物体的直线上升或下落
命题32 问题24
假设向心力与从中心到处所距离的平方成反比，求出在给定时间内物体沿直线下落所通过的距离。
情形1 假如物体不是垂直下落，那么，根据命题13的推论1，物体将以焦点在力中心上的圆锥曲线为运动路径。（如图7-1） 设该圆锥曲线为ARPB ，其焦点为S 。如果物体的运动轨迹表现为一个椭圆，在长轴AB 上作出半圆ADB ，使直线DPC 穿过下落的物体，并与主轴形成直角。作DS 、PS ，使面积ASD 与面积ASP 成正比，并与时间成正比。将轴AB 保持不变，使椭圆的宽度不断减小，则面积ASD 也与时间成正比。如果宽度无限减小，轨道APB 则将与轴AB 重合，焦点S 与轴的极点B 重合，物体将沿直线AC 下落，而面积ABD 将与时间成正比。因此，如果面积ABD 与时间成正比，并且过点D 的直线DC 与直线AB 垂直，那么，物体在给定时间内，从处所A 垂直下落所经过的距离可以求出。
（图7-1）
证明完毕。
情形2 如果图形（如图7-2） RPB 为双曲线，在同一主轴AB 上作出直角双曲线BED ，由于面积CSP 、CBfD 、SPfB 与面积CSD 、CBED 、SDEB 的比均为给定值，面积SPfB 与物体P 过弧PfB 所需时间成正比，因此，面积SDEB 也与时间成正比。将双曲线RPB 的通径无限减小，而横轴保持不变，那么，弧PB 将与直线CB 重合，焦点S 与顶点B 重合，直线SD 与直线BD 重合。而面积BDEB 则与物体C 沿直线CB 垂直下落所需的时间成正比。
（图7-2）
证明完毕。
情形3 根据相同的原理，如果图形（如图7-3） RPB 为抛物线，用同一顶点B 作另一抛物线BED 。与此同时，物体P 沿前一抛物线的边界运动，随着前一抛物线的通径逐渐缩小最后变成零，物体P 最终将与直线CB 重合，而抛物线截面BDEB 则与物体P 或C 下落至中心S 或B 所用的时间成正比。
（图7-3）
证明完毕。
命题33 定理9
根据前面的假设，下落物体在任意处所C 的速度与物体围绕以B 为中心、BC 为半径的圆周运动速度的比，等于物体到圆周或直角双曲线上较远顶点A 的距离，与图形主半径 AB 比值的平方根。（如图7-4）
（图7-4）
以AB 作为两个图形RPB 、DEB 的公共直径，并在O 点等分。作直线PT 在点P 与图形RPB 相切，并与公共直径AB 在点T 相交。作SY 与该直线垂直，BQ 与直径AB 垂直，假设图形RPB 的通径为L 。根据命题16推论9可知，物体由中心S 沿曲线RPB 运动在任意处所P 的速度，与物体围绕同一点中心、半径为SP 的圆周运动速度的比，等于 L ×SP 与SY 2 的比值的平方根。因为，根据圆锥曲线的性质，AC ×CB 与CP 2 的比等于2AO 比L ，即 ＝L 。就是说，这些速度相互之间的比等于 与SY 2 比的平方根。另外，根据圆锥曲线的性质，CO ∶BO ＝BO ∶TO ，由合比或分比，也等于CB ∶BT 。且AC ∶AO ＝CP ∶BQ ＝TC ∶BT ，因此， ＝ 。现在，假设图形RPB 的宽CP 无限减小，以至点P 与点C 重合，点S 与点B 重合，直线SP 与直线BC 重合，SY 与BQ 重合。那么，此时物体沿直线CB 垂直下落的速度与物体绕以B 为圆心、BC 为半径的圆周运动速度的比，等于 与SY 2 比的平方根，如果约掉相等比值 、 ，则等于AC 比AO 或 AB 的平方根。
证明完毕。
推论1 当点B 和点S 重合时，TC ∶TS ＝AC ∶AO 。
推论2 物体用给定距离围绕中心作圆周旋转，如果运动方向变为垂直向上，物体则将上升到距离中心2倍的高度。
命题34 定理10
如果图形BED 为抛物线，那么，下落的物体在任意处所C 的速度，等于物体围绕以点B 为圆心、BC 的一半为半径的圆做匀速运动的速度。（如图7-5）
（图7-5）
根据命题16的推论7，物体在任意处所P 沿着以S 为中心的抛物线RPB 运动的速度，等于物体围绕以点S 为圆心、SP 的一半为半径的圆做匀速运动的速度。将抛物线的宽CP 无限减小，使抛物线的弧PfB 与直线CB 重合，中心S 与顶点B 重合，SP 与BC 重合，命题成立。
证明完毕。
命题35 定理11
根据相同假设，由不确定的半径SD 所画出的图形DES 的面积，等于物体在相同时间内围绕以S 为圆心、以图形DES 通径一半为半径的圆做匀速运动所划出的面积。
假设物体C 在极短的时间内，下落到一无限小的直线Cc 上，同时，另一物体K 围绕以S 为圆心的圆周OKk 做匀速运动，划出弧Kk 。作垂线CD 、cd ，交图形DES 于点D 、d 。连接SD 、Sd 、SK 、Sk ，并作Dd 交轴AS 于点T ，再作Dd 的垂线SY 。
情形1 如果图形（如图7-6） DES 为圆周或直角双曲线，以点O 平分它的横向直径AS ，SO 则为其通径的一半。由于TC ∶TD ＝Cc ∶Dd ，TD ∶TS ＝CD ∶SY ，因此，TC ∶TS ＝（CD ×Cc ）∶（SY ×Dd ）。根据命题33的推论1，TC ∶TS ＝AC ∶AO ，如果点D 与点d 合并，取其直线的最终比值，即AC ∶AO （或 SK ）＝（CD ×Cc ）∶（SY ×Dd ）。此外，根据命题33，落体在C 点的速度，与物体围绕以S 为圆心、SC 为半径的圆运动的速度之比，等于AC 与AO 或SK 的平方根比。根据命题4的推论6，落体的速度与物体沿圆周OKk 运动的速度之比，等于SK 与SC 的平方根比，因此，第一个速度与最后一个速度之比，即小线段Cc 与弧Kk 的比，等于AC 与SC 的平方根比，也就是 。所以，CD ×Cc ＝AC ×Kk ，AC ∶SK ＝（AC ×Kk ）∶（SY ×Dd ），并且，SK ×Kk ＝SY ×Dd ， SK ×Kk ＝ SY ×Dd ，即面积KSk 等于面积SDd 。因此，在每一个时间的间隙中，都将产生两个相等的面积KSk 和SDd ，如果它们的大小无限减小而数目无限增多，那么，它们同时产生的整个面积将相等。
（图7-6）
证明完毕。
情形2 由上述可知，如果图形（如图7-7） DES 为抛物线，则（CD ×Cc ）∶（SY ×Dd ）＝TC ∶TS ，即等于2∶1。因此，CD ×Cc ＝2SY ×Dd 。但是，根据命题34，落体在C 点的速度等于它绕半径为 SC 的圆周做匀速旋转运动的速度，而该速度与半径为SK 的圆周的运动速度之比，则等于小线段Cc 与弧Kk 的比，SK 与 比值的平方根，即等于SK 与 CD 的比。由于2SK ×Kk ＝CD ×Cc ，也等于2SY ×Dd ，因此，面积KSk 与面积SDd 相等。
（图7-7）
证明完毕。
命题36 问题25
求物体从给定处所A 下落所需的时间。（如图7-8）
（图7-8）
在直径AS 上作半圆ADS ，再以S 为圆心作相同的半圆OKH 。根据物体的任意处所C 作出纵标线CD ，连接SD ，使扇形OSK 与面积ASD 相等。很显然，根据命题35，该物体下落时将划过距离AC ，而另一物体在相同时间内将围绕中心S 匀速旋转，并划过弧OK 。
证明完毕。
命题37 问题26
求从给定处所向上或向下抛出的物体上升或下落所需要的时间。（如图7-9、图7-10、图7-11）
（图7-9）
（图7-10）
（图7-11）
假设物体离开给定处所G ，以任意速度沿直线GS 下落，设该速度与物体沿圆周匀速运动的速度（该圆以S 为圆心、以给定间隔SG 为半径） 之比的平方为GA ∶ AS 。如果该比值为2∶1，那么，点A 则在无限远。在此情形下，可按命题34的要求，画出一抛物线，其顶点为S ，轴为SG 。如果该比值小于或大于2∶1，那么，根据命题33，则需在直径SA 上，分别画出圆周或直角双曲线。然后，以S 为圆心，以通径的一半为半径作出圆周HkK 。随后，在物体起初上升或下落的处所G 和任意处所C ，作垂线GI 、CD ，交圆锥曲线或圆周于点I 和D 。连接SI 、SD ，使扇形HSK 、HSk 与弓形SEIS 、SEDS 相等，那么，根据命题35，物体G 划过距离GC ，与此同时，物体K 则划过弧Kk 。
证明完毕。
命题38 定理12
假设向心力与由中心到处所的高度或距离成正比，那么，物体下落的时间、速度以及下落所经过的距离，分别与弧、弧的正弦和正矢成正比。（如图7-12）
（图7-12）
假设物体从任意处所A 沿直线AS 下落，并以力的中心S 为圆心，以AS 为半径，画出一个四分之一的圆AES 。以CD 为任意弧AD 的正弦，物体A 则将在时间AD 内下落并经过距离AC ，同时，在处所C 将产生速度CD 。
这可由命题10证明，就像命题32是通过命题11而得以证明一样。
推论1 物体由处所A 下落到达中心S 所需的时间，与另一物体绕四分之一弧ADE 旋转所需的时间相等。
推论2 物体由任意处所下落到达中心所需的时间都是相等的，因为，根据命题4的推论3，所有旋转物体的周期都相等。
命题39 问题27
假设向心力的类型为任意的，而曲线图形的面积已给定，求出物体沿直线上升或下降通过不同处所时的速度，以及它到达任一处所所需的时间。或者反过来，由物体的速度和时间求处所。（如图7-13）
（图7-13）
设物体E 从任意处所A 沿直线ADEC 下落，再假设在处所E 上有一垂线EG 与该点指向中心C 的向心力成正比。作一曲线BFG ，该曲线为点G 的轨迹。如果在运动开始处设EG 与垂线AB 重合，那么，物体在任意处所E 的速度则将是一条直线段，该直线段的平方等于曲线面积ABGE 。
证明完毕。
在EG 上取EM 与一直线段成反比，该直线段的平方等于面积ABGE 。使VLM 为一曲线，M 是该曲线上的一点，AB 所在直线为曲线的渐近线，则物体沿直线AE 下落的时间将与曲线面积ABTVME 成正比。
证明完毕。
在直线AE 上取给定长度的小线段DE ，设物体在D 点时直线EMG 所在的处所为DLF ，如果向心力使一直线段的平方等于面积ABGE ，并与下落物体的速度成正比，那么，该面积将与速度的平方成正比。如果在点D 和E 的速度分别被V 、V ＋I 代替，那么，面积ABFD 将与V 2 成正比，面积ABGE 与V 2 ＋2VI ＋I 2 也成正比。由分比得，面积DFGE 将与2VI ＋I 2 成正比，因此， 将与 也成正比。换句话说，如果取这些量的最初比值，那么，长度DF 将与量 成正比，同时也与该量的一半 成正比。但是，物体下落所经过的极小线段DE 的时间与该线段成正比，而与速度V 成反比，力则将与速度的增量I 成正比，与时间成反比。因此，如果取这些量的最初比值，力则将与 成正比，即与长度DF 成正比，即与DF 或EG 成正比的力，将促使物体以与一直线的下落速度成正比的速度下落。
证明完毕。
此外，由于给定长度的极小线段DE 与速度成反比。因此，它也与平方等于面积ABFD 的一直线成反比。由直线DL 可知，初始面积DLME 将与相同直线成反比，时间与面积DLME 成正比，那么，时间的总和将与所有面积的总和成正比，也就是说，根据引理4的推论，经过直线AE 所需的时间将与整个面积ATVME 成正比。
证明完毕。
推论1 （如图7-14）以点P 作为物体下落的起点，当物体受到任意已知均匀向心力作用而在处所D 获得的速度，与另一物体受任意力作用而下落到相同处所获得的速度相等。在垂线DF 上截取DR ，使其与DF 的比，等于均匀力与在处所D 同另一个力的比。作矩形PDRQ ，并切割面积ABFD ，使其与该矩形相等。将点A 作为另一物体的处所，那么，物体将从该处所下落。由于作出矩形DRSE 后，面积ABFD 与面积DFGE 的比为V 2 比2VI ，即等于 V 比I ，等于总速度的一半与物体速度增量的比。与此类似的是，面积PQRD 与面积DRSE 的比等于总速度的一半与物体由均匀力产生的物体速度增量的比。由于这些增量与产生它的力成正比，因此，它与纵标线DF 、DR 成正比，与面积DFGE 、DRSE 成正比，整个面积ABFD 、PQRD 相互间的比值与总速度的一半成正比，由于这些速度相等，它们也相等。
（图7-14）
推论2 如果在任意处所D ，将任意物体用给定速度向上或向下抛出，那么根据向心力的定律，物体在其他任意处所e 的速度可按以下方法求出：
作纵标线eg ，并使处所e 的速度与物体在处所D 的速度等于一直线，该直线的平方等于矩形PQRD 。如果处所e 低于处所D ，则加上曲线面积DFge ，如果处所e 高于处所D ，则再减去曲线面积DFge 。
推论3 作纵标线em ，使其与PQRD ＋或-DFge 的平方根成反比，设物体穿过直线De 的时间与另一物体受均匀力作用从P 点下落到D 点的时间之比，等于曲线面积DLme 与2PD ×DL 的比。因为，物体受均匀力作用沿直线PD 下落的时间与相同物体穿过直线PE 的时间之比，等于PD 与PE 的平方根比，也等于PD 与PD ＋ DE 的比，或2PD 与2PD ＋DE 的比。由分比得，它与物体穿过极小线段DE 所用时间的比，等于2PD 与DE 的比，也等于乘积2PD ×DL 与面积DLME 的比，而这两个物体穿过极小线段DE 所用的时间与物体沿直线De 做不均匀运动所用的时间之比，等于面积DLME 与面积DLme 的比。在上述时间中，第一个时间与最后一个时间的比，等于乘积2PD ×DL 与面积DLme 的比。
