规则4 因为双曲线顶点附近的介质密度大于A 点处的介质密度，故如果要求平均密度，则应先求出切线段GT 的最小值与切线段AH 的比值，而且A 点处密度的增大幅度要略大于这两条切线段之和的一半与切线段GT 的最小值之比。
规则5 如果已知线段AH 和AI 的长度（如图2-11），作曲线AGK ，并延长HN 至点X ，使HX ∶AI ＝（n ＋1）∶1。以X 为中心，MX 、NX 为渐近线，作一条双曲线，使得双曲线正好通过点A ，且AI 与任意线段VG 之比等于XV n 比XI n 。
（图2-11）
规则6 幂指数n 越大，物体从A 点开始上升时的双曲线部分越精确，但从K 点开始下落的物体的运动轨迹就越不精确，反之亦然。而如果物体的运动轨迹是圆锥双曲线，那么它的精确率则是上述两者的平均值，并且这个曲线会比其他的曲线简单。因此如果双曲线属于这一类型的曲线，要求出抛射体在通过点A 的任意直线上的落点，那么可通过延长AN ，使AN 分别交渐近线MX 、NX 于点M 、N ，之后再取NK ＝AM ，则可求得落点K 。
规则7 根据此现象则可得到一个求这条双曲线的快捷方法。假设两个相似且相等的物体以相等的速度同时自A 点抛出，但抛出的角度HAK 与hAk 不同，且物体在水平面上的落点分别为点K 、k 。将AK 与Ak 的比值记为d 比e 。作线段AI 垂直于直线MN ，AI 的长度为任意值，再设AH 与Ah 的长度为任意值，那么根据规则6，运用作图法，或使用直尺和指南针，测出不断变化的AK 与Ak 的不同长度。那么当AK 与Ak 的比值等于d 比e 时，此时的AH 的长度恰好等于假设的AH 的长度，但若该比值不等于d 比e ，则取出一条不定线段SM ，使SM 等于所设线段AH 的长度。再作垂直于SM 的线段MN ，使它的长度等于这两个比值之差 再乘以任意已知线段。同理，根据若干个假设的AH 的长度，可得到若干个对应的不同点N ，连接这些点N ，则得到一条规则曲线NNXN ，此直线与直线SMMM 交于点X 。最后设AH 等于横标线SX ，由此可求得AK 的长度。根据AI 的实际长度比AI 的假设长度等于实验测出的AK 长度比求出的AK 长度，AH 的实际长度比AH 的假设长度也等于此比值，就可求出AI 、AH 的实际长度。因为阻力与重力之比为AH ∶ AI ，那么根据上述那些已求出的值，可求出在A 点处介质产生的阻力。假设介质密度按规则4增加，如果刚求出的阻力也按此相同比值增加，则所求的双曲线会更为精确。
规则8 已知线段AH 、HK 的长度（如图2-12），如果物体以某给定速度沿直线AH 方向抛出，在水平面上的落点为K ，求直线AH 的位置。分别过点A 、K 作直线AC 、KF ，且这两条直线垂直于水平面。将AC 向下延长，使AC 等于AI 或 HX 。以AK 、KF 为渐近线，作一条双曲线，它的共轭曲线恰好过点C 。再以点A 为圆心，AH 为半径，作一个圆，该圆与双曲线的交点为点H 。连接AH ，则物体沿此直线AH 抛出后的落点就是点K 。
（图2-12）
因为已知AH 的长度，故点H 必然位于所画出的圆的圆周上。作直线CH 分别交直线AK 和KF 于点E 、F 。因为CH 平行于MX ，且AC ＝AI ，那么AE ＝AM ，故AE 也等于KN 。但是因为CE ∶AE ＝FH ∶KN ，故CE ＝FH 。所以点H 也必然在上面所画的双曲线上（即那条以AK 和KF 为渐近线的双曲线，其共轭曲线过点C ）。由上述条件可得，此双曲线和所画圆的交点即为所求的点H 。
应当注意的是，无论线段AKN 是平行于地平面，还是与地平面间有一任意的倾斜角度，上述求解的方法都是相同的。根据两个交点H 、h ，可分别得到两个角NAH 、NAh 。但是在力学的实际运用中，每次求解只要画一个圆就足够了，然后使用长度不等的直尺，过点C 作CH ，使位于CH 上，且在圆和直线FK 之间的线段FH 等于CH 的另一部分线段CE ，即位于点C 和直线AK 之间的线段。（如图2-12）
上述关于双曲线的结论都能非常简便地应用到抛物线上。如果抛物线用XAGK 表示，直线XV 与抛物线相切，其切点即为抛物线的顶点X ，而纵标线IA 和VG 分别与横标线XI 和XV 的任意次幂（即XI n 和XV n ）成正比。过X 作XT 平行于VG ，再过点G 、A 作抛物线的切线GT 、AH ，其切点分别为点G 、A 。如果在各点G 的介质密度与切线段GT 成反比，那么物体以一适当速度自A 点沿直线AH 的方向抛出，此后它将沿着此抛物线运动。那么点G 处的速度等于使物体在一个无阻力介质中沿着一条圆锥抛物线运动的速度，其中抛物线的顶点为点G ，直径为VG 向下的延长线，且其通径为 。物体在G 点所受的阻力与重力之比等于GT 比 。因此如果NAK 表示地平线，在A 点处的介质密度和物体抛出时的速度保持不变，无论NAH 的角度怎样改变，那么AH 、AI 、HX 的长度都将保持不变，由此可求出抛物线的顶点X ，以及直线XI 的位置。现在通过取VG ∶IA ＝XV n ∶XI n ，则可求出物体经过的所有点G ，连接这些点即得到物体的运动轨迹。（如图2-13）
（图2-13）
