受部分与速度成正比而部分与速度平方成正比的阻力作用的物体的运动
命题11 定理8
当物体只受到惯性力的作用而在均匀介质中运动时，如果物体所受的阻力部分与速度成正比，而部分则与速度的平方成正比，并且把物体运动的总时间按等差级数划分，那么与速度成反比的量在增加某个确定值后，将会构成一个等比级数。
以点C 为中心，互成直角的直线CADd 和CH 为渐近线，作双曲线BEe ，并作平行于渐近线CH 的直线AB 、DE 和de 。假设已知位于渐近线上的点A 、G 的位置，如果用均匀增加的双曲线面积ABED 表示时间，那么速度则可用CD 表示，因为不定线段CD 由与GD 成反比的长度DF 和确定线段CG 共同组成，所以速度按等比级数增加（如图3-1） 。
（图3-1）
假设面积DEed 表示时间的最小增量，那么Dd 与DE 成反比，故Dd 与CD 成正比。根据第2编的引理2， 的减量 ，同样与 或 成正比，化简得：与 成正比。所以在加上确定间隔EDde 而让时间ABED 均匀增加时， 按与速度相等的比值减小。因为速度的减量与阻力成正比，那么根据假设条件，该减量即与某两个量的和成正比，而在这两个量中，其中一个量与速度成正比，另一个则与速度的平方成正比。而 的减量则与量 和 成正比，其中第一项是 本身，而第二项 则与 成正比。因此 与速度成正比，而这两个的减量是类似的。故如果量GD 与 ，加入确定量CG ，那么随时间ABED 均匀增加，其和CD 将按等比级数增加。
高能粒子加速器
高能粒子加速器是研究物质基本结构最有用的工具。从经典力学到量子力学，从宏观到微观，物理学、化学的进步很多是从物质的结构入手的。高能粒子的散射实验，为近代物理学提供了新的方向。粒子加速器和对撞机等现代大型实验装置的应运而生，使大批新粒子不断被发现。
证明完毕。
推论1 如果已知点A 和G 的位置，且时间用双曲线面积ABED 表示，那么速度可用GD 的倒数 表示。
推论2 通过取GA 与GD 的比值等于任意时间ABED 开始时物体速度的倒数与该时间段结束时物体速度的倒数的比值，那么可求出点G 。而由求出的点G ，可根据任意其他的已知时间求出物体的速度。
命题12 定理9
在与命题11的条件相同的情况下，如果物体运动的距离按等差级数划分，那么速度在增加某一确定量后，将按等比级数增加。
在渐近线CD 上取一点R ，过点R 作垂直于CD 的直线RS ，且RS 交双曲线于S 。假设物体运动的距离用双曲线面积RSED 表示，那么速度将与GD 的长度成正比。而当面积RSED 按等差级数增加时，此长度GD 与确定线段CG 组成的长度CD 按等比级数减小。
因为已知距离的增量EDde ，故GD 的减量——短线段Dd 与ED 成反比，因此Dd 与CD 成正比。换而言之，即Dd 与同一个量GD 和确定长度CG 的和成正比，但是在与速度成正比的时间段内（此时间即为物体经过给定距离DdeE 所需时间） ，速度的减量与阻力和时间的乘积成正比，即与某两个量的和成正比（这两个量中，其中一个量与速度成正比，另一个则与速度的平方成正比） 。因此速度与这两个量的和成正比，这两个量中，其中一个量为确定的，另一个量则与速度成正比。所以速度减量与线段GD 的减量都同样与一个已知量和一个减少量的乘积成正比。因为这两个减量是相似的，故减少的量，即速度和线段GD ，也是相似的。
证明完毕。
推论1 如果速度用GD 的长度表示，那么物体运动的距离与双曲线面积DESR 成正比。
推论2 如果假设点R 为任意设定的点，那么通过取GR 与GD 之比等于物体开始运动时的速度与物体经过距离RSED 后的速度之比，可求出点G 。而由求得点G ，则可由某一确定速度求出物体运动的距离。反之亦然。
推论3 根据命题11，由已知时间可求出速度，而根据本命题，用求出的速度就可求出物体运动的距离。因此如果已知时间则可求出物体运动的距离。反之亦然。
命题13 定理10
假设物体在沿直线上升或下落的过程中，受到一垂直向下的均匀重力。而且与上述定理一样，物体在运动过程中受到的阻力部分与速度成正比，部分与速度的平方成正比。那么如果作若干条与圆和双曲线的直径平行的直线，且这些直线通过圆与双曲线的共轭直径的端点，而且由一确定点出发的若干条平行直线上的弦与速度成正比，那么时间与由中心向弦端点所作的直线切割出的扇形面积成正比。反之亦然。
情形1 已知物体做上升运动（如图3-2） 。以D 为圆心，任意线段DB 为半径，作一个四分之一圆BETF 。并过半径DB 的端点B 作平行于半径DF 的不定线段BAP 。在线段BAP 上任取一点A ，取线段AP 与速度成正比。因为阻力一部分与速度成正比，而另一部分阻力与速度的平方成正比，故可假设整个阻力与AP 2 ＋2BA ×AP 成正比。连接DA 、DP ，得到的两条直线分别与圆交于点E 、T 。假设重力用DA 2 表示，使重力与物体在P 点受到的阻力的比值等于DA 2 比AP 2 ＋2BA ×AP ，那么整个上升过程的时间与圆的扇形EDT 成正比。
（图3-2）
作直线DVQ ，切割出速度的变化率PQ ，以及与绘定时间变化率相对应的扇形DET 的变化率DTV ，那么速度的减量PQ 与重力DA 2 加上阻力AP 2 ＋2BA ×AP 所得到的和成正比。根据《几何原本》第二卷命题12，可得PQ 与DP 2 成正比。又因为与PQ 成正比的面积DPQ 与DP 2 成正比，故面积DTV 与DPQ 的比值等于DT 2 比DP 2 ，所以DTV 与确定量DT 2 成正比。因为从面积EDT 中减去确定面积DTV 之后，余下的部分按未来时间的比例减小，所以余下部分与整个上升过程所用时间成正比。
情形2 如果如同前一情形一样（如图3-3） ，物体上升过程中的速度用长度AP 表示，那么阻力与AP 2 ＋2BA ×AP 成正比。但是若重力非常小，以致不足以用DA 2 表示，那么可以取BD 的长度，使AB 2 -BD 2 与重力成正比。再假设DF 垂直于DB ，且DF ＝DB ，过顶点F 作双曲线FTVE ，其中DB 和DF 为双曲线的共轭半径，并且此双曲线分别交DA 、DP 、DQ 于点E 、T 、V 。那么物体上升过程所用时间与此双曲线的扇形TDE 成正比。
（图3-3）
在一已知的时间内，产生的速度减量PQ 与阻力AP 2 ＋2BA ×AP 加上重力AB 2 -BD 2 所得的和（即 BP 2 -BD 2 ）成正比。但是因为面积DTV 与面积DPQ 的比值等于DT 2 比DP 2 ，故如果作GT 垂直于DF ，那么DTV 与DPQ 之比也等于GT 2 （或 GD 2 -DF 2 ）比BD 2 ，或者说等于GD 2 比BP 2 。又分比，得DTV 与DPQ 之比等于DF 2 比BP 2 -BD 2 。因为面积DPQ 与线段PQ 成正比（即与BP 2 -BD 2 成正比） ，所以面积DTV 与确定量DF 2 成正比。又因为已知确定部分DTV 的不同值与时间段的数目相等，在单个相等时间内，从面积EDT 中减去与对应时间的部分DTV 后，余下的部分将均匀减小，故余下部分与时间成正比。
情形3 假设AP 表示物体的下落速度（如图3-4） ，AP 2 ＋2BA ×AP 表示阻力，BD 2 -AB 2 表示重力，而角DBA 为直角。如果以点D 为圆心，点B 为顶点，作一直角双曲线BETV ，且直线DA 、DP 、DQ 分别交此双曲线于点E 、T 、V ，那么物体下落的总时间与双曲线扇形DET 成正比。
（图3-4）
因为速度的增量PQ ，以及与PQ 成正比的面积DPQ ，都与重力和阻力的差BD 2 -AB 2 -2BA ×AP -AP 2 成正比（经过运算，即为BD 2 -BP 2 ） 。而面积DTV 与面积DPQ 的比值等于DT 2 比DP 2 ，因此这个面积间的比值等于GT 2 （或 GD 2 -BD 2 ）比BP 2 ，也等于GD 2 比BD 2 。由分比，得此面积的比值等于BD 2 比BD 2 -BP 2 。因为面积DPQ 与BD 2 -BP 2 成正比，那么面积DTV 与确定量BD 2 成正比。所以如果已知确定部分DTV 的不同值与时间段的数目相等，而在若干个相等的时间段内，在面积EDT 中加上与时间段对应的确定部分DTV 后，面积将均匀增加，故面积与物体下落时间成正比。
推论 以D 为中心（如图3-5），DA 为半径，过顶点A 作与弧ET 相似的弧At ，并且弧At 的对角也是角ADT ，那么在时间EDT 内，物体在无阻力介质上升时，损失的速度（或物体在无阻力介质中下落时，所获得的速度）与速度AP 之比等于三角形DAP 的面积与扇形DAt 的面积的比值，因此如果已知时间，则可求出速度AP 。因为物体在无阻力介质中运动时，其速度与时间成正比，因此也与扇形DAt 成正比。而物体在阻碍介质中速度则与三角形DAP 成正比。所以当物体在这两种介质中的速度很小时，这两个速度接近于相等，同样地扇形和三角形也趋于相等。
（图3-5）
附注
还可以证明这种情形：在物体上升时，重力很小，不足以用DA 2 或AB 2 ＋BD 2 表示，但又大于以AB 2 -DB 2 表示，因而只能用AB 2 来表示。但是在此我并不会专门讨论此情形，而是接着开始讨论其他问题。
命题14 定理11
所有条件与命题13的条件相同，在物体上升或下落的过程中，如果按等比级数取出物体受到的阻力和重力的合力，那么物体运动的距离与表示时间的面积减去另一个按等差级数增减的面积所得的差成正比。
如图所示，在这三个图形中，皆取出线段AC 与重力成正比，而取线段AK 与阻力成正比，并且如果物体处于上升过程中，那么这两条线段都是从点A 的同一侧取出。但是如果物体处于下落过程中，那么两条线段则处于点A 的两侧。作垂线段Ab ，使Ab ∶DB ＝DB 2 ∶（4BA ×AC ）。再以互成直角的直线CK ，CH 为渐近线作一条双曲线bN 。作KN 垂直于CK ，那么按等比级数取出力CK 时，面积AbNK 将按等差级数增减。因此，物体在运动过程中达到的最大高度与面积AbNK 减去面积DET 的差成正比。
因为线段AK 与阻力成正比，也即是与AP 2 ×2BA ×AP 成正比。假设Z 为任意确定的量，取AK 等于 。那么根据本编的引理2，AK 的变化率KL 等于 或者是 。而面积AbNK 的变化率KLON 则等于 或者 。
情形1 已知物体做上升运动，且重力与AB 2 ＋BD 2 成正比，BET 是一个圆，与重力成正比的线段AC 等于 ，而DP 2 或者AP 2 ＋2BA ×AP ＋AB 2 ＋BD 2 等于AK ×Z ＋AC ×Z 或者CK ×Z 。因此，面积DTV 与面积DPQ 的比值等于DT 2 （或DB 2 ）比CK ×Z 。
情形2 已知物体做上升运动，且重力与AB 2 -BD 2 成正比，与重力成正比的线段AC 等于 ，而DT 2 比DP 2 等于DF 2 （或 DB 2 ）∶（BP 2 -BD 2 ）（或 AP 2 ＋2BAP ＋AB 2 -BD 2 ），即DT 2 比DP 2 等于（BP 2 -BD 2 ）∶（AK ×Z ＋AC ×Z ）（或者 CK ×Z ），因此面积DTV 与面积DPQ 的比值等于DB 2 比CK ×Z ，答案与前面相同。
情形3 同理，已知物体在下落过程中，因此重力正比于BD 2 -AB 2 ，而线段AC 等于 ，故面积DTV 与面积DPQ 的比值等于DB 2 比CK ×Z 。（如图3-6）
（图3-6）
因为这些面积间的比值始终都是这个比值（即DB 2 比CK ×Z ），那么如果在表示时间的变化率时，用任意确定乘积BD ×m 代替始终保持不变的面积DTV 表示时间的变化率，那么DPQ 的面积 ×BD ×PQ 与BD ×m 的比值等于CK ×Z 比BD 2 ，故PQ ×BD 3 ＝2BD ×m ×CK ×Z ，而此前求出的面积AbNK 的变化率等于 。从面积DET 中减去它的变化率DTV 或是BD ×m ，那么余下的部分为 。因此面积的变化率之差（即是面积之差的变化率） 等于 ，而且因为 为一确定值，所以面积之差的变化率与速度AP 成正比，换言之，即与物体在上升或下落过程中运动的距离的变化率成正比。因此面积之差与变化率成正比，并且与变化率同时开始或结束的距离的增减也成正比。
证明完毕。
推论 如果面积DET 除以线段BD 得到一长度，且此长度用M 表示。而根据DA 与DE 的比值，取出另一长度V ，使V 比M 等于此比值。那么物体在阻碍介质中上升或下落时运动的总距离与物体在无阻力介质中从静止状态开始下落时，在相同时间内运动的总距离的比值，等于面积之差比 。因此如果已知时间，则可求出物体运动的总距离。而在无阻力介质中，因为物体运动的距离与时间的平方成正比，或者说是与V 2 成正比，BD 和AB 已知，那么这个距离与 成正比，而该面积则等于面积 ，而M 的变化率为m ，故这个面积的变化率为 。但是因为这个变化率比面积DET 和面积AbNK 之差的变化率（即 ）等于 比 ×BD ×AP ，或者这两个变化率的比值等于 ×DET 与DAP 的比值，所以当面积DET 与DAP 的比值为极小值时，DET 与DAP 相等。因此当所有的面积的值都达到极小值时，面积 的变化率等于面积DET 减去面积AbNK 所得差的变化率，故这两者也相等。因为在物体刚开始下落时，物体的初速度与物体要停止上升时，物体的末速度是趋于相等的，故在下落和上升过程中，物体运动的距离也是趋于相等的，所以这两个距离的比值等于面积 比面积DET 减去面积AbNK 所得的差。又因为当物体在无阻力介质中运动时，物体运动的距离与 连续成正比，而当物体在有阻力介质中运动时，物体运动的距离与面积DET 减去面积AbNK 所得的差成正比，所以由此推出，在任意相等的时间内，物体在这两种介质中运动的距离之比等于面积 比面积DET 减去面积AbNK 所得的差。
证明完毕。
附注
当球体在流体中运动时，它受到的阻力部分来自流体的黏性，部分来自球体与流体的摩擦，而其余部分则来自流体的密度。其中由流体密度产生的那部分阻力与速度的平方成正比，由流体的黏性产生的另一部分阻力则是均匀的，且与时间的变化率成正比。因此我们现在应该继续探讨这类在流体中的运动。因为此球体受到的阻力部分来自一个均匀力，或者与时间的变化率成正比，部分阻力与速度的平方成正比。但是通过命题8、命题9以及其推论，这个问题可以很容易地解决，而不会遇到阻碍。因为在这两个命题中，当物体只受惯性力的推动作用时，物体上升过程中重力产生的均匀阻力，在球体在流体中运动时，此均匀阻力可以用由介质黏性产生的均匀阻力代替，那么当物体沿直线上升时，在重力中叠加上此均匀阻力，而物体下落时，则从重力中减去此均匀阻力。同样接下来我们还可以讨论另一种物体的运动，此物体受到的阻力部分是均匀的，部分与速度成正比，部分则与相同速度的平方成正比。同上，通过命题13和命题14，我已经为解决这一问题扫清了障碍。在这两个命题中，只要用黏性介质产生的均匀阻力代替均匀重力，或者是直接把这两个均匀力复合，就可以借用上述命题来解决这一问题了。至此对此类问题的讨论已结束，接下来我们将讨论其他问题。
