如何确定物体受任意类型向心力作用运动的轨道
命题40 定理13
如果某一物体在任意向心力的作用下，用一种任意的方式进行运动，同时，另一物体沿直线上升或下落，那么，当它们处在一个相同的高度时，它们的速度相等，并且，在所有的相等高度上，它们的速度都相等。（如图8-1）
（图8-1）
将一物体从点A 下落，穿过点D 和点E 到达中心C ，而另一物体从点V 沿曲线VIKR 运动。以点C 为中心，任意半径作同心圆DI 、EK ，且与直线AC 相交于点D 和E ，与曲线VIK 相交于点I 和点K ，作IC 在点N 与KE 相交，再作IK 的垂线NT 。将这两个圆之间的间隔DE 和IN 设为无限小，再设物体在点D 和I 的速度相等，由于距离CD 和CI 相等，那么，在点D 和I 的向心力也相等。这些向心力可用相等的线段DE 和IN 来表示，根据运动定律的推论2，可将力IN 分解为NT 和IT 两部分，而作用在直线NT 方向的力NT 则垂直于物体的路径ITK ，在该路径上，这个力不会对物体的速度产生任何影响或改变，但会使物体脱离直线路径并不断偏离轨道切线，从而进入曲线轨道ITKR ，就是说，这个力只产生这样一种作用。而另一个力IT 的作用则发生在物体的运动方向上，它将对物体的运动进行加速，在极短的时间内，由此产生的加速度与时间成正比。因此，在相等的时间里，物体在点D 和I 产生的加速度与线段DE 、IT 成正比，在不相等的时间里，则与线段DE 、IT 和时间的乘积成正比。但是，由于物体在点D 和点I 的速度相等，且经过直线DE 和IK 的时间与距离DE 和IK 成正比，因此，物体经过线段DE 和IK 的加速度之比等于DEI 、IT 和DEIIT 的乘积，即等于DE 的平方与IT ×IK 的乘积的比。由于IT ×IK 等于IN 的平方，也就等于DE 的平方，因此，物体从点D 、I 到E 、K 所产生的加速度也相等，在E 和K 的速度也同样相等。同理可知，之后，只要距离相等，它们的速度也总是相等。
证明完毕。
同理可知，与中心距离相等且速度相等的物体，在向相等的距离上升时，其减速的速度也相等。
推论1 物体无论是悬挂在绳上摆动，还是被迫沿光洁、平滑的表面做曲线运动，另一物体则将沿直线上升或下落，只要在某一相同高度它们的速度相等，那么，在其他所有相同高度上，它们的速度都相等。因为，物体在悬挂物体的垂线上或在完全平滑的器皿上运动时，其横向力NT 也会产生相同的影响，但物体的运动不会因为它而产生加速或减速，只是使其偏离直线轨道。
推论2 设量P 为物体由中心所能上升到的最大距离，即无论是因为摆动还是环绕轨道的运动，在曲线轨道上任何一个地方以该点的速度向上最终运动至此距离；如果将量A 作为物体由中心到轨道上任意点的距离，再使量A 的（n -1）次即A n -1 幂与向心力始终成正比，其中指数n -1为任意数n 减去1，那么，物体在任意高度A 的速度将与 成正比，而它们的比值也将给定，因为根据命题39，物体沿直线上升或下落的速度即等于该值。
命题41 问题28
设向心力的类型和曲线的面积均给定，求出物体运动的轨道及在轨道上的运动时间。（如图8-2）
（图8-2）
将任意向心力指向中心C ，求出曲线轨道VIKk 。已知一给定圆VR 的圆心为C 、任意半径为CV 。再由同一圆心作出另外两个任意圆ID 和KE ，并在点I 和点K 与曲线轨道相交，在点D 和点E 与直线CV 相交。再作直线CNIX ，在点N 和点X 与圆周KE 、VR 相交，作直线CKY ，与圆VR 在点Y 相交。将点I 向点K 无限靠近，并使物体运动由点V 通过I 和K 到点k 。再设点A 为另一物体所要由此下落的处所，并使其在处所D 的速度与第一个物体在处所I 的速度相等。下面，采用命题39的方法求证：在极短时间内，物体所经过的线段IK 将与速度成正比，因此也与平方等于面积ABFD 的一直线短成正比，所以与时间成正比的三角形ICK 可以给定，那么，当任意量Q 已给定，高度IC 等于A 时，线段KN 将与高度IC 成反比，而与 成正比。如果用Z 代替量 ，并设Q 的大小在某种情形下使 ∶Z ＝IK ∶KN ，那么，在任何情况下都有 ∶Z ＝IK ∶KN ，而ABFD ∶ZZ ＝IK 2 ∶KN 2 ，由分比得：（ABFD -ZZ ）∶ZZ ＝IN 2 ∶KN 2 ，因此， 比Z 或 ，等于IN 比KN ；A ×KN ＝ 。又由 ，XY ×XC ＝ 。
在垂线DF 上取Db 、Cc ，使其分别等于 和 ，以b 和c 为曲线ab 、ac 的焦点，由点V 作直线AC 上的垂线Va ，切割曲线面积VDba 和VDca ，并作出纵标线Ez 和Ex 。由于Db ×IN 或DbzE 等于A ×KN 的一半，或等于三角形ICK ；DC ×IN 或DcxE 等于YX ×XC 的一半或等于三角形XCY 。由于面积VDba 、VIC 的新生极小量DbzE 、ICK 始终相等的，面积VDca 、VCX 的新生极小量DcxE 和XCY 也将始终相等。因此，由此产生的面积VDba 也将与面积VIC 相等，与时间成正比，而由此产生的面积VDca 与产生的扇形面积VCX 也相等。如果物体在任意给定的时间内由点V 开始运动，那么，面积VDba 与时间成正比也同样可以给定，而物体的高度CD 或CI 也就给定，面积VDca 、扇形VCX 和其角VCI 也都能给定。那么，通过已经给定的角VCI 、高度CI ，就可求出物体最后所在的处所。
证明完毕。
推论1 曲线轨道的回归点，即物体的最大高度和最小高度很容易求出。因为，当直线IK 与NK 相等，即面积ABFD 与ZZ 相等时，由中心所作的直线IC 穿过这些回归点，并垂直于轨道VIK 。
推论2 通过物体的给定高度IC ，很容易就可求出曲线轨道在任意处所与直线IC 的夹角KIN ，也就是说，使该角的正弦与半径的比为KN 比IK ，即等于Z 与面积ABFD 平方根的比。
推论3 如果过中心C 和顶点V ，作一圆锥曲线VRS ，并在曲线上任意一点如R ，作切线RT 在点T 与无限延长的轴CV 相交。连接CR ，作直线CP ，使之与横标线CT 相等，使角VCP 与扇形VCR 成正比。如果指向中心的向心力与从中心到物体处所距离的立方成反比，并在处所V 以一定速度沿垂直于直线CV 的方向抛出一物体，那么，该物体将一直沿轨道VPQ 运动，并总是与点P 相切。如果圆锥曲线VRS 为双曲线，则物体将会下落至中心处；如果为椭圆，物体则将不断上升，最后升至无限远。与之相反的是，如果物体以任意速度离开处所V ，那么，根据它是直接落向中心还是由此倾斜上升，则可确定图形VRS 是双曲线还是椭圆，并且还可按给定比值增大或减小角VCP 来求出该曲线轨道。如果向心力变为离心力，则物体将偏离轨道VPQ 。如果角VCP 与椭圆扇形VRC 成正比，长度CP 等于长度CT ，则可求出该轨道。所有这些均可通过确定的曲线面积求出，其计算方法非常简便，为简捷起见在此我就省略了。（如图8-3、图8-4）
（图8-3）
（图8-4）
命题42 问题29
已知向心力定律，求证在给定处所、用给定速度沿给定直线方向抛出的物体的运动。（如图8-5）
（图8-5）
设条件与以上三个命题相同，将物体从处所I 抛出并沿小线段IK 方向运动。而另一物体在均匀向心力作用下，由处所P 向D 运动，两个物体的运动速度相等。设该均匀力与物体在处所I 受到的作用力的比，等于DR 与DF 的比。再使物体向k 点运动，并以中心C 为圆心、Ck 为半径作圆周ke ，在点e 与直线PD 相交。作出曲线BFg 、abv 、acw 上的纵标线eg 、ev 、ew 。根据给定矩形PDRQ 和向心力定律，曲线BFg 可以根据命题27和推论1的作图求出，并且，通过已知角CIK ，可求出初生线段IK 与KN 的比值。同样，由命题28的作图，可求出量Q 和曲线abv 、acw 。因此，在任意时间Dbve 结束时，通过求出物体Ce 或Ck 的高度、与扇形XCy 面积相等的Dcwe 面积和角ICk ，那么，物体所在的处所k 也就可以求出。
证明完毕。
在以上命题中，假设向心力可以依照某种规律与中心的间距不断变化，但在由中心引出的相等距离处，向心力则始终相等。
到此为止，我们所讨论的物体运动，全部都是在不动轨道上的运动，下面，我将针对物体在轨道上的运动，该轨道围绕力发热中心转动的问题，补充一些相关内容。
