推论21 同理，球体赤道地区的多余物体会促使交会点后移，而这种物质的增多将使逆行运动增大，而这种物质的减少则将使逆行运动减少，如果除掉这些物质则逆行运动会停止。因此如果除掉那些多余的物质，就是说，如果赤道地区的物质比极地地区凹陷或物质更加稀少，那么，交会点就会向前移动。
推论22 通过交会点的运动可以了解球体的结构。因为，如果球体的极地保持不变，其交会点将做逆行运动，而赤道附近的物质则相对较多；如果运动是前行的，其物质则相对较少。假设有一均匀和精确的球体，最初是在自由空间中静止，由于受到某种从侧面施加在其表面上的推动力作用，而产生了部分的圆周运动和部分的直线运动。由于该球体与过其中心的所有轴完全相同，它对一个方向的轴比另一方向的轴没有更大偏向性，因此，球体自身的力绝不会改变它的转轴，也不会改变轴的倾角。现在，假设该球体同上述一样，表面相同部分处又受到一个新的推动力的斜向作用，由于该推动力的作用不会因到来的时间不同而发生任何改变，因此，这先后两次到来的推动力冲击而产生的运动，与它们同时到达而产生的运动，其效果完全一样。就是说，根据运动定律的推论2，球体受先后两次推动力冲击而产生的运动，与受由两个复合而成的单个力作用产生的运动完全相同，即产生一个关于给定倾斜度的轴的转动。如果第二次推动力作用于第一次运动中赤道上的任意其他处所，其情形与此完全相同；而第一次推动力作用在第二次推动力产生的运动中的赤道上任意处所，其情形也与此完全相同。就是说，这两次推动力在任意处的效果都是一样的，因为，这些推动力产生的旋转运动，与它们同时作用和依次先后作用在这些由各推动力分别生成的赤道交点上的运动相同。因为，均匀且完美的球体不会保存几种不同的运动，而是将所有的运动复合，从而简化成单一的运动，并且尽可能地围绕一根给定的轴做简单的匀速运动，而轴的倾斜度却始终保持不变。此外，轴的倾角或旋转速度也不会因为向心力而改变。因为，球体如果被通过其中心的任意平面分为两个半球，那么，该向心力则将指向球体中心，并始终同等作用于每个半球之上，因而不会对球围绕其轴的运动有任何改变。但是，如果在极点与赤道之间的某个处所增加一堆像山峰一样的新物质，那么，这堆物质将通过自身脱离运动中心的连续作用而对球体的运动产生干扰，并使其极点在球面上飘荡，围绕自身并在其对点运动中画出圆圈。极点的这种强大的偏移运动不能被更改，除非将山峰立于两极点中的任何一点，在这种情形中，根据推论21，赤道的交会点或者前移，或者立在赤道地区。如果出现这种情形，根据推论20，交会点或者后移，或者出现另外一种情形，即在轴的另一侧增加一个新的物质。这样，山峰就可以做平衡运动，而交会点是前移或者后退，则取决于山峰或新物质是距极点较近，还是距赤道较近。
命题67 定理27
根据相同的吸引力规律，较外部物体S 以半径即伸向内部与物体P 和T 的公共重心O 点的直线，围绕该重心运动所穿过的面积，比它以伸向最里面最大物体T 的半径围绕该物体运动所穿过的面积，更接近于与时间成正比，并且，作出轨道更接近于以其重心为焦点的椭圆的图形。（如图11-8）
（图11-8）
由于物体S 对物体T 和P 的吸引力复合成了绝对吸引力，因此，该力更接近于指向物体T 和P 的公共重心O ，而不是指向最大物体T 。并且，它更接近于与距离SO 的平方成反比，而不是与距离ST 的平方成反比，只需稍微思考一下，即可理解。
证明完毕。
命题68 定理28
根据相同的吸引力规律，最里面最大的物体如果不是完全不受吸引而处于一种静止状态，而是像其他物体一样也受吸引力的吸引，或者受极强和极弱的吸引而产生极强和极弱的运动，那么，最外面的外部物体S ，以到内部物体P 和T 公共重心O 点的直线即半径，关于重心所画过的面积更接近于与时间成正比，其轨道也更接近于以其重心为焦点的椭圆图形。（如图11-9）
（图11-9）
本定理可以用与命题66相同的方法来证明，但这个证明过于冗长，在此，我将它抛在一边而采用一种更加简便的方法。根据前一命题可知，物体S 受到两个力的共同作用而指向中心，且十分靠近其他两个物体的公共重心，如果其中心与该公共重心重合，并且这三个物体的公共重心处于静止状态，那么，物体S 位于其一侧，而另外两个物体的公共重心位于另一侧，它们将围绕该静止公共重心而画出真正的椭圆。如果将命题58的推论2与命题64和命题65进行比较，以上问题即可证明。但是，这种精确的椭圆运动，将会受到两个物体的重心到使第三个物体S 被吸引的中心的距离的少许干扰，其次，还要加上这三个物体的公共重心的运动，其摄动也将得到增加。因此，当三个物体的公共重心静止时，摄动为最小，即当最里面最大的物体T 与其他物质都受到相同吸引时，摄动为最小。而当三个物体的公共重心因物体T 运动的减小而移动，其运动越来越剧烈时，摄动就达到最大值。
推论 如果有更多的小物体围绕一大物体旋转，则不难推知：如果所有物体都受到与绝对力成正比、与距离的平方成反比的加速力的吸引和推动，如果每个轨道的焦点都处在所有较靠内物体的公共重心上（即第一个且最靠内的轨道的焦点处在最大最靠内物体的重心上，第二个轨道的焦点处在最里面两个物体的公共重心上，第三个轨道的焦点处在最里面三个物体的公共重心上，以此类推），与如果最靠内的物体静止且指定为所有轨道的焦点时相比，较小物体所画出的轨道将更接近于椭圆，形成的面积更加均匀。
命题69 定理29
在一个由若干物体A 、B 、C 、D 等构成的系统中，如果这些物体中的任意一个物体比如A ，在与物体距离的平方成反比的加速力的作用下，将剩下的所有物体B 、C 、D 等全部吸引。而另一物体B 也将其余的所有物体A 、C 、D 等全部吸引，物体B 的加速力也与物体距离的平方成反比。那么吸引物体A 和物体B 的绝对力的比，等于这些力所属的物体A 与物体B 的比。
根据假设条件，所有物体B 、C 、D 指向A 的加速吸引力，在距离相等时力也相等。通过类似方法可知，所有指向B 的加速吸引力，在距离相等时力也同样相等。物体A 的绝对吸引力与物体B 的绝对吸引力的比，则等于所有物体指向A 的加速吸引力与在相同距离处所有物体指向B 的加速吸引力的比，也等于物体B 指向A 的加速吸引力与物体A 指向B 的加速吸引力的比。由于物体B 指向A 的加速吸引力与物体A 指向B 的加速吸引力的比，等于物体A 的质量与物体B 的质量的比，因此，根据第2、7、8条定义可知，运动力与加速力和被吸引物体的乘积成正比，根据第三定律，这些力是相等的。因此，物体A 的绝对加速力与物体B 的绝对加速力的比，等于物体A 的质量与物体B 的质量的比。
证明完毕。
推论1 如果在由A 、B 、C 、D 等构成的系统中，每一个物体都在与吸引物体距离的平方成反比的加速力作用下，单独吸引剩下的其他物体，那么，所有物体相互间绝对力的比就是各物体相互间的比。
推论2 根据类似理由，如果在由A 、B 、C 、D 等构成的系统中，每一个物体都在以加速力单独吸引其他物体，该加速力与到被吸引物体距离的任意次幂或者成反比，或者成正比，或者通过任意共同规律，由它到每个吸引物体的距离来确定该力的大小。那么，这些物体的绝对力则与物体本身成正比。
推论3 在一个系统中，物体的力因与距离的平方成正比而减小，如果小物体沿椭圆曲线围绕一个极大的物体旋转，而它们的公共焦点位于这个大物体的中心，所画椭圆图形也十分精确，并且由半径到大物体所穿过的面积也精确地与时间成正比。那么，这些物体相互间绝对力的比，则是精确地或接近等于物体的比，反之亦然。这个定理可以通过将命题68的推论和本命题的第一个推论进行比较后而得到求证。
附注
以上命题，很自然地引导我们把向心力和这些力所指向的中心物体进行比较，因为，我们有理由相信，被指向物体中心的向心力，是由这些物体的性质和量来决定的。这就像我们所做的磁力实验，一旦发生这种情形，我们可以通过在它们之间施加合适的力来计算物体的吸引力，然后算出它们的总和。在这里，我所用的“吸引”一词是广义上的，它可以代表物体相互间靠近的运动企图，无论该企图是来自于物体本身的作用如发射精气相互趋近或作用，还是来自于以太或空气，或任意媒介的相互作用；也无论这些媒介是物质的还是非物质的，均会以任意方式使其中的物体相互靠拢。同样，我所用的“推动力”一词也是广义上的。在本书中，我不想对这些力的类别或物理属性进行定义，我只想对这些力的量与数学的关系加以研究，这正如我们以前在定义中所作的声明。在数学中，我们研究的是力的量以及它们在任意假定条件下的相互关系。而在研究物理学时，则需要将这些关系同自然现象比较，这样才能发现，这些力在哪些条件下与哪些类型的吸引物体相对应。只有一切准备工作就绪之后，才能更好地去了解力的类型、原因和关系。现在，我们进一步讨论，通过哪些力，可以让那些具有吸引能力的部分组成的球体，一定会按照上述方式相互作用，并由此而产生哪些类型的运动。
