流体的圆运动
假设
由于流体各部分缺乏润滑而产生的阻力，在其他条件不变的情况下，正比于使该流体各部分相分离的速度。
命题51 定理39
如果一根无限长的圆柱体在均匀又无限的流体中，绕一位置给定的轴均匀转动，并且该流体只受圆柱体的冲击而转动，而该流体各部分在运动中保持均匀；则流体各部分的周期正比于它们到圆柱体中轴的距离。（如图9-1）
（图9-1）
令圆柱体AFL 沿轴S 均匀转动，且令AFL 的同心圆BGM 、CHN 、DIO 、EKP 等，把流质分成无限个相同厚度的固体同心圆柱体层。因为流体是均质的，邻接层相互的压力（由假设） 正比于它们相互间的移动，也正比于产生该压力的相邻接的表面。如果任意表层对其内侧压力大于或小于外侧压力，则较强的压力将占优势，并加快或减慢该层的运动，这取决于它是否和该层的运动方向一致或相反。这样每一层的运动都能保持均匀，两侧的压力相等而方向相反。所以，由于压力正比于邻接表面，也正比于相互间的移动，那么该移动将反比于表面，即反比于表面到中轴的距离。但是轴的运动角度差正比于该移动除以距离，或正比于该移动而反比于该移动除以距离。那就是，将这两个比相乘，反比于距离的平方。所以，如果做向右无限延伸直线SABCDEFQ 的垂线Aa 、Bb 、Cc 、Dd 、Ee 等，则反比于SA 、SB 、SC 、SD 、SE 等的平方，作一条双曲线通过这些垂线的端点，则这些运动角度差的和将正比于对应线段Aa 、Bb 、Cc 、Dd 、Ee 的和，即（如果无限增加层数而减少宽度，以构成均匀介质的流体） 正比于相似于该和的双曲线面积AaQ 、BbQ 、CcQ 、DdQ 、EeQ 等；因此时间反比于角运动，也反比于这些面积。所以任意D 粒子的周期时间反比于DdQ 的面积，即（由求曲线面积的已知方法） 正比于距离SD 。
证明完毕。
推论1 因此流体粒子的角运动反比于它们到圆柱体的轴的距离，且绝对速度相等。
推论2 如果流体装在一个无限长的圆柱形容器内，里面还装着另一个圆柱体，并且两柱体都围着公共轴转动，且它们转动的时间正比于它们的直径，流体各部分保持运动，则不同部分的周期时间正比于到圆柱体轴的距离。
推论3 如果从圆柱体和这样运动的流体上增加或减去任意共同的角运动量，因为这种新的运动不改变流体各部分之间的相互摩擦，各部分之间的运动也不会改变；因为各部分间的移动取决于摩擦。由于两边的摩擦力方向相反，各部分都将保持那种运动，加速并不多于减速。
推论4 如果从整个圆柱体和流体中减去所有外层圆柱的角运动，我们就能得到在静止圆柱体内的流体运动。
推论5 如果流体和外层柱体静止，而内层柱体均匀移动，则会把圆运动传输给流体，并会逐渐传遍整个流体；运动会逐渐加强，直到流体各部分都能获得推论4中求出的运动。
推论6 因为流体倾向于把其运动传播得更远，所以其冲击会带动最外层的圆柱与它一同运动，除非圆柱体受到阻力；一直加速其运动直到两个圆柱体的周期相等。但是如果外层圆柱体受到反作用力，它将会产生作用力来阻碍流体的运动；内柱体除非靠一些作用于其上的外力使其保持运动，否则它将逐渐静止。
所有这些可以通过在静止深水中实验来证明。
命题52 定理40
如果在均匀而且无限的流质中，固体球体绕一方向给定的轴均匀转动，流体只是受球体的冲击力转动，流体各部分在运动中保持均匀；则流体各部分的周期正比于其到球体中心的距离。（如图9-2）
（图9-2）
情形1 令球体AFL 绕轴线S 均匀转动（如图9-2） ，同心圆BGM 、CHN 、DIO 、EKP 等把流体分成无限个相同厚度的同心球层。设这些球层是固体的；因为流体是均质的，邻接的球层间的压力（由前提） 正比于它们相互间的移动，以及受该压力的邻接表面，如果任意球层对其的内侧压力大于或小于外侧压力，则较强的压力将占优势，并加快或减慢该球层的运动，这取决于该力与球层运动方向是否一致。所以每一球层都能保持均匀的运动，其条件是球层双侧的压力必须是相等的，而方向相反。因为压力正比于邻接表面，也正比于相互间的移动，所以移动将反比于表面，即反比于表面到球心距离的平方。但关于轴的角运动差正比于移动除以距离，或是正比于移动而反比于距离；将这两个比相乘，也就是反比于距离的立方。如果在无限延伸的直线SABCDEQ 上的不同地方作垂线Aa 、Bb 、Cc 、Dd 、Ee 等，反比于差的和SA 、SB 、SC 、SD 、SE 等，即所有角运动的立方，则将正比于对应线段Aa 、Bb 、Cc 、Dd 、Ee 等的和，即（如果使球层数无限增加，厚度无限减小，形成均匀流体介质） 正比于近似于该和的双曲线面积AaQ 、BbQ 、CcQ 、DdQ 、EeQ 等；其周期时间则反比于角运动，还反比于这些面积。所以，任意球层DIO 的周期时间反比于面积DdQ ，即（由已知求面积的方法） 正比于距离SD 的平方。这就是首先要证明的。
情形2 由球心作大量与轴成给定角度的无限长直线，且它们相互间的差相等；设这些直线绕轴转动，这样球层被分成无数个圆环；则每一个圆环都有四个与之相邻的圆环，即其内侧有一个，外侧有一个，两边还各有一个。现在，这些圆环受到的推动力不均，内环与外环的摩擦力方向相反，除非运动的传递照情形1所证明的规律进行。这可以由前面的证明得知。所以，任意一组由球沿直线向外延伸的圆环都将按情形1的规律运动，除非它受到两边圆环的摩擦的作用。但是根据该规律，运动中不会出现那种情况，所以不会阻碍圆环按该规律运动。如果到球的距离相等的圆环在极点处的转动和在黄道处速度不相等，又如果前者慢的话，相互摩擦使其加快，而快的话，则使其减慢；这就使周期时间逐渐趋于相等，这可以由情形1得知。所以这种摩擦力完全不阻碍运动按情形1的规律进行，因此该规律是成立的；即各圆环的周期时间正比于其到球心的距离的平方。这就是其次要证明的。
情形3 现在设每个圆环又被横截面分割成无数个粒子，正是该粒子构成了绝对均匀流体物质；因为这些截面与圆运动无关，只起产生流体物质的作用，所以圆运动规律将像以前一样保持不变。即使有再小的圆环都不因这些截面而改变其大小和相互摩擦，或都做相同的变化。所以，原因的比例不变，效果的比例也不变；即运动和周期时间的比例不变。
证明完毕。
由于圆运动而产生的向心力，在黄道上的大于在轴极上的，则必定有某种作用力使各粒子维系在轨道上；否则在黄道上的物质总是要飞离中心，并在涡旋外绕轴极转动，再由此沿轴线连续旋转而回到极点。
推论1 因此流体各部分沿球轴的角运动，反比于到球中心距离的平方，其绝对速度反比于前面那个平方除以到轴的距离。
推论2 如果在相似、无限且静止的均匀运动的流体中的球，沿一位置给定的轴做均匀运动，则它将带动流体做类似于涡旋的运动，且该运动将向流体各处传递开去；并且该运动将在流体各部分中逐渐加速，直到各部分的周期时间正比于到球中心的距离的平方。
推论3 因为涡旋内部由于其较大速度不断压迫而推动外部，并通过该作用力把运动传递给它们，同时又把相同的运动传递给更远处静止的部分，并通过该运动保持了自身的持续运动，不难理解该运动会持续把涡旋由中心传递到外围，直到它渐渐减退并消失于无限延伸的圆周。任何两个与该涡旋同心的球面之间的物质是不会加速的，因为该物质总是要传递其从靠近中心地方得到的运动给靠近边缘地方的物质。
推论4 因此，为了保持涡旋的相同运动状态，球体就要从某种来源不断得到其传递给涡旋其他物质的相同运动量。就是由于有了该来源不断把运动传递给球体和涡旋内部，它们才能不断向外围传递运动。要是没有该来源，它们将会逐渐减慢运动，最后不再旋转。
推论5 如果另一个球体也在那个涡旋里，在离中心一定距离的地方漂浮，与此同时受一些外力影响沿一个倾斜度给定的轴不断旋转，则该球的运动将会带动流体像涡旋一样运动，起初这个新的小涡旋将会和该球一起绕另一中心转动，与此同时该运动将会传播得越来越远，逐渐向无限延伸，方式与第一个涡旋相同。同样原因，新涡旋中的球被卷入另一个涡旋的运动，而另一个涡旋的球被卷入新涡旋的运动，这样这两个球都绕着同一个中间点转动，并且由于圆运动而相互远离，除非有某些力量来维系着它们。此后，如果这不断让球体保持运动的作用力停止，则一切将按力学原理运动，球会逐渐停止运动（由推论3和4中谈及的原因），涡旋最终将全部静止。
推论6 如果在给定地方的几个球体必须绕位置给定的轴，以给定速度均匀转动，则它们将产生同样多的涡旋并延伸至无限。因为根据任意每只球都可以把其运动传播无限远的相同原理，每个分离的球也可以把其运动传播无限远；因此无限流体的各部分都受到所有球体运动作用而运动。这样各涡旋之间就没有明确界限，而是逐渐介入对方；在涡旋相互介入对方时，由前一推论得知球会逐渐离开原来的位置；它们之间不可能一直保持某种确定的位置关系，除非由某种力量维系着它们。但是如果这些不断给球体压力以维持运动的作用力突然中止，物质（由推论3和4中的理由）将逐渐停止，不再做涡旋运动。
推论7 如果某种类似流体装在球形容器内，并由于位于容器中心的球做均匀运动而形成涡旋；球与容器绕同一轴做同向转动，则它们的周期正比于半径的平方；流体的各部分不会既不做加速又不做减速运动，直到它们的周期时间实现正比于到涡旋中心距离的平方。除了这种，其他任何方式构成的涡旋都不能持久。
推论8 如果这个容器和容器里的流体都保持运动，并沿给定轴做共同角转动，而因为流体各部分的相互摩擦力不会由运动而改变的，则各部分之间的运动也不会改变；因为各部分之间的移动取决于这种摩擦力。任意部分都保持这种运动，其一侧的阻碍它运动的摩擦力等于另一侧加速它运动的摩擦力。
推论9 如果容器是静止的，已知球体的运动，则可求出流体的运动。设一平面穿过球的轴，并反向运动；设该转动时间与球的转动时间的和比球转动时间等于容器半径平方与球半径平方之比；则流体各部分相对于该平面的周期时间将正比于它们到球中心的距离的平方。
气旋
气旋是一种热带飓风，它的直径一般有1000公里，小的也有200～300公里，大的可达2000～3000公里。气旋的运动包括自转和位移，但是目前的科学理论对于它的自转能量和位移方向尚不能准确预测，人们推测它与地球的自转与重力有关。
推论10 如果容器和球绕相同的轴运动，或以已知速度绕不同的轴转动，则可求出流体的运动。如果从整个运动系统中我们减去容器的角运动，由推论8得知，余下的所有运动将相互保持不变，就像之前一样，并可由推论9求出。
推论11 如果容器和流体静止，并且球匀速转动，则该运动将会逐渐由整个流体传递到容器，且容器会被带动转动，除非它遇到阻力；流体和容器将逐渐加速直到它们的周期时间等于球的周期时间。如果容器受某力阻止或受不变力做均匀运动，则介质将会逐渐趋于推论8、9、10所述的状况，而绝不会维持其他任何状态。但如果这种使球和容器以确定运动转动的力中止，则这整个系统将按力学原理运动，容器和球体在流体的中介作用下将相互作用，不断把其运动通过流体传递给对方，直到它们的周期时间相等为止，整个系统像一个固体一样运动。
附注
在所有这些讨论中，我都假设流体的密度和流体性是均匀的。我所说的这种流体是指一个球体无论放在里面任何地方都可以以其自身的相同运动，在相同时间间隔里，在流体内向相同距离的物质连续传递相似又相等的运动。物质的圆运动使它更倾向于离开涡旋的轴，因而压迫在它外面的所有物质。这个压力使摩擦力更大，因此各部分的分离更困难；这样就减少了物质的流体性。另外，如果流体各部分中有任何一处比其他地方密度更大，则该处的流体性就会更小，因为该处相互分离的表面更少。在这些情形中我设流体性的缺乏由这些地方的润滑性或柔软性，或其他条件来补足；否则这些流体性较缺乏处将连接得越紧，惰性越大，这样接收运动更慢，并比上述比值传播得更远。如果容器不是球状的，粒子将不是沿圆周而是沿容器外围线条运动；其周期时间将近似正比于到中心平均距离的平方。在中心与边缘之间，空间较宽处运动较慢，而较窄处运动较快；否则因为较快速度粒子不再趋向边缘；因为它们掠过的弧线曲率较小，离开中心的倾向随该曲率的减小而减小，其程度就像其随速度的增加而增加一样。当它们从窄处进入到宽处时，稍远离中心，减慢了速度；而当它们由宽处进入窄处时，它们又一次加速；因此每个粒子就这样一直反复被减速或加速。这是在坚硬容器里的情形；至于无限流体中的涡旋的状态研究，已在本命题推论中阐明。
我之所以在本命题中研究涡旋的特性，就是在想是否天体现象可以通过此来解释。现象是这样的，卫星绕木星运转的周期正比于它们到木星中心的距离的 次幂，同样该规律也适合于行星绕太阳运转的情况。而且就已知的天文观测数据，这些规律都有极高的精确性。因此，如果这些行星是由涡旋带动绕木星和太阳运动，则涡旋必定遵从那个规律。但是这里我们发现，涡旋各部分的周期正比于到运动中心的距离的平方；并且该比值无法减小并简化为 次幂，除非涡旋的物质离中心越远其流动性越大，或是因为流体各部分因为缺乏润滑而产生的，又正比于使流体各部分相互分离的速度的阻力，以大于速度增长比率的更大比率增加。但是这些假设似乎都不合理。若不受中心吸引，粗糙而流动着的部分必将倾向于边缘。尽管为了证明的方便，在这章的开头，我曾假设阻力正比于速度，但事实可能是阻力与速度的比小于该比值；因此，涡旋各部分的周期将大于到中心距离平方的比值。如果像某些人设想的那样，涡旋在离中心较近处运动较快，在某一界限处较慢，而又在靠近边缘处较快，则不仅得不到 次幂关系，也不能得到其他任何确定的比值关系。还是让哲学家去解释怎样由涡旋来说明 次幂的现象吧。
命题53 定理41
由涡旋所带动的物体，若能在不变轨道上环绕，则其密度和涡旋相同，且在速度和运动方向上遵从与涡旋各部分相同的运动规律。（如图9-3）
（图9-3）
如果设涡旋的任何一小部分是固定的，其粒子或物理点相互间的位置都保持固定，则因为其密度、惯性及形状都没变，这些粒子将保持原先的运动规律。又，如果涡旋固着或固体的部分和涡旋其他部分的密度相同，其融化在流体中，则这部分也将按原先的规律运动，其有了流动性的粒子可以相互移动除外。所以，粒子相互间的运动完全不影响整体的运动，整体的运动还是会和原先一样。而这种运动会和涡旋中另一侧与中心距离相等的那部分的运动相同。因为现在融在流体里的这固体部分，和涡旋其他部分几乎完全相同。所以，如果固体部分的密度与涡旋的物质相同，则其就会与它所处的涡旋部分做相同运动，且和周围的物质保持相对静止。如果它密度再大一点，它就会比以前更趋向于离开中心；并将克服把它维系在轨道上并保持平衡的涡旋力，它远离中心，按螺旋线运行，不再回到原先的轨道。根据同样的原理，如果其密度小一点，它就会更趋向于中心。这样它也不能继续在原轨道上运行，除非它和流体密度一样。而我们已经证明了在这种情况中，它的运行规律与流体到涡旋中心距离相等部分的运行规律相同。
推论1 所以在涡旋中转动的固体，会持续在相同轨道上运行，并与带动它旋转的流体保持相对静止。
推论2 如果涡旋的密度是均匀的，同一物体可以在离涡旋任何距离的地方旋转。
附注
因此，很明显，行星的运动不是由物质涡旋所带动运转的；因为根据哥白尼的假设，行星绕太阳沿椭圆运动，太阳在其公共焦点上；由行星伸向太阳的半径所掠过的面积正比于时间。但是现在涡旋各部分不可能再做那种运转。令AD 、BE 、CF 表示三个绕太阳S 的轨道（如图9-3），其中，令最远的那个圆CF 为太阳的同心圆，令圆里面的两个远日点为A 、B ，近日点为D 、E 。这样，沿轨道CF 运动的物体，其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于时间，做匀速运动。根据天文学原理，沿轨道BE 运动的物体在远日点B 处速度较慢，而在近日点E 处则较快；而根据力学原理，涡旋物质在A 与C 之间较窄的地方会比在D 与F 之间较宽的地方运动得快。即，在远日点较慢而在近日点较快。现在这两个结论互相矛盾。因此以火星的远日点室女座为起点标记的火星与金星轨道间的距离，比上以双鱼座为起点标记的相同轨道间的距离，其比值为3∶2；因此在这些轨道间的涡旋物质，在双鱼座的起点处的速度比上在室女座起点处的，比值为3∶2；因为在一次环绕中，在相同时间里相同的物质量通过的空间越窄，速度就越快。所以，如果地球与带动它运转的天体物质保持相对静止，并一起绕太阳旋转，则地球在双鱼座起点处的速度与其在室女座起点处的速度之比为3∶2。所以太阳的周日运动，在室女座起点处应多于70分钟，而在双鱼座起点处就会少于48分钟。然而观测结果却正好相反，太阳在双鱼座起点处的速度却快于在室女座起点处的；所以地球在室女座起点处的速度快于在双鱼座起点处的速度；这样涡旋假设和天文现象严重对立，非但不能解释天体运动，反而让我们更迷惑。究竟这些运动是怎样在没有涡旋的空间里进行的，我们可以从第1编里得知；我将在下一编里对此进一步阐述。
第3编
宇宙体系（使用数学的论述）
CHAPTER 3
牛顿的宇宙体系，完全不像在他之前的哲学家们那样存在猜想、臆断的成分。他以万有引力为宇宙现象的动力学原因，所建立的宇宙理论体系，是秩序与稳定的简洁体现，其辉煌的气魄，令人叹为观止。彗星运动、潮汐运动，以及太阳与各个行星之间的相互关系，第一次以一种井井有条的面目展现在世人面前。
哲学中的推理规则
规则1
没有什么比既真实又足以解释其现象者更能说明自然事物的原因。
为达到这一目的，哲学家说自然不做徒劳的事，过多则徒劳，简明才是真谛；因为自然喜欢简单，不会响应多余原因的奢谈。
规则2
对于相同的自然现象，我们必须尽可能地找到相同的原因。
例如，人类与野兽的呼吸；在欧洲和美洲的石头的下落；烹饪用火的光和太阳光；地球和行星的光反射。
规则3
事物的属性，如果其程度不能增加或减少，且在我们的实验所及范围之内为所有物体所有，则应视其为所有事物的普遍属性。
因为我们只能通过实验来了解事物的特性，所以我们认为事物的普遍属性只能是在实验中适应；并且只能是既不能减少也不能消失的理想状态。我们当然不会放弃实验的证据，而去追求梦想和不切实际的臆想，也不会背弃那简单，有一致性的自然相似性。除了自身的感观，我们还无法了解物体的广延，也无法由此深入所有物体内部。但是，因为我们把所有物体的广延看做是可知的，所以我们也把这一属性普遍赋予各物体。我们由经验得知很多物体都是硬的，又因为整体的坚硬来自部分的坚硬，所以我们可以推论出不仅我们所感知的不可分粒子是坚硬的，而且其他所有的粒子都是坚硬的。说所有物体都是不可穿透的，我们得到这一结论是通过感觉而不是推理。我们拿着的物体，当我们发现它是不可穿透时，我们就下结论说所有物体都有不可穿透性。说所有的物体都能运动，并具有某种力量使它们运动或静止时保持其状态，这是由我们从观察到的物体中的相似特性推导出来。整体的广延、坚硬、不可穿透性、可运动性和惯性都是来自部分的广延、坚硬、不可穿透性、可运动性和惯性。因此我们就推论出所有物体的最小粒子也具有广延、坚硬、不可穿透性、可运动性和惯性。这就是所有哲学的基础。此外，根据观察，分离但又相邻接的物体粒子可以相互分离；在未被分开的粒子里，就像数学所证明的那样，我们的思维可以区分开更小的部分。但是这些已区分开但又未分离的部分，是否确实可以由自然力分割并加以分离，我们尚不知晓。然而，哪怕是只有一例实验证明，任何从坚硬的固体上取下的未分离的粒子都可再分割，由此我们可以得出，未分离的粒子和已分离的粒子实际上都可以被无限分割。
不同的宇宙
1．托勒密的地心宇宙：地球处于宇宙的中心。
2．哥白尼的日心宇宙：地球在太阳系里，其他恒星在外空间运行。
3．星系宇宙学：地球绕着银河系的一个螺旋臂外端的中等恒星公转。
4．我们现在所知晓的宇宙图景：银河系只是宇宙在特定的区域内的万亿个可观察到的星系中的一个。
最后，如实验和天文观察普遍显示，地球附近的所有物体被地心引力所吸引，且这引力正比于物体各自所包含的物质的质量。月球也同样根据其物质质量受地球吸引，而另一方面，我们的海洋也受月球吸引，并且所有的行星也互相吸引，彗星也以类似方式被太阳吸引，我们必须沿用本规则赋予一切物体以普遍相互吸引的原理。因为这一论点是由现象得出的结论，并且所有物体都普遍相互吸引比它们不可穿透更具说服力。然而，我们没有任何实验或任何形式的观察能对后者加以验证。我确信重力不是物体的基本特性。谈到固有的力时，我指的只是它们的惯性，这是永恒不变的。物体的重力会随着它们远离地球而减小。
规则4
在实验哲学中，我们认为由现象所总体归纳出的命题是准确的或是基本正确的，而不管任何反面假设，直到出现了其他可以使之更精确，或是可以推翻这些命题之时。
我们必须遵守这一规则，使归纳法得出的结论不能脱离假设。
现象
现象1
木星的卫星，其伸向木星中心的半径所掠过的面积正比于掠过的时间；设恒星静止不动，它们的周期时间正比于到中心的距离的 次幂。
这是我们通过天文观测所得知的。因为虽然这些卫星的轨道不是与木星共心的圆，但也很类似；它们在这些圆上的运动是均匀的。所有的天文学家都认为它们的周期时间正比于其轨道的半径的 次幂。下表也很好地证明了这点。
卫星到木星中心的距离见下表：
木星卫星的周期时间：1天18小时27分34秒，3天13小时13分42秒，7天3小时42分36秒，16天16小时32分9秒。
庞德先生曾利用精确千分仪，通过以下方法测出了木星的半径与其卫星的距角。他用一个长15英尺的望远镜中的千分仪，在木星到地球的平均距离上，测出了木卫四到木星的最大距角为8′16″。在木星到地球的相同距离上，木卫三的距角用123英尺长的望远镜中的千分仪测出为4′42″。在木星到地球的相同距离上，由周期时间推算出的其他两个卫星的距角为2′56″47′″和1′51″6′″。
木星的直径由一个长123英尺的望远镜的千分仪反复测量多次，得出的木星到地球的平均距离总是小于40″，但几乎不会小于38″，一般为39″。在更短一点的望远镜内为40″或41″；因为木星的光由于光线的折射不同而稍有扩散，在较长且更完善的望远镜中该扩散与木星直径之比要小于在较短且性能较差的望远镜中的比值。
小型星象仪 18世纪
图为直径为7.6厘米的小型星象仪，它被安装在铜制机座上，用来演示月球的运动。
木卫一和木卫三通过木星的时间，我们也用长望远镜观测过，其从初切开始到终切开始，以及从初切结束到终切结束。由木卫一通过木星来看，在木星到地球的平均距离上，木星的直径为 ，而由木卫三通过来看，为 。还观测出了在木卫一的阴影通过木星的时间，在木星到地球的平均距离上，木星的直径为37″。我们设其直径非常接近 ，则木卫一、木卫二、木卫三、木卫四的最大距角相应为木星半径的5.965、9.494、15.141和26.63倍。
现象2
土星的卫星，其伸向土星中心的半径所掠过的面积正比于掠过的时间；设恒星静止不动，它们的周期时间正比于到土星中心的距离的 次幂。
因为，就如卡西尼从自己的观测中所得出的结论一样，它们到土星中心的距离和它们的周期时间如下。
土星卫星的周期时间：1天21小时18分27秒，2天17小时41分22秒，4天12小时25分12秒，15天22小时41分14秒，79天7小时48分00秒。
卫星到土星中心的距离（以土星环半径计算）
观测结果： ，由周期推算：1.93 2.47 3.45 8 23.35
土卫四到土星中心的最大角距，通常由观测得出其近似于半径的8倍。但是当用惠更斯先生的长123英尺的精确的望远镜观测，该最大角为半径的 倍。从该观测结果和周期推算出，土卫四到土星中心的距离分别为土星半径的2.1、2.69、3.75、8.7和25.35倍。由同一个望远镜观测出的土星的直径与环直径之比为3∶7；在1719年5月28、29日观测的土星环直径为43″；从而在土星和地球的平均距离上，环直径为42″，土星直径为18″。这些结果是在极长又极精确的望远镜中观测得出的，因为在这种望远镜中，天体的像与像边缘的光线扩散比值比在较短的望远镜中的比值大。所以，如果我们排除所有这些虚光，土星的直径不会超过16″。
现象3
水、金、火、木、土，这五个行星在各自的轨道上绕太阳运转。
水星和金星是绕太阳运转这一事实，可以由它们也像月亮一样盈亏所证明。当它们呈满月状时，对我们而言，它们远于或是高于太阳；当它们呈亏状时，它们在太阳水平线上的左右两边；当它们呈新月状时，它们低于太阳，或是在地球与太阳之间；有时，当它们垂直低于太阳，它们看起来就像是横过日面的斑点。而火星绕太阳运转，则可由当它在接近于相合时呈满月状，以及在正交时呈凸月状所证明。木星和土星绕太阳运转也可以被证明，它们也出现在各种位置上，因为它们卫星的阴影有时会落在它们的平圆形表面上，这就说明它们自己是不发光的，它们的光是来自太阳光。
现象4
设恒星静止，则这五个行星的周期时间，以及地球绕太阳的周期时间（或太阳绕地球的周期时间） ，正比于它们到太阳距离的 次幂。
这一比率最初是由开普勒观测得出的，但现在被所有的天文学家所认同；因为不管是太阳绕地球运转还是地球绕太阳运转，周期时间都是一样的，轨道的尺寸也不会变。并且所有天文学家推算出的周期时间都是一样的。但是开普勒和波里奥对于轨道尺度的观测数据比所有其他天文学家都精确；对应于平均距离的周期时间和它们的推算值有些差异，但差值不大，且大部分值都介于它们之间。由下表可见：
行星和地球绕太阳旋转的周期时间，以天数计算，太阳处于静止状态。
行星和地球到太阳的平均距离：
就水星和金星来说，它们到太阳的距离是确定的。因为它们是由这些行星的距角决定的；至于地球以外行星离太阳的距离，木星卫星的交食已经让大家的意见统一了。因为这些交食可以决定木星在卫星上投下的阴影的位置；据此我们可得出木星的日心经度长度。然后综合分析它的日心和地心经度长度，我们就能求出它的距离。
现象5
行星伸向地球的半径，所掠过的面积不正比于时间，但是它们伸向太阳的半径所掠过的面积正比于掠过的时间。
因为相对于地球而言，它们有时是顺行的，有时停留，有时却是逆行的。但是从太阳来看，它们通常看起来是顺行的，且几乎是均匀运动的，那就是说，在近日点处稍微快点，在远日点处慢点，这样才能保持掠过的面积相等。这是一个天文学家都知道的命题，特别是可以由木星卫星的交食加以证明。正如我在前面所述，木星卫星的交食可以求出木星的日心经度长度以及它到太阳的距离。
现象6
月球伸向地球中心的半径所掠过的面积正比于掠过的时间。
这一结论总结自月球的视在运动与其直径的比较。当然月球的运动也有一点受太阳的影响：但是我在得出这些结论时，忽略了那些无关紧要的误差。
命题
命题1 定理1
那不断把木星卫星从直线运动中拉回来，并将其限制在恰当的轨道上的作用力是指向木星中心的；该作用力反比于卫星到木星中心距离的平方。
本命题的前半部分由现象1和第1编的命题2、3所证明，后半部分由现象1和第1编的命题4推论6所证明。
土星卫星绕其旋转的相同原理可以由现象2所得知。
命题2 定理2
那不断把行星从直线运动中拉回来，并将其限制在适当的轨道上的作用力是指向太阳的；该作用力反比于行星到太阳中心距离的平方。
本命题的前半部分由现象5和第1编的命题2所证明，后半部分由现象4和第1编的命题4推论6所证明，但是命题的这一部分可由在远日点的静止来精确证明。因为距离平方反比产生的极小误差（由第1编的命题45推论1） 也会导致每一次环绕中的远日点的明显运动，这样多次环绕就会产生极大误差。
命题3 定理3
那把月球限制在适当的轨道上的作用力是指向地球的，该作用力反比于月球到地球中心距离的平方。
本命题的前半部分由现象6和第1编的命题2、3所证明；后半部分由月球在远地点处运动较慢所证明；月球每一次环绕中远日点向前移动33′，但是可以忽略不计。因为（由第1编的命题45推论1） 如果月球到地球中心的距离与地球半径之比为D 比1，则引起该运动的力反比于 ，即，反比于D 的幂，其指数为 ；那就是说，该距离的比值略大于平方反比比值，但是它接近平方反比比值比接近立方反比比值更强 倍。而考虑到这一移动是由太阳作用引起的（我们将在后面讨论） ，现在忽略不计。太阳吸引月球绕地球运转的作用力几乎正比于月球到地球的距离；因此（由第1编命题45推论2） 该作用力比上月球的向心力，几乎等于2比357.45，即1比 。所以如果忽略不计太阳的这一小小作用力，把月球限制在其轨道上的主要作用力反比于D 2 。如果把该作用力与地心引力作比较，就像下一命题那样，那这一点能更充分地被证明。
推论 设月球在落向地球表面时，其受到的引力反比于高度的平方，因而随高度的下降，该引力不断加大。如果我们增大把月球限制在其轨道上的平均向心力，先以 比 的比率，然后以地球半径的平方比月球到地球中心的距离，我们就可以得到月球在地球表面的向心力。
命题4 定理4
月球受地球引力吸引，且该引力不断把月球从直线运动中拉回来，并限制在其轨道上。
在朔望点时月球到地球的平均距离，以地球半径计算，托勒密和大多数天文学家认为是59，凡德林和惠更斯则得出60，哥白尼为 ，司特里特为 ，第谷为 。但是第谷以及其他所有引用他的那张折射表的人，都认为太阳和月球的折射（与光的本质不同） 大于恒星的折射，约为地平线附近大4至5分钟，这样就使月球的地平视差增加了相应的分数，即整个视差的 或 。如果纠正这个错误，月球到地球的距离就会是 个地球半径，接近于其他人的结果。我们假设在朔望点时距离是地球半径的60倍，并设月球的一次环绕的时间，按照恒星时间，为27天7小时43分，就正如天文学家所认为的一样；而地球的周长为123249600巴黎尺，正如法国人所测得的数据。如果假设月球不做任何运动，受限制其在轨道上的向心力（由命题3的推论） 的影响，那它将会受该力作用而落向地球，且在一分钟时间里下降 巴黎尺。这是由第1编命题36，或是（同样道理） 第1编命题4推论9所推算出来的。因为月球在平均一分钟时间里，在离地球半径60倍长的地方落下，所掠过的轨道弧长的正矢约为 巴黎尺，或者更准确地说是15尺1寸 分。因为那个力在落向地球时，反比于距离平方，且随距离的减少而增加。这样的话，月球在地球表面所受的力是在月球本身轨道上所受力的60×60倍，如果地表附近一个物体受该力作用落向地球，在一分钟的时间里，降落的距离为60×60× 巴黎尺，那在一秒钟的时间里，距离为 巴黎尺，更确切地说是15尺1寸 分。我们发现正是这个力让地球附近的物体下落；因为正如惠更斯先生所观测的那样，在巴黎纬度上的秒摆的摆长为3巴黎尺 分。重物在一秒钟时间里落下的距离与半个摆长之比，是圆的周长与它的直径（惠更斯先生已经证明过） 之比的平方，所以为15巴黎尺1寸 分。所以使月球限制在其轨道上的力，当月球落在地球表面时，就等于我们先前研究重物时的那个重力。所以那使月球保持在轨道上的力（由规则1和2） 就是我们常说的重力。因为，如果重力是与那个力不同的力，则物体就会受这两个力的作用以加倍的速度落向地球，且在一秒钟的时间里，下降 巴黎尺，这样就与实验结果相冲突。
本推算是建立在假设地球静止不动的基础上的。因为如果地球和月球都在绕太阳运动的同时，又绕它们的公共重心运动，则月球中心到地球中心之间的距离为地球半径的 倍。这就与第1编命题60所计算出的结果相同。
附注
这个命题的证明还可以以下方式更详细地阐述。就像木星和土星都有很多卫星绕其旋转一样有好几个月球绕地球运转；这些月球的周期时间（由归纳理由），将遵循开普勒所发现的行星之间的运行规律；所以由本编命题1，它们的向心力将会反比于到地球中心的距离的平方。如果它们中位置最低的那个非常小，且十分接近地球，就快要挨着地球上最高山峰的峰顶了，则由先前计算可得知把其限制在其轨道上的向心力将几乎等于任何放在那山峰上的物体的重量，如果同样的小月球失去了维系其在轨道上的离心力，而不能继续在轨道上前进，则它将会落向地球；且落下的速度跟在那山顶上落下的重物的速度一样；因为它们受同样的力下落。如果使那位置最低的月球下落的力与重力不同，又如果该月球将像在山顶的重物一样落向地球，则因为受到两个力共同作用，它将以两倍的速度下落。因为这两个力，即重物的重力和月球的向心力，都指向地球中心，且相互之间相似、相等，它们（由规则1和2）只有一个相同的原因。这样把月球维系在其轨道上的力就是我们通常说的重力；否则那个在山顶上端的小月球必须要么没有重力，要么以重物下落速度的两倍下落。
命题5 定理5
木星卫星被吸引向木星，土星卫星被吸引向土星，行星被吸引向太阳，且受吸引力的影响把它们从直线运动中拉回来，并继续在其曲线轨道上运行。
因为不管是木星卫星绕木星运转，土星卫星绕土星运转，还是水星、金星或是其他行星绕太阳运转，都是同月球绕地球运转相同的运动类型，这样，由规则2，这必须归属于相同原理。特别是我们已经证明了，带动这些运动的力是指向木星、土星和太阳的中心；且随着渐渐远离木星、土星和太阳，这些作用力也以相同比率减小，跟受重力吸引的物体远离地球时，其吸引力也减小的原理一样。
推论1 有一种引力对所有的行星和卫星都有吸引作用；因为，毫无疑问，金星、水星和其他剩下的，都是和木星、土星一类的星球。因为所有的吸引力（由定律3）都是相互的，因此木星也会受它的所有卫星吸引，土星对它的卫星也是，地球对月球也是，并且太阳对所有行星也是。
推论2 对任何一个行星和卫星的引力都反比于到行星中心距离的平方。
推论3 由推论1、2得知所有行星和卫星的确相互吸引。因此当木星和土星运动到其交会点附近时，受其相互吸引的影响，它们明显互相干扰了对方的运动。所以太阳干扰了月球的运动，并且太阳和月球都干扰了地球海洋的运动，这我会在后面解释。
附注
这把天体维系在其轨道上的力，迄今为止我们叫它向心力，但是现在我们弄明白了这不过是一种吸引力，我们今后就叫它引力。因为由规则1、2和4得知，那把月球维系在其轨道上的力可以推广到所有的行星和卫星。
命题6 定理6
所有物体都受每一个星体的吸引，并且物体对任意一个相同的星体的重量，在到该星体中心的相等距离处，正比于该物体各自所含物质的量。
很长时间以来，人们都已观测到各种类型的重物（忽略掉它们在空气中遇到的阻力造成的不相等的减速） 在相同高度里，以相等时间落下；用钟摆来做实验，我们可以精确地测出时间的相等性。我试过用金、银、铅、玻璃、沙子、普通盐、木头、水和小麦来做实验。我用了两个木盒子，都是圆的且大小相等：我在一个里面装了木头，在另一个摆的摆动的中心悬挂了等重的金子（尽我所能做到精确） 。这两个盒子都被长11英尺的线吊起来，这样做成了两个重量和大小都完全相等的摆，且遇到的阻力也相等。把它们并排放在一起，我观察到它们在很长时间里一直一起往复摆动，做着相同的振动。所以金子里面物质的量（由第2编的命题24推论1和6）与木头里面物质的量之比，等于作用于所有金子的运动力与同样作用于所有木头的运动力之比；即，等于一个的重量与另一个的重量之比，且用其他物质做的实验也一样。在这些用相同重量的物体做的实验，如果有差异，我可以发现的物质差异不到千分之一。我可以毫不迟疑地说，行星的引力跟地球的引力是同类。因为，我们假设地球上的物体被移到了月球轨道上，并都失去了所有运动，然后使它们一起落向地球，则毫无疑问，由前面我们所证明的，那就是在相同时间里，物体下落的距离与月球相等，因而，该物体质量与月球质量之比，等于它们的重量之比。而且，因为木星的卫星环绕一周的时间正比于到木星中心的距离的 次幂，则它们受木星吸引的加速引力会反比于它们到木星中心的距离的平方，即在相同距离时力也相等。因此，如果设这些卫星在相同高度落向木星，则它们会在相同时间里下落相同高度，就像地球上重物的下落一样。同理，如果设行星在相同高度落向太阳，则它们会在相等的时间里下落相等高度。但是这些不相等物体的相等加速力正比于这些物体，即行星对于太阳的重量必须正比于其物质的量。而且，木星和它卫星对于太阳的重量正比于它们各自的物质的量，这可以由木星卫星的规则运动所证明（由第1编命题65推论3） 。因为如果其中一些卫星受太阳吸引，因其自身质量的比例较大而受吸引的力更强，则卫星的运动就会受到不相等引力的干扰（由第1编命题65推论2） 。在到太阳距离相等的情况下，如果任何卫星受太阳的吸引力比上其物质的量，大于木星受太阳的吸引力比上其物质的量，设任意给定比率为d 比e ；则太阳中心到卫星轨道中心的距离将会总是大于太阳中心到木星中心的距离，几乎正比于上述比率的平方根，就正如我之前所计算得出的那样。且如果卫星受太阳的吸引力较小，值为e 比d ，则卫星轨道中心到太阳中心的距离会小于木星中心到太阳中心的距离，值为同一比率的平方根。所以，如果在到太阳距离相等的情况下，任何卫星受太阳作用的加速引力，大于或小于木星受太阳作用的加速引力的 ，则木卫星轨道中心到太阳的距离就会比木星到太阳的距离大于或小于总距离的 ，即为木星最远卫星到木星中心的距离的 ，这样就会使轨道的偏心变得非常明显。但事实是木卫星的轨道和木星是共心的，所以木星和所有木卫星指向太阳的加速引力都是相等的。同理，土星和其卫星受太阳的重力，在到太阳距离相等时，各自正比于其物质的量；月球和地球受太阳的重力，也一样正比于其所含有的物质的量。由命题5推论1、3得知，它们必定有重量。
