球体的吸引力
命题70 定理30
如果指向球面上各点的向心力相等，且此力随着这些点距离的平方减小，那么在该球面内的小球不会受到这些向心力的吸引作用。（如图12-1）
（图12-1）
设HIKL 为球面，小球P 在球面内。过P 向球面作两条直线HK 、IL ，与球面相交得两条极短弧HI 、KL 。由引理7的推论3，因为△HPI 与△LPK 相似，故这两条弧的长与HP 、LP 的长成正比。过P 的两条直线在球面上限定了HI 、KL 两弧，这两条弧之内的所有粒子与这些距离的平方成正比，所以这些粒子作用于球体P 的力相等。反过来因为这些力与粒子成正比，与距离的平方成反比，且这两个比值复合为相等的比值1∶1，故吸引力相等。但因为这些力都两两作用于相反方向，因此力相互抵消。以此类推，整个球面产生的吸引力皆被相反方向的吸引力抵消，因此球体P 完全不受这些吸引力的作用。
证明完毕。
命题71 定理31
在上述相同条件下，若小球作用于球面外，那么使其指向球心的吸引力与其到球心距离的平方成反比。（如图12-2）
（图12-2）
设AHKB 、ahkb 分别是以S 、s 为球心的两个相等球面，直径分别为AB 、ab 。又设P 、p 分别是位于两球面外直径延长线上的小球。过小球P ，p 分别作直线PHK 、PIL 、phk 、pil ，使其在大圆AHB 及ahb 上截取相等的弧HK 、hk 、IL 、il 。并作这些直线的垂线SD 、sd 、SE 、se 、IR 、ir 。设SD 、sd 分别交PL 、pl 于点F 、f ，作直径的垂线IQ 、iq 。令角DPE 、dpe 消失，那么因为DS 与ds 相等，FS 与fs 相等，故可取PE 、PF 与pe 、pf 相等，再取短线段DF 与df 相等。因为在角DPE 和角dpe 同时消失时，它们间的比值是相等的。所以，PI ∶PF ＝RI ∶DF ，pf ∶pi ＝df ∶ri ＝DF ∶ri 。将上两式对应项相乘，得（PI ×pf ）∶（PF ×pi ）＝RI ∶ri 。根据引理3、推论7，可得RI ∶ri ＝弧IH ∶弧ih 。又因为PI ∶PS ＝IQ ∶SE ，ps ∶pi ＝se ∶iq ＝SE ∶iq ，对应项相乘，得（PI ×ps ）∶（PS ×pi ）＝IQ ∶iq 。将上述两个相乘后得到的比例式的对应项再相乘，得（PI 2 ×pf ×ps ）∶（pi 2 ×PF ×PS ）＝（IH ×IQ ）∶（ih ×iq ），即等于当半圆AKB 绕其直径旋转时，弧IH 经过的环面，与当半圆akb 绕其直径ab 旋转时，弧ih 所经过的环面之比。由假设条件可知，作用于球P 、p 球面吸引力是沿着通往球面的直线方向的，且此吸引力与环面本身成正比，与小球到环面的距离的平方成反比，即是等于（pf ×ps ）∶（PF ×PS ）。由定律推论2，这些力与其沿着直线PS 、ps 指向球心部分间的比值等于PI ∶PQ 以及pi ∶pq 。因为△PIQ 与△PSF 相似，且△piq 与△psf 相似，上述比值也等于PS ∶PF 以及ps ∶pf 。将上两个比例式对应项相乘，得作用于小球P 使其指向S 的吸引力与作用于小球p 使其指向s 的吸引力之比等于（PF ×pf × ）∶（pf ×PF × ），即等于ps 2 ∶PS 2 。同理可得，弧KL 、kl 旋转生成的环面吸引小球的力的比也等于ps 2 ：PS 2 。所以只要取sd ＝SD ，se ＝SE ，那么在球面上，被分割的环面作用于小球的吸引力成相同比例。综上理由，整个环面对小球的吸引力也始终是同样的比例。
证明完毕。
命题72 定理32
已知球体密度、球体直径与小球到球心距离的比值，如果指向球体上各点的向心力相同，且这个向心力随着到这些点距离的平方减小，那么球体对小球的吸引力与球体半径成正比。
设两个小球分别受两个球体的吸引力作用，并且它们到对应球心的距离分别与两球体的直径成正比。于是对应于小球所处位置，球体可被分解为相似的粒子，那么指向其中一球体上各点作用于相应小球的吸引力与指向另一球体上各点作用于另一小球的吸引力成复合比例，即与各粒子间的比值成正比，与距离的平方成反比。又因为这些粒子与球（即直径的立方） 成正比，且距离与直径成正比，故第一个比值与最后一个比值的正比的二次反比就是直径与直径间的比值。
证明完毕。
推论1 如果若干个小球绕由同等的吸引物质构成的球体做圆周运动，且小球到球心的距离与它们的直径成正比，那么小球的圆周运动周期相同。
推论2 反之，若圆周运动周期相同，那么距离与直径成正比。这两个推论可运用命题4、推论3证明。
推论3 如果在两个形状相似、密度相同的固体中，指向两固体上各点的向心力相同，且向心力随距离的平方而减小，那么处于相对于两个固体相似位置上的小球受吸引力之比等于两物体直径之比。
命题73 定理33
如果一已知球体上各点向心力相同，且向心力随着到这些点距离的平方而减小，那么位于球体内的小球所受吸引力与其到球心的距离成正比。（如图12-3）
（图12-3）
在以S 为球心的球体ABCD 中，设有一小球P 放入其中。再以同一点S 为圆心，SP 间距离为半径，在ABCD 中作一内圆PEQF 。根据命题70可知，同心球组成的球面差AEBF ，由于吸引力被反向吸引力抵消，对在其上的物体P 不发生作用，因此只剩下内球PEQF 的吸引力，那么由命题72可知内球吸引力与PS 的距离成正比。
证明完毕。
附注
在前几个命题中，我所设想的构成固体的球面并不是纯数学意义上的，而是非常薄的球面，厚度几乎可视为零，于是球面数量增加时，构成球体的球面厚度则无限减小。与之相似地，构成线、面和固体的点也可视为是大小无法测量的相同粒子。
命题74 定理34
相同条件下，若小球位于球体外，那么它所受吸引力与其到球心距离的平方成反比。
设球体分为无数个同心球面，根据命题71，各球面对小球的吸引力与其到球心距离的平方成反比。那么通过求和，吸引力的总和（即整个球体对小球的吸引力） 比值也是相同的。
证明完毕。
推论1 在距球心相同距离处，各个均匀球体的吸引力之比就是球体本身的比。根据命题72，如果距离与球体的直径成正比，那么力的比等于直径的比。设较大的距离按此比值减少，于是当距离相同时，吸引力就按照该比值的平方增加，所以它与其他吸引力之比为该比值的平方，即球的比值。
推论2 在任何距离处的球体吸引力皆与球本身成正比，与距离的平方成反比。
推论3 如果一个小球位于由有吸引力的粒子构成的均匀球体外，这个小球所受吸引力与其到球心距离的平方成反比，那么每粒粒子的力随小球到粒子距离的平方而减小。
命题75 定理35
如果一已知球上各点的向心力相同，且所加向心力随到这些点距离的平方减小，那么另一相似球体也将受它吸引，并且该吸引力与两球心间距离的平方成反比。
根据命题74，每粒粒子的吸引力与其到吸引球的球心距离的平方成反比，因此整个吸引力犹如产生自一个位于球心的小球。但另一方面，此吸引力的大小等于相同小球自身的吸引力，就如同小球本身受吸引球上各点的吸引力的作用时，该吸引力等于它吸引各粒子的力。根据命题74，小球的吸引力与其到球心距离的平方成反比，如果两个球体相同，那么另一个球体所受的吸引力应与球心间距离成反比。
证明完毕。
推论1 如果球体有作用于其他均匀球体的吸引力，那么该吸引力与吸引球体的作用力成正比，与它们的球心到被吸引球球心距离的平方成反比。
推论2 当被吸引球体也产生吸引力时，吸引力的相关比例关系不变。因为如果一个球体上若干点吸引另一球体上若干点，那么此吸引力与其被另一球体吸引的力相同，根据第三定律，在所有吸引作用力中，吸引点与被吸引点都起同等作用，因此吸引力会因吸引物体和被吸引物体间的相互作用而加倍，但比例保持不变。
推论3 当物体绕圆锥曲线的焦点运动时，如果吸引球位于焦点，且物体在球外运动，那么，上述结论仍然成立。
推论4 当运动发生在球体内，且物体绕圆锥曲线的中心运动时，上述结论也能被证明。
命题76 定理36
如果从球体的密度和吸引力方面而言，若干个球体从球心到其表面的各种同类比值都不相似，但是各个球体在到其球心给定距离是相似的，且每点的吸引力随到被吸引物体距离的平方增大而减小，那么这些球体的其中之一吸引其他球体的全部力之和与其到球心距离的平方成反比。（如图12-4）
（图12-4）
设若干个同心球体AB 、CD 、EF 等相似，最里面的球体加上最外面的球体所构成的物质的密度比球心密度更大，或在减去球心后余下物质的密度都是同样稀薄的。根据命题75，这些球体有作用于其他相似同心球体GH 、IK 、LM 等的吸引力，而且每一个对其他一个的吸引力与距离SP 的平方成反比。通过把这些力相加或相减，得所有力的总和或其中一个力减去另一个力的差，即整个球体AB （由所有其他同心球体或它们的差构成） 作用于整个球体GH （由所有其他同心球体或它们的差构成） 的吸引力也与距离SP 成反比，且有相同比值。设同心球体的数量无限增加，使物体密度同时随吸引力沿着球面到球心方向按任意给定规律增加或减少，并把无吸引力物质添加入球体，以补足其不足密度，如此可获得想要的任意形状球体。由上述理由，其中一个球体作用于其他球体的吸引力仍与距离的平方成反比。
证明完毕。
推论1 如果许多这种类型的球体各方面相似，且这些球体相互吸引，那么在任意相等球心距离处，两球体间的加速力均与吸引球体成正比。
推论2 如果上述球体在任意距离不相等处，那么两物体间的加速力与吸引球体成正比，与两球心间距离的平方成反比。
推论3 在相等的球心距离处，运动吸引力（或一球体对另一球体的相对重量）与吸引球以及被吸引球成正比，即与这两个球体的乘积成正比。
推论4 若距离不相等时，则与两个球体的乘积成正比，与两球心间距离的平方成反比。
推论5 如果吸引力由两球体间的相互作用而产生，那么吸引力因两个吸引力的作用而加倍，但比例式仍然保持不变，故此比例式仍成立。
推论6 假设这类球体绕其他静止球体转动，且每个球绕另一个球转动。如果静止球体与环绕球体球心的距离与静止球体的直径成正比，那么这类球体绕静止球体圆周运动的周期相同。
推论7 反之，如果圆周运动周期相同，那么距离与直径成正比。
推论8 在涉及绕圆锥曲线焦点运动时，如果有一任意形状的球体具有上述条件，且位于焦点上，那么上述结论仍成立。
推论9 如果具有上述条件的环绕物质也有作用于球体的吸引力，那么上述结论仍然成立。
命题77 定理37
如果一个球体上各点的向心力与其到被吸引球体的距离成正比，且有两个这类球体相互作用，那么这两个球体的复合吸引力与两球体球心间距离成正比。（如图12-5）
（图12-5）
情形1 设AEBF 是以S 为球心的球体，P 是被其吸引的小球，PASB 是球体的一条轴，且过小球的球心。EF 、ef 是与轴PASB 垂直的两平面，切割球体，并分别与轴交于G 、g ，且GS ＝Sg 。H 为平面EF 上任意一点，点H 沿直线PH 方向作用于小球P 的向心力与PH 的长成正比，那么根据运动定律推论2，沿直线PG 方向的力或朝向球心S 方向的力也与PG 的长成正比。因此平面EF 上所有点（即整个平面） 有一作用于小球P 使之趋向球心S 的吸引力，这个力与PG 间距离和平面上所有点数目的乘积成正比，即与由平面EF 和距离PG 构成的立方体体积成正比。由此类推，平面ef 作用于小球P 使之朝向球心S 的吸引力与该平面和距离Pg 的乘积成正比，即与ef 的相等平面EF 与距离Pg 的乘积成正比，而且两个平面上力的总和与平面EF 和距离PG ＋Pg 之和的乘积成正比，即与该平面和球心到小球距离PS 的两倍的乘积成正比，即与平面EF 的两倍与距离PS 的乘积成正比，再或者与两相等平面EF 、ef 之和乘距离PS 的积成正比。由此类推，整个球体中到球心距离相等的所有平面的力与所有平面之和乘距离PS 的积成正比，即该力与整个球体和距离PS 的乘积成正比。
证明完毕。
情形2 设小球P 也有作用于球体AEBF 的吸引力。如上所证，球体所受吸引力与距离PS 成正比。
证明完毕。
情形3 设另一球体包含无数个小球P ，因每个小球所受吸引力与小球到第一个球体球心的距离成正比，并且与第一个球体本身也成正比，故似乎这个力产生于一个位于球中心的小球。同理，第二个球体中所有小球所受吸引力（即整个第二球所受吸引力） 同样好像产生于一个位于第一个球心的小球，因此该力与两球体中心间距离成正比。
证明完毕。
情形4 设两球体相互吸引，那么吸引力便会加倍，但其比值还是保持不变。（如图12-6）
（图12-6）
证明完毕。
情形5 设小球p 位于球体AEBF 内，因平面ef 作用于小球的吸引力与由平面和距离pg 构成的立方体成正比，而平面EF 上的相反吸引力则与由此平面和距离pG 构成的立方体体积成正比，那么两平面的复合力与两立方体体积的差成正比，即与两相等平面之和乘以一半的距离之差的积成正比，也即是平面之和与小球到球心的距离pS 的乘积。由此类推，整个球体中的平面EF 、ef 的吸引力（即整个球体的吸引力） 与所有平面的和或整个球体成正比，且与距离pS （小球到球体中心的距离） 也成正比。
证明完毕。
情形6 如果一个新球体由无数小球p 构成，且位于第一个球体AEBF 内。同上述情况，可证，不论是一球体吸引另一球体，或两球体相互吸引，此吸引力皆与两球心距离pS 成正比。
证明完毕。
命题78 定理38
如果两球体从球心到表面都不相似或相等，但它们到相应球心的相等距离的地方相似，且各点的吸引力与受吸引小球间距离成正比，那么使两个这类球体相互作用的全部吸引力与两球体中心间的距离成正比。
与命题76可运用命题75证明相同，此命题可运用命题77证明。
推论 如果受吸引球体为上述一类球体，且所有吸引力产生自具有上述条件的球体，这时，以前在命题10及命题64中所证明的物体绕圆锥曲线运动的结论也都成立。
附注
至此我已解释了吸引的两种基本情形：当向心力与距离的平方成反比而减小，或按距离的简单比例而增加，使物体在这两种情况下皆沿圆锥曲线运动，且之后组合为球体，那么就如同球体内各粒子的力一样，其向心力按相同规律随其到球心的距离增加或减少，上述这点非常重要。至于其他情形，其结论并没有如此精练、重要，所以若像论述之前的命题一样详细论述这些情况，就会显得冗长。因此我宁愿用一种普遍适用的方法对下面将论述的情形综合求证。
引理29
如果以S 为圆心作一圆AEB ，再以P 为圆心作两个圆EF 、ef ，此两圆分别交圆AEB 于E 、e ，并与直线PS 交于F 、f 。过E 、e 作PS 的垂线Ed 、ed 。如果假设弧EF 、ef 间距离无限减小，那么趋于零的线段Dd 与同样趋于零的线段Ff 的最后比值等于线段PE 与PS 的比值。（如图12-7）
（图12-7）
如果直线Pe 交弧EF 于点q ，而直线Ee 与趋于零的弧Ee 重合，且其延长线交PS 的延长线于点T 。过S 作PE 的垂线SG ，因△DTE 、△dTe 、△DES 相似，得Dd ∶Ee ＝DT ∶TE ＝DE ∶ES 。根据引理8和引理7的推论3，△Eeq 和△ESG 相似，得Ee ∶eq （或 Ee ∶Ff ）＝ES ∶SG 。将上两项比例式的对应项相乘，得Dd ∶Ff ＝DE ∶SG ，又因为△PDE 与△PGS 相似，得DE ∶GS ＝PE ∶PS ，所以Dd ∶Ff ＝PE ∶PS 。
证明完毕。
命题79 定理39
设表面EFfe 的宽度无限减小，直至为零。而由EFfe 绕轴PS 旋转得一凹凸球状物体，其中相等的各点受到的向心力相等。已知一小球位于点P ，那么物体作用于该小球的吸引力为一复合比值，即立方体DE 2 ×Ff 的比值与位于Ff 上的给定粒子作用于小球的作用力比值的复合比值。（如图12-8）
（图12-8）
弧FE 旋转生成球面FE ，且直线de 交弧FE 于点r 。首先考虑球面FE 产生的力，正如阿基米得在其著作《球体与圆柱体》中所证明的，由弧rE 旋转产生一表面，其环状部分与短线段Dd 成正比，球体PE 的半径保持不变。这个圆锥体表面产生的力朝向PE 或Pr 方向，且此力与环形表面本身成正比，即与短线段Dd 成正比，又或相同地，与球体的半径PE 和短线段Dd 的乘积成正比。但沿直线PS 指向球心S 的这个力小于PD ∶PE 的比值，故与PD ×Dd 成正比。设直线DF 分为无数个相同的粒子，并把每个粒子都称为Dd ，因此由同样道理，表面FE 可被分为无数相等的环面，且这些环上的力与所有乘积PD ×Dd 的和成正比，即与 PF 2 - PD 2 成正比，所以也与DE 2 成正比。又设表面FE 乘以高度Ff ，那么立体EFef 对小球P 的作用力与DE 2 ×Ff 成正比，即如果在力已知的情况下，与任意一给定粒子（如Ff ）在PF 处对小球P 的作用力成正比。但如果此力未知，则立体EFef 的作用力与立体DE 2 ×Ff 和该未知力的乘积成正比。
证明完毕。
命题80 定理40
如果以S 为球心的球体ABE 上各相等部分产生的向心力相等，且有一小球P 在球体直径AB 的延长线上，D 为AB 上任一点。过D 作AB 的垂线，交球体于点E ，则若在这些垂线中取DN 与 的值成正比，且与球体内轴上某一粒子在距离PE 的点对小球P 的作用力成正比，那么球体对小球的全部吸引力与球体ABE 的直径AB 和点N 的轨迹曲线构成的面积ANB 成正比。（如图12-9）
（图12-9）
如果上一定理及引理的画图成立，设球体的直径AB 分为无数个相等的粒子Dd ，且整个球体可相应地分为同粒子数目一样的球体凸薄面EFfe ，过e 作AB 的垂线dn 。根据上一定理可知，EFfe 作用于小球P 的吸引力与一乘积成正比，该乘积即为DE 2 ×Ff 和粒子在距离PE 或PF 处作用于小球的吸引力的乘积。但是根据前一引理又可得，Dd ∶Ff ＝PE ∶PS ，因此Ff 等于 ，且DE 2 ×Ff 等于Dd × ，故EFfe 的力与Dd × 和粒子在距离PF 处的作用力的乘积成正比，即由假设条件，与DN ×Dd 成正比，或者说与趋于零的面积DNnd 成正比，故整个薄面对小球P 的总作用力与所有面积DNnd 之和成正比，即球体的所有作用力与ANB 的面积成正比。
证明完毕。
推论1 如果朝向球体上各点的向心力无论在任意距离都相等，且取DN 与 成正比，那么整个球体作用于小球的所有吸引力与ANB 的面积成正比。
推论2 如果各个粒子的向心力与其到被吸引小球的距离的立方成反比，并取DN 与 成正比，那么球体对小球的吸引力与ANB 的面积成正比。
推论3 如果粒子的向心力与其到被吸引小球距离的立方成反比，并取DN 与 成正比，那么整个球体对小球的吸引力与ANB 的面积成正比。
推论4 通常情况下，假设朝向球体上各点的向心力与V 的值成反比，并取DN 与 成正比，那么球体作用于小球的吸引力与ANB 的面积成正比。
命题81 问题41
条件同上一命题，求ANB 的面积。（如图12-10）
（图12-10）
从P 点作球体的切线PH ，并过切点H 作轴PAB 的垂线HI 。L 为PI 的中点。由《几何原本》第二卷命题12可知，PE 2 ＝PS 2 ＋SE 2 ＋2PS ×SD 。但是因为△SPH 与△SHI 相似，SE 2 或SH 2 等于乘积PS ×SI ，故PE 2 ＝PS ×（PS ＋SI ＋2SD ），即等于PS ×（2SL ＋2SD ），又或是等于PS ×2LD 。又因为DE 2 ＝SE 2 -SD 2 ，或说是DE 2 ＝SE 2 ＋2SL ×LD -LD 2 -LS 2 ，即DE 2 ＝2SL ×LD -LD 2 -LA ×LB 。由《几何原本》第二卷命题6，LS 2 -SE 2 （或 SA 2 ）＝LA ×LB ，故DE 2 可写为2SL ×LD -LD 2 -LA ×LB 。由命题80的推论4， 的值与纵轴DN 的长成正比，而 又可分为三部分，即 - - 。在这个式子中，如果V 用向心力的相反比值代替，PE 以PS 和2LD 的比例中项代替，那么这三个部分就成为相对应曲线的纵轴，其对应曲线面积可用普通方法求出。
例1 如果朝向球体上各点的向心力与距离成反比，V 的值为距离PE ，PE 2 等于2PS ×LD ，则DN 与SL - LD - 成正比。设DN ＝2（2SL -LD - ），那么纵轴的已知部分2SL 乘以AB 的长等于长方形面积2SL ×AB ；而在不确定部分LD 做连续运动时，始终关于其作相同长度的垂线，即在运动过程中通过增减一边或另一边的长度以使其与LD 的长度相等，那可画出面积 ，即从前一面积2SL ×AB 中减去面积SL ×AB 的差SL ×AB 。但是若第三部分在做连续运动时，以相同方法作其长度保持相同的垂线，则可得一个双曲线的面积，此面积是面积SL ×AB 减去所求面积ANB 所得。至此，此问题的作图法得到了（如图12-11） 。过L 、A 、B 分别作垂线Ll 、Aa 、Bb ，并取Aa ＝LB ，Bb ＝LA 。设Ll 与LB 为两条渐近线，过a 、b 作双曲线ab ，那么ba 所围的面积aba 即等于所求面积ANB 。
（图12-11）
例2 如果朝向球体上各点的向心力与距离的立方成反比，换而言之，与距离的立方任意一已知平面的商成正比。设V ＝ ，PE 2 ＝2PS ×LD ，那么DN 与 - - 成正比。因为PS 比AS 等于AS 比SI ，DN 与 - SI - 成正比。如果将这三部分分别与长AB 组合，那么第一部分 将产生一双曲线的面积；第二部分 SI 则产生面积 AB ×SI ；而第三部分 则产生面积 - ，化简得 AB ×SI 。从第一部分的面积中减去第二部分与第三部分面积之和得所求面积ANB ，至此得到本图的作图法（如图12-12） 。过L 、A 、S 、B 分别作垂线Ll 、Aa 、Ss 、Bb ，其中设Ss ＝SI ，以Ll 与LB 为两条渐近线，过s 作双曲线ab ，分别交垂线Aa 、Bb 于a 、b ，那么从双曲线面积AasbB 中减去产生的面积2SA ×SI 即为所求面积ANB 。
（图12-12）
例3 （如图12-12） 如果朝向球体上各点的向心力随其到粒子距离的四次方减小，设V ＝ ，PE ＝ ，那么DN 与 × - × - × 成正比。将这三部分分别与长AB 组合，则生成三个面积： 生成 ； 生成 ；而 生成 。将这三项化简得 、SI 2 、SI 2 ＋ 。第一个面积减去后两个之和得 ，因此，作用于小球使其朝向球心的全部吸引力与 成正比，与PS 3 ×PI 成反比。
由同样方法，可求得位于球体内小球所受吸引力，但若用下一定理则更简便。
命题82 定理41
以S 为球心，SA 为半径的球体中，如果在其中取SI 比SA 等于SA 比SP ，那么位于球体内任意位置I 的小球所受吸引力与球体外P 处小球所受吸引力的比成一复合比例，该比例即为两球到球心的距离IS 、PS 的比的平方根与在点P 、I 指向球心的向心力的比的平方根，这两者的复合比例。（如图12-13）
（图12-13）
若球体上粒子的向心力与其到被吸引小球的距离成反比，那么整个球体对位于I 点小球的吸引力与其对位于P 点小球的吸引力间的比值等于距离SI 比SP 的平方根与位于球心的粒子在I 点的向心力和同一球心粒子在P 点向心力之比的平方根的复合比值，即该吸引力与SI 、SP 之比的平方根成反比。因为前两个比值平方根可复合为相等比值，因此球体在I 、P 点处产生的吸引力相等。根据类似计算，如果球体上粒子的作用力与距离的平方成反比，那么可证I 点处产生的吸引力与P 点处产生的吸引力间的比值等于SP 与球体半径SA 间的比值；如果这些力与距离的立方成反比，那么在I 、P 点处产生的吸引力之比等于SP 2 与SA 2 的比值；而若与距离的四次方成反比，那么则等于SP 3 与SA 3 间的比值。因为在最后一种情形中，P 点产生的吸引力与PS 2 ×PI 成反比，I 点处产生的吸引力与SA 3 ×PI 成反比，而因为已知SA 3 ，所以与PI 成反比。以此方法可以类推至无限。该定理的证明如下：
条件如图12-13所示，小球P 位于球体外任一点，且已知纵轴DN 与 成正比。如果连接IE ，那么任意其他位置的小球，如I 处，其纵轴（其他条件不变） 将与 成正比。设球体上任一点，如点E ，产生的向心力在距离IE 和PE 处的比值为PE n 与IE n 的比值（n 表示PE 和IE 的幂次） ，那么这两个纵轴则变为 和 ，这两者相互间的比值等于PS ×IE ×IE n 与IS ×PE ×PE n 的比值。因为 ＝ ，所以△SPE 和△SEI 相似，得 。将 替换为 ，那么两个纵轴的比值为PS ×IE n 与SA ×PE n 间的比值。但是PS 与SA 的比值等于距离PS 与SI 比值的平方根。而由 ，故IE n 与PE n 的比值等于在PS 、IS 处产生的作用力间比值的平方根。所以纵轴，由纵轴最终围成的面积，以及与该面积成正比的吸引力，这三者间的比值为这三个比值平方根的复合比例。
证明完毕。
命题83 问题42
已知一小球位于球体中心，求该小球对球体上任意一球冠的吸引力。（如图12-14）
（图12-14）
设小球P 位于球心，RBSD 为平面RDS 与球面RBS 围成的球冠。另有一球面EFG 以P 为球心，与DB 交于点F 。球冠被分为BREFGS 和FEDG 两部分。假设此球冠并不单纯是纯粹数学意义上的表面，而是物理表面，其厚度虽存在，但是却无法测量。故设厚度为O ，那么由阿基米德已证明的可得，此表面与PF ×DF ×O 成正比。又设球体上粒子的吸引力与距离的任意次幂成反比（n 为幂次） ，那么根据命题79，表面EFG 对P 的吸引力与 成正比，即与 - 成正比。设垂线FN 与O 的乘积与上述比值成正比，那么由纵轴FN 做连续运动时通过长度DB 所画的面积BDI 与球冠RBSD 作用于小球P 的吸引力成正比。
命题84 问题43
设一小球在球体的任意球冠的轴上，且不在球体的球心上，求此球冠作用于小球的吸引力。
设小球P 位于球冠EBK 的轴ADB 上，且受该球冠的吸引力作用。以P 为球心，PE 为半径作一球面EFK ，且EFK 将球冠分为EBKFE 和EFKDE 两部分。根据定理81可求得第一部分的力，而由定理83则可得另一部分的力，那么这两力之和即为整个球冠EBKDE 的力。
附注
至此，关于球体的吸引力已解释完毕（如图12-15），接下来似乎应该探讨当吸引粒子以类似方法构成其他形状物体时，其吸引规律是怎样的问题。但事实上我并不打算专门讨论它们，因为此类知识在哲学的探讨中并无多大用处，故关于此类知识，只需补充一些与这类物体的力以及由此产生的运动有关的普通定理即可。
（图12-15）
