流体的运动；流体施加于抛体的阻力
命题32 定理26
假设两组数目相等的粒子构成了两个相似的物体系统。在这两个物体系统中，对应的粒子所在处的密度之比为一个定值，并且对应粒子位置相似，单个对应粒子相似，且互成正比。如果当粒子开始分别在所在系统中运动时，在两个互成正比的时间段内，粒子的运动相似。而且除非离子发生反射，否则在同一系统中的粒子互不接触。同样，粒子间既不相互吸引，也不会相互排斥，而是只受到一个加速力的作用，此力与速度的平方成正比，与对应粒子的直径成反比。那么在两个成正比的时间段内，这两个系统中的粒子将继续在各自的系统中运动，并且它们的运动仍然相似。
空气阻力
空气阻力是指空气对运动物体的阻碍力，是运动物体受到空气的弹力而产生的。实验表明，物体所受的阻力与其受力面大小和角度直接相关。如图所示，方形面为高阻力，球形面为中阻力，而阻力最低的为流线形，它的延展面与气流方向一致，是最为理想的空气动力学设计。
在此命题中所说的相似的物体处于相似的位置，是指将两个系统中相对应的粒子相比较，当它们各自在两个成正比的时间段内做相似运动时，在这两个时间段段末粒子停留的位置仍然相似。又因为这两个时间段成正比，故在此时间内，两个系统中相对应的粒子经过的轨迹部分相似，且互成正比。因此如果假设现在有两个这样的系统，由于这两个系统中相对应的粒子开始运动时，它们的运动是相似的，故粒子接下来也会维持这种相似的运动，直至遇到另一个粒子。因为如果粒子没有受到任何力的作用，那么根据运动定律1，粒子将做匀速运动。但若相应粒子间确实存在某种力的作用，且此力与速度的平方成正比，与相应粒子的直径成反比；又因为粒子所在的位置相似，并且所受的力成正比，那么相应粒子受到的力都对粒子有推动作用，而且根据运动定律2，粒子受到的所有力复合而成的一个合力方向相似，产生的作用相同（其作用效果就如同此力是由各粒子的中心位置发出的力一样） 且这些合力相互间的比值等于复合成这些合力的若干力相互间的比值，即合力与速度的平方成正比，与对应粒子的直径成反比，故这些合力将使对应粒子在继续运动后所划过的轨迹相似。根据第1编命题4、推论1和推论8，如果这些粒子的中心是静止的，那么上述结论成立。但是若中心是移动的，那么由于物体的运动是相似的，且粒子系统中的位置也会保持相似，故粒子的运动轨迹所发生的变化也是相似的。所以处于相应位置的相似粒子在移动过程中，其运动将继续保持相似，直到粒子间第一次相遇，之后粒子间会发生相似的碰撞，然后反弹回来，那么在反弹后粒子又会做上文论述的相似运动，直到它们再一次相撞。粒子会重复这样的运动直至无限。
流体黏滞度实验
物体在流体中的运动与流体的黏滞度有直接关联，图中的实验显示了同一物体在不同黏滞度的液体中的运动状况。其中，在高黏滞度的糖浆中的下沉速度低于在低黏滞度的清水中的下沉速度。这表明了两者在流动性上的巨大差异。
证明完毕。
推论1 如果任意两个物体与系统的对应粒子相似，且所处位置也相似。当物体在两个成正比的时间段内，以类似的方式在系统中开始运动时，它们相互间的密度之比和体积之比等于相应粒子的密度和体积之比。那么这两个物体在成正比的时间段内，会继续做相似的运动，因为这两个系统中多数情况是相同的，同样系统中粒子的多数情况也是相同的。
推论2 如果两个系统中，所有的相似部分也处于相似位置，且这些部分相互间保持静止，这些部分中最大的两个分处于两个系统的相应位置。当它们分别沿着两条位置相似的直线以任意相似的方式开始运动时，这两个部分的运动将刺激系统中剩余部分的运动，并且在两个互成正比的时间段内，系统中的这两个部分也会在系统的剩余部分中以相似的方式运动，因此其运动的距离和直径都互成正比。
命题33 定理27
条件与上述命题相同，系统中较大部分受到的阻力与此系统部分的密度、速度的平方、直径的平方三者间的乘积成正比。
因为系统中的粒子受到的阻力部分产生于粒子间相互作用的向心力或离心力，而部分则产生自粒子与较大部分间的碰撞以及反弹。上述第一类阻力相互间的比值与产生这一部分阻力的总驱动力成正比，即是与总加速力和对应部分物质的量的乘积成正比。根据假设条件可知，这部分阻力与速度的平方成正比，与相应粒子间的距离成反比，与物质的量成正比；且因为一个系统中粒子间的距离与另一个系统中相应粒子间的距离之比等于前一系统中粒子或部分的直径与另一个系统中相应粒子或部分的直径之比；而且也因为物质的量与系统中该部分的密度成正比，且与该部分的直径的立方成正比，故系统中一部分受到的阻力相互间的比值与该部分速度的平方以及直径的平方成正比，而且也与该部分的密度成正比。
音爆
当物体接近音速时，会有一股强大的阻力，使物体产生强烈的振荡，从而使速度衰减。这一现象被俗称为“音障”。突破音障时，由于物体本身对空气的压缩无法迅速传播，逐渐在物体的迎风面积累而终形成激波面，在激波面上声学能量高度集中。这些能量传到人们耳朵里时，会让人感受到短暂而极其强烈的爆炸声，称为“音爆”。
而上文中的后一类阻力则与对应粒子或部分的反弹次数和这些反弹力的乘积成正比，其中反弹次数间的比值与系统中对应部分的速度成正比，与反弹间距成反比。而反弹力则与对应部分的速度、体积以及密度这三者间的乘积成正比，因为体积与直径的立方成正比，故反弹力与对应部分的速度、密度以及直径的立方这三者的乘积成正比。将上述所有的比值综合起来，即得到对应部分受到的阻力间的比值与其速度的平方、直径的平方以及密度这三者间的乘积成正比。
证明完毕。
推论1 如果两个系统如同空气一样是弹性流体，处于其中的各部分间相互保持静止。在流体的相似位置放置两个相似物体，并且这两个物体的体积和密度与其所在的流体部分成正比，将这两个物体朝相似的方向抛出，流体间各粒子相互作用的加速力与物体速度的平方成正比，与其直径成反比。那么当这两个物体在相应流体中运动时，在互成正比的两个时间段内，它们在流体中激起的运动相似，并且两个物体通过的距离相似，分别与其直径成正比。
推论2 在相同的流体中，当抛体快速运动时，其受到的阻力近似地与速度的平方成正比。因为如果相隔较远的粒子相互作用的力与速度的平方成正比（即随速度的平方增大），那么抛体受到的阻力也精确地与该速度的平方成正比。因此如果一个介质中互不接触的部分相互间无任何力的作用，那么物体在此介质中运动时，受到的阻力精确地与其速度的平方成正比。由此假设有三个由相似粒子构成的介质A 、B 、C ，且介质中各部分均匀分布，间距相等。介质A 、B 中各部分相互作用的力使这些部分相互远离，分别用T 和V 表示这些力，而介质C 中则无任何力的作用。如果四个运动的物体D 、E 、F 、G 分别进入这三个介质，其中物体D 和E 分别在介质A 和B 中运动，物体F 、G 则在介质C 中运动。如果物体D 的速度与物体E 的速度之比等于物体F 的速度与物体G 的速度之比，且此相等的比值等于力T 与V 的比值的平方根；则物体D 受到的阻力与物体E 受到的阻力之比也等于物体F 受到的阻力与物体G 受到的阻力之比，且这两个相等的比值等于其速度平方间的比值。所以物体D 受到的阻力与物体F 受到的阻力之比等于物体E 受到的阻力与物体G 受到的阻力之比。假设物体D 的速度与物体F 的速度相等，物体E 的速度也等于物体G 的速度，且物体D 和F 的速度按任意比值增加，而介质B 中各部分间的力则按上述相等比值的平方减小，由此介质B 将逐渐任意趋近于介质C 的形状和条件。于是当速度相等的相同物体F 和G 分别在这两个介质中运动时，它们受到的阻力将趋于相等，直至最终这两个阻力的差小于任意给定值。因为物体D 和F 受到的阻力之比等于物体E 和G 所受阻力之比，故物体D 和F 受到的阻力也会按相似的方式变化，最终趋于相等。所以当物体D 和F 的速度非常大时，其受到的阻力极其近似。又因为物体F 受到的阻力与速度的平方成正比，故物体D 受到的阻力也近似地与速度的平方成正比。
货船的受力
在这艘拖船和平底货船之间，有几种力同时发生作用：水的摩擦力的方向与船只行进的方向相反；货船重力朝下的力量与水对船向上的浮力相平衡；拖船前拖的力量与货船自身的重量相抗。
推论3 当物体以极快速度在一弹性流体中运动时，其受到的阻力几乎就如同这个物体的各粒子间无离心力的作用，故各部分不会发生相互远离的情况。但是上述情况中的流体的弹性应由各粒子间的离心力产生，并且物体的速度非常大，使各粒子间没有足够的时间相互作用。
推论4 因为当相似物体在介质中（此介质中各距离较远的部分之间并没有相互的远离运动）以相等速度运动时，其受到的阻力与物体直径的平方成正比，故当物体以相等的极大速度在一个弹性流体中运动时，其受到的阻力近似地与物体直径的平方成正比。
推论5 因为当相似且相等的物体以相同的速度在密度相等的介质中运动时（介质中的这些粒子相互间无远离运动），无论构成介质的粒子的大小及重量是多少，在同一时间内物体撞击的物质是等量的。所以物体对这些物质施加的运动量相等。而根据第三运动定律，反过来物体也会受到这些物质等量的反作用，即是受到的阻力相等。由此可证明，当物体以极大速度在密度相等的弹性流体中运动时，无论此流体是由较大部分或极其微细的部分构成，物体受到的阻力都几乎相等。因为当抛体的速度极大时，其受到的阻力并不会因为构成流体的部分极其微细而明显减小。
推论6 当流体的弹性力产生于粒子间的离心力时，上述结论皆成立。但是如果弹性力是由其他原因产生的，比如说弹性力产生自像羊毛球和树枝那样的膨胀，或是其他任意原因，只要该力阻碍了流体间粒子的相互自由运动，那么由于介质的流体性会因此变小，故此时物体受到的阻力比上述推论中的阻力大。
命题34 定理28
如果一个稀薄介质由相等的粒子构成，粒子在其中自由分布且距离相等。当直径相等的球体和圆柱体速度相等，沿圆柱体的轴在此介质中运动时，球体受到的阻力只有圆柱体受到的阻力的一半。（如图7-1）
（图7-1）
根据运动定律推论5，无论物体是在静止介质中运动，还是介质中各粒子以相同速度撞击静止物体，介质对物体的作用都是相同的，故可假设物体是静止的，来观察运动的介质会对该物体施加何种推力。假设以C 为球心，CA 为半径，作一个球体ABKI 。介质中各粒子沿平行于直线AC 的方向，以某一已知速度作用于球体，FB 则为这些平行直线中的一条。在直线FB 上取线段LB ，使LB 等于半径CB ，并以点B 为切点作球体的切线BD 。再作直线BE 、LD 分别垂直于直线KC 、BD 。以球体直径ACI 为轴，作一个圆柱体ONGQ 。那么当介质中的一个粒子沿直线FB 的方向斜向撞击球体时，其撞击点为点B ，而同一粒子撞击圆柱体的点则为点b 。此粒子撞击球体的力与撞击圆柱体的力之比等于LD ∶LB 或BE ∶BC 。而当粒子对球体的作用是沿其入射方向FB 或AC 推动球体时，此力的效率与相同力沿粒子撞击球体的方向BC 推动球体的效率，这二者间的比值等于BE ∶BC 。综合以上所述的比值，可得，当一个粒子沿直线FB 方向倾斜地作用于球体，使其沿粒子的入射方向FB 运动时，该力的效率与当相同粒子沿直线FB 方向垂直作用于圆柱体，使其同样沿粒子的入射方向运动时，这个力的效率，这二者间的比值等于BE 2 ∶BC 2 。如图7-1所示，可知bE 垂直于圆柱体NAO 的圆底面，且与半径AC 相等。因此如果在bE 上取一点H ，使bH 等于 ，那么bH 比bE 等于粒子作用于球体的效力与其作用于圆柱体的效力之比。故当所有的线段bH 组合起来构成一个立方体，且所有的线段bE 也组合起来构成一个立方体时，这两个立方体的比值等于所有的粒子作用于球体的效力以及所有粒子作用于圆柱体的效力之比。但是因为前一个立方体是一个抛物面的，其顶点为C ，轴为CA ，通径为CA ，而后一个立方体是抛物面的外接圆柱体，已知抛物圆是其外接圆柱体的一半，故可推出，介质作用于球体的总力等于介质作用于圆柱体的总力的一半。所以如果介质中的粒子处于静止状态，而圆柱体和球体以相等速度在介质中运动时，球体受到的阻力是圆柱体受到的阻力的一半。
证明完毕。
附注
运用与上述相同的方法，也可以比较其他形状的物体受到的阻力，并由此可得到何种形状的物体最适合在阻碍介质中维持其运动。（如图7-2）若以O 为中心，OC 为半径作一圆底面CEBH ，再以OD 为高度，作一个平截头圆锥体CBGF 。那么当CBGF 沿轴OD 向点D 运动时，与其他任何底面和高度与之相同的平截头圆锥体比较，其受到的阻力最小。取OD 的平分点Q ，再延长OD ，在此直线上取QS 等于QC ，那么点S 则是已求出的平截头圆锥体的顶点。
（图7-2）
顺便指出，因为角CSB 始终是锐角，（如图7-3）如果固体ADBE 是由椭圆形或者卵形绕轴AB 旋转形成的，并且三条线段FG 、GH 、HI 分别与形成的图形ADBE 相切于点F 、B 、I ，使线段GH 与轴相垂直，切点为B ，而FG 、HI 以及GH 的夹角角FGB 与角BHI 都是135。当这两个立方体都沿共轴AB 由A 到B 方向运动时，绕同一条轴AB 旋转形成的立方体ADFGHIE 受到的阻力要小于前一个立方体受到的阻力。而且我认为本命题运用到船只制造中时是非常有意义的。
（图7-3）
如果图形DNFG 是这样一条曲线：过任意点N 作直线NM ，垂直于轴AB 。又过定点G 作直线GR ，平行于一条与图形相切的切线。且GR 与轴的延长线交于点R 。那么MN ∶GR ＝GR 3 ∶（4BR ×GB 2 ），而且当图形DNFG 绕轴AB 旋转产生的立方体在上述稀薄介质中从A 到B 运动时，其受到的阻力小于其他任意长度与宽度与之相等的圆形立方体。
命题35 问题7
已知一个稀薄介质由体积相等的极小粒子构成，这些粒子静止地自由分布在距离相等处。若球体在此介质中做匀速运动，求球体受到的阻力。
情形1 已知圆柱体的直径和高度相等，它沿其轴的方向以相等的速度在相同介质中运动。假设落在球体或圆柱体上的介质粒子反弹回来的力尽可能大。根据命题34可知，球体受到的阻力是圆柱体受到的阻力的一半。又因为球体与圆柱体之比等于2∶3，且垂直落在圆柱体上的粒子被圆柱体以最大的力反弹回来，并传递给这些粒子的速度是圆柱体速度的两倍。由此可推出，当圆柱体在此介质中做匀速运动，通过的距离为轴长的一半时，圆柱体传递给粒子的运动与圆柱体的总运动之比等于介质与圆柱体的密度之比。而当球体在此介质中做匀速运动，通过的距离为其直径的长度时，其传递给粒子的运动等于此球体的运动；当球体运动的距离为直径的 时，其传递给粒子的运动与球体的总运动之比等于介质与球体的密度之比。因此在球体做匀速运动通过其直径的 所用时间内，存在一个力使球体的总运动全部抵消或产生，而球体受到的阻力与此力之比等于介质与球体的密度之比。
情形2 假设介质中粒子与球体或圆柱体碰撞后，并不会反弹回来。当粒子垂直落在圆柱体上时，圆柱体只会将它的速度传递给粒子，故圆柱体受到的阻力只是情形1的一半。同样地，球体受到的阻力也只是情形1中的一半。
情形3 假设介质粒子与球体碰撞后，会反弹回来，但是其反弹力并不是最大值，也不是一点力都没有，而是为某个平均力。在这种情形下，球体受到的阻力是第一种情形中阻力与第二种情形中阻力的比例中项。
证明完毕。
推论1 如果球体和粒子都是无限坚硬的，且两者都完全没有弹性力，故它们间也完全没有反弹力。在此坚硬球体经过其直径的 时间内，存在一个力使此球体的运动全部抵消或产生，那么球体受到的阻力与此力之比等于介质与球体的密度之比。
推论2 在推论1的条件下，球体受到的阻力与速度的平方成正比。
推论3 在推论1的条件下，球体受到的阻力与其直径的平方成正比。
推论4 在推论1的条件下，球体受到的阻力与介质密度成正比。
推论5 球体受到的阻力与速度的平方，直径的平方以及介质密度，这三者的乘积成正比。
推论6 因此球体的运动和其受到的阻力可以这样表示。（如图7-4）假设球体因均匀阻力的持续作用而失去全部运动所用的时间用线段AB 表示，分别过点A 、B 作直线AD 、BC 垂直于AB 。而球体的总运动用BC 表示，以AD 、AB 为渐近线，作一条通过点C 的双曲线CF 。延长AB 至任意点E ，并过点E 作垂线EF ，与双曲线CF 交于点F 。过C 、B 、E 三点作一个平行四边形CBEG ，再连接AF ，与BC 交于点H 。如果当球体以其初始运动在无阻力介质中运动时，在任意时间BE 内，其均匀划过的距离用平行四边形面积CBEG 表示，而在相同条件下，当球体在阻碍介质中运动时，其划过的距离用双曲线面积CBEF 表示，那么在任意时间BE 末，球体的运动用纵轴EF 表示，而在阻碍介质中球体损失的运动为FG 。在该时间段末，球体受到的阻力用长度BH 表示，而失去的阻力部分则用CH 表示。该推论中的所有表示都可运用第2编命题5的推论1和推论3来证明。
（图7-4）
推论7 如果球体因受到均匀阻力R 的持续作用，而在时间T 内损失其全部运动，而当同一球体在阻碍介质中运动时，在时间t 内，因介质中阻力R 随球体速度的平方减小，故球体失去其总运动M 的一部分 ，余下的部分为 ，且其通过的距离与当球体在同一时间t 内以均匀运动M 划过的距离之比等于 的对数与2.302585092994的乘积和 的比值，因为双曲线面积BCFE 与矩形BCGE 的比值也等于此比值。
附注
在此命题中，我已展现出了当抛射球体在不连续的介质中运动时，其受到的阻力以及运动减缓的情况。同时也可求出，在球体匀速运动通过自身直径的 长度的时间内，存在一个力使球体的总运动全部被抵消或产生，且阻力与此力的比值等于介质与球体的密度之比。但只有当球体和介质粒子都有完全的弹性力，并在相撞时获得最大的反弹力时，上述结论才成立。而当球体和介质粒子都是无限坚硬，且无任何反弹力作用时，上述力就会减弱一半。然而当球体在连续介质中（如水、热油、水银）通过时，它并不与产生阻力的所有流体粒子立即碰撞，而是压迫周围临近的粒子，这些粒子又压迫较远处的粒子，远处的粒子又压迫其他的，以此过程扩散到整个流体中，在这种介质中的阻力减少一半。当球体在这些流体性强的流体中运动时，其受到的阻力与在它以匀速运动通过自身直径的 长度的时间内，使球体总运动全部被抵消或产生的力之比等于介质与球体的密度之比。接下来我将证明这一结论。
命题36 问题8
已知水从一柱形容器的底面小洞中流出，求水的运动。（如图7-5）
（图7-5）
已知ACDB 是一个圆柱形容器，AB 是容器上端开口，CD 为与水平面平行的容器底面，而EF 则是位于底面中心的圆形小孔，G 为其中心，GH 是圆柱的轴，与水平面相垂直。假设与容器内腔等宽且共轴的冰柱APQB 匀速垂直下落，它的各部分一接触平面AB 就立即融化，并因受到其本身的重量作用而流入容器。在此过程中，形成水柱ABNFEM ，最终恰好完全充满小孔EF ，然后就沿此孔流出容器。已知冰柱匀速下落的速度，以及在圆AB 内连续水流的速度，这两者都等于下落的水通过距离IH 获得的速度，且IH 与HG 位于同一条直线上。过点I 作平行于水平面的线段KL ，分别与冰块的两边交于点K 、L 。已知水从小孔EF 流出时的速度等于水从点I 下落通过距离IG 后达到的速度。因此，通过伽利略的定理可推出，IG 与IH 之比等于水从小孔流出时的速度与水在圆AB 处的速度的比值的平方。换言之，此比值等于圆AB 与圆EF 的比值的平方。此二圆与在相等时间内，恰好填满并通过相应圆的等量水流的速度成反比。到目前为止，上述谈论的速度都只是水流向地平面的速度，至于那些平行于水平面，使下落的各部分水相互聚拢的速度，因为它并非由重力产生，而且也不影响垂直于水平面，由重力产生的速度，故此部分速度并未考虑在内。在此过程中，的确需要假设水的各部分间存在某种凝聚力，使得下落的水的运动中有些微部分是与水平面平行的，这样就能防止水分散成几部分水流，而是相互靠拢形成一条水柱。但在本命题中，我们并不考虑由此内聚力产生的与水平面平行的运动。
情形1 假设在容器内，下落水流ABNFEM 的周围都充满了冰，使水流过时，这些冰所起的作用就如同一个漏斗。如果水流并不与冰接触，而只是与冰非常接近，或者是另一种与之效果相同的情形，即因为冰的平面非常光滑，故虽然水与之相接触，但是水却能在上面自由流动，而不受到任何阻力的作用。那么当水从小孔EF 流出时，速度仍然等于之前的速度，且水柱ABNFEM 的重量依然是使水从小孔中流出的力，而容器底部则承担了所有该水柱周围的冰的重量。
若现在容器中的冰融化，那么流出的水仍保持不变，其速度也保持不变。而速度之所以不变小，是因为冰融化后也有下落倾向，同时也不变大是因为冰变成了水之后，因为相等的力在流动的水中始终只能产生相同的速度，故其下落速度与其他的水相等，所以不会阻碍其他水的下落。
但是由于流水粒子也有斜向运动，故在容器底部小孔处的水流一定会略大于以前。因为现在并不是所有的水粒子都是垂直通过小孔的，而是从容器边的所有方向流向小孔，并且在其通过小孔时，它的运动是与水平面倾斜的。这些水汇聚而成的水流，在小孔下面的直径要略小于小孔处的直径，且如果我的测量结果是正确的，这两个直径之比等于5∶6，或者是约等于 比 。首先选取一块极薄的平板，在其正中凿一个直径为 英寸的圆孔。为了使下落的水流不加速，而使水流更细，我并没有把平板固定在容器底部，而是固定在容器的旁边，使水流流出的方向与水平面相平行。当容器装满水后，打开小孔让水流出，然后在距小孔大约半英寸的地方，测出水流直径的极精确值是 英寸。因此小孔直径与水流直径的比值约等于25∶21。所以水从各个方向汇集然后穿过小孔，而在此之后因为汇聚作用，水的直径会变小，且直径变小后，水流的速度也会相应加快，直至到达距小孔半英尺处。此处水流虽然变小，但其速度却更大，该速度与水流在小孔处的速度之比等于（25×25）∶（21×21），或近似等于17∶12，即约等于 ∶1。现在通过实验可以确认，当水从容器底部的小孔流出时，在给定时间内，流出的水量等于在相等时间内，以上述速度从另一个圆形小孔流出的水量（此圆形小孔的直径与容器底部小孔的直径之比为21∶25） 。因此水流穿过小孔时的下落速度近似等于重物从容器中静止水高度的一半下落时获得的速度。但是，当水从小孔中流出后，因受到内聚力的作用，故水流仍会继续加速，直到其与小孔的距离约等于小孔的直径，且达到的速度与另一个速度之比约为 ∶1（此另一速度是重物从相当于容器中静止水高度处下落后，所达到的速度的极其近似值） 。
接下来用EF 较小孔代表水流的直径（如图7-6） ，并且假设另一平面V W位于小孔EF 上方，平行于底面。而其与小孔EF 的距离等于小孔的直径，且在平面VW 上凿一个更大的小孔ST ，使恰好充满小孔EF 的水流在穿过ST 时也恰好充满它，那么ST 的直径与EF 的直径之比约等于25∶21。运用这个方法，水流在流经小孔EF 时与小孔垂直，而流出的水量则取决于小孔EF 的大小，这和本问题的最终求解是非常相似的。平面VW 与EF 间的空间以及下落的水流可视为容器底。但是为了让求解过程更加简便、更数学化，则最好只取平面EF 为容器底面，且假设水通过冰块时，就如同通过漏斗一样，顺着冰块从小孔EF 流出容器，此过程中水保持连续运动，而冰则保持静止。因此接下来设ST 是以Z 为圆心作的圆孔，且当容器中装满水时，水全部从这个孔流出。EF 则为另一个小孔的直径，且无论水是从容器中的上表面小孔ST 流出，还是通过容器中的冰块就像穿过漏斗一样流出，水在流经小孔EF 时恰好充满它。已知上表面的小孔直径ST 与下表面小孔直径EF 之比为25∶21，且两平面间的垂直距离等于较小洞EF 的直径。那么此时水通过小孔ST 的速度相当于物体从高度IZ 的一半自由下落后获得的速度，而水下落时通过小孔EF 的速度则相当于物体从高度IG 自由下落获得的速度。
（图7-6）
情形2 如果小孔EF 不处于容器底面的中心，而是处于此底面上的其他位置，但此洞的大小不变，那么水仍以相等的速度通过此孔。因为虽然重物垂直自由下落的时间比其沿斜线下落时通过同一高度的时间要短，但是正如伽利略所证明的，物体在这两种情况下获得的速度是相等的。
情形3 如果水从容器一侧的小孔流出，那么速度也是相等的。因为若洞很小，而使表面AB 与KI 的间距可以忽略不计，而沿水平方向自容器侧流出的水流运动轨迹为抛物线。由此抛物线的通径可知，水的流动速度等于物体从静止水面IG 或HG 的高度处下落获得的速度。而通过实验，我发现如果静止水面距小孔的高度为20英寸，且小孔距一平行于水平面的表面的高度也是20英寸，从此小孔中流出的水在此平面上的落点，其到小孔所在平面的垂直距离约等于37英寸。但若水在下落时没有受到阻力作用，水流在平面上的落点距上述平面的距离应为40英寸，而抛物线的通径则为80英寸。
情形4 如果水流是朝上喷出的，那么其速度仍会保持不变。因为朝上喷出的细水流会一直做垂直运动，直到容器中静止水的高度GH 或GI ，而水上升的过程中受到的极小空气阻力则忽略不计。因此水朝上喷出的速度等于其从相同高度下落后获得的速度。由第2编命题19可推出，容器中静止水里的每个粒子在各方向都受到的压迫力相等，且无论从容器底的小孔流出还是从容器侧的小孔流出，或是沿上表面的管道向上喷出，水流都会屈服于这些压力，而倾向于受到相等的力而沿某处流出。此结论不但可通过推导得出，还可以通过上述著名的实验证明，水流出的速度等于本命题中推导出的速度。
情形5 无论小孔的形状是圆形、方形、三角形或是其他任意形状，只要其面积与圆孔的面积相等，水流出的速度也相等。因为水流的速度并不取决于小孔的形状，而只取决于平面KL 到小孔的距离。
情形6 如果容器ABDC 的下部分充满静止的水（如图7-7） ，且静止水在容器底上的高度为GR ，那么容器内水从小孔EF 流入静止水的速度等于水从高度IR 下落获得的速度。因为位于静止水面下的容器内水的所有重量都由于有静止水的支撑作用而保持平衡，故容器内下落的水并不会因此加速。此情形同样也可通过测量水流出的时间得证。
（图7-7）
推论1 如果增加水的深度CA 至K ，使AK 与CK 的比值等于位于容器底任意位置的小孔面积与圆AB 的面积的比值的平方，那么水流的速度等于水从高度KC 下落获得的速度。
推论2 产生水流的全部运动的力等于一个水柱的重量，此圆柱体以小孔EF 为底面，高为2GI 或2CK 。因为当水流等于该水柱时，由于其自身重量而从高度GI 落下的速度即等于水流速度。
推论3 容器ABDC 中所有水的重量与其中使水流出的那部分水的重量之比等于圆AB 与EF 的和与圆EF 的两倍之比。已知IO 为IH 和IG 的比例中项，那么在水滴从高度IG 下落的时间内，水从小孔EF 流出的水相当于一个圆柱体，此圆柱体以圆EF 为底面，高度为2IG ，即也等于以圆AB 为底，高度为2IO 的圆柱体。因为圆EF 与圆AB 的比值等于高度IH 与高度IG 的比值的平方根，即等于比例中项IO 与高度IG 的比值。此外，在水滴从点I 开始下落并通过高度IH 的时间内，流出的水相当于一个圆柱体，此圆柱体以圆AB 为底，高度为2IH 。而在水滴从点I 下落，经过点H 到达点G （此过程中通过高度差HG ）的时间内，立方体ABNFEM 内装的水等于圆柱体的差，即等于以圆AB 为底，高为2HO 的圆柱体。因此容器ABDC 内所有的水与在上述立方体ABNFEM 内下落的水之比等于HG 比2HO ，即等于HO ＋OG 比2HO ，或IH ＋IO 比2IH 。但是立方体ABNFEM 内所有水的重量都作用于水，使水得以流出，故容器内所有水与使水流出的那部分水之比等于IH ＋IO 比2IH ，所以也等于圆EF 与AB 的和比圆EF 的两倍。
液压机的原理
液压机的出现在技术上实现了用一个较小的力来使重型物体发生位移。根据帕斯卡定律，向在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。即如帕斯卡所说：“使100磅水移动1英寸，与使1磅水移动100英寸显然是一回事。”
推论4 因为容器ABDC 内所有水的重量与容器底支撑的另一部分重量之比等于圆AB 与EF 的和比AB 与EF 的差。
推论5 容器底支撑的那部分重量与使水流出的另一部分重量之比等于圆AB 与EF 的差比较小圆EF 的两倍，或是等于底面的面积比小孔的两倍。
推论6 压迫底面的那部分重量与水垂直压迫底面的总重量之比等于圆AB 比圆AB 与EF 的和，或者等于圆AB 与AB 的两倍减去底面积所得的差之比。因为根据推论4，压迫底面的那部分重量与容器内水的总重量之比等于圆AB 和EF 的差比圆AB 和EF 的和，而容器内所有水的重量与垂直压迫底面的那部分重量之比等于圆AB 比圆AB 和EF 的差。上两个比例式的对应项相乘，得压迫底面的那部分水的重量与垂直压迫底面的所有水的重量之比等于圆AB 比圆AB 和EF 的和，或等于圆AB 比它的两倍减去底面的差。
推论7 如果在小孔EF 的正中放置一个小圆PQ （如图7-8），它以G 为圆心，平行于水平面，那该圆承担的水的重量大于以该小圆为底，高为GH 的水柱重量的 。如上所设，ABNFEM 仍是以GH 为轴的水柱，而所有不影响水柱顺利而迅速下落的水都被冷冻，这其中也包括水柱周围以及小圆上的水柱。PHQ 是位于小圆上被冻结的水柱，其顶点为H ，高度为GH 。假设此水柱因受到其自身重量而下落，而除了在水柱刚开始下落时其顶点或许会变成凹形，其余时候它既不依靠在PHQ 上也不压迫它，而是不受到任何摩擦力地自由下滑。由于围绕水柱的冷冻部分AMCE 和BNFD 内表面AME 和BNF 朝向水柱凸起，故它会大于以小圆PQ 为底，高为GH 的圆锥体，即大于同底同高圆柱体的 。于是小圆承受了水柱的重量，此重量大于圆锥体的重量，或大于圆柱体重量的 。
（图7-8）
推论8 当圆PQ 非常小时，其承受的水的重量似乎小于一个圆柱体重量的 ，此圆柱体以小圆PQ 为底，高度为HG 。因为如上假设条件，假设以小圆PQ 为底的半椭球的半轴或高度为HG ，且此图形等于圆柱体的 ，包含在凝结水柱PHQ 内，其重量由小圆承受。虽然水的运动方向是垂直向下的，但由于在水下落过程中连续加速时，水流会因此变细，故水柱的外表面与底面PQ 相交的角必定是一个锐角。因此由于此角度比直角小，故该水柱的下面部分将位于半椭球内。而水柱的上半部分则仍然是锐角或聚集在一点，因为水是由上向下运动的，故顶点处水的水平运动速度必定大于水平面处的水平运动速度。并且圆PQ 越小，水柱顶点处的锐角就越小。那么当圆PQ 无限减小时，角PHQ 也无限缩小，故水柱小于半椭球，或小于以小圆PQ 为底，高为GH 的圆柱体的 。于是小圆承受的水的力等于该水柱的重量，而其周围的水则使水从小孔流出。
推论9 当圆PQ 非常小时，其承受的重量约等于一个水柱的重量，此水柱以PQ 为底，高度为 GH 。这是因为此重量是上述圆锥体的重量和半椭球重量的算术平均值。但是如果此小圆并不是非常小，相反它会一直变大，直至与小孔EF 相等，那么此时PQ 承受的重量是垂直落在其上的所有水的重量，即为以该小圆为底，高为GH 的圆柱体的重量。
推论10 就目前我所推出的所有结论，小圆承受的压力与该小圆为底，高为GH 的圆柱体的重量之比等于EF 2 与EF 2 - PQ 2 之比，或者近似圆EF 与其减去小圆PQ 的一半所得的差之比。
引理4
如果圆柱体沿着其长度方向做匀速运动，且它受到的阻力完全不会因为长度的增减而有所改变，那么此阻力与直径相同的圆受到的阻力相等，其中此圆以相同速度沿垂直于圆面的方向做匀速运动。
由于圆柱体的各边不对抗其运动，故当其长度无限减小时，圆柱体变为一个圆面。
命题37 定理29
如果圆柱体在无限压缩的无弹性流体中，沿着其长度方向做匀速运动，那么在圆柱体通过的长度为其自身长度四倍的时间。（如图7-9）
（图7-9）
已知容器ABDC 通过底面CD 与静止水面接触，且水通过垂直于水平面的柱形通道EFTS 流入静止水中，而小圆PQ 位于通道内与水平面平行的任意位置。延长CA 至K ，使AK 与CK 之比等于通道内小孔减去小圆PQ 的差与圆AB 的平方之比。根据命题36的情形5、6以及推论1可推知，水通过小圆和容器边间的环状空间时的速度等于水从高度KC 或IG 下落时获得的速度。
而根据命题36推论10，如果容器无限宽，使得短线段HI 消失，高度IG 等于HG 。而水流下时对小圆的压迫力与以该小圆为底，高度为 IG 的圆柱体的重量之比近似等于EF 2 比EF 2 - PQ 2 。因为无论小圆PQ 位于通道内的任何地方，水向下匀速运动通过整个通道时，对小圆PQ 的压迫力都是相等的。
现在假设通道口EF 、ST 关闭，小圆上升过程中，各个方向都受到流体的阻力，且它迫使其上方的水通过小圆与容器边的环形空间下落，那么小圆上升的速度与水下落的速度之比等于圆EF 减去PQ 的差与圆PQ 之比。而圆上升的速度与这两个速度的和（即下落的水经过上升的小圆时的相对速度） 之比等于圆EF 与PQ 的差和圆EF 之比，或者等于（EF 2 -PQ 2 ）∶EF 2 。已知相对速度等于小圆静止时，水经过环状空间的速度，即等于水从I 点下落经过高度IG 所达到的速度。根据运动定律推论5可知，水对上升小圆的压迫力仍然与以前相同，即小圆上升时受到的阻力与以小圆为底，高为 IG 的水柱的重量之比近似等于EF 2 ∶（EF 2 - PQ 2 ）。但是小圆的速度与水从高度IG 下落获得的速度之比等于（EF 2 -PQ 2 ）∶EF 2 。
已知通道的宽度无限增大，那么（EF 2 -PQ 2 ）∶EF 2 最终等于EF 2 ∶（EF 2 - PQ 2 ）。因此此时小圆的速度等于水从点I 下落经过高度IG 获得的速度，且其受到的阻力等于一个圆柱体的重量，此圆柱体以小圆为底，高度为 IG 。而圆柱体从高度IG 下落所获得的速度等于小圆上升的速度，在圆柱体下落的时间内，若它以此速度运动，那么其通过的距离为其长度的四倍。但是根据引理4，当圆柱体以此速度沿其长度方向运动时，其受到的阻力等于小圆受到的阻力，此阻力近似等于圆柱体经过其长度的四倍时，产生它的运动的力。
如果柱体的长度增减时，它的运动以及其经过其四倍长度的时间也会按相同比例增减，故使如此增减的运动产生或抵消的力保持不变。而又因为时间按此比例增减，并且根据引理4，阻力也保持不变，故该力始终等于圆柱体受到的阻力。
若圆柱体的密度增减，那么其运动以及使它的运动在相同时间内产生或抵消的力也会按此相同比例增减。因此任意圆柱体受到的阻力与在其通过自身长度的四倍的时间内使总运动产生或抵消的力之比约等于介质密度与圆柱体密度之比。
证明完毕。
只有被压缩后的流体才是连续的，而只有当流体为连续和非弹性时，由它产生的所有压力才会立即得到传播，这样一来，作用于运动物体上各部分的相同力不会引起阻力的变化。物体的运动产生的阻力则用于产生流体各部分的运动，阻力则由此产生。但是只要压力是即时传播，不产生连续流体内各部分的任何运动，那么不论由流体的压缩而产生的压力有多大，都不会使其中的运动发生任何改变，故阻力既不会增加也不会减小。由此确定由压缩产生的流体作用不会使运动物体各部分的前半部分弱于后半部分，故本命题内的阻力不会减弱。若相较于受压迫物体的运动，压缩力的传播无限快，那么前部分的压缩力也不会强于后部分的压缩力。但是若流体是连续、非弹性的，那么其压缩作用会无限快，并且会立即得到传播。
