物体沿运动轨道进行运动以及在回归点的运动
命题43 问题30
将一物体沿着围绕力中心旋转的轨道上运动，另一物体在静止的轨道上做相同的运动。（如图9-1）
（图9-1）
在给定位置的轨道VPK 上，物体P 从V 旋转向K 。由中心C 作Cp 等于CP ，角VCp 与角VCP 成正比，那么，直线Cp 所通过的面积与直线CP 在相同时间内所通过的面积VCP 的比，等于直线Cp 通过面积的速度与直线CP 通过的速度的比，即等于角VCp 与角VCP 的比，所以，其比为给定比值，并与时间成正比。由于直线Cp 在固定平面上所划过的面积与时间成正比，因此，物体受一定的向心力作用，可与点p 一起沿曲线做旋转运动，根据前面的证明，这条曲线可由同一个点p 在固定平面上画出。如果使角VCu 与角PCp 相等，直线Cu 与CV 相等，图形uCp 与图形VCP 相等，则物体将总是处在点p 上，并沿旋转图形uCp 做周边运动，并画出它围绕弧up 做旋转运动所用的时间，而另一物体P 在固定图形VPK 上且在相同时间内也可画出相似的弧VP 。根据命题6的推论5，如果找出使物体沿曲线做旋转运动的向心力，则问题可解。
证明完毕。
命题44 定理14
其中一物体在静止的轨道上运动，而另一物体沿转动着的相同的轨道上做相同的运动，则该力的差与物体共同高度的3次方成反比。（如图9-2）
（图9-2）
设静止轨道的VP 、PK 部分与旋转轨道的up 、pk 部分相似且相等，再设点P 和K 之间的距离为极小值。由点k 作直线pC 的垂线kr ，并延长至点m ，使mr 比kr 等于角VCp 比角VCP 。由于物体的高度PC 与pC 、KC 和kC 始终相等，因此，直线PC 和pC 的增量或减量也总是相等。根据运动定律推论2，可将物体在处所P 和p 的每一种运动都分解为两个，其中一个指向中心，或沿直线PC 、pC 的方向运动，另一个则与前一个垂直，即沿直线PC 和pC 的方向做横向运动，但二者指向中心的运动均相等。此外，物体p 的横向运动与物体P 的横向运动之比，等于直线pC 的角运动与直线PC 的角运动之比，即等于角VCp 与角VCP 的比。就是说，在相同的时间里，物体P 从两个方面运动到达点K ，而朝中心做相等运动的物体p ，则由p 运动到C 。当运动时间结束时，它将停在直线mkr （该直线过点k ，并垂直于直线pC ） 的某处，其横向运动也将使它得到一个到直线pC 的距离，这个距离与另一物体P 所获得的到直线PC 的距离的比，等于物体p 的横向运动与物体P 的横向运动之比。由于kr 等于物体P 到直线PC 的距离，且mr 与kr 的比等于角VCp 与角VCP 的比，即等于物体p 的横向运动与物体P 的横向运动之比。因此，当运动时间结束时，物体p 将停在处所m 。产生这种情况的原因是：物体p 和P 沿直线pC 和PC 做相等的运动，它们在各自的方向上所受的力相等。但是，如果取角pCn 与角pCk 的比等于角VCp 与角VCP 的比，设nC ＝kC ，那么，在运动时间结束时，物体p 则将位于处所n 。如果角nCp 大于角kCp ，物体p 受到的力就大于物体P 所受到的力，就是说，如果轨道upk 以大于直线CP 两倍的速度向前运动或向后倒退，那么，物体p 所受到的力要大于物体P 所受到的力，如果轨道向后运动的速度较慢，物体所受的力就小。而力的差将与处所的距离mn 成正比。以C 为中心、以间隔Cn 或Ck 为半径画出一圆，交直线mr 、mn 的延长线于点s 和t ，则乘积mn ×mt 将等于乘积mk ×ms ，从而，mn ＝ 。由于在给定时间里，三角形pCk 、pCn 的大小已给定，而kr 与mr ，以及它们的差mk ，它们的和ms ，与高度pC 成反比，因此，乘积mk ×ms 也与高度pC 的平方成反比。又mt 与 mt 则成正比，即与高度pC 成正比，以上就是新生线段的最初比值。因此 （即新生线段mn ） 与力的差成正比，与高度pC 的立方成反比。
证明完毕。
推论1 在处所P 和p 、K 和k 的力的差，与物体由R 旋转运动到K 所受的力（相同时间内，物体P 在固定轨道上划出弧PK ）的比，等于新生线段mn 与新生弧RK 正矢的比，即等于 比 ，或mk ×ms 比rk 的平方。换句话说，如果给定量F 与G 的比等于角VCP 与角VCp 的比，这两个力的比就等于GG -FF 与FF 的比。如果以C 为圆心、任意距离CP 或Cp 为半径，作一圆扇形与整个面积VPC （物体在任意时间内，在固定轨道上被半径拉向中心运动所通过的面积）相等，那么，在力的差作用下，物体P 将围绕固定轨道旋转，物体p 则围绕可动轨道旋转，它们的差与向心力（经过面积VPC 时，另一物体在相同时间内被半径拉向中心并匀速划过扇形受到的向心力）的比，则等于GG -FF 与FF 的比。因为，这个扇形与面积pCk 的比，等于通过它们时所需时间的比。
推论2 如果轨道VPK 为椭圆，焦点为C 、最高拱点为V ，另假设椭圆upk 与该椭圆相似且相等，而pC 总是与PC 相等，那么，角VCp 与角VCP 的比为给定比值G 比F 。如果以A 代表高度PC 或pc ，2R 代表椭圆的通径，那么，物体沿运动椭圆旋转的力将与 成正比，反之亦然。
如果用量 表示物体沿固定椭圆旋转的力，点V 的力则为 。然而如果使物体围绕以距离CV 为半径做旋转运动的力，与物体沿椭圆拱点V 运动的力之比，等于椭圆通径的一半与该圆周直径的一半CV 的比，即等于 。如果GG -FF 与FF 的力的比，等于 ，如此那么，根据本命题的推论1，该力则等于物体P 在点V 沿固定椭圆VPK 运动所受到的力，减去物体p 沿运动椭圆upk 旋转所受到的力的差。由本命题可知，在其他任意高度A 上的差与它本身在高度CV 的差的比，等于 比 ，在每个高度A 上，其差都等于 。因此，物体沿固定椭圆VPK 旋转所受到的力 ，加上差 ，那么，整个力的总和就是 ，这就是物体在相同时间内沿可动椭圆轨道upk 运动受到的力。
推论3 如果固定轨道VPK 是一个椭圆，其中心就是力的中心C ，设有一运动椭圆upk 与椭圆VPK 相似相等且共一中心，假如该椭圆的通径为2R ，横向通径即长轴为2T ，且角VCp 与角VCP 的比等于G 比F ，那么，物体在相同时间里，沿固定轨道和运动轨道运动所受的力将分别等于 和 。
推论4 设物体的最大高度CV 为T ，轨道VPK 在V 点处的曲率半径为R ，物体在处所V 沿任意固定曲线轨道VPK 运动所受的向心力为 ，在处所P 的力为X ，高度CP 等于A ，G 与F 的比等于角VCp 与角VCP 的比。如果同一物体在相同时间内沿相同轨道upk 做圆周运动，那么，物体所受到的向心力就等于X ＋ 。
推论5 给定物体在固定轨道上运动，围绕力中心的角的运动以给定比值增大或减小，在此条件下，则可求出物体在新的向心力作用下做旋转运动的新的固定轨道。
推论6 （如图9-3）如果作一长度不定的直线VP ，与给定位置的直线CV 垂直，作线段CP 和与之相等的Cp ，并给定角VCp 与角VCP 的比值，那么，物体沿曲线Vpk 运动的力就与高度Cp 的立方成反比。因为，当物体P 没有受到其他力的作用时，其惯性力作用将使它沿直线VP 做匀速运动，再加上指向中心C 且反比于高度CP 或Cp 立方的力后，该物体则将偏离其直线运动而进入曲线Vpk 。由于曲线Vpk 与命题41推论3所求的曲线VPQ 相同，因此，物体在力的吸引下将围绕这些曲线倾斜上升。
（图9-3）
命题45 问题31
求出与圆的轨道十分接近的回归点的运动。
该问题可用算术方法求解。根据前一命题推论2和推论3的证明，可将物体在固定平面上沿运动椭圆所画的轨道，接近于回归点所在轨道的图形。再求出物体在固定平面上所划轨道的回归点。如果要使划出的轨道图形完全相同，必须将通过轨道所作的向心力在相同高度上成比例。以点V 为最高回归点，T 为最大高度CV ，A 表示其他任意高度CP 或Cp ，X 为高度CV -CP 的差。那么，根据推论2，物体在围绕焦点C 旋转的椭圆上运动所受的力，等于 ，即等于 ，如果用T -X 代替A ，则等于 。如果用类似的方法，其他任何向心力均可用分母为A 3 的分式表示，而分子则可通过合并同类项的方法变得极为相似。这种方法可以通过下面的例子来证明。
例1 假设向心力是均匀的并与 成正比，原来的分子A 用T -X 代替，这样，就与 成正比。再将分子中同类项进行合并，即将已知项和未知项分别相比可得： ＝ ＝ 。假设轨道与圆极极为相似，将轨道与圆重合，R 则等于T ，X 则将无限减小，最终比值为： ， 。因此，G 与F 的比，等于角VCp 与角VCP 的比，等于1比 。由于物体在固定椭圆中，从上回归点降落到下回归点时，画出一个180的角，另一个在运动椭圆上的物体其位置在我们所讨论的固定轨道所在平面上，也将从上回归点降落到下回归点，并通过 角的VCp 。因为，物体在均匀向心力作用下所画出的轨道，与物体在静止平面上，沿旋转椭圆做环绕运动所画出的轨道非常相似。通过比较，可以发现这些轨道非常相似，但这并不具有普遍性，只有当这些轨道与圆极其相似时证明才能成立。因此，在均匀向心力作用下，沿近似于圆轨道运动的物体，从上回归点降落到下回归点时，总会绕中心画出一个 即10355′23″的角，然后再通过相同的角度返回到上回归点，如此循环往复以至无穷。
例2 假设向心力与高度A 的任意次幂成正比，例如A n -3 或 ，这里的n -3和n 为幂的任意指数，它既可为整数，也可为分数，既可为有理数也可为无理数，也可为正数或负数。用收敛级数的方法，可将分子A n 或（T -X ） n 化为不定级数，即T n -nXT n -1 ＋ …将这些项与其他分子项RGG -RFF ＋TFF -FFX 进行比较后，可得到： ＝ …在轨道向圆接近时，取其最后比值得到： 或 ；因此 ，即为1∶n ；因此，G 比F 等于角VCp 比角VCP ，等于1比。由于物体沿椭圆从上回归点降落到下回归点所画出的角为180°，因此，物体沿近似于圆的轨道（由物体在正比于A 的n -3次幂的向心力作用下画出） 从上回归点降落到下回归点所画出的角VCp 也等于 ，而当物体由下回归点上升至上回归点时将重复画出该角，如此循环往复以至无穷。
如果向心力与物体到中心的距离成正比，即与A 或 成正比，n ＝4， ＝2。那么，上下回归点间的角度则为 即90。当物体做了四分之一圆周运动后，它将到达下回归点，而当它做了另一个四分之一圆运动时，又将回到上回归点，如此循环往复以至无穷。命题10中也出现过这种情形，因为，在这种向心力作用下，物体将围绕椭圆做旋转运动，如果向心力与距离成反比， 与 或则成正比，这时，n ＝2，而上回归点与下回归点间的角将等于 ，或12716′45″，而在该力作用下做旋转运动的物体，将会不断重复这个角度，从上回归点运动至下回归点，又从下回归点运动至上回归点。如果向心力与高度的11次幂的4次方根成反比，即与 成反比，那么，与 则成正比，或与 成正比，此时n ＝ ， ＝360。因此，物体离开上回归点做连续运动，当它围绕圆完成一次周转运动后，它将到达下一回归点，然后，围绕圆完成另一次运动后又回到上回归点，如此循环往复以至无穷。
例3 用m 和n 表示高度的幂指数，b 、c 是任意给定的数，假设向心力与 成正比，即与 成正比，根据前面所用的收敛级数的方法，与 也成正比。并由此可得：
当轨道变为圆后取最后比值，可得：GG ∶（bT m -1 ＋cT n -1 ）＝FF ∶（mbT m -1 ＋ncT n -1 ），GG ∶FF ＝（bT m -1 ＋cT n -1 ）∶（mbT n -1 ＋ncT n -1 ）。在这个比例等式中，如果最大高度CV 或T 在算术上等于1，则GG ∶FF ＝（b ＋c ）∶（mb ＋nc ），等于1∶ 。因此，G 与F 的比，即角VCp 与角VCP 的比，等于1∶ 。此外，由于在固定椭圆中，介于上回归点和下回归点间的角VCP 为180，因此，另一轨道上，介于相同回归点间的角VCp 就等于 。同理，如果向心力与 成正比，则该角等于 。用相同方法还可以解决更困难的问题。另外，与向心力成正比的量总可分解为分母为A 3 的收敛级数。再假设计算过程中，分子的给定部分与未知部分之比，等于分子给定的RGG -RFF ＋TFF -FFX 部分与同一分子的未知部分之比。约去多余的量，设T ＝1，则可得G 与F 的比。
推论1 如果向心力与高度的任意次幂成正比，那么，通过回归点的运动即可求出该幂。反之亦然，也就是说，如果物体回到同一个回归点的角运动，与旋转一周角运动的比，等于某一数（如m ）与另一个数（如n ）的比，设高度为A ，那么，该力将与高度A 的（ ）次幂成正比，这由例2可知。所以，当距离中心最远时，该力的减小不能大于高度比的3次方。因为，在该力作用下，物体旋转离开回归点降落后，将不能回到下回归点或降到最小高度处，而会像命题41推论3所证明的那样，沿曲线下落至中心。但如果物体离开下回归点后能够上升一小段距离，那么，它将不再回到上回归点，而会像命题45推论4所证明的那样，沿着曲线做无限上升运动。因此，当距离中心最远，该力的减小超过高度比的3次方时，物体一旦离开回归点，不是落到中心，就是上升到无限远，这取决于物体在运动开始时，是下降运动还是上升运动。但是，当物体在距离中心最远处时，该力的减小，或者小于高度比的立方，或者随高度的任意比值而增大，则物体不会下落到中心，而是在某个时刻到达下回归点。与之相反，如果物体在两个回归点之间不断地上升或下降，但不到达中心，那么，该力或者在距离中心的最远处增大，或者减小小于高度比的立方。物体在两回归点间的往返时间越短，该力与该立方的比值就越大。如果物体进出上回归点时，在8次，或4次，或2次，或 次的旋转运动中下降或上升，即m 与n 的比等于8、4、2，或 比1，那么， 就等于 ，或 ，或 ，或 ，而力就与 ，或 ，或 成正比，与 ，或 ，或 ，或 成反比。如果物体每运行一周后都回到同一回归点，那么，m 与n 的比就是1比1， 则等于A -2 或 ，而力的减小则是高度的平方比，这个结果与前面的证明相同。如果物体旋转 ，或 ，或 ，或 周后返回到同一回归点，m ∶n ＝ （或 ，或 ，或 ）∶1，而 （或 ，或A 9-3 ，或A 16-3 ），那么，力或者与 或 成反比，或者与A 6 或A 13 成正比。如果物体以下回归点为起点，运行一周零三度后又再次回到起点，那么，每当物体运行一周，这个回归点将向前移动3，因此，m ∶n ＝363∶360（或121∶120），即＝ ，向心力则与 成反比，或与接近于 成反比。而向心力减小的比值将略大于平方比值，但是，它接近平方比的次数比接近立方比的次数多 倍。
推论2 同样，如果物体在与高度平方成反比的向心力作用下，围绕以力中心为焦点的椭圆旋转，并有一个新的外力增大或减小该向心力，那么，根据例3的证明，可以求出因外力作用而引起的回归点运动，反之亦然。如果使物体绕椭圆运动的力与 成正比，新外力与cA 成正比，那么，剩余力则与 成正比，（同样据例3）b ＝1，m ＝1，n ＝4，回归点间的旋转角则等于 。如果外力比使物体绕椭圆运动的力小357.45倍，即c 为 ，A 或T 等于1， ＝ 或180.7623，即18045′44″。那么，该物体离开上回归点后，将以18045′44″的角度运动到达下回归点，物体不断重复做角运动，最后回到上回归点，在每一周的旋转中，上回归点都将向前移动131′28″。而月球回归点的运动速度比该运动的快一倍。
到此为止，我对物体在平面中心轨道运动的讨论已全部结束。后面要讨论的是，物体在偏心平面上的运动。因为，以前那些讨论重物运动的作者认为，此类物体的上升或下落不仅只是沿垂线路径运动，并且还可以在任意给定的所有倾斜平面上运动。根据相同原因，我们要讨论的是，在任意力作用下物体在偏心平面上指向中心的运动。假设此类平面是绝对平滑和光洁的，这样才不会对物体的运动产生阻碍。此外，在这些证明中，物体在平面上滚动或滑动，因而这些平面也就成为了物体的切面，对于这样的情形，我将用平面平行于物体的情形代替，这样的话，物体的中心将在该平面上移动，并画出轨道。在后面我会用相同方法对物体在曲线表面上的运动进行讨论。
