摆体的运动及其受到的阻力
命题24 定理19
如果在若干个摆体运动时，其摆动中心到悬挂中心的距离相等，那么摆体中物质的量之比等于两个比值复合而得到的比值，其中一个比值为当摆体在真空中运动时，其摆动时间的比值，另一个比值即为摆体的重量的比值。
因为在已知时间内，一个已知力使已知物质产生的速度与这个力和时间成正比，与物质成反比。详细地说，就是当这个已知力越大，或者时间越长，又或者是摆体内物质越少时，力产生的速度就越大。此命题可以运用运动定律二来证明。如果各摆体的摆长的长度相等，并以摆与水平面垂直的地方为标准点，那么在摆距此点的距离相等的地方，摆的驱动力与重量成正比。因此，如果两个摆体在运动时划过的弧相等，并且把这些相等的弧划分为若干个相等部分，那么，因为摆体划过弧的相应部分所用的时间与总摆动时间成正比，故摆体在这些相应部分的速度的比值与驱动力和总摆动时间皆成正比，与物质的量成反比。由此可推出物质的量与驱动力和摆动时间成正比，与速度成反比。但是，因为速度与时间成反比，所以时间的平方与时间成正比，与速度成反比，因此物质的量与驱动力和摆动时间的平方成正比，即与摆体重量和时间的平方成正比。
秋千
秋千的晃动是典型的单摆运动，即在有一定阻力的现实状态下，使其获得一个推力，由此借助向心力作周期不断减小的往复运动。秋千在运动过程中反复进行着重力势能与动能的转化，其不断减小的阻力主要来自空气摩擦。在理想状态的真空中，它的运动将永不停止。
证明完毕。
推论1 如果各摆体的摆动时间相等，那么各个摆体的物质的量与重量成正比。
推论2 如果各摆体的重量相等，那么各摆体内物质的量与时间的平方成正比。
推论3 如果各摆体内物质的量相等，那么摆体的重量与时间的平方成反比。
推论4 因为在各个摆体中，摆动时间的平方与摆的长度成正比，故如果时间以及物质的量都相等，那么摆的重量与摆长成正比。
推论5 通常，摆体内物质的量与摆的重量以及摆动时间的平方成正比，与摆长成反比。
推论6 当摆体在无阻力介质中运动时，摆体内物质的量与摆体的相对重量和时间的平方成正比，与摆长成反比。因为如上文中所提到的，相对重量是摆体在任意重介质中运动的驱动力，因此相对重量的这种驱动作用与真空中的绝对重量的作用相同。
推论7 由此可推导出一种方法：通过比较各摆体内物质的量，以及比较相同摆体摆动到不同点时摆体的重量，可得摆体重力的变化。而且通过极为精密的实验，我发现摆体内物质的量始终与摆体的重量成正比。
命题25 定理20
当摆体在任意介质中运动时，受到的阻力与时间的变化率成正比，而如果与这个摆体的比重相同的摆体在无阻力介质中运动，这两个介质中的摆体在相等时间内，都划出一条摆线，并且它们同时划出的弧段成正比。（如图6-1）
（图6-1）
假设AB 是当摆体在无阻力介质中运动时所划过的一段摆线弧。点C 是弧AB 的平分点，故C 点是弧AB 的最低点。物体在任意点D 、d 、E 受到的加速力分别与弧CD 、Cd 和CE 的长度成正比，那么这些加速力就可用这些相应的弧表示，因为阻力与时间的变化率成正比，故阻力是已知的。因此用摆线弧的已知部分CO 表示阻力，并且取弧Od 与弧CD 的比值等于弧OB 与弧CB 的比值。那么如果摆体在阻碍介质内运动，则摆体在点d 受到的力等于力Cd 大于阻力CO 的那部分，摆体在点d 受到的力用弧Od 表示。因此此力与当摆体在无阻力介质中摆动时在点D 受到的力之比等于弧Od 与弧CD 的比值。同理，当摆体运动到点B 时，对应的上述两种力之比等于弧OB 与弧CB 的比值。于是，如果两个摆体D 、d 同时从点B 出发，并且受到上述两个力的推动，因为在摆体开始摆动时，摆体受到的力分别与弧CB 和弧OB 成正比，则这两个摆体的初速度之比与摆体开始运动时划过的弧之比相等。假设两个摆体开始摆动时划过的弧分别为BD 和Bd ，那么余下的弧CD 与Od 的比值也相同。而因为在摆体开始运动时受到的力分别与弧CD 和Od 成正比，故这两个力的比值也等于上述比值，所以两个摆体在这之后继续共同划过的弧也等于这一比值。由上所述，得出力，速度以及余下的弧CD 、Od 皆是始终与整条弧CB 、OB 成正比，故余下的弧是两个摆体共同划过的，所以摆体D 和d 同时到达点C 和点O 。详细地说，即当摆体在无阻力介质中运动时摆体到达的点为点C ，而阻碍介质中运动的摆体则在此时到达点O 。因为两个摆体在点C 和O 的速度分别与弧CB 、OB 成正比，所以当摆体从这两点开始继续运动时，之后摆体所共同划过的更远的弧之间的比值也是相等的。现在假设这两条弧为CE 、Oe 。当摆体O 在无阻力介质中运动时，摆体在点E 受到的阻力与力CE 成正比，而当摆体d 在阻碍介质中运动时，摆体d 在点e 受到的阻力与力Ce 和阻力CO 的和成正比，也即是与Oe 成正比。因此这两个摆体受到的阻力与弧CB 和OB 成正比，同样也与弧CE 和Oe 成正比。所以按此相同比例减小的速度间的比值也等于这个相同的比值，因为速度之比以及摆体以这些速度划过的弧的比值也始终等于已知比值CE 比OB 。所以，如果按此相同比值取这个弧长AB 与aB 的比值，那么摆体D 与摆体d 将同时划过其相应的整段弧，并且同时分别在点A 和点a停止摆动，故这两个摆动过程所需时间是相等的，或者说这两个过程是在同一时间内完成的，而在任意时间内，摆体同时划过的弧，比如弧BD 和弧Bd ，弧BE 和弧Ee ，都分别与整段弧长BA 和弧Ba 成正比。
推论 摆体在阻碍介质中运动时，其最大速度并不是在最低点C 出现，而是在点O ，即总弧长Ba 的平分点O 。而摆体从点O 继续向点a 运动时，摆体的减速度等于摆体从点B 到点O 时的加速度。
命题26 定理21
如果若干个摆体受到的阻力与其速度成正比，那么这些摆体将沿同一摆线运动，且总摆动时间相等。
如果两个摆体分别到其悬挂中心的距离相等，但在摆动过程中，它们所划过的弧长并不相等，而两个摆体的对应弧段之间的比值等于总弧长之比。那么与速度成正比的阻力间的比值也等于相应弧之间的比值。因此，如果一个重力与这个弧长成正比，那么从由这个重力产生的驱动力中减去或者加上上述阻力，则得到的和或差之间的比值也等于弧之间的比值。而且，因为速度的增量和减量也与这些差或和成正比，所以速度始终与总弧长成正比。如果在某种情况下，速度与总弧长成正比，那么速度间的比值将始终为同一个比值。但是当摆体开始下落，并划过这些弧时，运动初期摆体受到的力产生的速度将与这些弧成正比。所以速度始终与总弧长成正比，两个摆体划过其对应的总弧长所用的时间相等。
证明完毕。
命题27 定理22
如果摆体受到的阻力与摆体速度的平方成正比，那摆体在阻碍介质中的摆动时间，减去比重与之相等的摆体在无阻力介质中运动的摆动时间，所得的差近似地与摆动时划过的弧长成正比。（如图6-2）
（图6-2）
假设有两个摆体的摆长相等，当这两个摆体在阻碍介质中运动时，它们划过弧长为A 和B ，且A 和B 不相等。那么摆体在划过弧A 时受到的阻力与在划过弧B 的相应部分时受到的阻力之比，等于相应的速度的平方的比值，即近似等于AA 比BB 。如果摆体沿弧B 运动时摆体受到的阻力与摆体沿弧A 运动时摆体受到的阻力之比，等于AB 比AA ，那么根据命题26，摆体划过弧A 和弧B 所用的时间的比值为1。因此弧A 的阻力AA 使摆体划过弧A ，其所用的时间大于在无阻力的情况下，摆体经过弧A 所用的时间；同样，弧B 的阻力BB 也使摆体经过弧B 的时间大于在无阻力情况下，物体经过弧B 所用的时间。而这些超出的时间部分分别近似地与效力AB 和BB 成正比，即是与弧A 和弧B 成正比。
证明完毕。
推论1 当两个摆体在阻碍介质中运动时，根据摆体划过不等弧所用的摆动时间，可求出当两个摆体的比重相等，且这两个摆体在无阻力介质中运动时，摆体的摆动时间。因为相较于摆体在无阻力介质中运动时摆体划过较短弧所用的时间，摆体在阻碍介质中划过相同弧所用的时间较大。故此摆动时间的差与上述那部分超出的时间之比，等于两个摆体划过的不等弧的差与较短弧之比。
推论2 如果摆体运动时划过的弧越短，那么两个摆体的摆动时间就越相近。而且如果摆体的弧极短，那么这个摆体在阻碍介质中的摆动时间近似等于该摆体在无阻力介质中的摆动时间。因为相较于摆体划过的弧长而言，在摆体下落过程中，其受到的阻力使摆动时间延长，而在上升过程中，其受到的阻力使时间缩短，且前一个阻力要大于后一个阻力，故物体摆动的弧较大时，所需的摆动时间略长。但是无论摆动弧是长还是短，摆动时间似乎都会因为介质的运动而延长。不过当两个摆体减速时，其受到的阻力之比要小于摆体的速度之比，并且当两个摆体加速时，摆体受到的阻力的比值要大于匀速运动的该比值。因为当介质从摆体中获得运动后，介质就与摆做同向的运动，而且在摆体下落时，摆体受到的推动较强，而在摆体上升时，受到的推动较弱，这就使摆体的运动过程中有了快慢的变化，所以相较于速度而言，摆体在下落时受到的阻力较大，而摆体在上升时，其受到的阻力则较小。但无论阻力的大小，只要是阻力就会使摆动的时间延长。
命题28 定理23
如果当摆体沿一条摆线运动时，摆体受到的阻力与时间的变化率成正比，并且已知摆体下落时划过的总弧长大于物体上升时划过的总弧长，那么摆体受到的阻力与重力之比等于物体下落与上升时划过的摆长的差值与二倍摆长之比。（如图6-3）
（图6-3）
用BC 表示摆体下落时划过的弧长，而物体上升时划过的弧长用Ca 表示，Aa 则表示上述两个弧长的差。剩余的其他条件则与命题25的条件相同。那么摆体在任意点D 受到的作用力与阻力的比值等于弧CD 与弧CO 的比值（已知CO 等于 Aa ） 。因此摆体在摆线的一端（或可称为摆线的最高点） 受到的力（因为当时尚无阻力作用于摆体，故此时这个力等于重力） 与阻力的比值等于摆线的最高点与最低点C 间的弧长即为弧BC 比弧CO 。把上述比值都乘以2后，重力与阻力之比即等于整个摆弧（或称为摆长） 的两倍比弧Aa 。
证明完毕。
命题29 问题6
已知一个摆体沿摆线运动时，受到的阻力与速度的平方成正比。求此摆线各点的阻力。（如图6-4）
（图6-4）
已知Ba 是摆体在一次全摆动时所划过的弧长，C 是此摆线的最低点，CZ 为整个摆线弧的一半，即等于摆体的摆长。要求出在任意点D 处摆体的阻力。首先在直线CQ 上选取四个特定的点O 、S 、P 、Q ，这四个点应能满足以下的条件：过这四点分别作垂直于直线OQ 的垂线OK 、ST 、PI 、QE ，再以点O 为圆心，直线OK 、OQ 为渐近线，作出双曲线TIGE ，且TIGE 分别与垂线ST 、PI 、QE 交于点T 、I 、E 。过点I 作平行于渐近线OQ 的直线KF ，且直线KF 与渐近线OK 交于点K ，而分别与垂线ST 、QE 交于点L 和点F 。那么在此图形画好后，双曲线面积PIEQ 与双曲线面积PITS 的比值等于摆体下落时划过的弧BC 与上升时划过的弧Ca 的比值，而面积IEF 与面积ILT 的比值则等于OQ 比OS 。然后再在直线OQ 上取一点M ，过M 作直线MN 垂直于OQ ，且MN 与双曲线交于点N ，使得双曲线面积PINM 与双曲线面积PIEQ 的比值等于弧CZ 与摆体下落时划过的弧BC 的比值。如果在直线OQ 上取一点R ，使垂线段RG 切割出的双曲线面积PIGR 与面积PIEQ 的比值等于任意弧CD 与摆体下落时划过的总弧长BC 的比值。那么摆体在任意点D 受到的阻力与重力之比，等于面积 EF -IGH 与面积PINM 的比值。
已知重力在点Z 、B 、D 、a 处作用于摆体的力分别与弧CZ 、弧CB 、弧CD 、弧Ca 成正比，而这些弧又分别与面积PINM ，面积PIEQ ，面积PIGR ，面积PITS 成正比，所以可以用这些面积分别表示相应的弧和摆体受到的力。假设Dd 是摆体下落时划过的极短弧，并用位于平行线RG ，rg 之间的极小面积GRrg 表示。延长rg 至点h ，使面积GHhg 和面积GRrg 分别为面积IGH 和面积PIGR 的瞬间减量。那么面积 IEF -IGH 的增量为GHhg - IEF （或等于Rr ×HG - IEF ） ，而面积PIGR 的减量则为面积RGgr （或是Rr ×HG ） ，且上述增量与减量的比值等于HG - 与RG 的比值，因此这个比值也等于OR ×HG - IEF 与OR ×GR （或OP ×PI ） 之比。因为OR ×HG ＝OR ×HR -OR ×GR =ORHK -OPIK ＝PIHR ＝PIGR ＋IGH ，那么这两个量的比值也等于PIGR ＋IGH - IEF ∶OPIK 。所以如果面积 IEF -IGH 用Y 表示，且面积PIGR 的减量RGgr 已知，那么面积Y 的增量与PIGR -Y 成正比。
已知重力在点D 处对摆体的作用力与摆体将来会划过的弧CD 成正比。如果该作用力用V 表示，此点的阻力则用R 表示，那么V -R 即为摆体在点D 受到的总力。因此速度的减量与V -R 乘以产生此增量的时间成正比。但是速度本身与同一时间内物体划过的距离成正比，与此时间段成反比。并且因为根据已知条件，阻力与速度的平方成正比，而由引理2又可得到，阻力的增量与速度和速度的增量的乘积成正比，也即是与距离的变化率和V -R 的乘积成正比。所以，如果已知距离的变化率与V -Y 成正比，即如果PIGR 代表力V ，而其他任意面积Z 表示阻力R ，那么距离的变化率与PIGR -Z 成正比。
因此面积PIGR 按确定的变化率均匀减少，而面积Y 按PIGR -Y 的比值增加，面积Z 则按PIGR -Z 的比值增加。于是如果假设物体同时开始画出面积Y 和Z ，并且在开始阶段面积Y 等于面积Z ，那么在面积Y 和Z 中增加入相同的面积变化后，这两个面积仍然相等，而面积Y 和Z 若按相同变化率减小，那这两个面积将同时变为零。而反之亦然。当面积同时开始且同时变为零时，这两个面积的变化率相等，且在变化的过程中这些面积始终相等。因为若阻力Z 增加，那么此时速度以及物体上升过程中划过的弧长Ca 都会比原来的值小。而在摆体运动的过程中，运动与阻力都消失的那一点则无限趋近于点C ，故阻力与面积Y 消失得较快。反之，如果阻力减小，那么速度以及弧长Ca 增大，运动与阻力消失的那一点则远离点C 。
现在在面积Z 开始产生和最终消失时阻力都为零，即当摆体开始运动时，弧长CD 等于弧长CB ，且直线RG 与QE 重合。而当摆体停止运动时，弧长CD 则等于弧长Ca ，且直线RG 与ST 重合。当阻力等于零处，面积Y （或为 IEF -IGH ）开始产生，并且面积Y 也在此点消失，因此此时 IEF 等于IGH 。如图6-4所示，即直线RG 先后与直线QE 和ST 重合。由此可得，上述面积同时开始产生并最终同时消失。因此，在此过程中，它们始终相等。因为面积Z 表示阻力，面积PINM 表示重力，而且面积 IEF -IGH 等于面积Z ，那么面积 IEF -IGH 与面积PINM 的比值等于阻力与重力之比。
推论1 当摆体运动到最低点C 时，阻力与重力之比等于面积 IEF 与面积PINM 之比。
推论2 当摆体运动到摆线上某点时，面积PIHR 与面积IEF 的比值等于OR 比OQ ，那么摆体在此点受到的阻力为最大值。因为在这个点，阻力的变化率（即PIGR -Y ）等于零。
推论3 根据此命题的上述证明过程，同样也可求出摆体在各点的速度。因为速度与阻力的平方根成正比，并且在摆体开始运动时，摆体的速度等于摆体在无阻力介质中，沿此相同摆线运动时，它在开始运动时的速度。
然而，因为运用本命题来求出阻力和速度时，其计算过程非常困难。所以我们补充了下列的命题使计算过程简化。
命题30 定理24
已知摆体划过的摆线弧长。如果作线段aB 等于此摆线弧长，过aB 上的任意点D 作直线DK 垂直于aB ，且取线段DK 与摆长之比等于在摆线上相应的点处摆体受到的阻力与重力之比。那么摆体在下落时划过的整段弧长减去摆体上升时划过的整段弧长，所得到的弧差乘以这两段弧长的和的一半，等于所有垂线构成的面积BKa 。（如图6-5）
（图6-5）
已知摆体在一次全摆动过程中划过的摆线弧长。假设此摆线弧长用与之相等的直线aB 表示。而相同摆体在真空中做一次全摆动的过程中，其划过的弧长则用长度AB 表示。作出直线AB 的中心C ，那么点C 则表示上述摆线的最低点，而线段CD 则与重力产生的力成正比，这个力使摆体经过点D 时受到朝向摆线切线方向的作用，此力与摆长之比等于在点D 的力与重力之比。所以这个力可以用CD 表示，重力则可用摆长表示。如果在直线DK 上取出一条线段DK ，使DK 与摆长的比值等于阻力与重力的比值，那么线段DK 则可表示阻力。以点C 为圆心，线段CA 或CB 为半径，作一个半圆BEeA 。假设摆体在极短时间内划过的弧长为Dd ，并分别过点D 、d 作垂线DE 、de ，与圆交于点E 、e ，那么正如第1编命题52中曾证明过的，线段DE 、de 分别与当摆体在真空中从点B 开始下落时，到达点D 和d 的速度成正比。因此这两个速度可以分别用垂线段DE 、de 表示。而当摆体在阻碍介质中，从点B 下落到点D 时，摆体获得的速度则用DF 表示。如果以点C 为圆心，CF 为半径，作半圆FfM 。此半圆分别与线段de 、AB 交于点f 、M 。因此如果在摆体上升的过程中并未受到阻力的作用，那么摆体能到达的最高点此时即变为点M ，而df 则为摆体在点d 达到的速度。于是同样地，当摆体D 划过极短弧Dd 时，因为摆体受到阻力的作用而使速度产生了变化，如果这个速度的变化率用Fg 表示，且取线段CN 等于Cg ，那么当摆体在无阻力介质中运动时，其能到达的最高点即为点N ，而由此速度减量产生的上升减量则用MN 表示。作直线Fm 垂直于df ，并且由阻力DK 产生的速度DF 的减少量为Fg ，而由力CD 产生的速度DF 的增加量则为fm ，那么减量Fg 与增量fm 的比值等于作用力DK 与作用力CD 的比值。因为△Fmf 、△Fhg 和△FDC 这三个三角形都相似，故可得fm ∶Fm （或Dd ） ＝CD ∶DF ，上两个比例式的对应项相乘，得Fg ∶Dd ＝DK ∶DF 。又因为Fh ∶Fg ＝DF ∶CF ，而且又将上述两个比例式的对应项相乘，得Fh （或MN ） ∶Dd ＝DK ∶CF （或CM ） 。因此所有的MN ×CM 之和等于所有的Dd ×DK 之和。如果始终在动点M 处作一个直角纵坐标，并且它的长度始终等于不定线段CM 的长度（线段CM 在连续运动中乘以总长度Aa ） 。而且因为摆体做这个运动时产生的四边形（此四边形也等价为乘积Aa × aB ） 等于所有的MN ×CM 的和，故这个梯形也等于所有的Dd ×DK 之和，也即为面积BKVTa 。
证明完毕。
推论 若已知摆体运动时阻力的规律，以及弧长Ca 与CB 的差Aa ，那么即可求出阻力与重力的近似比值。
如果阻力DK 是均匀的，那么图形BKTa 就是以Ba 和DK 为邻边的矩形，因此 Ba ×Aa ＝Ba ×DK （即是其边为 Ba 和Aa 的矩形等于以Ba 和DK 为边的矩形），故DK ＝ Aa 。因为线段DK 表示阻力，摆长表示重力，那么阻力与重力之比等于 Aa 与摆长之比（此证明过程与命题28的证明完全相同） 。
而如果阻力与速度成正比，那么图形BKTa 则近似于一个椭圆形。因为如果摆体在无阻力介质中做一次全摆动时摆体划过的总弧长为长度BA ，在任意点D 的摆动速度与直径AB 与圆之间的纵轴DE 成正比。因为当摆体在阻碍介质中运动时，它在一段时间内划过的弧是Ba ，而当摆体在无阻力介质中运动时摆体在同一时间内划过的弧为BA ，故摆线上各点的摆动速度与其在长度AB 上对应的点的摆动速度的比值等于弧Ba 与弧BA 的比值，又当摆体在阻碍介质中运动时摆体运动到点D 的速度与端点在直径Ba 上的圆或椭圆的纵线成正比，所以图形BKVTa 近似于一个椭圆形。又因为由假设条件可知，阻力与速度成正比。设OV 表示摆体在中点O 处的阻力，以O 为中心，OB 、OV 为半轴，作椭圆BRVSa ，那么BRVSa 近似于图形BKVTa ，以及与之相等的乘积Aa ×BO 。因此Aa ×BO 与OV ×BO 的比值等于这个椭圆的面积与OV ×BO 之比，化简即得，Aa 比OV 等于半圆面积与其半径的平方的比值，或者是近似等于11∶7。所以 Aa 与摆长之比等于摆体在O 点的阻力与重力之比。
如果阻力DK 与速度的平方成正比，那么图形BKVTa 近似于一条抛物线，其中此抛物线的顶点为V ，轴为OV ，故BKVTa 也近似等于 Ba ×OV 。于是可推出 Ba ×Aa ＝ Ba ×OV ，因此OV ＝ Aa ，而摆体在点O 的阻力与重力之比等于 Aa 比摆长。
以上所得的这些比值都只是近似值，但是在实际运用过程中，这个精确度就已经足够了。因为椭圆或抛物线BKVSa 与图形BKVTa 在中点V 处相交。如果该图形位于BKV 或VSa 的一侧的部分较大，那么在另一侧的该图形的部分则较小，因此椭圆或抛物线始终与图形BKVa 近似相等。
命题31 定理25
如果在摆体运动时划过的弧成正比，划过这些弧时作用于摆体的阻力按照一个确定的比例增加或减少，那么摆体下落过程中划过的弧减去在随后的上升过程中划过的弧，所得的差也会按此确定比例增减。（如图6-6）
（图6-6）
因为命题中的弧差是因为介质阻力使摆体的速度减小而产生的，因此这个弧差与速度的总减量成正比。又因为使摆体的速度减小的阻力与这个速度的总减量成正比，故这个弧差也与减速阻力成正比。由命题30可知， aB 与弧CB 、Ca 的差Aa 的乘积等于面积BKTa 。如果aB 的长度保持不变，那么面积BKTa 将按纵轴DK 增减的比例而增大或减小，即面积BKTa 与阻力成正比，而因为aB 的长度保持不变，故面积BKTa 与阻力和长度aB 的乘积成正比。由此可得，Aa 乘以 aB 等于aB 与阻力的乘积，所以Aa 与阻力成正比。
推论1 如果阻力与速度成正比，那么在相同介质中摆体下落和上升过程中划过的弧的差与摆体划过的总弧长成正比。反之亦然。
推论2 如果阻力与速度的平方成正比，那么在相同介质中摆体下落和上升过程中划过的弧的差与摆体划过的总弧长的平方成正比。反之亦然。
推论3 通常情况下，如果阻力与速度的三次方，或是速度的其他任意次幂成正比，那么在相同介质中摆体下落和上升过程中划过的弧的差与摆体划过的总弧长的相同次幂成正比。反之亦然。
推论4 如果阻力部分与速度成正比，而部分与速度的平方成正比，那么在相同介质中摆体下落和上升过程中划过的弧的差部分与摆体划过的总弧长成正比，部分与总弧长的平方成正比；反之亦然。因此阻力相对于速度的定律以及比值等于弧差与总弧长的相应定律以及比值。
推论5 如果摆体连续划过不等的弧，并能求出此弧差相对于该弧长增量或减量的比，则可求出当速度发生变化时，随之变化的阻力增量或减量间的比值。
总注
根据这些命题，我们可以运用摆体在介质中的摆动求出该介质的阻力。因此我通过以下实验求出了空气的阻力。首先取一个重 盎司，直径为 英寸的木质球，将它用细线悬挂在牢固的钩子上，且这个钩子与球体摆动中心的距离为 英尺。在悬线上距离悬挂中心10英尺1英寸处作一个标记，并在该点放置一把以英寸为单位的直尺，那么运用这个装置，就可以观察到摆体划过的长度。然后在球体摆动的过程中，当球体失去其运动的 时，记下此时球体摆动的次数。如果把摆体从自然下垂位置拉开2英寸，然后放手让其开始运动，那么在摆下落过程中划过的弧长即为2英寸，并且摆的第一次为全摆动（即是由球体下落过程以及随后的上升过程构成的整个摆动过程） 划过的弧长差不多等于4英寸。通过实验可知，当摆的运动损失了 时，球体的摆动次数为164次，并且在球体最后一次上升过程中，摆划过的弧长为 英寸。而如果在摆第一次下落过程中划过的弧长为4英寸，那么当球体的运动损失了 时，球体的摆动次数为121次，并且球体最后一次上升过程中划过的弧长为 英寸。与上述两个过程相同，如果摆在第一次下落过程中划过的弧长分别为8、16、32和64英寸时，那么当摆失去其运动的 时，相应的摆动次数分别为69、 、 和 。因此在上述的1、2、3、4、5、6次情况中，摆第一次下落过程中划过的弧长减去最后一次上升过程中划过的弧长，所得的差分别为 、 、1、2、4、8英寸。根据每次情况中的摆动次数，将这些差分为相应的等份，那么每次情况中摆动平均划过的总弧长分别为 、 、15、30、60、120英寸。于是摆体下落及其随后的上升过程中划过的弧的差分别等于 、 、 、 、 、 英寸。根据这些数据可得，若摆动幅度较大，那么这些弧差近似等于摆动中划过的弧长的平方，而如果摆动幅度较小，则弧差略大于弧长的平方。根据本编命题31推论2，可知：当摆体的速度非常大时，球体受到的阻力近似地与速度的平方成正比，而如果摆的速度较小，则受到的阻力与速度的平方的比值略大于上述比值。
刹车装置
刹车装置就是根据摩擦力所起的反作用原理。在碟形刹车器上，液压会迫使摩擦板紧压同样绕着轮轴旋转的一个金属碟，造成刹车效果。图为对这种碟形刹车器的测试，它所产生的巨大摩擦力甚至使它自身变热而擦出火花，因此刹车装置必须使用高耐热性的特殊材料来制作。
现在，如果当摆体任意摆动时，达到的最大速度用V 表示，并且A 、B 、C 为确定量，那么可以假设这些弧长的差为AV ＋ ＋CV 2 。因为在摆动过程中，摆体能达到的最大速度与摆动过程中划过的弧长的一半成正比，而在圆周运动中，最大速度则与这个弧的弦长的一半成正比。所以当摆划过的弧长相等时，摆线上的速度与圆周上的速度之比等于弧的一半与弧的弦之比，并且摆线上的速度要大于圆周上的速度，故可得圆周运动的总时间大于摆动时间，它们间的比值与速度成反比。由上述结论易推出，与阻力和时间的平方的乘积成正比的这些弧差在圆周和摆线上几乎是相等的。因为一方面当弧差增大时，速度也会按此简单比例增加，所以近似与弧和弦的比值的平方成正比的弧差随阻力的增大而增大。而另一方面，当摆线运动中的弧差减小时，弧差也按弧与弦的相同比值的平方，并且随时间的平方一起减小。因此为了将这些实验所做的观察的范围缩小到摆线运动上，必须取这些弧差等于我们在圆周运动中观察到的弧差，同时假设摆动中的最大速度近似正比全弧长的一半或是全弧长，即正比于数 、1、2、4、8、16。因此，在第2、4、6次情况中，V 的取值分别为1、4、16，那么在第2次情况中，弧差 ＝A ＋B ＋C ；在第4次情况中，弧差 ＝4A ＋8B ＋16C ；而在第6次情况中，弧差 ＝16A ＋64B ＋256C 。根据这三个方程求解，得A ＝0.0000916，B ＝0.0010847，C ＝0.0029558。将这三个值带入原方程中，得弧差等于0.0000916V ＋0.0010847V ＋0.0029558V 。将命题30的推论运用到这种情况中，由于当摆体运动到弧的中间时，速度为V ，球体的阻力与其重量之比等于 与摆长的比值，再带入A 、B 、C 的值，那么球体的阻力与重量之比则等于0.0000583V ＋0.0007593V ＋0.0022169V 2 与摆长的比值（即为摆的悬挂中心与直尺间的距离，即121英寸） 。由于在第2次情况中V 等于1，第4次情况中V 等于4，而第6次情况中V 等于16，所以在第2、4、6次情况中，阻力与重量之比，第2次为0.0030345∶121，第4次为0.041748∶121，第6次为0.61705∶121。
在第6次情况中，实验中细线上标记的点所划过的弧长为120- 英寸（或 英寸） ，而因为半径为121英寸，且悬挂点到球心之间的摆长为126英寸，故球心划过的弧长等于 英寸。由于空气对球体有阻力作用，因此摆动中的球体并不是在摆体划过的弧的最低点达到最大速度，而是在接近整段弧的中点处达到此最大速度，那么最大速度近似等于该球体在无阻力介质中摆动时，划过上述弧长的一半（即 英寸） 时达到的速度，并且此速度还近似等于上述实验中化简摆的运动后沿此摆线运动所达到的速度。因此最大速度等于当球体从相当于这个弧的正矢的高度垂直下落后，最终达到的速度。而在摆线运动中，球心划过的弧的正矢与弧长为 英寸的弧之比等于相同的弧（即 英寸的弧） 与2倍252英寸的摆长之比，故弧的正矢等于15.278英寸。综上所述，摆的最大速度等于该球体从高度为15.278英寸处垂直下落所获得的速度。当球体摆动的速度为此最大速度时，球体受到的阻力与其重量之比等于0.61705∶121，而如果我们只取与速度的平方成正比的那部分阻力，那么阻力与重量之比等于0.56752∶121。
而通过流体静力学的实验，我发现这个木质球的重量和体积与之相等的水球的重量之比等于55∶97。因为121与213.4的比值与这个比值近似，那么当这个水球按上述最大速度运动时，其受到的阻力与它的重量之比等于0.56752∶213.4（即为1∶ ） 。而又因为当水球做匀速运动时，其连续划过的长度为30.556英寸时，水球的重量将产生下落球体的全部速度，那么易知，在相同时间内，球体受到阻力连续而均匀的作用后，球体的速度将会被抵消一部分，这部分的速度与整个速度之比等于1∶ ，即该损失的速度为总速度的 。所以若该球体连续做匀速运动，当它划过的长度相当于其半径的长度（即 ） 时，在这段时间内，球体损失的运动为其运动的 。
同样，我也记录下了当摆体在其摆动过程中失去了其运动的 部分时，球体的摆动次数。在下表中，第一列的数字代表了摆体在第一次下落过程中，摆体划过的弧长，单位为英寸；第二列数字则代表摆体在最后一次上升过程中，其划过的弧长；而最后一列数字为球体的摆动次数。在这里，我之所以要补充这个实验，是因为此实验比上述实验（即球体失去其运动的 部分的那个实验） 更为精确。而相关的运算过程在此就不再加以详述了，有兴趣的读者可以自己算一算。
在此实验完成后，我又用铅球做了另一个实验。首先取出一个重 盎司，直径为2英寸的铅球，并把它用细线系在相同钩子上。与上述实验相同，其悬挂中心到球心的距离为 ，并且也记录下球体失去其给定部分的运动时，它的摆动次数。下列表中第一个表代表球体失去其运动部分的 时，球体的摆动次数，而第二个表则是球体失去其运动的 时，球体的摆动次数。
从第一个表中，取出第3次、第5次、第7次的实验记录，而这些记录中的最大速度则分别用1、4、16表示，并且如同前一个实验一样，此最大速度用变量V 表示。那么可得第3次观察中 ＝A ＋B ＋C ，第5次观察中， ＝4A ＋8B ＋16C ，第7次观察中 ＝16A ＋64B ＋256C 。根据这三个方程求解，得A ＝0.001414，B ＝0.000297，C ＝0.000879。因此，当球体以速度V 运动时，它受到的阻力与其重量 盎司之比等于0.0009V ＋0.000208V ＋0.000659V 2 与摆长（121英寸） 之比。但如果只取出阻力中与速度的平方成正比的部分，那么这部分阻力与球体重量之比等于0.000659V 2 比121英寸。但是在第一个实验中，这部分阻力与木球的重量（ 盎司） 之比等于0.002217V 2 比121英寸。因此，当木球与铅球的速度相等时，木球受到的阻力与铅球受到的阻力之比等于（ ×0.002217）∶（ ×0.000659），即 ∶1。而两个球的直径分别为 英寸和2英寸，那么它们的直径的平方之比即为 ∶4，近似等于 ∶1。因此以相同速度运动的这两个球体受到的阻力之比小于两个球体的直径平方之间的比值。但是在此我们尚未考虑细线在球体摆动时受到的阻力，虽然细线受到的阻力毫无疑问是相当大的，也应该将它从已求出的摆体受到的阻力中减去。但是因为我无法求出此阻力的精确值，而只能确定这个阻力大于一个摆长较小的摆受到的总阻力的 ，所以根据此结论求出，当分别减去细线受到的阻力后，两球体受到的阻力之间的比值近似等于两个球体的直径平方的比值。因为（ ）∶（1- ），或者是 ∶1，这两个比值都与直径的平方之比 ∶1非常近似。
因为当球体较大时，细线受到的阻力的变化率较小，所以我又取出一个直径为 英寸的球体，用这个球照上述过程做实验。取悬挂点与摆动中心间的摆长为 英寸，悬挂点与摆线上的标记点间的距离为 英寸。那么根据实验得到的数据，当摆开始运动后的第一次下落过程中，标记点划过的弧长为32英寸，而在其摆动五次后，在最后一次上升过程中，标记点划过的弧长为28英寸。这两段弧长的和或者在此过程中，摆体的一次全摆动划过的平均弧长为60英寸，且这两段弧长的差为4英寸。此弧长的 ，或者在摆体下落和上升时划过的弧的差的平均值，等于 英寸。因为在一次平均全摆动中，标记点划过的总弧长为60英寸，而球心在此过程中划过的总弧长为 英寸，那么这两个总弧长间的比值60∶ 即等于其半径之比 ，同时半径之比也等于弧长 与新的弧差0.4475之比。如果摆体划过的弧长保持不变，那么摆长应按126∶ 的比值增加，而摆动时间也会相应增加，摆的速度则按上述比值的平方变小。因此摆体在下落过程中划过的弧长与随后的上升过程中划过的弧长的差（如无特别说明，下文中的弧差都是指此弧差） 0.4475会保持不变。而如果摆体划过的弧按 与 的比值增加，那么弧差0.4475则会按此比值的平方增大，所以此时的弧差为1.5295。由假设条件可知，摆体受到的阻力与速度的平方成正比，故可推出如果摆划过的总弧长为 英寸，且悬挂点与摆动中心的距离为126英寸，那么下落与上升过程中的弧差为1.5295英寸。此弧差乘以下摆体的重量208盎司，得318.86。同理，在第一个木质球的实验中，取悬挂点到摆动中心的距离为126英寸，且摆动中心划过的总弧长为 英寸，那么弧差为 。将此弧差乘以木球的重量 ，得49.396。在此，我之所以用这些弧差乘以球体的重量，是为了求出球体受到的阻力。因为这些弧差是球体受到阻力作用后产生的，并且其与阻力成正比，与重量成反比，故两个球体受到的阻力之比为318.316∶49.396。但是当球体较小时，与速度的平方成正比的这部分阻力与总阻力的比值等于0.56752∶0.61675，即约等于45.453∶49.396。然而当球体较大时，与速度的平方成正比的那部分阻力则几乎与总阻力相等，所以这两个阻力的比值近似等于318.136∶45.453，约等于7∶1。而两球体的直径分别为 和 英寸，则直径的平方的比值 比 近似等于7.438∶1，即与球体受到的阻力的比值近似相等。因为这两个比值的差值不可能大于细线受到的阻力，故如果两个球体相等，那么在它们的速度相等时，与速度的平方成正比的那部分阻力与两球体直径平方的比值成反比。
然而，在上述实验中，所使用的最大球体并不是完全的球形，而且为了使计算过程简化，故忽略了一些微小的差量，因此上述实验其实并不是非常精确的，所以没有必要过多考虑计算的精确性。如果要让实验更精确，那么我希望在做上述实验时，不再只单独观察一个球体，而是取出更多球体，并且这些球体更大，形状也更趋近于球形。如果按等比级数选取球的直径，并且假设它们分别为4、8、16、32英寸，则可根据实验过程中记录下的级数，推出当球体较大时，摆体的运动情况。
同样，我也做了以下实验，以比较不同流体的阻力。首先取出一个长4英尺、宽1英尺、高1英尺的木质容器。在此不加盖的容器中注入泉水，并在泉水中放进一个摆体，使其在水中运动。其中挂在摆线上的铅球重 盎司，直径为 英寸，而悬挂点到细线上某一标记点的摆长为126英寸，悬挂点到摆动中心的距离为 英寸，实验中得到的相关数据如下表所示。
