受与速度成正比的阻力作用的物体的运动
命题1 定理1
如果一个物体受到阻力的作用，且此阻力与速度成正比，那么物体因受阻力而损失的运动与物体在此过程中运动的距离成正比。
因为在每个相等的间隔时段里，物体损失的运动与速度成正比，即损失的运动与物体在此时段内运动的距离成正比。将这些时段的比值相加，即得物体在整个时间内损失的运动与物体运动的总距离成正比。
证明完毕。
推论假设物体不受重力的作用，并且在没有其他作用力的空间里，物体仅靠惯性力的作用做自由运动。如果已知物体开始时的整个运动，以及在运动一段时间后，物体余下的运动，那么因为这个总距离与已经过的距离之比等于物体开始时的运动与损失的运动之比，所以可求出物体在无限时间内所运动的总距离。
引理1
如果若干个值与它们间的差成正比，那么这几个值将构成连比。
证明如下：设A ∶（A -B ）＝B ∶（B -C ）＝C ∶（C -D ）＝…
换算，得：A ∶B ＝B ∶C ＝C ∶D ＝…
证明完毕。
命题2 定理2
假设物体运动时只受惯性力的作用，并且当物体通过均匀介质时，所受的阻力与其速度成正比。如果将时间分为无数相等的时段，那么物体在每个时段开始时的速度将构成等比级数，并且物体在每个时段里经过的距离与其速度成正比。
情形1 将时间分为相等的极短时段，如果设物体在每个时段的开始受阻力的一次性作用，且所受的阻力与速度成正比，那么在每个时段里速度的减量都与同一个速度值成正比。因此速度与速度间的差值成正比，那么根据第2编引理1，这些速度将成正比，所以如果间隔相等数量的时段就取出相等的任意时段，并将这些部分复合，那么可得：在这些时段开始时的速度与一组连续成正比的项成正比（所成的连续级数是由间隔相同数量的中间项取出的项构成的） 。但是因为这些项的比值是由比值相等的中间项的等比构成，故这些项的比值也相等，因此与这些项成正比的速度所构成的级数为等比级数。设时间分隔的数量无限增加，那么这些时段将趋于零，这样物体受到的推动力将是连续的。那么如果每个相等时段开始时的速度连续成正比，那么此时速度也连续成正比。
情形2 由分比，可得速度的差（即在每个时段里物体损失的速度） 与总速度成正比。但是根据第2编命题1，每个时段里物体运动的距离与物体损失的速度成正比，故该距离也与总距离成正比。（如图1-1）
（图1-1）
证明完毕。
推论 如果两条直线AC 、CH 互成直角，以AC 、CH 为渐近线作双曲线BG ，再作AB 、DG 垂直于渐近线AC 。当物体开始运动时，物体的速度以及介质的阻力都用任意已知线段AC 表示，并且在一段时间后，又用不定线段DC 表示这两个部分，那么时间可以用面积ABGD 表示，而在这段时间内运动的距离能用线段AD 表示。因为，如果随着D 点的运动，此面积与时间一起均匀地增加，那么线段DC 则会以与速度相同的方式按照一等比级数减少。至于在相等时间内物体运动的轨迹线段AC 将按相同的比减少。
命题3 问题1
已知物体在均匀介质中沿某一直线上升或下落时，其所受阻力与它的速度成正比，且物体同时受到均匀重力的作用，求物体在此过程中的运动。
设物体做上升运动（如图1-2） ，直线一侧的任意矩形BACH 表示物体所受的均匀重力，且在物体开始上升时，介质的阻力用直线AB 另一侧的矩形BADE 表示。对成直角的渐近线AC 、CH 过点B 作双曲线BG 分别交垂线DE 、de 于点G 、g 。在时间DGgd 里，上升的物体运动的距离为EG 、ge ；而在时间DGBA 里，物体上升时运动的总距离为EGB 。反之，在时间ABKI 内，物体下降的距离为BFK ；而在时间ki 内，物体的下降距离为KFfk 。因为物体的速度与介质阻力成正比，故在这几个时段内物体的速度分别为ABED 、ABed 、零、ABFI 、ABfi ，且物体在下落时能达到的最大速度为BACH 。
（图1-2）
设将矩形BACH 分为无数个小矩形（如图1-3） Ak 、Ke 、Lm 、Mn 等，相应地，将时间分为与矩形数量相等的时段，则这些时段内产生的速度增量与这些小矩形成正比，那么零、Ak 、Al 、Am 、An 等将与总速度成正比，因此根据假设条件，也与每个时段开始时物体所受的介质阻力成正比。取AC 与AK 之比，或者ABHC 与ABkK 之比等于第二个时段开始时物体所受的重力与阻力之比。从重力中减去阻力，得ABHC 、KkHC 、LlHC 、MmHC 等，它们与每个时段开始时物体所受的绝对力成正比，因此根据定律2，也与速度的增量（用矩形Ak 、Kl 、Lm 、Mn 等表示） 成正比，故由第2编引理1，它们将构成一等比级数。所以如果延长直线Kk 、Ll 、Mm 、Nn 等分别交双曲线于点q 、r 、s 、t 等，那么ABqK 、KqrL 、LrsM 、MstN 等的面积将相等，因此与时间或重力等相等非常相似。但是根据第1编引理7的推论3和引理8，ABqK 和Bkq 的面积之比等于Kq 与 kq 之比，或者是等于AC 比 AK ，即等于在第一个时段的中间时刻物体所受的重力与阻力之比。以此类推，qKLr 、rLMs 、sMNt 等与qklr 、rlms 、smnt 等的面积之比分别等于在第二、三、四等时段中间时刻物体所受的重力与阻力之比。因为相等的面积BAKq 、qKLr 、rLMs 、sMNt 等与重力相似，故面积Bkq 、qklr 、rlms 、smnt 等也与每个时段中间时刻物体所受的阻力相似。那么根据假设条件，这些面积与速度相似，同样也与物体运动的距离相似。取相似量以及Bkq 、Blr 、Bms 、Bnt 等的面积之和，它将与物体运动的总距离成正比，同理，面积ABqK 、ABrL 、ABsM 、ABtN 等与时间成正比。因此在任意时间ABrL 内，物体下落过程中运动的距离为Blr ，而在时间LrtN 内，物体运动的距离则为rlnt 。
（图1-3）
若物体做上升运动，那么命题的证明也与上述证明类似。
证明完毕。
推论1 在物体下落的过程中，物体所能达到的最大速度与在任意已知时段内物体的速度之比，等于连续作用于物体的重力与在该时段末阻碍物体运动的阻力之比。
推论2 如果分隔出的时段按等差级数递增，那么无论是物体在上升过程中的最大速度和速度之和，还是在下降过程中这两速度的差，都将按等比级数减少。
推论3 同样，在相等的时间差内，物体运动的距离按照推论2中相同的等比级数减少。
推论4 物体运动的距离等于两个距离的差，其中一个距离与物体开始下落后所用时间成正比，而另一个则与速度成正比，并且在物体刚开始做下落运动时，这两个距离是相等的。
命题4 问题2
已知在任意均匀介质中，此介质的重力也是均匀的，且垂直指向水平面。如果此介质中的抛射物所受的阻力与它的速度成正比，求此抛射物的运动。（如图1-4）
（图1-4）
假设抛射物自任意点D 沿任意直线DP 方向抛出，开始运动时的速度以长度DP 表示。过点P 作垂直于水平面DC 的直线PC 。在直线DC 上取一点A ，使DA 与AC 之比等于物体开始做上升运动时所受的阻力与重力之比，或者与此比例式等价的DA ×DP 比AC ×CP ，等于物体开始运动时所受的总阻力比重力。以DC 、CP 为渐近线作一任意双曲线GTBS ，它分别与垂线DG 、AB 交于点G 、B ；作平行四边形DGKC ，其中一边GK 交直线AB 于点Q 。取一条线段长N ，使N ∶QB ＝DC ∶CP 。在直线DC 上任取一点R 作其垂线RT ，与曲线交于点T ，分别与直线EH 、GK 以及DP 交于点I 、t 、V 。在垂线RT 上取一点r ，使Vr ＝ ，或相同地取Rr ＝ 。在时间DRTG 里，抛射物将到达点r ，而在此过程中，物体的运动轨迹即为以r 为焦点的曲线DraF 。所以物体将在垂线AB 上的a 点达到最大高度。之后物体将渐渐趋近渐近线PC 。过任意点r 作曲线的切线rL ，那么抛射物在点r 处的速度与曲线的切线rL 成正比。
因为N ∶QB ＝DC ∶CP ＝DR ∶RV ，故RV ＝ ，而Rr （即为RV -Vr 或 ） 等于 。现在设面积RDGT 表示时间，并且根据运动定律推论2，将物体的运动分解为两个方向的运动，其中一个是沿垂直方向，另一个则是沿水平方向。那么因为阻力与运动成正比，则阻力也可相应地分解为方向相反的两部分，且这两个部分的阻力分别与分解出的两个方向的运动成正比。所以根据第2编命题2，物体沿水平方向运动的距离与线段DR 成正比。而根据第2编命题3，物体沿垂直方向运动的高度与DR ×AB -RDGT 成正比，也即是与线段Rr 成正比。但是在物体刚开始运动时，RDGT 的面积等于DR ×AQ 的乘积，因此线段Rr （因为Rr ＝ ，故Rr ＝ ） 与DR 之比等于（AB -AQ 或QB ）比N ，即Rr ∶DR ＝CP ∶DC ，故Rr 与DR 之比等于向上的运动与水平的运动之比（皆是在物体开始运动时） 。因为Rr 始终与高度成正比，而DR 始终与水平长度成正比，那么物体开始运动时，Rr 与DR 之比等于高度与水平长度之比。依此类推，在物体运动的整个过程中，Rr 与DR 之比将始终等于高度与长度之比，因此物体将沿点r 的运动轨迹DraF 运动。
证明完毕。
推论1 因为Rr ＝ ，所以如果延长RT 至点X ，使RX ＝ ，也即为如果作平行四边形ACPY ，连接DY ，DY 交直线CP 于点Z ，并且延长RT 直至RT 与DY 交于点X ，那么Xr ＝ ，因此Xr 与时间成正比。
推论2 如果按等比级数分别取无数条线段CR ，或者等价地取无数条线段ZX ，那么与之数目相等的线段Xr 将构成一个等差级数相对应，所以根据对数表，可以非常容易地画出曲线DraF 。
推论3 如果以D 为顶点作一条抛物线（如图1-5），并将直线DG 向下延长，其正焦弦与2DP 之比等于物体开始运动时所受的全部阻力与重力之比。如果在一个阻力均匀的介质中，物体从D 点处出发，沿直线DP 运动，那么此时物体的运动轨迹则为曲线DraF 。在此过程中，物体的速度等于物体在无阻力介质中从同一点D 出发，沿同一方向运动时的速度，此时物体的运动轨迹则应该为一抛物线。因为在物体开始运动时，此抛物线的正焦弦等于 ，而Vr 等于 或者 。但是如果作一条直线与双曲线GTS 相切于点G ，那么这条直线将与直线DK 平行，故Tt ＝ ，且N ＝ ，因此Vr ＝ ＝ （由于DR 与DC ，DV 与DP 成正比）。正焦弦 ＝ （因为QB 与CK 成正比，DA 与AC 成正比），所以 ＝ 。因此正焦弦比2DP 等于DP ×DA 比CP ×AC ，即等于阻力比重力。
（图1-5）
推论4 如果已知物体开始运动时介质的阻力（如图1-6），且物体以一个已知的速度自任意点D 沿直线DP 方向抛出，那么可求出物体的运动轨迹：曲线DraF 。因为速度已知，所以抛物线的焦点可以很容易地求出。取2DP 与正焦弦之比等于重力与阻力之比，那么由此也可求出DP 。然后在DC 上取一点A ，使CP ×AC 比DP ×DA 等于重力与阻力之比。那么点A 的位置同样可以求出。由上述求得的所有值，因此可以求出曲线DraF 。
（图1-6）
推论5 反之，如果物体的运动轨迹：曲线DraF 已知，那么可求出物体在每一点r 处的速度和介质的阻力。因为CP ×AC 与DP ×DA 的比值已知，那么不但可求出物体开始运动时介质的阻力，也可求出抛物线的正焦弦，故物体开始运动时的速度也可求出。再根据rL 的长度，即可求出在任意一点r 处，与切线成正比的速度，以及与速度成正比的阻力。
推论6 因为2DP 的长度与抛物线的正焦弦之比等于D 点处的重力与阻力之比。随着速度的增加，阻力也会按相同比例增加，而抛物线的正焦弦则按此相同比值的平方增加。那么明显地，2DP 的长度将只按此简单比例增加。因此2DP 的长度始终与速度成正比，并且除非速度改变，否则只是角CDP 的变化，将不会对2DP 的增减有任何影响。（如图1-7）
（图1-7）
推论7 由此得到一种与这个现象近似的求曲线DraF 的方法。运用此方法可以求出抛射物所受的阻力以及物体运动的速度。已知两个抛射物相似且相等，设这两个物体自点D 以相同速度但不同角度抛出，且这两个物体抛出时的角度分别为角CDP 、角CDp ，已知物体落在水平面DC 上的落点分别为F 、f 。在DP 或Dp 上任取一部分线段表示D 点处的阻力，该阻力与重力之比是一个任意比值，用任意长度SM 表示这个比值。于是通过计算，可由假设长度DP 求出DF 和Df 的长度，并且根据此计算结果，可得到 的比值。用它减去实验中得到的实际比值，所得到的差用垂线MN 表示。那么通过不断设定不同的阻力与重力之比SM 之后，重复上述计算过程三次，又可得到不同的差MN 。根据这些差MN ，在直线SM 的一侧画出正差，另一侧则画出负差。而通过得到的不同点N 、N 、N ，作出规则曲线NNN ，此曲线交直线SMMM 于点X ，那么SX 即为所求的阻力与重力在实验中的实际比值。根据此实际比值可计算出DF 的长度。实验中得到的DF 的长度与根据计算得到的DF 的长度的比值等于DP 的实际长度与DP 的假设长度的比值，由此求出DP 的实际长度。根据所求得的值，可求出物体的运动轨迹曲线DraF ，同样也可求出物体在任意一点的速度和阻力。
附注
但是得出物体的阻力与速度成正比这个结论，相较于根据物理实验得到的结论，更大程度上是一个数学假说。在无任何黏度的介质中，物体所受的阻力与物体速度的平方成正比。因为一个物体的移动速度较快，那在较短时间内物体将把与较大速度成正比的运动传递到等量的介质中。由于受到干扰的介质数量较多，那么在相等时间内物体按此比值的平方传递运动。根据运动定律2和运动定律3，阻力与物体传递的运动成正比，因此接下来将探讨在此阻力定律下，物体将做何种运动。
