非球状物体的吸引力
命题85 定理42
如果一物体受到另一物体的吸引力作用，且这个物体和吸引物体接触时产生的吸引力远大于两物体间间隔极小时产生的吸引力，那么在被吸引物体与吸引物体距离增大的过程中，吸引物体中粒子的力按大于粒子间距离的比值的平方减小。
根据命题74，如果吸引力随粒子间距离的平方减小，那么朝向球体的吸引力与距离的平方（即被吸引物体到球心距离的平方） 成反比。但是此吸引力在两物体接触时并不会明显增大，而且如果被吸引物体与吸引物体间距离增大时，其吸引力按一更小比例减小，故吸引力在此过程中也不会增大。因此很明显，本命题适用于关于吸引球体的问题。此外若凹形球体吸引它之外的物体时，本命题也同样适用。而如果物体位于凹形球体内，吸引情形就更为明显，因为由命题70，通过凹形球面空腔传送的吸引力都被反吸引力抵消，故即使是两物体接触，其接触处也无任何吸引作用。现在如果从远离球体和凹形球面接触部分的球体上其他任意部分中取走一部分，并且在其他任意部分添加一部分，那么就能随意改变吸引物体的形状。但是因为这些添加或者取走的部分都距接触部分较远，故两物体接触部分产生的吸引力不会因此有明显的增加，所以该命题适用于所有形状的物体。
命题86 定理43
在吸引物体与被吸引物体间距离增大时，如果构成吸引物体的粒子的力随到粒子距离的立方或大于立方的比值减小，那么相较于两物体间有间隔时（无论该间隔有多么小） 其产生的吸引力，在吸引物体和被吸引物体接触时产生的吸引力要远大于前者。
根据问题41的例2和例3的求解方法可知，当被吸引球体与吸引球体间距离缩小（即被吸引球体朝靠近吸引球体方向运动） ，并且两物体最终接触时，吸引力无限增大。通过比较这些例子和定理可得：无论被吸引小球位于凹形球面外或是凹形球面的空腔内，作用在朝向凹形球面的物体上的吸引力是相同的。而在除了球体和凹形球面接触部分的其他任意部分上添加或取走任意吸引物质，使吸引物体变为任意指定形状，那么可知本命题仍将普遍适用于所有形状的物体。
证明完毕。
命题87 定理44
两个由相同吸引物质构成的物体相似。如果这两个物体分别吸引与本身成正比的两个小球，且这两个小球分别位于与相应物体位置相似，那么小球朝向整个球体的加速吸引力与小球朝向球体粒子的加速吸引力成正比。（此命题中的粒子必须与球体整体成正比，并且处在相似位置上。）
如果物体分为无数位于相似位置且与球体整体成正比的粒子，那么指向一个物体上任意粒子的吸引力与指向另一物体上相对应粒子的吸引力之比，等于指向第一个物体上各粒子的吸引力与指向另一物体上对应各粒子的吸引力之比。由物体的构成可推出，上述比值也等于朝向第一个物体整体的吸引力与朝向第二个球体整体的吸引力之比。
推论1 如果被吸引小球间距离增大时，粒子的吸引力反而按距离的任意次幂的比例减小，那么朝向整个球体的加速吸引力与物体本身成正比，与距离的任意次幂成反比。但是如果粒子的吸引力随其到被吸引小球距离的平方减小，且物体与A 3 和B 3 成正比，那么两物体的立方边与A 和B 成正比，同样地被吸引小球到物体的距离也与A 和B 成正比。由此可得，朝向物体的加速吸引力与 和 成正比，即与物体的立方边A 和B 成正比。而如果这个吸引力随距离的立方减小，那么朝向物体的吸引力与 和 成正比，也就是相等。如果随四次方减小，则吸引力与 和 成正比，即与立方边A 和B 成反比。同理，其他情况也可运用同个方法证明。
推论2 另一方面，如果这种减小只与距离的任意次幂成正比或反比，那么根据相似物体作用于位于相似位置小球的吸引力，可求得粒子在被吸引小球与吸引小球间距离增大时粒子的吸引力减小的比值。
命题88 定理45
如果任意物体上相等粒子的向心力与其到粒子的距离成正比，那么整个球体的力皆指向球体的重心；而若该物体是由相似且相等的物体构成，重心与球体重心重合，那么该球体的力也与命题87中的情况相同。（如图13-1）
（图13-1）
设A 、B 为物体RSTV 上两个粒子，Z 是受RSTV 吸引的任意小球。如果两粒子相等，那么RSTV 对Z 的吸引力与距离AZ 和BZ 成正比。而如果两粒子不相等，那么吸引力则与这两个粒子和AZ 、BZ 成正比，或者可以说这个吸引力与两粒子分别和距离AZ 、BZ 的乘积成正比。设这两个力分别用A ×AZ 和B ×BZ 表示。连接AB ，并在AB 上取一点G 使AG 与BG 之比等于粒子B 与粒子A 之比，那么这个点G 即为两粒子A 、B 的公共重心。根据运动定律推论2，力A ×AZ 可分解为力A ×GZ 和A ×AG ；同理，力B ×GZ 可分解为B ×BZ 和B ×BG 。因为A 与B 成正比，BG 与AG 成正比，故力A ×AG 与B ×BG 的大小相同，但是方向相反，因此这两个力相互抵消。这样就只剩下力A ×GZ 和B ×GZ ，这两个力在点Z 处指向重心G ，并可以复合为（A ＋B ）×GZ ，即复合而成的力好比是将吸引粒子A 和B 置于它们的公共重心G 点上时构成的小球体产生的相同的力。
由此类推，如果增加第三个粒子C ，并将粒子C 产生的力与力（A ＋B ）×GZ （这个力指向重心G ） 复合，那么可得一个指向位于G 的球体和粒子C 的公共重心的力，也即是指向这三个粒子A 、B 、C 的公共重心的力（此公共重心处就好比是将A 、B 构成的小球体和粒子C 置于公共中心G 点时构成的较大球体） ，由此类推，可求得在粒子的数量为无限时的情况。因此，在物体的重心不改变的情况下，任意物体上所有粒子产生的合力等于该物体以球体的形式产生的力。
推论 因为不论吸引物体是何种形状，被吸引物体Z 的运动与吸引物体RSTV 是球体时是相同的，所以不论吸引球体是静止的，还是做匀速直线运动，被吸引物体都会做椭圆运动，椭圆中心即为吸引物体的重心。
命题89 定理46
如果物体由相等粒子构成，且这些粒子产生的力与各粒子间的距离成正比。若将任一小球所受的全部吸引力复合为一个力，那么这个力将指向吸引物体的公共重心，这就如同这些吸引物体在一起构成了一个球体，且其公共重心保持不变。
此命题的证明方法同命题88相同。
推论 无论被吸引物体是何种形状，物体的运动都等同于吸引物体组合在一起构成一个球体，且其公共重心保持不变时的运动。因此，无论吸引物体的公共重心是静止的，还是做匀速直线运动，被吸引物体都做椭圆运动，其中心就是吸引物体的公共重心。
命题90 问题44
若指向任意圆上若干点的向心力相等，且向心力按距离的任意比值增减。垂直于该圆所在平面的直线通过该圆圆心，一个小球位于该直线上任一点。求小球所受的吸引力。（如图13-2）
（图13-2）
在与AP 垂直的平面上，以A 为圆心，AD 为半径作一圆，求作用于小球P 使其朝向这个圆的吸引力。在圆上取任一点E ，连接PE 。在直线PA 上取一点F 使PF 等于PE ，过F 作垂线FK ，使线段FK 与点E 作用于小球P 的吸引力成正比。K 的轨迹为曲线IKL ，交该圆所在的平面于点L ，连接PD 。再在直线PA 上取一点H ，使PH 等于PD ，并过H 作垂线HI ，交曲线IKL 于点I ，那么小球P 所受朝向该圆的吸引力与面积AHIL 和AP 的长的乘积成正比。
在AE 上取一条极短线段Ee ，连接Pe 。分别在PE 、PA 上取与Pe 相等的线段PC 、Pf 。在上述平面上任取一点E ，以A 为圆心，A 、E 距离为半径作一圆。设点E 对小球P 的吸引力与FK 成正比，故点E 作用于小球P 使其朝向点A 的吸引力与 成正比，那么整个圆作用于小球P 使其朝向点A 的吸引力与该圆和 和乘积成正比，而该圆也与半径AE 和Ee 的宽度的乘积成正比。因为PE 与AE 成正比，Ee 与CE 成正比，故该乘积等于PE ×CE 或者是PE ×Ff ，那么该圆作用于小球P 使其朝向点A 的吸引力与 和PE ×Ff 的乘积成正比，即与Ff ×FK ×AP 成正比，或者是与面积FKkf 和AP 的乘积成正比。因此以A 为圆心，AD 为半径的圆作用于小球P 使其朝向圆心A 的全部吸引力之和与面积AHIKL 和AP 的乘积成正比。
证明完毕。
推论1 如果圆上各点的力随距离的平方减小，即若FK 与 成正比，那么面积AHIKL 与 成正比。因此小球P 所受的朝向圆的吸引力与1- 成正比，即这个吸引力与 成正比。
推论2 通常情况下，若距离D 处上各点的力与距离D 的任意次幂成反比，也就是如果FK 与 成正比，从而使面积AHIKL 与 成正比，那么作用于小球P 使之朝向圆的吸引力与 成正比。
推论3 如果圆半径无限增大，且n 大于1，另一项 的值已几乎变为零，那么使小球P 朝向该无限平面的吸引力与PA n -2 成反比。
命题91 问题45
已知一个小球位于圆形物体的轴上，且朝向该圆形物体上各点的向心力相等，证明：小球所受吸引力按距离的某种比例减小。（如图13-3）
（图13-3）
设物体DECG 的轴为AB ，小球P 位于AB 上，受到物体的吸引作用。DECG 被一个垂直于轴的任意圆RFS 分割，该圆的半径FS 在一穿过轴AB 的平面PALKB 上。根据命题90，在FS 上取一条线段FK ，使其长度与作用于小球使其朝向该圆的吸引力成正比。点K 的轨迹为曲线LKI ，分别与最外面的圆AL 和BI 所在的两个平面交于点L 和I ，那么作用于小球P 使其朝向该物体的吸引力与面积LABI 成正比。
推论1 如果物体是由平行四边形ADEB 绕轴AB 旋转而得到的圆柱（如图13-4），且朝向圆柱上各点的向心力与其到这些点距离的平方成反比，那么小球P 所受朝向该圆柱的吸引力与AB -PE ＋PD 成正比。因为根据命题90的推论1，纵轴FK 与1- 成正比。根据曲线LKI 的面积易得：上述值的第一部分乘以长度AB 得面积1×AB ；而另一部分 乘以长度PB 得面积1×（PE -AD ）。以此类推，同一部分乘以长度PA 得面积1×（PD -AD ），乘以PB 与PA 之差AB 得面积1×（PE -PD ），而这个值即为面积之差。从得到的第一个面积1×AB 中减去最后一个面积1×（PE -PD ），那么余下面积LABI 等于1×（AB -PE ＋PD ）。由于该力与这个面积成正比，所以力与AB -PE ＋PD 成正比。
（图13-4）
推论2 若物体P 位于椭圆球体AGBC 外（如图13-5），但是仍在椭圆球体的轴AB 上，那么同样可求出AGBC 对物体P 的吸引力。设NKRM 为圆锥曲线，ER 垂直于PE 。ER 与椭球体相交于点D ，连接PD ，使ER 始终等于PD 。过顶点A 、B 作轴AB 的垂线AK 、BM ，分别交圆锥曲线于点K 、M ，且AK ＝AP ，BM ＝BP 。连接KM ，那么就分隔出面积KMRK 。设S 为椭圆体中心，SC 为其长半轴，所以椭圆体对物体P 的吸引力与以AB 为直径的球体对P 的吸引力间的比值等于 比 。运用同一原理也可算出椭圆体上球冠的作用力。
（图13-5）
推论3 如果小球位于椭圆体内，且在其轴上，那么其所受吸引力与它到球心的距离成正比。无论这个小球位于球体的轴上，还是在其他已知直径上，上述推论都可如下证明。设AGOF 是以S 为球心的椭圆球体，P 是被吸引物体。过物体P 所在的点作一条半径SPA ，两条直线DE 、FG ，其中DE 、FG 分别交椭圆球体于D 和E 、F 和G 。设PCM 、HLN 是两个内椭圆球体的表面，这两个椭圆球体互相相似并且与外椭圆球体共心，并且第一个内椭圆球体过球体P ，交DE 、FG 于B 、C ，而另一个内椭圆球体则交DE 、FG 于H 和I 、K 和L 。设这三个椭圆球体有一条公共轴，且被两边截下的线段部分分别相等，即DP ＝BE ，FP ＝CG ，DH ＝IE ，FK ＝LG 。因为线段DE 、PB 和HI 的平分点是同一点，而FG 、PD 和KL 的平分点也相同，故现在设DPF 和EPG 表示分别根据无限小的对顶角DPF 、EPG 所画的相反圆锥曲线，线段DH 、EI 的长度也为无限小。因为线段DH ＝EI ，被椭圆球体表面切割的两圆锥局部DHKF 和GLIE 之比等于其到物体P 距离的平方，因此作用于小球的吸引力相等。由此类推，如果外椭圆球体分为无数个与其共心且共轴的相似椭圆球体，那么用这些椭圆球体分割平面DPF 、EGCB ，得到的所有粒子在两侧对小球P 的吸引力相等但是方向相反，因此圆锥DPF 的力和圆锥局部EGCB 的力相等，但是因为其方向相反，故两力相互抵消。同理，若所有物质在内椭圆球体PCBM 外时，其力的情形也相同。因此物体P 只受内椭圆球体PCBM 的吸引力。根据命题72的推论3可知，上述吸引力与整个椭圆球体对物体A 的吸引力的比值等于距离PS 与AS 的比值。
命题92 问题46
已知有一吸引物体，求指向该球体上各点的向心力减小的比例。（如图13-6）
（图13-6）
该吸引物体必须是球体、圆柱体或是某些其他的规则物体，那么根据命题80、81和91可求出它对应于某种减少比例的吸引力规律。而通过实验可得在各个距离处的吸引力的大小，那么根据这种方法可推出整个物体的吸引力规律，由此可以得出，物体上各个部分的吸引力减小的比例。
命题93 定理47
如果一物体由相等的吸引粒子构成，且其一边为平面，而其余各边则无限延伸。一个小球位于朝向平面任一侧，且受到整个物体的吸引力作用，而在小球到物体的距离增大时，物体的力按大于距离的平方的任意次幂减小，那么当到平面的距离增大时，整个物体的吸引力随小球到平面距离的某个幂次减小，且该幂次始终比距离的幂指数要小3。
情形1 设LGl 是标界物体的平面（如图13-7） ，且物体位于平面朝向点I 的一侧，再将该物体分为无数个平行于GL 的平面，如mMH 、nIN 、okO 等。首先设被吸引物体C 位于物体外，过C 作垂直于这无数个平面的直线CGHIK 。又设固体上各点的吸引力随距离的幂减小，且其幂次大于或等于3。根据命题90的推论3，任一平面mHM 对点C 的吸引力与CH n -2 成反比。再在平面mHM 上取线段HM ，其长度与CH n -2 成反比，那么该吸引力与HM 成正比。由此类推，在各个平面lGL 、nIN 、oKO 等上取线段GL 、IN 、KO 等，它们的长度分别与CG n -2 、CI n -2 、CK n -2 等成正比，那么这些平面的吸引力与所取线段成正比，因此这些力的总和与所有线段长度的总和成正比，即，整个物体的吸引力与朝OK 方向无限延伸的面积GLOK 成正比。但是由现已知的求面积法，此面积与CG n -3 成反比，故整个物体的吸引力与CG n -3 成反比。
（图13-7）
证明完毕。
情形2 设小球现在位于平面lGL 的另一侧（如图13-8） ，即该小球位于物体内，并且取CK ＝GC 。物体的某一局部LGloKO 在两平行平面lGL 、oKO 之间。设小球位于物体的这个局部的中间，因为平面两侧产生的吸引力相等，但是方向相反，故两个力相互抵消，所以该小球既不受平面一侧的吸引力，也不受平面另一侧的吸引力，而只受平面OK 外物体的吸引力作用。因此根据情形1，该吸引力与CK n -3 成反比，而CG ＝CK ，所以该吸引力与CG n -3 成反比。
（图13-8）
证明完毕。
推论1 如果固体的两边在两个平行的无限平面LG 、IN 上，且固体的一个较远部分无限向KO 延伸，那么整个无限物体LGKO 产生的吸引力与NIKO 产生的吸引力之差即为LGIN 的吸引力。
推论2 因为相较于较近部分的吸引力，物体的较远部分的吸引力太小，故可忽略不计。于是如果移去物体的较远部分，那么当距离增大时，较近部分的吸引力随近似于幂CG n -3 的比例减小。
推论3 如果任意一个有限物体的一边是平面，且这个有限物体对位于该平面中间附近的小球有吸引作用。已知相较于吸引物体的宽度，小球到平面的距离极小，并且该吸引物体由均匀粒子构成，这些粒子的吸引力按大于距离的四次方的比例减小。那么整个球体的吸引力按近似于一个幂的比例减小，该幂的底数为小球到平面的极小距离，且幂的指数比前一个幂的指数小了。但是若构成物体的均匀粒子按距离的三次方减小，则该推论不适用于这种情况，因为，在这种情况下，在推论2中被移开的无限物体的较远部分的吸引力总是大于较近部分的吸引力。
附注
如果一物体受已知平面的垂直吸引力，那么运用已知的运动定律可以求得物体的运动。根据命题39，可以求出物体沿垂直于平面的直线方向朝向平面的运动。而根据运动定律推论2，则可将平行于上述平面的运动与垂直运动复合。相反，如果要求物体所受的垂直吸引力，该垂直吸引力使物体沿任意一个已知的曲线运动，那么这个问题可以运用第三个问题的解法求解。
但是若将纵轴分解为收敛级数，那么运算可以简化。例如底数A 除以长度B 得到一个任意已知角度，那么这个长度与底数A 的任意次幂 成正比。在物体沿纵轴运动时，无论它所受到的是吸引朝向该底的力还是被排斥离开该底的力，这个力始终使物体沿纵轴上端所画出的曲线运动，求物体所受的这个力。假设增加了一个非常小的部分O 进入该底，那么将纵轴 分解为无限级数 ＋ ，并且设该力与这个级数中O 的指数为2的项成正比，即该力与 成正比。因此所求的力与 ，或者是等价地与 成正比。如果在纵轴上端画一抛物线，m ＝2，n ＝1，那么力与已知值2B °成正比，故此时要求的力是一已知值。因此就如同伽利略曾证明的那样，物体在已知力的作用下将沿抛物线运动。但是如果在纵轴上端画一双曲线，m ＝0-1，n ＝1，那么这个力与2A -3 或2B 3 成正比，因此如果物体沿此双曲线运动，那么作用于物体的这个力与纵轴的立方成正比。至此对非球类物体的探讨结束，接下来我将探讨一些目前尚未涉及的运动。
月球诞生理论
如果没有万有引力，宇宙将处于最原始、最无序的状态，到处弥漫着物质尘埃，不存在星球、不存在星系，因为物质是飘散的。因此，可以说宇宙因万有引力而存在，是引力维系了宇宙中星体之间的平衡。图中是月球起源的几种理论。
