受与速度平方成正比的阻力作用的物体的运动
命题5 定理3
当物体仅因惯性力的推动在均匀介质中运动时，如果物体所受的阻力与物体速度的平方成正比，并且根据等比级数划分出各个时间段。那么在每个时间段开始时，物体的速度也将构成一个等比级数，此等比级数与时间构成的等比级数的项的顺序相反，但构成级数的各项是相同的，而物体在每个时间段里运动的距离则相等。（如图2-1）
（图2-1）
因为介质的阻力与速度的平方成正比，而速度的减少量则与阻力成正比，那么如果将时间划分为无数个相等的时间段，则在每个时间段开始时物体速度的平方都与相同速度之差成正比。假设这些相等的时间段分别用AK 、KL 、LM 等表示（这些线段都是从直线CD 上取出的） ，分别过点A 、K 、L 、M 等作直线CD 的垂线AB 、Kk 、Ll 、Mm 等。再以互成直角的直线CD 、CH 为渐近线，C 为中心，作双曲线BklmG ，与上述垂线分别交于点B 、k 、l 、m 等，那么可得AB ∶Kk ＝CK ∶CA ，计算后则可得（AB -Kk ）∶Kk ＝AK ∶CA ，等式中对应项交换则有（AB -Kk ）∶AK ＝Kk ∶CA ，因此（AB -Kk ）∶AK ＝（AB ×Kk ）∶（AB ×CA ）。由于AK 和AB ×CA 的值已知，且AB -Kk 与AB ×Kk 成正比，那么最终当AB 与Kk 重合时，AB -Kk 即与AB 2 成正比。以此类推，可得Kk -Ll 与Kk 2 成正比，Ll -Mm 与Ll 2 成正比等。所以线段AB 、Kk 、Ll 、Mm 等的平方与它们相互间的差成正比。又因为前面已证明速度的平方与它们间的差成正比，故这两个级数相似。同样由此可推出，无论是这些线段经过的面积还是这些速度经过的距离，它们构成的级数都与上述级数相似。因此如果用线段AB 表示第一个时间段AK 开始时物体的速度，而第二个时间段KL 开始时的速度则用线段Kk 表示，那么在第一个时间段内物体运动的距离可用面积AKkB 表示。同理，所有余下的时间段开始时物体的速度分别用线段Ll 、Mm 等表示，那么在相应的时间段内物体运动的距离则可用面积Kl 、Lm 等表示。将各部分相加，那么如果AM 表示总时间（即各时间段之和） ，而AMmB 则表示物体运动的总距离（即为各时间段内物体运动的距离的总和） 。现在设将时间AM 划分为AK 、KL 、LM 等部分，从而使CA 、CK 、CL 、CM 构成一个等比级数，那么这些时间部分也将按此等比级数排列，并且相应的时间段内物体的速度AB 、Kk 、Ll 、Mm 等构成的级数为上述等比级数的倒数，同样，物体运动的距离Ak 、Kl 、Lm 等构成的级数也与此级数相等。
证明完毕。
推论1 由此推知，如果取渐近线上任意线段AD 表示时间，以纵轴AB 表示该时间开始时物体的速度，而以纵轴DG 表示该时间结束时物体的速度，临近的双曲线面积ABGD 则表示物体运动的总距离，那么当物体以初速度AB 在无阻力介质中运动时，在相等时间内物体运动的距离可以用乘积AB ×AD 表示。
推论2 已知一物体在无阻力介质中以速度AB 做匀速运动，根据推论1，此物体运动的总距离可以用乘积AB ×AD 表示。因为物体在阻碍介质中运动的距离与在无阻力介质中运动的距离之比等于双曲线面积ABGD 与乘积AB ×AD 之比，故可由此比例式求出物体在阻碍介质中运动的距离。
推论3 由此也可求出介质的阻力。如果一个物体在无阻力介质中运动时受到一个均匀向心力的作用，这个力使物体在时间AC 里获得下落速度AB 。当物体开始在阻碍介质中运动时，假设所受阻力等于此均匀向心力。如果作直线BT 与双曲线相切于点B ，并与渐近线交于点T ，那么线段AT 等于AC ，它表示均匀分布的阻力将速度AB 全部抵消所用的时间。至此可求出介质的阻力。
推论4 如果介质中存在重力作用，或其他已知的向心力，那么可求出介质中阻力与重力（或其他向心力）之比。
推论5 反之亦然。如果已知阻力与任意已知向心力之比，则可以求出时间AC （在此时间段内，与阻力相等的向心力产生出一个与AB 成正比的任意速度）；由此也可以求出点B 。以CH 、CD 为渐近线作一通过点B 的双曲线，那么可求出当物体在均匀介质中以速度AB 开始运动时，在任意时间AD 内物体运动的距离ABGD 。
命题6 定理4
如果若干个均匀的球体都相等，在它们运动时仅受惯性力的推动作用且所受阻力与速度的平方成正比，那么在与初始速度成反比的时间内，球体运动的距离相等，且在此过程中损失的速度与总速度成正比。（如图2-2）
（图2-2）
以互成直角的直线CD 、CH 为渐近线，作一任意双曲线BbEe ，分别与垂线AB 、ab 、DE 、de 交于点B 、b 、E 、e 。设初始速度用垂线AB 、DE 表示，时间用线段Aa 、Dd 表示。因此根据假设条件，Aa ∶Dd ＝DE ∶AB ，而根据双曲线性质，也可得Aa ∶Dd ＝CA ∶CD 。上两式组合，得Aa ∶Dd ＝Ca ∶Cd 。因此两球体运动的距离ABba 与DEed 相等，而它们的初始速度AB 、DE 则分别与末速度ab 、de 成正比。所以相减得，球体的总速度与其损失的速度（AB -ab ）和（DE -de ）成正比。
证明完毕。
命题7 定理5
如果球体所受的阻力与速度的平方成正比，且一时间段与初始运动成正比，而与初始阻力成反比，那么在此时间段内，球体损失的运动与总运动成正比，且此过程中运动的距离与该时间和初速度的乘积成正比。
因为球体损失的运动与阻力和时间的乘积成正比，因此损失的这部分运动应与总运动成正比，且运动与阻力和时间的乘积成正比，故时间与运动成正比，与阻力成反比。按此比值划分出时间段，那么在此时间段内，物体损失的运动始终与总运动成正比，因此余下的速度也始终与初速度成正比。因为速度的比值已知，所以球体运动的距离与初速度和时间的乘积成正比。
证明完毕。
推论1 无论均匀球体以何种速度运动，只要速度相等的球体所受的阻力与其直径的平方成正比，那么在球体运动的距离与其直径成正比时，球体损失的运动与总运动成正比。因为每个球体的运动与它的速度和质量的乘积成正比，即与速度和直径立方的乘积成正比。根据假设条件，阻力与直径立方和速度平方的乘积成正比。而根据本命题，时间与阻力成正比，与直径立方和速度平方的乘积成反比。因此如果距离与时间以及速度都成正比，那么也与直径成正比。
推论2 如果若干个均匀球体以任意相同速度运动，且它们所受的阻力与直径的 次幂成正比，那么当球体运动的距离与直径的 次幂成正比时，球体损失的运动与总运动成正比。
推论3 通常情况下，如果若干个均匀球体以任意速度运动，其运动速度都相等，且它们所受的阻力与直径的任意次幂成正比，那么球体损失的运动与总运动成正比时，球体运动的距离与直径的立方除以该指数成正比。设两个球体的直径分别为D 和E ，且当速度相等时，阻力分别与D n 和E n 成正比，那么当球体的任意速度运动并且损失的运动与总运动成正比时，这两个球体运动的距离与D 3-n 和E 3-n 成正比。因此剩余速度相互间的比值等于它们的初速度间的比值。
推论4 如果球体不均匀，密度较大的球体运动距离的增加与密度成正比。因为如果球体的速度相等，那么运动与密度成正比，而根据此命题，时间的增加与球体的运动成正比，球体运动的距离则与时间成正比。
推论5 如果球体在不同的介质中运动，那么在其他条件相同时，球体在产生阻力最大的介质中运动的距离按该较大阻力之比减小。因为根据此命题，时间将按阻力增加的比减小，并且距离与时间成正比。
引理2
任一生成量的矩等于下面这三项的乘积之和：各生成边的矩，这些生成边的幂指数以及生成边的系数。
将一任意量称为生成量，如果这个量不是由若干项相加或相减产生的，而是在算术上由若干项相乘、相除或求平方根等产生的；在几何中则通过求容积和边，或者是由求比例外项和比例中项形成的。此类生成量包括乘积、商、方根、矩形、立方体、边的平方和立方，以及其他与此类似的量。在这里，这些生成量会随着不间断的运动或流动而增加或减少，因此可将这些量视为是变化的，以及不定的。而“矩”的含义，即为这些量的瞬间增减量，故矩的增加量可称为增加矩或正矩，而矩的减少量则称为减少矩或负矩。但是应该注意的是，有限小量并不属于此范畴。有限小量不是矩，而是由矩产生的量，因此应将有限小量视为才产生的初生部分。而且在此过程中，我们视为初生的量应为初始比值而不是矩的大小。如果用速度的增减量（也可称为量的运动、变化和流动） ，或者用任意与这些速度成正比的有限量来代替矩，实际效果是一样的。而生成边的系数则指的是生成量除以该生成边所得到的量。
所以此引理的含义是，如果任意量A 、B 、C 等随不间断的流动而增减，它们的矩或者与它们成正比的速度的变化率，用a 、b 、c 等表示，那么生成量AB 的矩或变化率为aB ＋bA ，而乘积ABC 的矩则等于aBC ＋bAC ＋cAB ，因此生成幂A 2 、A 3 、A 4 、 、 、 、 、A -1 、A -2 、 的矩分别为2aA 、3aA 2 、4aA 3 、 、 、 、 、-aA -2 、-2aA -3 、 ，总之，任意次幂 的矩等于 。同理，生成量A 2 B 的矩则等于2aAB ＋bA 2 ；生成量A 3 B 4 C 2 的矩等于3aA 2 B 4 C 2 ＋4bA 3 B 3 C 2 ＋2cA 3 B 4 C ；而生成量 或者A 3 B -2 的矩则等于3aA 2 B -2 -2bA 3 B -3 等；以此类推。引理可以这样证明：
情形1 如果任意一个矩形，如AB ，在不间断流动的过程中增大，那么当边A 和边B 分别仍缺少一半的矩 a 和 b 时，AB 的矩等于（A - a ）·（B - b ），或者为AB - aB - bA ＋ ab ，但是一旦边A 和B 补足这半个矩时，矩形的矩将等于（A ＋ a ）·（B ＋ b ）或者AB ＋ aB ＋ bA ＋ ab 。将补足后矩形的矩减去补足前矩形的矩，余下的部分为aB ＋bA 。因此当边的增量分别为a 和b 时，生成的乘积的增量等于aB ＋bA 。
情形2 假设AB 始终等于G ，那么根据情形1，容积ABC （或可用GC 表示） 的矩等于gC ＋cG 。如果用AB 和aB ＋bA 分别代替G 和g ，那么该矩等于aBC ＋bAC ＋cAB ，并且不论该乘积有多少变量，矩的求法都与此相同。
情形3 假设边A 、B 、C 始终相等，那么A 2 ，即乘积AB 的矩aB ＋bA 将变为2aA ；而A 3 ，即容积ABC 的矩aBC ＋bAC ＋cAB 变为3aA 2 。由此类推，A 的任意次幂A n 的矩将变为naA n -1 。
情形4 因为 乘以A 等于1，那么 的矩乘以A ，加上 乘以a 所得到的和就是1的矩，也即是为0。所以 ，或可写为A -1 的矩等于 。并且在通常情况下，因为 乘以A n 等于1，故 的矩乘以A n ，再加上 乘以naA n -1 等于零。所以 或A -n 的矩等于 。
情形5 因为 乘以 等于A ，根据情形3， 的矩乘以2 等于a ，故 的矩等于 或 aA -2 。并且在一般情况下，设 等于B ，那么A m 等于B n ，因此maA m -1 等于nbB n -1 ，且maA -1 等于nbB -1 或者 ，所以 等于b ，也即是等于 的矩。
情形6 无论任意生成量A m B n 的幂指数是整数还是分数，正数还是负数，A m B n 的矩等于A m 的矩乘以B n ，再加上B n 的矩乘以A m ，也即等于maA m -1 B n ＋nbB n -1 A m 。
证明完毕。
推论1 当量连续成正比时，如果其中一项已知，那么剩余项的矩与所取的项乘以此项和已知项间的间隔项数成正比。设A 、B 、C 、D 、E 、F 连续成正比，如果项C 已知，那么剩余项的矩相互间的比值为-2A 、-B 、D 、2E 、3F 。
推论2 如果在四个连续成正比的项中，两个中间项已知，那么端项的矩与这两个端项成正比。同理，该推论也适用于任意已知乘积的变量。
推论3 如果两平方的和或差已知，那么变量的矩与该变量成反比。
附注
在1672年12月10日，我曾写过一封信给约翰·科林斯先生。在信中，我描述了一种作切线的方法。据我猜测，此方法与司罗斯当时尚未发表的方法相同。这封信的部分内容如下：这是一种普遍适用的方法的特例，更精确点说，是一个推论。它可以轻易推广到几何学以及力学中，作出任意曲线的切线，或者是直线和其他类型曲线的切线，而不需要任何困难的计算，并且它也可以用来解决关于弯曲率、面积、长度、曲线重心等深奥的问题。此方法与许德的求最大值和最小值的方法不同，许德的方法只适用于方程中不含有不尽根时，而把我的方法和他的方法联合起来求解方程，则可以将方程中的不尽根转化为无限级数。
命题8 定理6
如果物体在均匀介质中受到均匀重力的作用沿一条直线做上升或下落运动，将物体运动的总距离划分为若干个相等的部分，并且在物体上升或下落的过程中，根据情况在重力中加上或减去阻力，使各部分的起点与绝对力相对应，那么这些绝对力将构成一个等比级数。（如图2-3）
（图2-3）
假设重力用确定线段AC 表示，阻力用不定线段AK 表示，那么物体下降过程中的绝对力则为这两者之差KC 。用线段AP 表示物体的速度，因为AP 是线段AK 和AC 的比例中项，故速度与阻力的平方根成正比。在给定时间内阻力的增量用短线段KL 表示，而同一时间段内速度的增量则用短线段PQ 表示。以C 为中心，互成直角的直线CA 、CH 为渐近线，作任意双曲线BNS ，分别与垂线AB 、KN 、LO 交于点B 、N 、O 。因为AK 与AP 2 成正比，AK 的矩KL 与AP 2 的矩2AP ×PQ 成正比，即是与AP ×KC 成正比。根据运动定律2，速度的增量PQ 与产生PQ 的力KC 成正比。假设将KL 的比值乘以KN 的比值，那么乘积KL ×KN 与AP ×KC ×KN 成正比，乘积KC ×KN 已知，那么乘积KL ×KN 与AP 成正比。但是当点K 与L 重合时，双曲线面积KNOL 与乘积KL ×KN 的最终比值将变为1。因此此时趋于零的双曲线面积KNOL 与AP 成正比，且始终与速度AP 成正比的面积部分KNOL 构成了整个双曲线面积ABOL ，故此双曲线面积本身与物体以此速度运动的距离成正比。现在设面积分为若干个相等的部分ABMI 、IMNK 、KNOL 等，那么与面积相对应的绝对力AC 、IC 、KC 、LC 等将构成等比级数。
依此类推，当物体做上升运动时，在点A 的另一侧取相等的面积ABmi 、imnk 、knol 等，那么可得绝对力AC 、iC 、kC 、lC 等连续成正比。因此如果物体上升或下落的过程中，将物体运动的距离分为若干个相等的部分，那么所有的绝对力lC 、kC 、iC 、AC 、IC 、KC 、LC 等将连续成正比。
证明完毕。
推论1 如果双曲线面积ABNK 表示物体运动的距离，那么线段AC 即表示重力，AP 表示物体的速度，而AK 则表示介质阻力。反之亦然。
推论2 当物体无限下落时，物体能达到的最大速度用线段AC 表示。
推论3 如果对应于任意已知速度的介质阻力已知，通过假设阻力与该已知速度的比值等于重力与该已知阻力的比值的平方根，可求出物体在下落过程中能达到的最大速度。
命题9 定理7
条件与命题8相同，如果分别作一个圆的扇形和一个双曲线的扇形，并取两个扇形的角的正切与速度成正比，再取一个适当大小的半径，那么物体上升到最高点所需时间与圆扇形成正比，而从最高点下落所用时间则与双曲线扇形成正比。（如图2-4）
（图2-4）
假设线段AC 表示重力，过点A 作AC 的垂线AD ，使线段AD 等于线段AC 。以D 为圆心，AD 为半径作一个四分之一圆AtE 。再以AK 为轴，A 为顶点，DC 为渐近线，作一直角双曲线AVZ 。作直线DP 、Dp 。如果圆扇形AtD 与物体上升到最高点所用时间成正比，而双曲线扇形ATD 则与自最高点下落所需时间成正比，那么这两个扇形的正切Ap 、AP 皆与速度成正比。
情形1 在部分重合的扇形ADt 和三角形ADp 内作直线Diq 切割出矩或最小部分tDv 和qDp （这两个部分是物体同时经过画出的） 。因为角D 是两部分的公共角，且这些部分与边的平方成正比，那么扇形tDv 与 成正比，因为tD 的值是确定的，所以tDv 即与 成正比。但是pD 2 ＝AD 2 ＋Ap 2 ，即pD 2 ＝AD 2 ＋AD ×Ak ，或者是pD 2 ＝AD ×Ck ，且qDp ＝ AD ×pq 。因此扇形的一部分tDv 与 成正比，故与速度的减小量pq 成正比，而与使物体速度减慢的力Ck 成反比，因此tDv 与对应于速度减量的时间段成正比。通过相加可推知，直到不断减小的速度Ap 趋于零，然后消失；否则与速度Ap 损失的每个小部分对应的时间段的总和与扇形ADt 中tDv 的总和成正比，即整个扇形ADt 与物体在上升过程中运动到最高点所用时间成正比。
情形2 在扇形DAV 和三角形DAQ 中，作直线DQV 切割出最小部分TDV 和PDQ ，那么这两个小部分互相的比值等于DT 2 与DP 2 的比值。如果TX 与AP 平行，那么这两个小部分的比值即等于DX 2 比DA 2 或者TX 2 比AP 2 。上两式对应项相加减，得（DX 2 -TX 2 ）∶（DA 2 -AP 2 ）。但是根据双曲线的性质可知，DX 2 -TX 2 ＝AD 2 ，而根据假设条件AP 2 ＝AD ×AK ，因此这两部分间的比值等于AD 2 比（AD 2 -AD ×AK ），化简得：AD 比（AD -AK ）或者AC 比CK 。故扇形中的部分TDV 等于 。因为AC 与AD 是确定值，所以TDV 与 成正比，即TDV 与速度的增量成正比，与产生此速度增量的力成反比，因此与产生此速度增量的对应时间段成正比。对应项相加，得速度AP 产生所有部分PQ 所用时间的总和与ATD 的总和成正比，换而言之，即总时间与整个扇形成正比。
证明完毕。
推论1 如果AB 等于四分之一AC ，物体在下落过程中运动的总距离用面积ABNK 表示，而时间用面积ATD 表示，那么在下落过程中物体在任意时间段内经过的距离与在相同时间内，物体以最大速度AC 做匀速运动时经过的距离之比等于ABNK 与ATD 之比。因为AC ∶AP ＝AP ∶AK ，那么根据引理2的推论1，LK ∶PQ ＝2AK ∶AP ，也即是LK ∶ PQ ＝2AP ∶ AC ，由此得LK ∶PQ ＝AP ∶AC （或AB ），且KN ∶AC （或AD ）＝AD ∶CK 。上两式的对应项相乘，得LKNO ∶DPQ ＝AP ∶CK 。但是因为DPQ ∶DTV ＝CK ∶AC ，故LKNO ∶DTV ＝AP ∶AC ，即等于下落物体的速度与下落过程中物体达到的最大速度的比值。面积ABNK 的矩为LKNO ，面积ATD 的矩为DTV ，因为LKNO 和DTV 都与速度成正比，并且相同时间内产生的所有面积之和与物体在相同时间内运动的距离成正比，所以在物体开始下落后，产生的整个面积ABNK 以及ADT 与物体下落时经过的总距离成正比。
推论2 在物体上升的过程中，物体运动的距离也与推论1的情况相同，即总距离与相同时间内物体以匀速AC 运动的距离的比值等于面积ABnk 与扇形ADt 的比值。
推论3 在相同的时间ATD 内，物体下落的速度与物体在无阻力介质中运动时获得的速度的比值等于三角形APD 与双曲线扇形ATD 的比值。因为在无阻力介质中，物体的速度与时间ATD 成正比，而在阻碍介质中，速度则与AP 成正比，也即是与三角形APD 成正比。在物体开始下落时，这两个速度是相等的，同样，此时ATD 与APD 的面积也相等。
推论4 同理，在相同时间内，物体上升的速度与物体在无阻力空间中能完全失去其整个上升运动的速度的比值等于三角形ApD 与圆扇形AtD 的比值，或者等于线段Ap 与弧At 之比。
推论5 当物体在阻碍介质中做下落运动时，达到速度AP 所需时间与物体在无阻力空间中下落时，达到最大速度AC 所用时间的比值，等于扇形ADT 与三角形ADC 的比值。并且当物体在有阻碍介质中做上升运动时，物体损失了速度Ap ，那么损失速度Ap 所需时间与物体在无阻力介质中上升时，损失相同速度Ap 所用时间之比等于At 弧的切线Ap 与弧At 之比。
推论6 如果时间已知，那么可根据时间求出物体上升或下落时运动的距离。因为根据第2编定理6的推论2和推论3可求出在物体无限下落时所达到的最大速度，而根据此最大速度则可求出下落的距离；当物体在无阻力空间内下落时，物体要达到此最大速度所需的时间也可求出。根据已知的时间与刚求出的时间之间的比值，取扇形ADT 或ADt ，使ADT 或ADt 与三角形ADC 之比等于此比值。根据这个等式，即可求出速度AP 或者Ap ，以及面积ABNK 或ABnk 。之前的推论中求出的物体在已知时间内以最大速度做匀速运动时经过的距离，因为所求距离与此距离的比值等于面积ABNK 或ABnk 与扇形ADT 或ADt 的比值。因为在这个比例式中的另三项都已求出，故据此可得出所求的距离。
推论7 反之，如果已知物体上升或下落时运动的距离ABnk 或ABNK ，那么可反向推导求出时间ADt 或ADT 。
命题10 问题3
已知垂直指向水平面的重力是均匀的，且阻力与介质密度和速度平方的乘积成正比。若因为介质中各点的密度不同而使物体沿确定曲线运动，那么求介质中各点的密度，介质阻力，以及各点处物体的速度。（如图2-5）
（图2-5）
设平面PQ 垂直于纸面，曲线PFHQ 与直线PQ 交于P 、Q 两点。在物体沿曲线PFHQ 从P 点运动到Q 点的过程中，物体经过G 、H 、I 、K 四点。分别过这四点作四条平行的纵轴GB 、HC 、ID 、KE ，在水平线上的落点分别为B 、C 、D 、E 四点。假设这四条纵轴的间距BC 、CD 、DE 相等。分别过点G 、H 作直线GL 、HN 与曲线相切于点G 、H ，且分别交纵轴CH 、DI 的延长线于L 、N 。连接H 、C 、D 、M 四点，得到一平行四边形HCDM 。那么在物体经过弧GH 、HI 所用时间里，物体从切点处下落的高度则为LH 、NI ，而物体经过弧GH 、HI 所用时间与LH 和NI 的平方根成正比，速度则与经过的长度GH 、HI 成正比，与时间成反比。设时间分别用T 、t 表示，则速度可用 和 表示，那么在时间t 内减少的速度则为 。这个速度减量是由妨碍物体运动的阻力以及推动物体运动的重力相复合产生的。正如伽利略曾证明过的，在物体下落的过程中，若将经过距离NI 时物体所受的重力用来产生一个速度 ，那么这个速度可以使物体在相同时间内经过的距离二倍于NI 。但是如果物体沿着弧HI 运动，那么该作用力将只会使运动的弧增长HI -HN 或者 ，因此只能产生速度 。假设将这一速度与上述速度减量 相加，可求出阻力独自作用于物体时产生的速度减量，即 - ＋ 。因为在相同时间内，重力独自作用于下落物体时产生的速度为 ，故阻力与重力之比等于（ - ＋ ）∶ ，或者化简得（ -HI ＋ ）∶2NI 。
现在设横坐标CB 、CD 、CE 分别为-o 、o 、2o ，纵坐标CH 为P ，MI 为任意级数Qo ＋Ro 2 ＋So 3 ＋…。而在该级数中，除开第一项的其余项即Ro 2 ＋So 3 ＋…用NI 表示，那么纵坐标DI 、EK 、BG 则分别为P -Qo -Ro 2 -So 3 -…，P -2Qo -4Ro 2 -8So 3 -…，P ＋Qo -Ro 2 ＋So 3 -…。取纵坐标的差BG -CH 的平方，再加上BC 的平方，则得到弧GH 的平方（BG -CH ）2 ＋BC 2 ，即为oo ＋QQoo -2QRo 3 ＋…，所以它的根 即为弧GH 。而取纵坐标的差CH -DI 的平方，再加上CD 的平方，则得到弧HI 的平方（CH -DI ）2 ＋CD 2 ，即为oo ＋QQoo ＋2QRo 3 ＋…，那么弧HI 即为 。
并且从纵坐标CH 中减去纵坐标BG 与DI 之和的一半，得到的余下部分Roo 即为弧GI 的正矢，它与线段LH 成正比，因此也与无限小的时间T 的平方成正比。而同理从纵坐标DI 中减去纵坐标CH 与EK 之和的一半，得到的余下部分Roo ＋3So 3 即为弧HK 的正矢，此正矢与NI 成正比，因此它与无限小的时间t 的平方成正比。于是 与 或者与 成正比。在式子 -HI ＋ 中代入刚才求出的值 、GH 、HI 、MI 、NI ，得 。因为2NI 等于2Roo ，所以阻力与重力之比等于 ∶2Roo ，也即等于 ∶4RR 。
而速度则可这样求出，在真空中，一个物体自任意点H 出发，沿切线HN 方向开始运动的轨迹曲线为一抛物线，其直径为HC ，通径则为 或者 ，物体沿此抛物线运动的速度即为所求速度。
阻力则与介质密度和速度平方的乘积成正比，故介质密度与阻力成正比，与速度的平方成反比，换而言之，即与 成正比，与 成反比，所以与 成正比。
证明完毕。
推论1 如果将切线HN 向两边延长，交纵坐标AF 于点T ，那么 。因为从上述证明过程中可知， 可用来代替 ，所以阻力与重力之比等于（3S ×HT ）∶（4RR ×AC ），速度则与 成正比，而介质密度与 成正比。
推论2 依此类推，如果与通常情况相同，用底或者横坐标AC 与纵坐标CH 的关系来定义曲线PFHQ ，且将纵坐标的值分解为一个收敛级数，那么本问题可以利用该级数的前几项简单地求解。下面的例子将演示此方法。
例1 已知曲线PFHQ 是以PQ 为直径的半圆，若在一介质中物体沿此曲线PFHQ 运动，求这个介质的密度。
已知A 点为曲线PQ 的中点，令AQ 为n ，AC 为a ，CH 为e ，CD 为o ，那么DI 2 或AQ 2 -AD 2 ＝nn -aa -2ao -oo ，或ee -2ao -oo ，用我们的方法求出根，得到DI ＝e - - - - - -…，令nn ＝ee ＋aa ，则等式可化为DI ＝ee - - - -…
在这个级数中，我用下列方法区分连续的项，即：不包含无限小量o 的项称为第一项，包含o 的一次方的项为第二项，包含o 的二次方的项为第三项，而含有o 的三次方的项为第四项，按此规律类推到无限的项。在这里，第一项是e ，代表以不定量o 为起点的纵轴CH 的长度，第二项是 ，代表CH 与DN 的差，也即是被平行四边形HCDM 切割出的短线段MN ，通过取MN ∶HM ＝ ∶o 或a ∶e ，可推知第二项总是决定了切线HN 的位置。第三项是 ，代表位于切线和曲线之间的短线段IN ，它决定了切角IHN 的角度，或者曲线的在H 处的曲率。如果短线段IN 是一个有限量，那它由第三项以及第三项之后的无限个项共同决定。但是，如果短线段IN 无限减小，直到相较于第三项，后面的项的值都无限小，那么后面的项就都可以忽略。第四项决定曲率的变化，第五项决定第四项变化的变化，等等（顺便指出，此解法是基于曲线的切线和曲率，但级数在此方法中的应用也是不能忽略的） 。
现在试比较e - - - -…与P -Qo -Roo -So 3 -…。如果P 、Q 、R 、S 分别用e 、 、 、 代替， 用 或 代替，那么可得介质的密度与 成正比，因为n 的值是确定值，故介质密度与 或 成正比，也即是与切线段HT 的长度成正比（此切线段是水平线PQ 的半径AF 切割直线NH 的延长线所得） 。而阻力与重力之比等于3a 比2n ，即等于3AC 与直径PQ 之比，那么速度则与 成正比。因此如果已知物体以点F 为起点，沿平行于PQ 的直线方向以一适当速度抛出，且介质中各点H 的密度与切线HT 的长度成正比，点H 处物体所受的阻力与重力之比等于3AC 比PQ ，那么物体将沿四分之一圆FHQ 运动。
但是，如果同一物体它从点P 沿着与PQ 垂直的直线方向抛出，此时物体的运动轨迹应为半圆PFQ 。相较于物体从F 点出发时的运动，此时如果要表示此运动轨迹，则应在圆心A 的另一侧取AC 或a ，因此它的符号应随之改变，即用-a 代替＋a ，于是相应地介质密度与 成正比。但是，因为自然界中并不存在负密度，换句话说，就是不存在会推动物体运动的密度，故该密度不可能使物体自动做以P 点为起点的上升运动，更不可能使物体一直沿着四分之一圆PF 运动。所以为了使物体能做上升运动，物体应是在一个有推动力的介质中得到该推动物体运动的力，而不是在一个阻碍介质中被阻碍。
例2 已知曲线PFQ 是以AF 为轴的抛物线，且AF 垂直于水平线PQ 。如果一个介质的密度使位于其中的抛射体沿此曲线运动，求该介质的密度。（如图2-6）
（图2-6）
根据抛物线的性质，乘积PQ ×DQ 等于纵轴DI 与某确定线段的乘积。换而言之，如果假设该确定直线为b ，PC 为a ，PQ 为c ，CH 为e ，以及CD 为o ，那么（a ＋o ）与（c -a -o ）的乘积等于ac -aa -2ao ＋co -oo ，即等于b 与DI 的乘积，因此DI ＝ ＋ ×o - 。现在用此级数中第二项 ×o 代替Qo ，而用第三项 代替Roo 。因为在这之后已经没有多余的项了，故第四项的系数S 为零，因此与介质的密度成正比的量 的值也为零。所以，正如伽利略曾证明的那样，只有当介质的密度为零时，物体的运动轨迹才为一条抛物线。
例3 已知曲线AGK 是以直线NX 为渐近线的双曲线，且NX 垂直于水平面AK 。若一介质的密度使抛射体沿此双曲线运动，求这个介质的密度。（如图2-7）
（图2-7）
设MX 为双曲线的另一条渐近线，与纵轴DG 的延长线相交于点V 。根据双曲线的性质可得，XV 与VG 的乘积已知，同样也可知DN 与VX 的比值，因此可求出DN 与VG 的乘积。假设此乘积为bb ，作平行四边形DNXZ ，并设BN 为a ，BD 为o ，NX 为c ，已知的比值VZ 与ZX （或相等的线段DN ） 之比为 。则DN ＝a -o ，VG ＝ ，VZ ＝ ×（a -o ），而GD （或与之相等的线段NX -VZ -VG ） ＝c - ＋ - 。假设项 分解为收敛级数 ＋ ＋ ＋ ＋…，那么GD ＝c - - ＋ - - - -…，而该级数的第二项 等于Qo 。若将第三项的正负符号改变，那么第三项 则为Ro 2 。而若将第四项 o 3 改变符号，则为So 3 ，这三项的系数 ， 和 即为例2中的Q 、R 、S 。由上面所求得的量，可得介质密度与 （或将此式化简，即 ）成正比。
换而言之，如果在直线VZ 上取一点Y ，使VY ＝VG ，因为aa 和 - ＋ 分别是线段XZ 和YZ 的平方，所以介质密度与 成正比。已知阻力与重力之比等于3XY ∶2YG 。当物体的运动轨迹为一抛物线时，且此抛物线以G 为顶点，DG 为直径， 为通径，那么该物体的运动速度与本题中物体的速度相等。因此假设介质中各点G 的密度与距离XY 成反比，而且在任意点G 处物体所受的阻力与重力之比等于3XY 比2YG ，则当物体以A 为起点，并以一适当速度运动时，该物体将沿此双曲线AGK 运动。
例4 假设以X 为中心，MX 和NX 为渐近线作双曲线AGK ，以MX 和NX 为边作矩形XZDN 。已知矩形的一边ZD 交双曲线于点G ，与双曲线的渐近线交于点V ，VG 与ZX （或DN ）的任意次幂成反比（即与幂指数为n 的幂DNn 成反比） 。若一介质的密度使抛射体沿此双曲线运动，求这个介质的密度。
设BN 、BD 、NX 分别用A 、O 、C 代替，并且VZ ∶XZ （或 DN ）＝d ∶e ，VG ＝ ，则DN ＝A -O ，VG ＝ ，VZ ＝ （A -O ），所以GD （或 NX -VZ -VG ）＝C - A ＋ O - 。假设项分解为一个无限级数 ×O ＋ ×bbO 2 ＋ ×bbO 3 ＋…
那么GD ＝C - - ＋ - ×O - ×bbO 2 - ×bbO 3 ＋…，此级数中第二项 即为Qo ，第三项 为Roo ，第四项 ×bbO 3 则为So 3 。于是在任意点G 处的介质密度 等于 。因此，如果在直线VZ 上取一点Y ，使VY ＝n ×VG ，那么因为A 2 是XZ 的平方，而 是ZY 的平方，所以介质密度与XY 成反比。但是在同一点G 处物体所受的阻力与重力之比等于3S × 比4RR ，即等于XY 比 。而如果抛射物沿一条抛物线运动，此抛物线以G 为顶点，GD 为直径，通径为 或者 ，那么这个抛射物在同一点G 处的速度则为本题中物体的速度。
附注
如果把推论1的证明方法运用到上述例子中，那么可求出介质密度与 成正比。而若阻力与速度V 的任意次幂V n 成正比，那么介质密度则与 × 成正比。因此如果存在一条曲线，使 与 或者是 与（1＋QQ ） n -1 之比得以求出，那么在所受的阻力与速度V 的n 次幂（V n ）成正比的均匀介质中，物体将沿上述曲线运动。现在还是让我们回过头来研究一些较为简单的曲线。（如图2-8）
（图2-8）
只有在物体位于一个无阻力的介质中时，物体的运动轨迹才为一条抛物线，但是在这里物体由于受到连续阻力的作用而做双曲线运动，因此很明显，当抛射体在均匀阻碍介质中运动时，它的运动轨迹更接近于双曲线，而不是抛物线。这种曲线毫无疑问是属于双曲线类型的，但是它的顶点离渐近线较远，并且相较于这里所讨论的双曲线，其远离顶点的地方距离渐近线更近。然而这两种双曲线的差别并不大，在实际运用过程中，后一种双曲线可以替代前者。也许这些曲线在今后比双曲线更有用，它更准确，但同时也更具复杂性。其应用方法如下：
作平行四边形XYGT （如图2-9），平行四边形的一边GT 与双曲线相切于点G ，因此在G 点处的介质密度与切线段GT 成反比，而在G 点处的速度则与 成正比，阻力与重力之比则为GT 比 。
（图2-9）
如果一抛射物从A 点处沿着直线AH 的方向抛出（如图2-10），且之后物体沿双曲线AGK 运动。延长直线AH ，交渐近线NX 于点H ，并过点A 作平行于直线NX 的直线AI ，而AI 交另一条渐近线MX 于点I 。那么在A 点处的介质密度与线段AH 成反比，物体的速度与 成正比，而物体所受的阻力与重力之比等于AH 比 ×AI 。由此则可推导出以下规则：
（图2-10）
规则1 如果A 点处的介质密度以及物体抛出时的初速度保持不变，角NAH 的角度改变，那么线段AH 、AI 、HX 的长度仍将保持不变。因此如果在任意情况下求出了这些线段的长度，那么再根据任意给定的角NAH 的角度，则可轻易地求出此双曲线。
规则2 如果角NAH 的角度以及A 点处的介质密度保持不变，物体抛出时的速度改变，那么AH 的长度将保持不变，但是AI 的长度则会按与速度的平方成反比的比例改变。
规则3 如果角NAH 的角度，A 点处物体的速度，以及使物体加速的重力皆保持不变，而物体在A 点处所受的阻力与动力的比值按任意比例增加。那么AH 与AI 的比值也会按相等比例增加，而上文中所涉及的抛物线的通径则保持不变。同样，与通径成正比的长度 也保持不变。因此AH 也将会按上述相等比值减小，而AI 则按该比值的平方减小。但是无论是在体积不变，比重增大时，或介质密度增大，还是当体积减小，而阻力减小的比例比重力减小的比例小时，阻力与重力之比都始终增大。
