物体在给定表面上的运动以及物体的摆动运动
命题46 问题32
假设有一任意类型的向心力，力的中心和物体运动所在的平面均已给定，且曲线图形面积可知，求证物体离开给定处所，并以给定速度在上述平面上沿给定直线方向脱离一给定处所的运动。（如图10-1）
（图10-1）
设S 为力的中心，SC 是中心到给定平面的最短距离，P 是从处所P 出发沿直线PZ 运动的物体，Q 是沿着轨道做旋转运动的相同物体，PQR 是在给定平面上需要求证的曲线轨道。连接CQ 、QS ，如果在QS 上取SV 与物体受中心S 吸引的向心力成正比，作VT 平行于CQ ，在点T 与SC 相交，那么，根据运动定律的推论2，力SV 可以被分解为两部分，即力ST 与力TV 。其中，物体在垂直于平面的直线方向受到力ST 的吸引，但不会改变它在该平面上的运动。另一个力TV 与平面的位置重合，因而将物体直接引向平面上的给定点C ，从而促使物体以如下方式在该平面上运动，就像力ST 被抽掉了似的，受力TV 的单独作用在自由空间里绕中心C 做旋转运动。由于物体Q 在自由空间绕给定中心C 旋转的向心力已给定，因此，根据命题42，物体所画的轨道PQR 可以求出，并且，在任何时刻，物体所在的处所Q ，以及物体在处所Q 的速度都可以得到求证。反之亦然。
证明完毕。
命题47 定理15
设向心力与物体到中心的距离成正比，则在任意平面上做旋转运动的所有物体都可以画出椭圆，并能在相同的时间内完成旋转运动；那些沿直线做前后交替运动的物体，将在相同的时间内完成它们的往返周期。
单摆
一根不可伸长、质量不计的绳子上端固定，下端系一质点的装置叫单摆。伽利略是第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动的人；牛顿用单摆证明了物体的重量与质量成正比；惠更斯则制成了第一个摆钟，单摆不仅可以准确测定时间，也可用来测量重力加速度的变化。
如果上述命题的所有条件都成立，力SV 将绕任意平面PQR 旋转的物体Q 吸引到中心S ，并与距离SQ 成正比，那么，SV 与SQ 、TV 与CQ 均成正比，而把物体吸引到轨道平面上给定点C 的力TV 与距离CQ 也成正比。因此，根据距离的比例，物体在平面PQR 指向点C 的力，也等于吸引相同物体指向中心S 的力。因而物体将在相同时间、相同图形的任意平面PQR 上绕点C 运动，就如它们在自由空间绕中心S 运动一样。根据命题10推论2和命题38推论2，这些物体将在相同时间内，或在平面上绕中心C 画出椭圆，或在该平面上过中心C 沿直线做来回运动，并在所有这些情形下都能完成相同时间周期。
证明完毕。
附注
与我们讨论的运动问题密切相关的是，物体在曲线表面上的上升运动和下降运动。如果在任意平面上画出若干曲线，将这些曲线围绕任意给定的中心轴做旋转运动，并由旋转运动画出若干曲面，做这些运动的物体，它们的中心总位于这些表面上。如果这些物体以倾斜上升和下落来回做往返运动，那么，它们将在通过转动轴的各平面上运动，也在通过转动而形成曲面的各曲线上进行运动。在这种情况下，只要将各种曲线上的运动考虑进去就行了。
命题48 定理16
如果一个轮子垂直于球的外表面立着，并围绕其轴在球上沿大圆滚动，那么，轮子周边上的任何一个位置，在接触球体时所经过的曲线路径（亦称为“摆线”或“外摆线”） 长度，与从接触开始经过球的弧一半的正矢的2倍的比，等于球体直径和轮子直径之和与球体半径的比。
命题49 定理17
如果一个轮子垂直于球的内表面，并围绕其轴在球上沿大圆滚动，那么，轮子周边上的任何一个位置，在接触球体后所经过的曲线路径长度，与在接触后所有时间中经过球的弧一半的正矢的2倍的比，等于球体直径和轮子直径的差与球体半径的比。（如图10-2）
（图10-2）
沿ABL 是一球体，C 是这个球体的中心，BPV 是直立在球体上的轮子，而E 是轮子的中心，B 为接触点，P 为轮子周边上的给定点。该轮沿大圆ABL 从A 经过B 滚动至L ，在滚动中，弧AB 、PB 一直保持相等，而轮子周边上的给定点P 的轨迹为曲线路径AP 。AP 是轮子在A 点与球体接触后所画出的整条曲线路径，其中，AP 的长度与弧 PB 的正矢的2倍之比等于2CE 比CB 。将直线CE 在点V 与轮相交，连接CP 、BP 、EP 、VP ，将CP 延长并在其上作垂线VF 。设PH 、VH 在点H 相交，并在点P 和点V 与轮相切，将PH 在点G 与VF 相交，并作VP 上的垂线GI 、HK 。以C 为圆心、任意半径作圆nom ，在点n 与直线CP 相交，在点O 与轮子的边BB 相交，在点m 与曲线路径AP 相交，此外，以V 为圆心、Vo 为半径作圆，在点q 与VP 的延长线相交。
由于轮子总是围绕接触点B 运动，直线BP 垂直于由轮上点P 画出的曲线AP ，因此，直线VP 在点P 与曲线相切。如果圆周nom 的半径逐渐增大或减小，最后它将与距离CP 相等。由于逐渐消失（趋于零） 的图形Pnomq 与图PFGVI 相似，那么，逐渐消失（趋于零） 的线段Pm 、Pn 、Po 、Pq 的最终比值，即曲线AP 、直线CP 、圆弧BP 、直线VP 的瞬时变化比值将分别与直线PV 、PF 、PG 、PI 的变化比值相等。但是，由于VF 垂直于CF ，VH 垂直于CV ，因此，角HVG 与角VCF 相等。由于四边形HVEP 在点V 和P 的角为直角，角VHG 与角CEP 相等，三角形VHG 与三角形CEP 相似，因此，EP ∶CE ＝HG ∶HV 或HP ＝KI ∶KP ，由合比或分比得到CB ∶CE ＝PI ∶PK 。因此，直线VP 的增量，即直线BV -VP 的增量与曲线AP 的增量的比等于给定比值CB 与2CE 的比，根据引理4的推论，由这些增量产生的长度BV -VP 和AP 的比，也是相等比值。但是，如果BV 为半径，VP 为角BVP 或 BEP 的余弦，那么，BV -VP 就是相同角的正矢。在该轮子中，如果半径等于 BV ，那么，BV -VP 就是弧 BP 正矢的2倍。因此，AP 与弧 BP 正矢的2倍的比，等于2CE 与CB 的比。
证明完毕。
为了以示区别，我们将前一命题中曲线AP 叫做球外摆线，后一命题中的曲线叫做球内摆线。
推论1 如果能够画出整条摆线ASL ，并在点S 将它们等分，那么，部分PS 的长度与长度PV 的比，等于2CE 与CB 的比，即为给定比值。
推论2 摆线AS 半径的长度为与轮子直径BV 的比，等于2CE 与CB 的比。
命题50 问题33
使摆动物体沿给定的摆线摆动。（如图10-3）
（图10-3）
在以点C 为中心的球体QVS 内，将给定摆线QRS 在点R 进行等分，并与球体表面的两边相交于极点Q 和S 。在点O ，作CR 将弧QS 等分，并将其延长至点A ，使CA ∶CO ＝CO ∶CR 。以C 为圆心、CA 为半径作外圆DAF ，并在该外圆内，以半径为AO 的轮子画出2个半摆线AQ 、AS ，在点Q 和点S 与内圆相切，在点A 与外圆相交。在点A 置放一条长度与直线AR 相等的细线，将物体T 系在细线上，并让物体T 在这两条半摆线AQ 、AS 之间摆动。当摆离开垂线AR 时，细线AP 的上部分将向半摆线APS 进行挤压并与曲线紧紧地贴在一起，而同在细线上未与半摆线接触的PT 部分则始终保持着直线状态，则重物T 将沿给定摆线QRS 做摆动运动。
证明完毕。
设线PT 在点T 与摆线QRS 相交，且在点V 与圆周QOS 相交。作出CV ，由极点P 和T 向细线的直线部分作垂线BP 、TW ，而在点B 和W 与直线CV 相交。根据相似图形AS 、SR 的作图法可知，垂线PB 、TW 从CV 切下的长度VB 、VW ，与轮子的直径OA 、OR 相等。因此，TP 与VP 的比，等于BW 与BV 的比，或等于AO ＋OR 与AO 的比，即等于CA ＋CO 与CA 的比，如果BV 被点E 平分，则又等于2CE 比CB 。因此，根据命题49的推论1，细线PT 直线部分的长度，则总与摆线PS 的弧长相等，并且，整条线APT 也总是与摆线APS 的一半相等，根据命题49的推论2，它的长度也等于AR 。反之，如果细线始终与长度AR 相等，那么，点T 将始终沿着给定摆线QRS 运动。
证明完毕。
推论 由于细线AR 与半摆线AS 相等，因此，它与外球半径AC 的比等于半摆线SR 与内球半径CO 的比。
命题51 定理18
如果球面每一处的向心力都指向球体的中心C ，那么，它在所有处所都与中心到处所的距离成正比；当物体T 受该力的作用沿摆线QRS 按上述方法摆动时，其摆动时间全部相等。（如图10-4）
（图10-4）
将切线TW 无限延长，并在延长线上作垂线CX 并连接CT 。由于使物体T 指向C 的向心力与距离CT 成正比，因此，根据运动定律的推论2，可以将其分解为CX 和TX 两部分，力CX 将物体从P 点分离出来并使线PT 收紧，这样，线上的阻力由于被抵消而不再发生作用。但是，另一个力TX 将物体拉向X ，从而使物体在摆线上的运动加速。由于该加速力与物体的加速度成正比，并在每一时刻与长度TX 成正比，因此，也与长度TW 成正比，根据命题39的推论1，与摆线TR 的弧长也成正比。假设由两个摆APT 、Apt 到垂线AR 的直线距离不相等，如它们同时下落，那么，它们的加速度将与所画的弧TR 、tR 成正比。但是，在运动开始时所穿过的那部分则与加速度成正比，即与开始时将要穿过的全部距离成正比，因而将要穿过的余下部分，以及其后的加速度，也与这些部分成正比，也与全部距离成正比，等等。因此，加速度、由加速度而产生的速度，以及由这些速度穿过的部分和将要穿过的部分，均与全部余下的距离成正比。而即将穿过的那部分，在相互间保持一个给定比值后同时消失，也就是说，摆动着的两个物体将同时到达垂线AR 。另外，由于摆从最低处所R 以减速运动沿弧上升，在经过各处所时又受到下落过程中加速力的阻碍，这说明，物体沿相同弧上升和下落的速度相等，其运动经过相同弧长的时间也相等。由于位于垂线两边的摆线RS 和RQ 相似并且相等，因此，在相同的时间里，这两个摆可能完成所有的摆动，或可能只完成了一半的摆动。
证明完毕。
推论 物体T 在摆线的任意处所T 加速或减速的力，与同一物体在最高处所S 或Q 的重量的比，等于摆线TR 的弧长与弧SR 或QR 的比。
命题52 问题34
求证摆在不同处所的速度，以及完成全部摆动和部分摆动所需的时间。（如图10-5、图10-6）
（图10-5）
（图10-6）
以任意中心G 为圆心，以长度与摆线RS 的弧相等的线段GH 为半径作半圆HKM ，其中，半圆被半径GK 等分。如果向心力与处所到中心的距离成正比并指向中心G ，且圆周HIK 上的向心力与球QOS 表面上指向其中心的向心力相等。当摆T 从最高处所S 下落时，在相同时间内，另一物体如L 也从H 下落至G 。由于物体在开始时所受的作用力相等，并总是与即将穿过的空间TR 、LG 成正比，因此，如果TR 等于LG ，那么，处所T 也等于L 。由于这些物体刚开始运动时要穿过相等的空间ST 、HL ，以后，在受相等的力的作用下，物体仍将继续穿过相等的空间。因此，根据命题38，物体经过弧ST 的所需时间与一次摆动时间的比，等于物体H 到达人所用时间弧HI 与物体H 将到达M 所用时间半圆HKM 的比。并且，摆锤在处所T 的速度与它在最低处所R 的速度之比，即物体H 在处所L 的速度与其在处所G 的速度之比，或者说，线段HL 的瞬时增量与线段HG 的瞬时增量之比，等于纵坐标LI 与半径GK 的比，或等于 与SR 的比。因此，由于在不相等的摆动中，在相同的时间里，物体穿过的弧与整个摆动弧长成正比，那么通过给定时间，可以求出物体的所有摆动速度以及所穿过的弧长。这是求证的第一步。
将任意摆锤放在不同球体内的不同摆线上摆动，并且，球体所受的绝对力也不相同。如果任意球体QOS 的绝对力为V ，那么，当摆锤向球体中心做直向运动时，作用于球面上摆锤的加速力，则与摆锤到中心的距离和球体绝对力的乘积成正比，即正比于CO ×V ，而与加速力CO ×V 成正比的线段HY ，可在给定时间内画出。如果作垂线YZ 在点Z 与球体表面相交，那么，新生弧长HZ 即为给定时间。由于这个新生弧长HZ 与乘积GH ×HY 的平方根成正比，因此也与 成正比，而在摆线QRS 上一次的整个摆动时间（它与半圆HKM 成正比，HKM 表示一次全摆动；它与以类似方式表示的给定时间弧HZ 成反比） 将与GH 成正比，与 成反比。由于GH 等于SR 并与 成正比，因此，根据命题50的推论，这个摆动时间也与 成正比。从而，因某种绝对力的驱使，沿所有球体和摆线的摆动，则其变化与细线长度的平方根成正比，与垂悬点到球体中心距离的平方根成反比，也与球体绝对力的平方根成反比。
证明完毕。
推论1 物体的摆动时间、下落时间和旋转时间可以进行相互比较。因为，球内可以划出摆线的轮子直径如果等于球体的半径，那么，这条摆线将演变为通过球心的一直线，摆动将成为沿该直线做上下往返运动，由此即可求出物体从一任意处所下落至球心的时间、物体在任意距离处围绕球心匀速旋转四分之一周的时间。因为，根据情形2，该时间与任意摆线如QRS 上的半摆动的时间之比等于1∶ 。
推论2 根据以上推论，可以推出克里斯多弗雷恩爵士和惠更斯先生在普通摆线方面的发现。如果球体的直径无限增大，球的表面将变为平面，而向心力则将沿垂直于平面的直线方向产生均匀作用，其摆线则将变为普通摆线一样。在这种情况下，位于平面和作图点之间的摆线弧长，则等于相同平面和作图点之间的轮子弧长一半的正矢的4倍，这与克里斯多弗雷恩爵士的发现完全吻合。而惠更斯先生则在很早就证明了：在两条摆线之间的摆，将在相等时间里沿相似且相等的摆线摆动。另外，惠更斯先生还证明了：物体摆动一次的时间同物体的下落时间是相等的。
以上几个已经证明的命题，对分析地球的真实构造非常适用。只要轮子沿地球大圆滚动，那么，轮边的钉子通过运动可以画出一条球外摆线；而在地下矿井和深洞中的摆，则将画出一条球内摆线，这些振动可以在相同的时间里完成。因为，我们在第3编中将要讨论和分析的重力是：距离地球表面上越远，力也变得越小。在地球表面，重力与到地球中心距离的平方根成正比，在地表以下，与到地球中心的距离亦成正比。
命题53 问题35
给定曲线图形面积，求证使物体在相等时间里沿给定曲线摆动的力。
设物体T 沿任意给定曲线STRQ 进行摆动，该曲线的轴为AR ，且过力中心C 。作TX 并在物体T 的任意处所与曲线相切。在切线TX 上，取TY 与弧长TR 相等，该弧长可通过普通方法由图形面积求出。如果在点Y 作直线YZ 与切线垂直，CT 与YZ 相交于点Z ，那么，向心力将与直线TZ 成正比。
证明完毕。
将物体（如图10-7） 从T 拉向C 的力与直线TZ 成正比，如果用直线TZ 来表示该力，那么，该力则可分解为TY 、YZ 两个力，其中一个力YZ 沿细线PT 的长度方向拉住物体，但它并不影响物体的运动，而另一个力TY 将直接沿曲线STRQ 方向对物体的运动产生加速或减速作用。由于该力与将要划过的空间TR 成正比，因此，该力穿过2次摆动的两个成正比部分的物体，其加速或减速也将与这些部分成正比并同时穿过这些部分。在同一时间里，连续穿过这些部分并与整个摆程成正比的部分物体，也将同时完成整个摆动。
（图10-7）
证明完毕。
推论1 如果物体T 由直绳AT 悬挂在中心A ，穿过圆弧STRQ ，受任意向下的平行力作用，该力与均匀重力的比等于弧TR 与其正弦TN 的比，则各种摆动所用的时间相等。由于TZ ＝AR ，且三角形ATN 与三角形ZTY 相似，则TZ ∶AT ＝TY ∶TN 。如果用给定长度AT 来表示均匀重力，那么，使摆动等时的力TZ 与重力AT 的比，等于与TY 相等的弧长TR 与该弧正弦TN 的比。
推论2 （如图10-8）如果通过某种机械将力施加在时钟里的钟摆上，使钟摆能够保持连续的运动，将这种力与重力复合，并使这个合力始终与一直线成正比，如果这条直线等于弧长TR 和半径AR 的乘积与正弦TN 的比，那么，所有摆动都将是等时运动。
（图10-8）
命题54 问题36
给定曲线图形面积，求证物体受任意向心力作用沿平面上过力中心的任意曲线下落或上升的时间。（如图10-9）
（图10-9）
设物体由任意处所S 向下降落，并沿平面上过力中心C 的任意曲线STtR 运动。连接CS ，并将它分为无数相等的部分，设Dd 为其中一部分。以C 为圆心、以CD 和Cd 为半径分别作圆DT 、dt ，并在点T 和点t 与曲线STtR 相交。根据已知的向心力定律，可以给定物体第一次下落的高度CS ，根据命题39，物体在其他任意高度CT 的速度也可以求出。物体穿过线段Tt 的时间与该直线的长度成正比，即与角tTC 的割线成正比，与速度成反比。如果纵坐标DN 与时间成正比，并在D 点与直线CS 垂直，由于Dd 已给定，因此，乘积Dd ×DN ，即面积DNnd ，将与同一时间成正比。如果PNn 是与点N 连接的曲线，其渐近线SQ 与直线CS 垂直，那么，面积SQPND 将与物体下落所穿过直线ST 的时间成正比。因此，求出该面积，也就求出了物体上升或下落的时间。
证明完毕。
命题55 定理19
如果一物体沿任意曲面运动，且该曲面的轴过力的中心，由物体作轴的垂线，并在轴上的给定点作与垂线相等的平行线。那么，由该平行线围成的面积与时间成正比。（如图10-10）
（图10-10）
设BKL 为曲面，T 是围绕曲面运动的物体，STR 是物体在这个表面上穿过的曲线，曲线的起点是S ，OMK 则是曲面的轴，TN 是物体向轴所作的垂线，OP 是由轴上给定点O 作出的与垂线相等的平行线。AP 为旋转线OP 所在平面AOP 上一点P 走过的轨迹，A 是轨迹起点并与点S 相对应，TC 是从物体到中心的直线，TG 是与物体指向中心C 的力成正比的部分向心力，TM 是垂直于曲面的直线，TI 是与物体表面压力成正比的部分力，该力将受到表面上指向M 的力的抵制。PTF 是与轴平行并通过物体的直线，GF 、IH 是由点G 和点I 向PTF 所作的垂线。因此，在运动开始时，通过半径OP 所穿过的面积AOP 与时间成正比。因为，根据运动定律的推论2，力TG 被分解成为力TF 和力FG ，力TI 被分解成为力TH 和力HI ，由于作用在直线PF 直线方向的力TF 、TH 垂直于平面AOP ，因此，除沿垂直于平面的直线方向上的运动之外，它对物体其他方向上的运动不会产生任何改变。所以，只考虑物体在平面方向上的运动，即画出曲线在平面上射影AP 的点P 的运动，就和没有受到力TF ，TH 的作用，而只受到力FG ，HI 的作用一样；即物体受指向中心O 的向心力作用在平面AOP 上作出曲线AP 一样，该向心力等于力FG 与力HI 的和。根据命题1，而受该向心力作用所穿过的面积AOP 则与时间成正比。
证明完毕。
推论 同理，如果一物体受到指向任意相同直线CO 上两个或更多中心的若干力的作用，并在自由空间穿过任意曲线ST ，那么，面积AOP 将总与时间成正比。
命题56 问题37
给定曲线图形面积，给定指向已知中心的向心力规律，给定其轴通过该中心的曲面，求证物体在该曲面上以给定速度沿给定方向离开给定处所将要画出的曲线轨道。（如图10-11）
（图10-11）
保留上述命题的图形，设物体T 从给定处所S 离开，沿给定位置的直线方向进入所要求的曲线轨道STR ，该轨道在平面BDO 上的正射影为AP 。由于物体在高度SC 的速度已给定，它在其他任意高度TC 的速度也就给定。该速度使物体在给定的时间里穿过一小段轨道Tt ，Pp 是Tt 在平面AOP 上的投影，连接Op ，在曲面上以中心T 为圆心并以Tt 为半径画出一小圆，使其在平面AOP 上的投影为椭圆pQ 。由于小圆Tt 的大小已给定，T 或P 到轴CO 的距离TN 或PO 也就给定，而椭圆pQ 的类型、大小，和它到直线PO 的距离也就给定。由于面积POp 与时间成正比，且时间已定，因而角POp 也给定。因此，椭圆和直线Op 的公共交点p ，以及轨道的投影APp 与直线OP 形成的角OPp 也都可以给定。根据命题41和其推论2，曲线APp 也就得以求证。然后，通过若干投影点P 向平面AOP 作垂线，并将垂线PT 在点T 与曲面相交，即可求证出曲线轨道上的若干点。
证明完毕。
