推论1 当圆柱体在无限的连续介质中沿其长度方向做匀速运动时，它受到的阻力与速度的平方，直径的平方以及介质密度三者的乘积成正比。
推论2 如果通道的宽度不会无限增大，而圆柱体在通道的静止介质中沿其长度方向运动，且它的轴始终是与通道的轴重合的，那么其阻力与在它通过长度为本身四倍的时间内使其总运动产生或抵消的力之比等于EF 2 ：（EF 2 - PQ 2 ），EF 2 ：（EF 2 -PQ 2 ），以及介质密度与圆柱体密度的比值这三者的乘积。
推论3 （如图7-10）如上述条件，已知长度L 与圆柱体长度的四倍之比等于（EF 2 - PQ 2 ）：EF 2 与（EF 2 -PQ 2 ）∶EF 2 的乘积，那么圆柱体受到的阻力与在其通过长度为L 的时间内，产生或抵消总运动的力之比等于介质密度与圆柱体密度之比。
（图7-10）
附注
在此命题中，我们只探讨了由圆截面产生的阻力，而斜向运动产生的阻力则忽略不计。因为就如同命题36情形1一样，容器内做倾斜运动的那部分水从各个方向朝小孔EF 聚集，阻碍了水流出小孔。因此，在此命题中，水的各部分因受到水柱前端的压力而做斜向运动，向各个方向分散，使水从前端向水柱后端的运动延缓，从而流体被迫绕道远处流过，这样水受到的阻力就会增大，约等于它迫使流出的水的减少，即近似等于25比21的平方。而如同本命题的情形1，通过使容器内水柱周围的水都冻结，各部分水垂直穿过小孔EF ，而做斜向运动以及无用运动的各部分水则保持静止，故在此命题中，水的斜向运动可忽略，而水的各部分则尽可能迅速地直接屈服于斜向运动。这样水的各部分可以自由地通过水柱，此时由于圆柱体前端不会变尖，那么除非圆柱体的直径减小，否则横截面产生的阻力会保持不变，不会减小。因此必须假设产生阻力的各部分流体的斜向运动和无运动在圆柱体两端相互保持静止，然后连续地与圆柱体连接在一起。（如图7-10）已知ABDC 为矩形，AE 、BE 是以AB 为轴的两条抛物线弧，柱体的速度为下落距离HG 后获得的速度，抛物线的通径与HG 的比值等于HG ∶（ AB ）。CF 、DF 是以CD 为轴的另两条抛物线，其通径是前一通径的四倍。该图形绕轴EF 旋转得到一个立方体，此中间部分ABDC 即是此处我们谈论的圆柱体，而它的两端ABE 和CDF 则包含了流体的静止部分，并凝结为两个坚硬的物体，与圆柱体黏结，就如同圆柱体的头尾一样。如果此立方体EACFDB 沿轴FE 方向朝点E 运动，那么阻力近似等于我们在此命题中求出的阻力，即阻力与在柱体连续均匀运动通过长度AC 的时间内使柱体的总运动产生或抵消的力之比近似等于流体密度与柱体密度之比。那么根据命题36推论7，阻力与此力比值的最小值为2∶3。
引理5
若先后在柱形通道中央放入宽度相等的圆柱体、球体以及椭球体，使这三个物体的轴都与通道的轴重合，那么这三个物体对穿过通道的流水的阻碍力相同。
由于通道壁与圆柱体、球体以及椭球体之间使水能通过的空间是相等的，并且相等的空间流过相等的水。
正如上述命题36推论7中的阐述，本引理的假设条件是如果流动性不能使水流尽快穿过通道，那么位于圆柱体、球体以及椭圆球体上方的水将被冻结。
引理6
如上述条件，流经通道的水流对上述物体施加的作用相等。
本引理可由引理5和第三定律证明。因为水和物体间的相互作用是相等的。
引理7
若水在通道中静止，而上述物体则以相同的速度沿相反方向在通道中运动，那么它们相互间受到的阻力都是相等的。
这可由前一引理证明，因为它们之间的相对运动保持不变。
附注
所有位于通道内凸起的圆形物体，若其轴与通道的轴重合，则情形与上述引理一致。在此过程中，或许会因为摩擦的大小而使情况有所不同。但是在这些引理中，我们假设物体非常光滑，且介质中无任何黏性和摩擦力。若水在通道中运动时，那些干扰、阻碍或延缓其流动的部分，以及做多余的斜向运动的部分都保持静止，就如同水结成冰一样固定起来，而且运用上一命题的附注中所阐释的方式将其前后部分黏结起来。接下来我们将探讨圆形物体的极大横截面可能受到的阻力的极小值。
当物体浮在流体面上做直线运动时，会使流体的前部做上升运动，而其后部下沉。若该物体是钝形，则现象会更明显，因为钝形物受到的阻力要略大于头尾都是锐形的物体。而如果在弹性流体中运动的物体其前后皆是钝形，那么此物体的前部的流体较为稠密，而后部流体较为稀薄。因此相较于首尾都是锐形的物体，此物体受到的阻力较大。但是在这些命题的引理中，我们所讨论的是非弹性流体，而不是弹性流体，且物体深浸入流体中，而非浮在流体表面上。一旦求出了物体在非弹性流体中受到的阻力，则在此阻力上略为增加一部分后，即是它在弹性流体中（如空气）受到的阻力，以及在静止流体（如湖和海）表面受到的阻力。
命题38 定理30
如果球体在无限的非弹性压缩流体中做匀速运动，且存在一个力使其在通过它的直径的 长度的时间内使其总运动产生或抵消，那么其受到的阻力与此力之比近似等于流体密度与球体密度之比。
因为球体与其外接圆柱体之比为2∶3，故在此圆柱体通过距离为其自身长度四倍的时间内使圆柱体的全部运动被抵消的力等于在球体通过距离为其直径的 时间内使球体的总运动被抵消的力，即是在其通过距离为其直径的 时全部运动皆被抵消的力。根据命题37可知，圆柱体受到的阻力与此力之比约等于流体密度与圆柱体或球体密度之比，而由引理5、6、7可知，球体与圆柱体受到的阻力相等。
证明完毕。
推论1 当球体在无限压缩介质中运动时，其受到的阻力与速度的平方、直径的平方以及介质密度三者的乘积成正比。
推论2 球体以其相对重量在阻碍流体中下落时能达到的最大速度等于相同重量的物体在无阻力空间中下落时，能达到的最大速度，并且达到最大速度前通过的距离与其直径的 之比等于球体密度与流体密度之比。因为在球体下落时间内，以其获得的速度运动时，通过的距离与其直径的 之比等于球体与流体的密度之比。而产生这一运动的重力与在球体以相同速度通过其直径的 的时间内产生相等运动的力等于流体与球体的密度之比，因此根据本命题可知，重力与阻力相等，故不能使球体加速。
推论3 若已知球体开始运动时的速度、球体密度以及球在其中运动的静止的压缩流体的密度，那么可运用命题35推论7求出任意时间球体的速度、受到的阻力以及通过的距离。
推论4 若球体在一静止的压缩流体中运动，其密度与流体密度相等，则由推论7也可推出在它通过其直径的两倍长度前，它已经失去其运动的一半。
命题39 定理31
正如压缩流体密封于管道内，当球体在其内运动，受到的阻力与在它通过直径的 的时间内使其总运动全部产生或抵消的力之比等于以下三个比值的乘积，管道口面积与管道口面积减去球大圆一半的差的比，管道口面积与管道口面积减去球大圆的差的比，流体密度和球体密度的比。
这可由命题37推论2，以及与前一命题相同的方法得到证明。
附注
在前两个命题中，其假设条件就如同此前在引理5中的假设条件一样，所有位于球体上且其流动性增大了阻力的那部分水都被冻结。如果这些水变为流体，那么阻力或多或少会因此增加。但是在这些命题中，阻力的增加量非常小，故可忽略不计。这是因为球体的凸面产生的效果几乎与凝结的水产生的效果相同。
命题40 问题9
已知球体在理想的压缩流体中运动，通过实验求其受到的阻力。
假设A 是球体在真空中的重量，B 为其在阻碍介质中的重量，D 是球体直径，F 是一距离，其与 的比值等于球体的密度与介质的密度之比，即F ∶ ＝A ∶（A -B ），设球体因重量B 在无阻力空间中下落，其通过距离F 所用的时间为G ，下落过程中达到的速度为H 。那么根据命题38推论2可知，H 即是当球体在阻碍介质因重量B 下落时，所能达到的最大速度。而球体以其速度下落时受到的阻力等于重量B ，那么由命题38推论1可推出，球体以任意其他速度运动时，受到的阻力与重量B 之比等于上述速度与最大速度H 的比值的平方。
此阻力正是由流体物质的惰性产生的。而由流体的弹性、黏性以及摩擦力作用产生的阻力，则可用下列方法求出。
设球体在流体中因其重量B 下落，P 为下落时间。若时间G 按秒计算，则时间的单位为秒。求出与 的对数对应的绝对数N ，再设L 是数 的对数。那么球体下落速度为 ，下落高度为 -1.3862943611F ＋4.605170186LF 。如果流体非常深，那么4.605170186LF 这一项可忽略不计， -1.3862943611F 即约等于下落高度。上述结论可运用第2编命题9以及其推论证明，其成立的前提条件为：除了物质的惰性产生的阻力，物体不受到任何其他的阻力。若球体确实受到任何其他的阻力，那么下落会延缓，并由此减缓的量可求出这个新阻力的大小。
为了易于求出物体在流体中下落的速度，我制作了如下表格。第一列表示下落时间；第二列为下落速度，其中最大速度等于100000000；第三列表示在相应时间内下落的距离，其中2F 是在时间G 内，球体以最大速度运动时通过的距离；第四列则表示物体以最大速度运动时，在相应时间内下落的距离，此列的值由 获得，而这些值减去（1.3862944-4.6051702L ）所得的差即为第三列的数。若要求出下落距离则要用这些数乘以距离F 。第五列加上第四列，得到的值则为在相同时间内，物体在真空中以相对重量下落的距离。
附注
为了在实验中测出流体受到的阻力，我选取一个方形木桶，其内部长宽皆为9英寸，高为 英尺，在里面装满雨水。再选取若干含铅蜡球，让它们从112英寸的高度垂直落下，记录下它们的下落时间。已知1立方英尺的雨水重76磅，而1立方英寸的雨水重 盎司，或 谷。在空气中，直径为1英寸的水球重132.645谷，而在真空中，重量则变为132.8谷。其他任意的球体在真空中的重量减去水中重量得到的差与球体重量成正比。
实验1 已知一球体在空气中重 谷，而在水中重77谷。其在4秒内下落高度为112英寸，再多次重复这个实验，球体下落所用时间都是极为精确的4秒。
该球体在真空中的重量为 谷，此重量减去其在水中的重量得 谷。经测量，该球体的直径为0.84224英寸。由此推出，上述重量差与真空中球体重量之比等于水与球体的密度之比，同样此比值也等于球体直径的 倍（即2.24597英寸）与距离2F （即4.4256英寸）的比值。在1秒内，在真空中以其总重量 谷下落的球体通过距离为 英寸；而在无阻力条件下，在水中以其重量77谷在相同时间内通过的距离为95.219英寸。已知时间G 与1秒的比值等于距离F 2.2128英寸与95.219英寸的比值的平方根。那么在时间G 内，其在水中的下落距离为2.2128英寸，能达到的最大速度为H 。因此时间G 等于0.15244秒。而当球体以最大速度H 运动时，在时间G 内通过的距离为2F （即4.4256英寸），故球体在4秒内通过的距离为116.1245英寸。此距离减去距离1.3862944F （即3.0676英寸），余下距离为113.0569英寸，而这就是当球体在盛满水的极宽容器中运动时，其在4秒内通过的距离。但是由于上述木桶的宽度不大，故此距离应随一复合比值减小，而此比值等于以下两个量的乘积，桶口与它减去球体的最大圆的一半后得到的差之比的平方根以及桶口与其减去最大圆后得到的差之比，即等于1∶0.9914。由此求出该距离为112.08英寸，而这即是当球体在装满水的木桶中运动时，其在4秒内通过的距离的理论近似值，然而在实验中测得的该距离为112英寸。
实验2 取出三个相等的球体，它们在空气中的重量为 谷，而在水中为 谷，然后让它们相继下落，那么在15秒内，每个球在水中通过的距离都是112英寸。
通过运算，球体在真空中的重量为 谷，此重量减去它在水中的重量，得到的差为 谷。已知球体直径为0.81296英寸，其 倍为2.16789英寸。距离2F 等于2.3217英寸。在1秒内，重为 谷的球体在无阻力条件下经过的距离为12.808英寸，由此求出时间G 等于0.301056秒。因此球体以最大速度（此速度为重 谷的球体在水中下落时能达到的最大速度运动），在0.301056秒内通过的距离为2.3217英寸，而在15秒内通过的距离为115.678英寸，从中减去距离1.3862944F ，或1.609英寸，余下距离为114.069英寸，这就是在容器足够宽的情况下，球体在5秒内的下落距离。但是由于容器很窄，故应从此距离中减去0.895英寸。所以余下距离为113.174英寸，而这就是在此容器中下落物体在15秒内经过的距离的近似理论距离。在实验中测得的值为112英寸，差别并不大。
实验3 取出三个相等的球体，其在空气中的重量为121谷，而在水中是1谷，然后让它们相继下落，三个球的下落时间分别为46秒、47秒、50秒，但是在水中下落的距离皆为112英寸。
根据理论推知，它们的下落时间约为40秒。实验中其下落却较慢，造成这一现象的原因我尚不能确定，或许是因为惰性力产生的阻力在由其他原因产生的阻力中所占比例较小，或是因为水中的小气泡碰巧附在了球体上，又也许因为天气较暖或将球体放下的手的温度使蜡稀释，还是因为在水中称小球重量时出现了不易察觉的误差。因此为了使实验结果精确可靠，水中球体的重量应有数谷。
实验4 在得出上几个命题的结论前，我就已开始做上述求出流体阻力的实验。然而为了检验得到的理论，我选取了一个木桶，其内部宽为 英寸，深为 英尺。再做四个相等的含铅蜡球，它们在空气和水中的重量分别为 谷和 谷。让它们在水中自由下落，然后用一个摆动周期为半秒的摆测定其下落时间。球体是冷却的，且在称量以及下落前就已冷却多时了。由于在温暖的情况下，蜡会稀释，从而其在水中的重量就会减小。而稀释的蜡球在冷却后不会立即回复到原先的密度。为避免小球的任意部分偶然露出水面，从而使小球在一开始就加速，故在放开小球前，先确认小球完全没入水中。把它们完全放入水中并保持完全静止后，极其小心地放手使小球下落，而不受到任何手的推动力。这四个小球通过高度15英尺2英寸的时间分别为 、 、50以及51次摆动周期。但是实验时的温度比称量球体时的温度略低，故我后来又重做了一次实验，在此实验中，球体的下落时间分别为49、 、50和53次。第三次实验时则分别为 、50、51和53次。重复做这个实验多次后，我发现出现得最多的下落时间是 和50次。而实验中球体有时会下落得较慢，我猜测这是由于球体碰到了桶壁而延缓了下落。
而由理论计算，球体在真空中的重量为 谷，从中减去小球的水中的重量得 谷，球体直径为0.99868英寸，它的 倍是2.66315英寸，距离2F 为2.8066。在无阻力情况下，重 谷的球体在1秒内的下落距离为9.88164英寸。时间G 等于0.376843秒。因此当球体以最大速度（此速度为重 谷的球体在水中下落获得的最大速度）运动时，在0.376843秒内通过的距离为2.8066英寸，1秒内通过的距离为7.44766英寸，而在25秒（或50次摆动）内通过的距离为186.1915英寸，从中减去距离1.386294F 或1.9454英寸得到的余下距离184.2461英寸就是位于极宽容器内球体在25秒内通过的距离。然而由于实验中的容器很窄，该距离按以下两个数值的乘积减小，桶口比该桶口与球大圆一半的差的平方以及桶口比桶口超出球大圆，求得距离为181.86英寸，它近似等于球体在50次摆动中划过距离的理论值。但在实验中，在 或50次摆动后，测得的距离为182英寸。
实验5 取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为 谷和 谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺 英寸所用时间分别为 、29、 以及30次摆动，而有几次则是31、32、33次摆动。
而根据理论计算，上述时间应近似等于29次摆动。
实验6 取五个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为 谷和 谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺2英寸所用时间分别为15、 、16、17以及18次摆动。
而根据理论计算，上述时间应近似等于15次摆动。
实验7 取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为 谷和 谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺 英寸所用时间分别为 、30、 、31、32以及33次摆动。
而根据理论计算，上述时间则近似等于28次摆动。
这些重量相等的球体下落的距离相同，然而速度却有快有慢，经研究我认为原因如下：当球体第一次被放开而下落时，较重的一侧会先下落，从而绕其中心摆动。相较于下落时完全不摆动的球体，摆动的球体会传递给水更大的运动，而由于这种传递作用，它会损失一部分的下落运动。因此随着这种摆动强弱不同，下落运动也会受到不同程度的延缓。此外，小球总是偏离摆动中下落的那部分，从而更接近桶壁，甚至有时会与之相碰。球体越重，这种摆动就越强烈，从而对水的推力也就越大。因此为了减少球体的摆动，我制作了新的含铅蜡球，此种球的铅固定在极靠近球表面的一侧，并在放开球体时，尽量让较重的一侧位于最低点。这样摆动就会比原来的弱，球体的下落时间差异也不再如此明显，如下列实验所示。
潜水艇的力学原理
潜水艇是根据阿基米德力学原理制造的。它潜水和上浮的能力是靠改变自身的重力来实现的。潜水艇的侧面有水舱下潜时，使水舱充水，于是艇身重力增大，潜艇就逐渐下沉。当水舱中注入适量的水时，潜艇就能在水中任何位置上停留，此时潜艇的重力等于浮力。当潜艇需要上浮时，可用压缩空气将水排出，当艇身的重力减小到小于浮力时即浮出水面。
实验8 取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为139谷和 谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸所用时间多数为51次摆动，最大不超过52次，最小也不小于50次。
物体对空气的受力
滑翔机没有发动机，却可以通过机翼对空气的受力而保持飞翔状态。几乎所有的鸟类都有特别灵巧的翅膀，可以应对各种气流的影响。人类运用物体表面对空气阻力的受力原理制造出降落伞，从高空安全落地。物体对空气的不同受力方式体现出了物理学的多样性。
而根据理论计算，其下落时间约等于52次摆动。
实验9 取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为 谷和 谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸的时间大于或等于12次摆动，小于或等于13次摆动。
而根据理论计算，其下落时间约等于 次摆动。
实验10 取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为384谷和 谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度 英寸的时间分别为 、18、 、19次摆动。而当其下落时间为19次摆动时，我曾听到它们在到达桶底前与桶壁有几次碰撞。
而根据理论计算，其下落时间约等于 次摆动。
实验11 取三个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为48谷和 谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度 英寸的时间分别为 、44、 、45以及46次摆动，其中大多数值为44和45次摆动。
而根据理论计算，其下落时间约等于 次摆动。
实验12 取三个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为141谷和 谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸的时间分别为61、62、63、64以及65次摆动。
而根据理论计算，其下落时间约等于 次摆动。
根据这些实验可知，当球体下落较慢，如实验2、4、5、8、11、12，实验中测得的下落时间与理论时间极其相似，而当球体下落较快时，如实验6、9、10，球体受到的阻力略大于速度的平方。这是因为小球下落时会稍稍摆动，当球体较轻且下落较慢时，因为运动较弱故摆动会很快就停止。但是当球体较重而下落较快时，其运动会较强，因而摆动时间能持续较长，在几次摆动后才会被周围的水阻止。此外，球体下落越快，后部受到的阻力越小。而如果速度不断增加，那么除非流体的阻力也同时增加，否则最终球体后面会留下一真空空间。根据命题32、33，为了保持阻力与速度平方成正比，则流体压力的增加应与速度平方成正比。但是这种情况是不可能的，故运动较快的球体后部受到的压力不如其他部分大，而压力的缺少使阻力略大于速度的平方。
因此在水中下落物体的现象与理论是一致的，接下来开始观察空气中下落的物体。
实验13 1710年6月，有人取出两个玻璃球，其中一个充满水银，另一个充气，然后让它们同时从伦敦圣保罗大教堂顶落下，高度为220英尺。一张木桌的一边用铁链悬挂，另一边用木棍支撑。两个小球就放在木桌上，用一根延伸到地面的铁丝拨开木棍后，仅靠铁链支撑的木桌会沿着铁链下落，两个球就会同时落下。而在木棍被拨开的同时，摆动周期为1秒的摆开始运动。下列表中记载的是球体的直径、重量，以及下落时间。
但是观测到的下落时间必须修正，因为由伽利略的理论可知，在4秒内，水银球下落的距离为257英尺，而通过距离220英尺仅用 秒。因此当木棍被拨开时，木桌并不像想象情况中一样立即翻转，而这就阻碍了小球开始阶段的下落。由于小球位于木桌的正中，且距轴的距离确实比到木棍的距离近。所以下落时间延长了0.3秒，修正后的下落时间应是减去0.3秒后的值，尤其当球体较大时，由于直径较大，故停留在翻转木桌上的时间更长。六个较大球体修正后的下落时间为 、 、 、 、 、 秒。
因此直径为5英寸，重483谷的第五个空气球，在 秒内通过的距离为220英尺。与此球体积相等的水球重16600谷，而相等体积的空气重 谷（或 谷），故空气球在真空中重 谷，这个重量与体积等于该空气的重量之比等于 比 ，而此比值也等于2F 与球体直径的 倍的比值。所以2F 等于28英尺11英寸。在真空中，以其总重量 谷运动的小球在1秒内通过的距离为 英寸；而以重量483谷下落的距离为185.905英寸，而真空中通过的距离为F ，或为14英尺 英寸，所用时间为 秒又 ，并在此过程中达到空气中的最大下落速度。在8.2秒内，以此速度运动的均匀小球通过的距离为245英尺 英寸，从中减去1.3863F （或20英尺 英寸），余下距离为225英尺5英寸。因此余下距离就是在 秒内球体下落距离的理论值。但是实验中测得的距离为220英尺，两者间的差异很小。
再用其他充满空气的球体进行相似运算，下表即为得到的值。
实验14 1719年7月，德萨古里耶博士将猪膀胱制成球体，又重做了这个实验。首先将膀胱打湿，放入中空的木球内。再往膀胱中吹满空气，待其干燥后取出，这样膀胱就成了一个球体。让它们同时从圣保罗大教堂拱顶的天窗下落，高度为272英尺。同时一个重2磅的铅球也随之一同下落。此时，一些人站在教堂顶部球下落处观测下落总时间，而另一些人则站在地面上观测铅球和膀胱球下落时间的差，所用时间都是半秒摆。地面上一人拿着的机器每秒摆动四次，而另一台精密仪器也是每秒摆动四次，楼顶上也有类似仪器。它们已被设计为可随时开始或停止运动。铅球的下落时间为 秒，加上上述测得的时间差，得到膀胱的下落总时间。铅球落地后，五个膀胱球随后的下落时间，第一次实验中分别为 秒、 秒、 秒、 秒、 秒。而第二次为 秒、 秒、14秒、19秒、 秒。在此时间上加上铅球的下落时间 秒，得到五个膀胱球的总下落时间，在第一次实验中分别为19秒、17秒、 秒、22秒、 秒，第二次为 秒、 秒、 秒、 秒、21秒。而在教堂顶观测到的时间，第一次分别为 秒、 秒、 秒、 秒、 秒，第二次为19秒、 秒、 秒、24秒、 秒。但是膀胱并不是始终沿直线下落的，有时会略微在空气中飘动，而有时又会左右摆动，这样下落时间就会延长，有时延长时间为半秒，有时甚至会达到一秒。据观察，在第一次实验中，第二、四个膀胱的下落线路最直，而第二次则是第一和三个球体。由于第五个膀胱上有些褶皱，故运动略微延长了。我用极细的线围绕膀胱缠绕两圈，测出了它们的直径。下表中我将实验中测得的数据和理论值做了个比较。假设此时空气与雨水之比为1∶860，计算出球体下落距离的理论值。
因此理论正确地显示了当球体在空气中或水中运动时受到的阻力，其误差极小。因为在球体的体积和重量相等的情况下，此阻力与流体密度成正比。
在第6章的附注中，我们已通过摆的实验证明了以相同速度在空气、水以及水银中运动的相等球体，其阻力与流体密度成正比。而在此，我们通过物体在空气和水中的下落实验，进一步精确证明了此结论。因为摆的每次摆动都会引起流体的运动，从而阻碍它的返回运动，由于这种运动以及悬挂摆体的细线所产生的阻力，使得摆的总阻力大于落体实验中的阻力。根据上述附注中描述的摆实验，若球体密度与水相等，那么其在空气中通过其半径长度后，损失的运动为其运动的 部分。由本章推导出一个理论（同时也已经过落体实验的验证）：在水和空气的密度之比为860∶1的假设条件下，相同球体通过其半径长度后损失的运动仅为其运动的 。由此推出，摆实验中求得的阻力大于落体实验中的阻力，这两者间的比值约为4∶3。但是由于在空气、水以及水银中运动的摆的阻力是因相同理由而增加的，不论是在摆实验中，还是落体实验中，在这些介质中的阻力间的比值是非常精确的。综上所述，在其他条件相同的情况下，即使在极富流动性的任何流体中运动的物体所受阻力与流体密度成正比。
在得到上述结论和数据后，我们就可以来求给定时间内，在任意流体中运动的抛体损失的运动的近似值。已知D 为球体直径，V 是其初始速度，而T 为一给定时间段，在此时间段内，球体以速度V 在真空中运动的距离与距离 之比等于球体与流体的密度之比，那么在其他任意已知时间段t 内，流体内被抛出的球体损失运动为 ，余下部分的运动为 ，且根据命题35推论7，通过的距离与相同时间内球体在真空中以速度V 匀速运动的距离，这两者间的比值等于 的对数乘以2.302585093与 的比值。而当运动较慢时，受到的阻力会略小一些。因为相较于直径相同的圆柱体，球形物体更适于运动。但是当运动较快时，阻力也会稍微大一些，这是因为此时流体的弹力和压迫力的增大并不与速度平方成正比。但是此处我并未把这些小差异计算在内。
虽然空气、水、水银以及其他相似流体在经过无限分割后，会变得精细化而成为具有无限流体性的介质。但是它们对抛体施加的阻力却不会随之改变。因为在前一命题讨论的阻力是由物质惰性产生的，且惰性是物质的基本属性，始终与物质的量成正比。在流体分割后，由各部分间的黏性以及摩擦力产生的阻力确实减小了，但是物质的量却仍保持不变，这样与之成正比的惰性力也不会减小。由于此处涉及的阻力始终与此惰性力成正比，故阻力也保持不变。若想使阻力减小，则必须减小物体穿越空间里物质的量。行星和彗星在宇宙中自由穿行时，运动不会有丝毫可察觉的减缓，故宇宙中完全不存在物质性流体，只可能有一些极其稀薄的气体和射线。
当抛体穿过流体时，它引起了流体的运动，这种运动是由抛体前后部分受到的流体压力的差产生的，由于它与介质密度成正比，故相对于空气、水以及水银中的运动，在无限流体性介质中的运动绝不小于前者。因为上述压力差与压力的量成正比，故它不仅引起了流体的运动，同样也使抛体运动变缓，这样每个流体中的阻力与抛体引起的运动成正比，并且即使是在最精细的以太中，该阻力与以太的密度之比也绝不小于在空气、水以及水银中的阻力与相应流体密度之比。
