB 的比。再找出一个长度L ，使其与半径的反比也为该比值。然后，用下列分析方法来解答这个问题：
（图6-3）
首先，我们假设处所P 接近物体真正的处所p 。在椭圆的主轴上作纵标线PR ，根据椭圆直径的比例，我们可以求出外切圆AQB 的纵标线RQ 。以AO 为半径，与椭圆相交于点P ，那么，该纵标线就是角AOQ 的正弦。如果这个角只是由数字的近似计算求得，只要能接近于真实就可以了。假设这个角与时间成正比，那么，它与四个直角的比，则等于物体经过弧Ap 所需的时间与绕椭圆一周所需时间之比。将该角设为N ，另取一个角D ，使其与角B 的比等于角AOQ 的正弦与半径的比。取角E ，使其与角N -AOQ ＋D 之比等于长度L 比L 与角AOQ 余弦之差。下一步，取角F ，使其与角B 之比等于角AOQ ＋E 的正弦与半径之比；再取角G ，使其与角N -AOQ -E ＋F 等于长度L 比L 与角AOQ ＋E 的余弦之差。第三步，取角H ，使其与角B 的比等于角AOQ ＋E ＋G 的正弦与半径的比；再取角I ，使其与角N -AOQ -E -G ＋H 之比等于长度L 比L 与角AOQ ＋E ＋G 的余弦之差。这样一直推广到无限。最后，取角AOq ，使其等于角AOQ ＋E ＋G ＋I ＋…。由它的余弦Or 和纵坐标pr （pr 与它的正弦qr 的比等于椭圆短轴与长轴的比），可得出物体的准确处所p 。当角N -AOQ ＋D 为负时，那么角E 前的“＋”号都应改为“-”号，且“-”号都应改为“＋”号。同样，当角N -AOQ -E ＋F 和角N -AOQ -E -G ＋H 为负时，角G 和I 前的符号也要作相应改变。但是无穷级数AOQ ＋E ＋G ＋I ＋…，收敛的速度很快，通常几乎不用计算到第二项E 之后。用这个定理进行计算，面积APS 等于弧AQ 和由焦点S 垂直于半径OQ 的直线的差。（如图6-4）
（图6-4）
用相似的计算方法，也可以解决双曲线中的类似问题。以其中心为O ，顶点为A ，焦点为S ，渐近线为OK 。设与时间成正比且被分割的面积的量已知，用A 表示，假设直线SP 的位置接近于分割面积APS 。连接OP ，由A 和P 作到渐近线的直线AI 、PK ，使它们与另一条渐近线平行。根据对数表，可以确定面积AIKP ，并可确定面积OPA 与其相等，面积OPA 是从三角形OPS 切下的面积，剩下的面积为APS 。用2APS -2A 或2A -2APS ，即被分割的面积A 与面积APS 的差的2倍，除以过焦点S 垂直于切线TP 的直线SN ，则可得到弦PQ 的长度。如果被切割的面积APS 大于被切下的面积A ，弦PQ 则内接于点A 和P 之间，如果是其他情形，则指向点P 的相反一侧，而点Q 就是物体所在的更准确的处所。不断重复计算，得到的结果就会越来越精确。（如图6-5）
（图6-5）
运用上面的计算方法，可以得到解决该问题的一种普遍分析法。但是，接下来的特殊计算更适用于天文学。
设AO 、OB 、OD 为椭圆的半轴，L 为直径，D 为短半轴OD 与 L 的差，找出一个角Y ，使其正弦与半径的比等于差D 和AO ＋OD 的乘积与长轴AB 平方的比。然后，找出角Z ，使其正弦与半径的比，等于焦距SH 和差D 乘积的2倍与半长轴AO 平方的3倍的比。如果找到这些角，物体的处所也就得以确定。取角T 正比于画出弧BP 所需的时间，或者与平均运动相等，取角V 为平均运动的第一均差，使其与第一最大均差Y 的比，等于2倍角T 的正弦与半径的比；再取角X 为第二差，使其与第二大均差Z 的比，等于角T 正弦的立方与半径立方的比。然后取角BHP 为平均运动，如果角T 小于直角，则使其等于角T 、V 、X 的和T ＋X ＋V ；如果角T 大于一个直角而小于两个直角，则使其等于角T 、V 、X 的差T ＋X -V ；如果HP 交椭圆于点P ，作出SP ，则SP 分割的面积BSP 接近正比于时间。
这个方法非常简单，因为所取的角V 和X 的角度非常小，通常只需求到它们第一个数字前的两三位就足够了。与此相类似的是，我们还可以用这个方法来解答行星运动的问题。因为，即使是火星在轨道上的运动，其误差很少超过一秒。因此，一旦求出平均运动角BHP 之后，真实运动角BSP 以及距离SP 也较易通过这个方法求出。
在此，我们讨论的全都是有关物体在曲线中的运动。但是，在实际生活中，我们也会遇到运动物体沿直线上升或下落的情况，现在，我接着讨论与这类运动相关的问题。
