在向心力作用下，物体之间的相互吸引运动
到此为止，我所讨论的运动，全都是关于物体在向心力吸引下，在不动中心的运动。一般来说，在自然界中，存在这种运动的可能性微乎其微，因为，吸引运动通常发生在物体之间。但是，根据定律3，物体的吸引和被吸引作用是相辅相成的，两个物体，无论是吸引者还是被吸引者，都不是真正的静止，而是两个物体之间的相互吸引，并围绕公共重心旋转运动。如果有更多物体，不管它们是受单个物体吸引，或者是它们吸引单个物体，或者是物体之间相互吸引，物体都将进行运动，它们围绕公共重心或者静止，或者沿直线做匀速运动。
现在，我接着讨论物体之间的相互吸引运动，在这里，我把向心力看成是吸引力。其实，从物理学意义上讲，最准确的称呼应该叫推进力。但物理学是将这些命题作为纯数学来讨论，因此，我将吸引力的物理学意义抛在一边，采用人们所熟悉的数学方法来阐述，这样，更容易让读者理解和接受。
命题57 定理20
两个相互吸引的物体，可以围绕共同的公共重心运动，也相互围绕对方运动并画出相似的图形。
由于物体到它们公共重心的距离与物体成反比，因此，物体相互间的比值为给定比值。物体比值的大小，与物体间的全部距离始终保持着一种固定的比率。这些距离以均匀的角运动围绕它们的公共端点旋转，由于位于同一直线上，因此，它们的运动不会改变相互间的倾角。但是，由于直线相互间的比值已给定，它们将随物体围绕其端点在平面做均匀角速度运动，平面相对于它们静止或没有角运动的移动，而直线将围绕这些端点画出完全相似的图形。因此，由这些距离的旋转运动而画出的图形也是相似的。
证明完毕。
命题58 定理21
两个物体如果以某种力相互吸引，并同时围绕公共重心做旋转运动，那么，在相同力的作用下，物体围绕其中一不动物体转动所画出的图形，与物体相互环绕运动所画出的图形相似且相等。（如图11-1、图11-2）
（图11-1）
（图11-2）
设物体S 和P 围绕它们的公共重心C 旋转，从S 运动至T ，从P 至Q 。在给定点s 连续作sp 、sq ，并与SP 、TQ 平行且相等。在点p 围绕不动中心s 做旋转运动画出曲线pqv ，并与物体S 和P 相互环绕所画出的曲线相似且相等。那么，根据定理20，它就与由相同物体围绕其公共重心C 转动所画出的曲线ST 和PQV 相似，因为，直线SC 、CP 和SP 或sp 相互间的比是给定的。
情形1 根据运动定律的推论4，重力的公共中心C 或者静止，或者做匀速直线运动。首先，假设它是静止的，将两个物体分别位于s 和p 点处，位于s 点的是不动物体，位于p 点的是运动物体，这与物体S 和P 的情况大致相同。然后，在点P 和点p 将直线PR 和pr 与曲线PQ 和pq 相切，并将CQ 、sq 延长到点R 和点r 。由于图形CPRQ 、sprq 相似，因此，RQ ∶rq ＝CP ∶sp ，而该比值则为给定比值。如果把物体P 吸引到物体S ，并以受重力中心C 吸引的力，与物体p 受中心s 吸引的力的比值作为给定比值，那么，这些力在相等时间内，将与切线PQ 、pq 的间隔成正比，并将物体从切线PR 、pr 吸引到弧PQ 、pq ，而指向s 的力则将使物体p 沿曲线pqv 旋转，且与物体P 旋转所沿的曲线PQV 相似，这些旋转将在相同时间里完成。由于这些力相互间的比值相等，因此，在相同时间中，物体在切线所画出的图形也相等，而物体通过更大间隔rq 所受到的吸引，则与一个该更大间隔平方根的时间成正比，因为，根据引理10，在运动开始时，物体所经过的距离与时间的平方成正比。假设物体p 与物体P 的速度之比为距离sp 和距离CP 比的平方根，那么，物体间有简单比值的弧pq 、PQ ，则可在与距离平方根成正比的时间里画出，而受相同力吸引的物体P 、p 则将围绕不动中心C 和s 画出相似图形PQV 、pqv ，其中，图形pqv 与物体P 围绕运动物体S 所画的图形相似且相等。
证明完毕。
情形2 假设公共重心和物体相互运动的空间同时做匀速直线运动，那么，根据运动定律的推论6，在这个空间中所有的运动都与情形1相同，物体在相互运动中所画出的图形也与图形pqv 相似并相等。
证明完毕。
推论1 根据命题10，两个相互吸引且力与距离成正比的物体，将围绕其公共重心相互做旋转运动并画出同心椭圆。反之，如果物体能够画出这种图形，那么，物体的力与距离则成正比。
推论2 根据命题11、12、13，两个吸引力与距离的平方成反比的物体，将围绕其公共重心相互做旋转运动并画出圆锥曲线，其焦点在物体环绕的中心。反之，如果物体能够画出这种图形，那么，物体的向心力则与距离的平方成反比。
推论3 两个围绕公共重心做旋转运动的物体，其指向该中心或指向双方的半径所通过的面积与时间成正比。
命题59 定理22
两物体S 和P 围绕公共重心C 做旋转运动，其运动周期与物体P 围绕另一不动物体S 旋转画出相似相等图形的运动周期的比，等于S 的平方根与（S ＋P ）的平方根的比。
因为，根据上述命题的证明，画出任意相似弧PQ 与pq 的时间的比，等于CP 的平方根与SP 或sp 的平方根的比，即等于 比 。利用合比，则可画出所有相似弧PQ 和pq 的时间的和，即画出图形的整个时间是同一个比值，等于S 的平方根与（S ＋P ）的平方根之比。
证明完毕。
命题60 定理23
如果受与距离平方成反比的吸引力的作用，两个物体S 和P 相互绕其公共重心旋转，那么，在相同周期内，由其中一物体P 围绕另一物体S 旋转运动所画出的椭圆的主轴，与由同一物体P 围绕另一静止物体S 旋转所画出的椭圆主轴的比，等于两个物体的和S ＋P 与另一物体S 之间的两个比例中项的前一项。
如果所作椭圆是相等的，那么，根据上述定理，它们周期的时间则与S 和（S ＋P ）的平方根成正比。如果将后一个椭圆的周期时间按相同比值减小，则它们的周期相等。但是，根据命题15，椭圆的主轴将按前一比值的 次方减小，那么，椭圆主轴的立方之比则等于S 与（S ＋P ）的比，因而两个椭圆的主轴之比，则等于（S ＋P ）与S 比（S ＋P ）之间两个比例中项的前一项的比。反之，围绕运动物体所画出的椭圆主轴与绕不动物体画出的椭圆主轴之比，等于（S ＋P ）比（S ＋P ）与另一物体S 之间两个比例中项的前一项。
证明完毕。
命题61 定理24
如果两个物体在任意类型力的作用下相互吸引而不受其他力的干扰和阻碍，并以任意的方式运动，那么，这些运动等同于没有相互吸引；而都同时受到位于它们公共重心的第三个物体的相同力的吸引；如果就从物体到公共中心的距离和到两物体之间的距离方面分析，其吸引力的规律也完全相同。
由于使物体相互吸引的力，在指向物体的同时也指向物体之间的公共重心，因此，这种力与从公共重心处的物体上所发出的力相同。
证明完毕。
由于其中一物体到公共中心的距离，与两个物体之间的距离的比值已经给定，那么，由此可求出一个距离的任意次幂与其他距离的相同次幂的比值，并且，还可求出由距离以任意方式和给定量复合而产生的新量，以及由另一距离和该距离以类似方法复合产生的新量的比值。因此，如果一物体受另一物体吸引的力与物体相互间的距离成正比或反比，或者与该距离的任意次幂成正比，或者与距离以任意方式和给定量复合产生的任意新量成正比，那么，用类似方法将相同物体吸引到公共重心的相同力，就将与被吸引物体到公共中心的距离成正比或反比，或者与该距离的任意次幂成正比，或者与以相同方法由距离和给定量的复合产生的任意新量成正比。从这个意义上讲，吸引力规律对这两种距离都是相同的。
证明完毕。
命题62 问题38
求证相互间吸引力与距离的平方成反比的两个物体，从给定处所下落的运动。
根据上述定理，物体的运动与它们受位于公共重心的第三个力的吸引相同。假设该中心在运动开始时是静止的，那么，根据运动定律的推论4，它将始终处于静止状态。而物体的运动从问题25可知则能由物体受指向该中心的力推动的相同方式求出，在此基础上，即可求出相互吸引的物体的运动。
证明完毕。
命题63 问题39
求证相互间吸引力与距离的平方成反比的两个物体，从给定处所用给定速度沿给定方向的运动。
因为物体开始时的运动已给定，由此可求出公共重心的匀速运动和与该中心同时做匀速直线运动的空间的运动，以及物体在该空间的所有运动。根据前一定理和运动定律推论5，物体在该空间以下方式进行运动，空间和公共重心保持静止，物体相互间由于没有吸引而受位于该中心的第三个力吸引的情况相同。因此，在这个运动空间中，每一个离开给定处所、用给定速度，沿给定方向运动并受向心力作用的物体的运动，都可以通过问题9和问题26而求出，同时，还可求出另一物体绕相同中心所做的运动，如果将该运动与围绕空间旋转的物体的整个系统的匀速直线运动合在一起，即可求出物体在不动空间的绝对运动。
证明完毕。
命题64 问题40
假设物体间的相互吸引力将随物体到中心距离的比值而增加，求证物体间的相互运动。（如图11-3）
（图11-3）
如果前两个物体T 和L 的公共重心为D ，那么，根据定理21的推论1，物体以D 为中心而画出的椭圆的大小，可以通过问题5而求出。
假设第三个物体S 用加速力ST 、SL 吸引前两个物体T 和L ，同时，物体S 也受物体T 和L 的吸引。那么，根据运动定律的推论2，力ST 可分解为力SD 和力DT ，力SL 则可分解为力SD 和力DL 。力DT 、DL ，其合力是TL ，与两物体间的吸引力成正比，将此二力分别加到物体T 和L 上，所以，得到的二合力仍与先前一样分别正比于距离DT 和DL ，只是比先前的力大。根据命题10的推论1，命题4的推论1和推论8，这些合力可以像先前的力那样促使物体画出椭圆，但其运动速度比先前更快。而余下的加速力SD 和SD ，通过运动力SD ×T 和SD ×L ，则同样在平行于DS 的直线TI 、LK 上吸引物体，这种吸引并不改变物体间的相互位置，但会促使物体向直线IK 靠近，该直线IK 通过物体S 的中心并垂直于直线DS 。但是，物体向直线IK 的靠近会受到阻碍，因为，当物体T 和L 处于一边时，物体S 则在另一边以适当的速度绕公共重力中心C 旋转。由于运动力SD ×T 和SD ×L 的和与距离CS 成正比，因此，物体S 在该运动中指向中心C ，并将围绕中心C 画出椭圆。直线CS 与CD 成正比，通过点D 也可画出类似的椭圆。由于物体T 和L 被运动力SD ×T 和SD ×L 吸引，前者被前者吸引，后者被后者吸引，从而一同沿平行线TI 和LK 的方向运动，与前面的论述相同，根据运动定律的推论5和推论6，物体将围绕不动中心D 画出各自的椭圆。
证明完毕。
如果加入第四个物体V ，用同样的理由可以证明：该物体和点C 将围绕公共重心B 画出椭圆，而物体T 、L 和S 围绕中心D 、C 的运动保持不变，但将加快运动速度。如果运用相同的方法，还可以任意增加更多的物体。
证明完毕。
如果物体T 和L 相互吸引的加速力，大于或小于它们按物体距离比例吸引其他物体的加速力，以上情形也仍然成立。如果所有加速力相互间的比等于吸引物体距离的比，那么，根据前一定理可推出：所有物体都将在一个不动平面上，用相同周期围绕它们的公共重心B 画出不同的椭圆。
证明完毕。
命题65 定理25
如果物体的力随物体到中心距离的平方而减小，那么，这些物体将沿椭圆运动，并且，以焦点为半径所穿过的面积与时间几乎成正比。
在上一个命题中，我们证明了物体沿椭圆精确运动的情形。如果力的规律离这种情形的规律越远，那么，物体间运动的相互干扰也就越大。物体间的相互距离如果不保持一定比例，物体就不可能按该命题所假设的规律那样精确地沿椭圆运动。不过，在我后面所阐述的情形中，轨道与椭圆的差别相当小。
情形1 假设有若干小物体以不同的距离围绕某个较大物体旋转，并且，指向每一个物体的力都与它们的距离成正比。根据运动定律的推论4，这些物体的公共重心或者静止，或者做匀速直线运动，假设这些小物体相当小，从而使大物体到中心的距离不能测出，致使大物体以无法感知的误差或者处于静止状态，或者做匀速运动，而小物体则围绕大物体沿椭圆转动，其半径穿过的面积与时间成正比，如果排除大物体到公共重心距离的误差，或者排除由小物体之间的相互作用而引起的误差。小物体可以更加缩小，以致它们的距离和相互间的作用也将小于任意给定值，其运动轨道则为椭圆，而与时间相对应的面积也无不小于任意给定值的误差。
证明完毕。
情形2 假设若干小物体按上述方法围绕一个较大物体运动构成一个系统，或者由两个物体相互环绕构成的二体系统，做匀速直线运动，并同时受较远处另一个大物体上的力作用而向一边倾斜。由于沿平行方向推动物体运动的加速力不会改变物体间的相互位置，它只是在促使各部分保持相互运动的同时，推动整个系统改变其位置，因此，只要加速吸引力均匀，或者没有沿吸引力方向发生倾斜，物体的相互吸引运动就不会因为较大物体的吸引而产生任何变化。假设所有指向大物体的加速吸引力与距离的平方成反比，再把物体的距离增大，一直到它连接其他物体间所作的直线在长度上产生差值，且这些直线相互间的倾角小于任意给定值，那么，该系统各部分的运动将以不大于任意给定值的误差进行。因为，这些部分相互间的距离小，而整个系统就像一个物体一样受到吸引而运动，而它的重心将围绕大物体画出一条圆锥曲线，当吸引力较弱时画出抛物线或双曲线，当吸引力较强时则画出椭圆，而由较大物体指向该系统的半径穿过的面积则与时间成正比，根据本命题的假设，各部分间由距离产生的误差极小，并且可任意减小。
审判伽利略
宗教裁判所的设立就是为了审判与正统教义相违背的异端思想。伽利略的《关于两大世界体系的对话》，是站在“日心说”的角度为哥白尼辩护，其异端思想触犯了《圣经》和教皇，遭到了罗马教廷的控诉和审判。然而，伽利略声称自己关心的是科学问题，而非宗教，竭力区分宗教和科学的关系，认为宗教属于人的道德行为范畴，而科学是探讨人和自然界之间的关系。然而，在宗教势力的迫害下，伽利略最终被迫宣称地球是宇宙静止不动的中心。
证明完毕。
还可以用类似方法来证明其他更为复杂的情形，由此可以推广至无限。
推论1 在第二种情形中，极大物体离二体或多体系统越近，则系统内各部分运动的摄动就越大。因为，该大物体到其他部分间直线的倾斜度增大，其比例的不等性也增大。
推论2 在物体的摄动中，如果系统各部分指向所有大物体的加速吸引力，与到大物体距离的平方不成反比，特别是在该比例的不等性大于部分到大物体距离比例的不等性时，这时的摄动将是最大的摄动。因为，如果沿平行线方向同等作用的加速力没有引起系统各部分运动的摄动，当不能同等作用时，就必定要在某处引起摄动，并且，这种摄动的大小将随着不等性的大小而变化。作用在物体上的较大推动或排斥力的剩余部分不会作用于其他物体，但会改变这些物体的相互位置。如果将该摄动加在物体间由直线不等性和倾斜产生的摄动上，则将使整个摄动更大。
推论3 如果系统的各部分沿椭圆或圆周运动，且没有明显的摄动，这说明它们受到了指向其他任意物体加速力的作用，这时，它们的推动力会非常弱小，或者沿平行线方向近于相等地作用在各部分上。
命题66 定理26
如果三个物体相互吸引的力以它们距离的平方而减小，而任意两个物体对第三个物体的加速吸引力都与物体间距离的平方成反比，且两个较小的物体围绕最大的物体转动，那么，假如最大物体被这些吸引力推动，而不是完全不受较小物体的吸引而静止，或者受到更为强烈的或更为弱小的吸引力，或者受到更为强烈的或更为弱小的推动力时，这两个旋转物体中靠内的一个所作的到最里面的那个最大物体的半径围绕该最大物体穿过的面积与时间的比值更接近于正比，且所画出的图形更接近于椭圆。（如图11-4）
（图11-4）
由前一命题的推论2可以得出这一结论，但也可用一种更为严谨和普遍的方法来论证。
情形1 设小物体P 和S 放在相同平面上围绕最大物体T 旋转，物体P 画出内轨道PAB ，物体S 画出外轨道ESF 。设SK 作为物体P 和S 的平均距离，直线SK 表示物体P 在平均距离处指向S 的加速吸引力。作SL ，使之与SK 的比等于SK 的平方与SP 的平方的比，其中，SL 是物体P 在任意距离SP 处指向S 的加速吸引力。连接PT ，作LM 平行它，并在点M 与ST 相交，那么，根据运动定律的推论2，吸引力SL 可分解为吸引力SM 、LM 。而物体P 则将受到三个吸引力的作用，其中一个力指向T ，来自于物体T 和P 的相互吸引。在该力的单独作用下，物体P 将围绕物体T 运动，并通过半径PT 穿过的面积与时间成正比，画出一个焦点在物体中心T 的椭圆。无论物体T 是否静止，或受吸引力作用而运动，上述运动都会进行，以上结论可以通过命题11及定理21的推论2和推论3推出。另一个力为吸引力LM ，由于它由P 指向T ，则可将它加到前一个力上，根据定理21的推论3可知，该力也使面积与时间成正比，但它与距离PT 的平方并不成反比，因此，当把它加在前一个力上时就会产生复合力，而该复合力将使上述平方反比关系发生变化，相对前一个力而言，复合力的比例越大，其变化也就越大，但在其他方面则不会发生变化。因此，根据命题11和定理21的推论2，画出焦点为T 的椭圆的力应指向该焦点，并且与距离PT 的平方成反比。由于改变此比例的复合力将使轨道PAB 由以T 为焦点的椭圆发生变化，其中，比例关系改变越大，轨道的变化也越大，第二个力LM 相对于前一个力的比例也越大，但在其他方面则没有什么变化。第三个力SM 沿平行于ST 的直线方向吸引物体P ，并与另两个复合成不再由P 指向T 的新力，方向变化大小与第三个力对另两个力的比例相同，相对于另两个力，第三个力的比例越大，其方向变化也就越大，同样，其他方面也不会发生变化。因此，物体P 通过半径TP 所穿过的面积与时间不再是正比关系，相对于另两个力，该力的比例越大，其比例关系的变化也就越大。基于前两种说明，第三个力将增大轨道PAB 由椭圆图形发生的变化，首先，因为该力不是由P 指向T ；其次，它与距离PT 的平方不是反比关系。当第三个力尽可能最小，其他力保持量不变时，面积最接近于与时间成正比。当第二个和第三个力，尤其是第三个力有可能最小，而第一个力保持其量不变时，轨道PAB 则最接近于椭圆图形。
傅科摆
傅科摆是指可自由朝任一方向摆动的单摆。这种摆一旦朝某一方向摆动，除非受到外力干扰，否则会一直摆动。它的摆动路线处于同一平面上，但是由于地球的自转，使得摆在几个小时内就会逐渐改变它的摆动路线。傅科摆的设计正是为了证明地球的自转现象。
用直线SN 表示物体T 指向S 的加速吸引力。如果加速吸引力SM 和SN 相等，那么，加速吸引力将沿平行线方向同等地吸引物体T 和P ，但不改变它们相互间的位置。由运动定律的推论6可知，这两个物体之间的相互运动与没受到吸引力作用时是一样的。同理，如果吸引力SN 小于吸引力SM ，那么，SN 则将SM 的一部分抵消，而剩余的吸引力部分MN 则会干扰时间与面积的正比性，以及轨道的椭圆图形。如果吸引力SN 大于吸引力SM ，则轨道和正比关系的摄动也由力的差MN 产生。在此吸引力SN 总是因为吸引力SM 而减小为MN ，第一个和第二个吸引力则可保持不变。因此，当吸引力MN 为零或尽可能小时，即当物体P 和T 的加速吸引力尽可能接近相等时，或者说当吸引力SN 既不为零，也不小于吸引力SM 的最小值，而是为吸引力SM 最大值和最小值的平均值，即既不极大于也不极小于吸引力SK 时，面积和时间最接近于正比，且轨道PAB 最接近于上述的椭圆图形。
证明完毕。
情形2 设小物体P 、S 放在不同平面上围绕大物体T 旋转。在轨道PAB 平面上沿直线PT 方向的力LM ，其作用就与上述情况相同，不会使物体P 脱离其轨道平面。但另一个沿平行ST 的直线方向作用的力NM ，除引起垂直摄动以外，还会带来横向摄动，并吸引物体P 脱离其轨道平面。这种摄动，在物体P 和T 相互位置已任意给定的情形下，它与力MN 成正比。因此，当力MN 为最小时，即在吸引力SN 既不极大于也不极小于吸引力SK 时，其摄动也变为最小。
证明完毕。
推论1 如果若干小物体P 、S 、R 等围绕一个极大物体T 旋转，当大物体受到其他物体的吸引和推动时，其他物体间也相互吸引和推动时，则在最里面做旋转运动的物体P 所受到的摄动最小。
推论2 一个系统包含着三个物体T 、P 、S ，如果其中任意两个指向第三个的加速吸引力与距离的平方成反比，那么，物体P 在以PT 为半径围绕物体T 穿过面积时，其在会合点A 以及在对点B 附近时的速度，要比在方照点C 和D 附近的速度快。因为，每一种作用于物体P 而不作用于物体T 的力，均不是沿直线PT 的方向作用，根据该力的方向是与运动方向相同还是相反，来对其所穿过的面积进行加速或者减速，这就是力NM 。当物体P 由C 向A 运动时，该力与运动方向相同，因此对物体加速。当到达D 时，该力与运动方向相反，因此对物体减速。直到到达B 点，该力又与运动方向相同，但由B 运动到C ，该力又与运动方向相反。
推论3 同理，在其他条件不变的情况下，物体P 在会合点和对点的运动速度，要比在方照点的速度快。
推论4 在其他条件都不变的情况下，物体P 在轨道在方照点的弯曲度，要比在会合点和对点上的弯曲度大。因为，物体的运动越快，偏离直线路径的程度就越小。在会合点和对点上，力KL 或NM 与物体T 吸引物体P 的力方向相反，从而使该力减小。物体P 受物体T 的吸引越小，物体P 偏离直线路径的程度也就越小。（如图11-5）
（图11-5）
推论5 在其他条件都不变的情况下，物体P 在方照点要比在会合点和对点距物体T 更远，不过，这个结论必须在排除偏心率的变化才能成立。因为，物体P 的轨道如果偏心，那么，当回归点处在朔望点时，其偏心率将达到最大，于是可能会出现这种情况，当物体P 的朔望点趋近于远回归点时，物体P 到物体T 的距离要大于在方照点的距离。
推论6 保持物体P 在轨道上的中心物体T 的向心力，在方照点，该向心力由于力LM 的加入而增强；在朔望点，则因减去力KL 而减弱；由于力KL 大于力LM ，因此，减弱的大于增强的。根据命题4的推论2可知，该向心力与半径TP 成正比，与周期的平方成反比，那么，由于力KL 的作用使合力减小。如果假设轨道PT 的半径保持不变，其周期将增加，并与向心力减小比值的平方根成正比，那么，根据命题4的推论6可知，设半径增大或减少，周期将以半径的 次幂增大或减小。如果中心物体的吸引力逐渐减小，物体P 受到的吸引力将越来越小，并离中心T 越来越远；反之，如果该力逐渐增强，它离中心T 将越来越近。如果使该力减弱的遥远物体S 由于旋转而使作用出现增大或减小，那么，半径TP 也同样会出现增大或减小；由于遥远物体S 作用的增大或减小，周期也将随着半径的比值的 次幂，和中心物体T 的向心力减小或增大比值的平方根所构成的复合比值增加或减小。（如图11-6）
（图11-6）
推论7 根据前面的证明可知，物体P 所画出的椭圆的轴或回归线的轴，将随其角运动交替前进或后退，由于前进多于后退，因此，整个直线运动就是前进的运动。在方照点，力MN 已经消失，将物体P 吸引向物体T 的力是由力LM 和物体T 吸引物体P 的向心力复合而形成。如果距离PT 增大，第一个力LM 也将以近似于以距离的相同比例而增大，而另一个力则以正比于距离比值的平方而减小。因此，这两个力的和的减少小于距离PT 比值的平方。根据命题45的推论1，将使回归线或上回归点向后移动。但在会合点和对点，使物体P 倾向于物体T 的力是力KL 与物体T 吸引物体P 的力之差，由于力KL 以非常近似于距离PT 的比值而增大，因此，该差的减少大于距离PT 比值的平方。根据命题45的推论1，该力的差将使回归线向前移动。在朔望点与方照点之间，回归线的运动由这两种因素共同决定，它用两种作用最强的那个剩余值比例来决定前进或后退。在朔望点的力KL 几乎是在方照点的力LM 的2倍，而剩余力位于力KL 的一方，因此，回归线将向前移动。假设两个物体T 和P 构成的系统每一边都被滞留在轨道ESR 上的若干物体S ，S ，S 等环绕，有了这个假设，该结论和上一个推论就容易理解了。因为，由于这些物体的作用，物体T 在每一边的作用都将被减弱，且减弱的程度大于距离比值的平方。
推论8 回归点的前进或后退取决于向心力的减小，意即当物体从下回归点向上回归点移动时，向心力是大于还是小于距离PT 比值的平方；也是由物体返回下回归点时的向心力类似的增大所决定。因此当上回归点的力与下回归点的力的比，同距离平方的反比之差为最大时，回归点的运动也为最大；当回归点在朔望点，而力的差是KL 或NM -LM 时，其向前运动也就相对较快；而当回归点在方照点时，由于新增的力LM 的作用，其后退则相对较慢。由于前进和后退都将持续很长一段时间，因此，这种不等性也变得相当突出。
推论9 如果物体受一个阻力与它到任意中心距离的平方成反比，绕中心沿一椭圆旋转，在由上回归点落到下回归点时，该力受到一个新力连续作用而增强，并大于距离减小的比值平方。那么，该物体受新力的连续作用而指向中心，比它只受以距离减小比值的平方而减小的力的作用更倾向于中心，而它所画出的轨道较之于原先的椭圆轨道更加靠内一些，在下回归点则更加接近中心。由于新力的作用，该轨道更加偏心。如果当物体从下回归点返回到上回归点，以新力增强的相同比值减小向心力，那么，物体将回到它的原先距离处。如果该力以一个更大的比值而减小，物体受到的吸引则将变小而上升到一个更大的距离处，其轨道的偏心率也将得以增大。如果向心力的增减比值在每一次旋转中都增大，那么，偏心率也同样得以增大；反之，如果该比值减小，其偏心率也将减小。
因此，在包含物体T 、P 、S 的系统中，当轨道PAB 的回归点位于方照点时，增大和减小的比值为最小；而当回归点位于朔望点时，该比值就为最大。如果回归点在方照点，则该比值在回归点附近时小于距离比的平方，而在朔望点附近时，就大于距离比的平方，而由该较大比值即可产生回归线运动。如果考虑上下回归点间整个的增减比值，该比值也小于距离比的平方。而下回归点的力与上回归点的力之比，小于上回归点到椭圆焦点的距离与下回归点到椭圆焦点距离比的平方；反之，如果回归点位于朔望点时，下回归点的力与上回归点的力之比，就大于该距离比的平方。因为，在方照点上，力LM 与物体T 的力复合成一比值较小的力，而在朔望点，力KL 减弱物体T 的力，复合力的比值就更大。因此，上下回归点间整个运动的增减比值在方照点时最小，而在朔望点时最大。回归点在由方照点到朔望点的运动过程中，该比值不断增大，椭圆的偏心率也增大。反之，由朔望点到方照点的运动过程中，该比值持续减小，偏心率也减小。
推论10 我们还可以求出纬度的误差。假设轨道EST 的平面保持不动，根据前面的论述可知，力NM 和力ML 就是产生误差的根本原因。因为，作用于轨道PAB 平面上的力ML 绝不会干扰纬度方向上的运动，而当交点在朔望点，同样作用于相同轨道平面上的力NM ，也不会影响该方向上的运动。但是当交点在方照点时，力NM 就会对纬度运动形成强烈的干扰，并吸引物体P 不断脱离其轨道平面。在物体由方照点到朔望点的过程中，它不断减小平面的倾斜度；而当物体由朔望点向方照点移动时，它又再次增大平面的倾斜度。因此，当物体在朔望点时，轨道平面的倾斜度最小；而当物体到达下一个交会点时，它又会恢复到与原先最相近的值。但是，如果交会点位于方照点后的八分点（45），即在C 和A 之间、D 和B 之间，那么，由刚才说明的原因可知，物体P 由任一交会点向后移动90时，平面的倾斜度也不断减小。不过，在下一个45向下一个方照点移动的过程中，其倾斜度就会增大。随后，再由下一个45向下一个交会点移动时，倾斜度又会减小。因此，当倾斜度的减小多于增大时，后一个交会点总小于前一个交会点。（如图11-7）
（图11-7）
根据类似理由，当交会点位于A 和D 、B 和C 之间的另外一个八分点时，平面倾斜度的增大就多于减小。因此，当交会点在朔望点时，倾斜度为最大。在交会点由朔望点移向方照点的过程中，物体每一次趋近交会点，倾斜度都会减小，当交会点在方照点时，则变成最小。当物体位于朔望点上，其倾斜度也达到最小值，但随即它又会以先前减小的程度而增加，当交会点到达下一个朔望点时，它又会恢复到初始值。
推论11 当交会点在方照点时，物体P 不断受到吸引而逐渐脱离轨道平面。而该吸引力在由交会点C 过会合点A 到交会点D 的过程中指向S ，当吸引力由交会点D 过对应点B 到交会点C 时，其方向相反。因此，在离开交会点C 后的运动中，物体不断脱离其最先的轨道平面CD 直到它到下一个交会点。在该交会点上，物体离原先平面CD 的距离为最大，并不会通过轨道EST 平面上的另一个交会点D ，而是通过离物体S 较近的一个点，且该点即交会点在其原先处所之后的新处所。根据类似理由，当从该交会点向下一个交会点移动时，交会点也将继续后移。所以，当这些交会点位于方照点时，会连续向后移动。而在朔望点时，由于纬度运动没有受到干扰，交会点将保持静止。如果两种处所之间包含了两种因素，交会点后移就比较缓慢。因此，交会点或者逆行，或者静止，或者在每次的旋转中，都向后移动。
推论12 通过上述推论可知，由于产生干扰的力NM 和ML 较大，因此，在物体P 、S 会合点上的误差都略大于对点上的误差。
推论13 通过上述推论可知，误差变化的原因和比例与物体S 的大小无关。因为，即使物体S 足够大并能使物体P 和T 围绕之做旋转运动，仍然会产生误差。由于物体S 的增大使其向心力也增大，并使物体P 的运动误差也随之增大，从而导致在相同距离处，所有误差都大于物体S 绕物体P 和T 系统旋转时所出现的误差。
推论14 当物体S 位于无限远时，力NM 、ML 非常接近于SK 和PT 与ST 的比值并与其成正比，就是说，如果距离PT 和物体S 的绝对力已给定，它与ST 3 成反比；由于力NM 、ML 是上述推论中所有误差和作用产生的原因，因此，如果物体T 和P 与过去相同，只是改变了距离ST 和物体S 的绝对力，那么，所有的这些作用都将非常接近于与物体S 的绝对力成正比，与距离ST 的立方成反比。如果物体T 和P 构成的系统围绕遥远物体S 旋转，那么，根据命题4的推论2，力NM 、ML 将与周期的平方成反比。同样，如果物体S 的大小与其绝对力成正比，那么，力NM 、ML 及其作用将与由物体T 观看无限远物体S 的视直径的立方成正比，反之亦然。因为，这些比值与上述的复合比值完全相同。
推论15 如果保持轨道ESE 和PAB 相互间的形状、比例和相互的倾斜度不变，只改变它们的大小，物体S 和T 的力或者保持不变，或者以任意给定的比例变化，那么，在物体T 上使物体P 偏离直线路径进入轨道PAB 的力，以及在物体S 上使物体P 脱离该轨道的力，将始终以相同的方式和相同的比例发生作用，而所有的这些作用都相似并成比例，并且，这些作用的时间也成比例。也就是说，所有的直线误差都与轨道的直径成正比，而角误差则与以前保持相同，而相似直线误差的时间及相等角误差的时间，则与轨道的周期成正比。
推论16 如果给定轨道的图形和相互间的夹角，而它的大小、力和物体间的距离以任意方式变化，那么，我们就能够从一种情形下的误差和误差的时间，极近似地求得其他任意情形下的误差和误差时间。这个问题可以用下面的简便方法来求证。在其他条件不变的前提下，将力NM 、ML 与半径TP 成正比，那么，根据引理10的推论2，力的周期作用将与力和物体P 周期的平方成正比，而这就是物体P 的直线误差。而在每一次的旋转运动中，它们到中心T 的角误差都是非常近似地与旋转时间的平方成正比。如果将这些比值与推论14中的比值相乘，那么，在物体T 、P 、S 构成的任意系统中，P 在T 的附近非常接近地围绕T 做旋转运动，而T 则以一个较大距离围绕S 旋转。从中心T 进行观察可以发现，在物体P 的每一次旋转中，物体P 的角误差都与物体P 周期的平方成正比，与物体T 周期的平方成反比。因此，回归线的平均直线运动与交会点的平均运动之比是给定值，而这两种运动都与物体P 的周期成正比，与物体T 周期的平方成反比。而轨道PAB 偏心率和倾斜度的增大或减小，不会对回归点和交点的运动产生什么明显影响，当然，这种增大或减小达到相当大的程度时还是会有一定影响的。
推论17 直线LM 有时比半径PT 大，有时又比半径PT 小，用半径PT 来表示力LM 的平均量，那么，该平均力与平均力SK 或SN 的比等于长度PT 与长度ST 的比。使物体T 滞留在环绕S 的轨道上的平均力SN 或ST ，与使物体P 滞留在环绕T 的轨道上的力之比，等于半径ST 与半径PT 的比值，与物体P 绕T 的周期和物体T 绕S 的周期的平方比的复合。因此，平均力LM 与使物体P 滞留在环绕T 的轨道上的力之比，等于周期的平方比。因而周期给定，距离PT 和平均力LM 也给定；而该力给定，通过对直线PT 和MN 的比对，即可非常近似地求出力MN 。
推论18 根据物体P 环绕物体T 旋转的相同规律，假设有很多流动物体在相同距离处环绕T 做旋转运动。这些流动物体的数量众多，以至相互连接形成一个圆环，物体T 是圆环的中心。该圆环各部分在距物体T 较近的地方运动，其运动规律与物体P 的运动规律相同，它们在自己以及物体S 的会合点及对点处的运动速度较快，在方照点处的运动速度较慢。该环的交会点，或者它与物体S 或T 的轨道平面的交点在朔望点时是处于静止状态，但在朔望点之外，它们或者向后移动，或者逆向运动，在方照点时其运动速度最快，在其他地方则相对较慢。该环的倾斜度也在不断发生变化，在每一次的旋转运动中其轴都会发生摆动，但当旋转结束其轴又会回到原来的位置，只有交会点的岁差才使它产生少量的转动。
推论19 假设在球体T 中包含着若干非流动物体，在每一边将其延伸到上述推论中的环形圈处，再沿球体的四周开凿一条蓄满水的水沟。该球体围绕着自己的轴以相同的周期做匀速旋转运动。而水则像前一推论所说的那样，不断被加速和减速，相对于在球面处，水在朔望点时的速度较快，在方照点时的速度较慢，在水沟中，水会形成大海一样的退潮和涨潮。如果将物体S 的吸引力去掉，水流就不会形成涨潮和退潮，而只能是围绕球体中心流动。根据运动定律的推论5和运动定律的推论6，这种情形与球做匀速直线运动并环绕其中心旋转的情形是完全相同的，与球受到直线力匀速吸引的情形也相同。但当物体S 作用于该球体时，由于吸引力的变化，水将产生新的运动。在距该物体较近的地方，水受到的吸引力较大；而在距该物体较远的地方，水受到的吸引力则较小。在方照点，力LM 将水向下吸引，直至到达朔望点；而在朔望点，力KL 又将水向上吸引，并抑制其下落直至到达方照点。这时，水的升降运动要受到水沟方向的引导，而那些由摩擦力引起的少许阻碍可以排除在外。
推论20 如果圆环变硬，球体变小，那么，潮涨和潮落运动就会停止；但倾斜运动和交会点的岁差则将保持不变。设球体与圆环同轴，其旋转时间也相同，球面与圆环内侧接触并连接成一个整体，则球体就参与了圆环的运动，而整体的摆动交会点的向后移动一如前述，与所有作用的影响完全相同。当交会点处在朔望点的位置时，圆环的倾角为最大；在交会点向方照点移动的过程中，该作用使倾斜角逐渐减小，并在整个球体上产生一个新的运动。球体使该运动得以持续进行，直到由圆环的反作用抵消该运动并在反方向引入一个新的运动为止。因此，当交会点处在方照点的位置时，减小倾斜度的运动达到最大值，而在方照点后的八分点处的倾角则为最小值；当交会点处在朔望点时，倾斜运动达到最大值，而在其后八分点处的倾角则为最大。如果一个无圆环球体的赤道地区比其极地地区稍高、稍密一些，其情形就与此完全相同，因为，赤道附近多余的物体将替代圆环。尽管我们可以假设该球体的向心力能够以任意方式增大，并使它的所有部分向下，就像地球上各部分指向中心一样，但这种现象与我们前面的推论很少有变化，只是水位的最大高度和最小高度稍有不同而已。因为这时，水不再靠向心力的作用而滞留在其轨道上，而是靠流动水渠。此外，力LM 在方照点以最大的力量将水向下吸引，而力KL 或NM -LM 则在朔望点以最大的力量将水向上吸引。在这些力的共同作用下，在朔望点前的八分点处，水不再受到向下的吸引，转而开始受到向上的吸引；而在朔望点后的八分点处，水又不再受到向上的吸引，变成了受到向下的吸引。就是说，最高水位大约在朔望点后的八分点处，而最低水位则大约在方照点后的八分点处，只是这些力对水的上升或下降产生的影响，或者因为水的惯性，或者因为水沟的阻碍而有少许的时间延迟。
