另外，每个行星所有部分指向其他任何行星的重力各自正比于每一个部分；因为，如果有些部分受到的重力与其物质的量的比值偏大或偏小，则根据该行星的主要部分的重力情况，这整个行星的重力是大于或是小于它与总体物质的量的比例。不管这些部分是否在行星内部或是外部都不影响什么；因为，如果我们假设地球上的物体升到了月球轨道上，和月球在一起；如果该物体的重量比上月球外部重量，等于一个与另一个的物质的量之比；但比物体内部重量却大于或小于该比例，这样，这些物体的重量与月球重量之比也将大于或小于原比值。这与我们之前证明的相冲突。
推论1 物体的重量跟其形状和构造无关；因为如果重量要随形状而改变，则它们在自身物质含量不变的情况下，重量随其形状改变而改变，这跟实验结果是相冲突的。
推论2 放之宇宙皆准，地球附近的所有物体都受地球吸引；且在到地球中心距离相等的地方，它们的重量正比于其各自包含的物质的量。这是在我们可实验范围内的所有物体的特性；且（由规则3）可以推广到所有物体。如果以太或是其他任何物体，是失去重力的，或是受到的重力小于其质量，则因为（根据亚里士多德、笛卡尔等人）这些物体和其他物体除了在形状之外并没有差别，如果不断改变其形状，最后其一定会成为与那些按质量比例受到的重力最大者相同情况的物体；另一方面，这最重的物体在变回到最初的形状时，也会逐渐失去其重力。这样物体的重量就会依据其形状的改变而改变，所以就和我们在前一推论中所证明的相矛盾。
推论3 所有空间包含的物质都是不相等的；因为如果所有空间里的东西都一样，则在空气中的流体，因为物质的密度极大，其比重就不会比水银、金或其他任何密度最大的物质的比重小；这样，无论是金或是其他任何物体都不能从空气中下落；因为除非物体的比重大于流体的比重，否则物体是不能在流体中下落。且如果在一给定空间里，物质的密度通过稀释而减小了，那又怎样阻止其无限减小呢？
推论4 如果一切物体的固体粒子都是同样密度，也必须通过气孔而得到稀释，则我们就得承认有虚空或真空的存在。而我说的相同密度物体，是指那些惯性与体积之比相同者。
推论5 重力在本质上是不同于磁力的；因为磁力大小不会正比于它所吸引的物质质量。一些物体受磁铁的吸引强一些，另一些弱一些，而大多数则根本不受其吸引。一个物体的磁力可以增加或者减少，有时物质的质量要比其磁力大很多，且在远离磁铁的过程中，磁力不是以正比于距离的平方而是以正比于距离的立方减小，这一结论和我之前粗略的观测结果差不多。
命题7 定理7
一切物体都会受一种引力的吸引，该引力正比于物体各自所含的物质的量。
我们在前面已经证明了，所有的行星都相互吸引；也证明了每一个所受的吸引力，分开考虑，是反比于其到行星中心距离的平方。然后我们证明了（由第1编命题69及其推论） 物体受行星吸引的引力正比于其包含的物质的量。
此外，任意一个行星A 的所有部分都受其他任意行星B 的吸引；且每一部分与整体的引力之比，等于部分物质与整体物质之比；而（由定律3） 每一个作用都能引起一个相等的反作用；这样行星B 就会反过来受行星A 的所有部分吸引；且其受任意一部分的引力与其受整个的引力之比，等于部分的物质量与整体物质量之比。
证明完毕。
推论1 任何行星整体所受的引力是由部分所受引力所构成的。磁和电吸引力就给我们提供了这样一个例子；因为整体所受的引力来自于部分所受引力之和。如果我们把一个较大的行星看作是由许多较小的行星构成的，引力这一原理也不难理解；因为在此很明显，整体的引力必须由部分来构成。有人曾反对说，根据这一原理，地球上所有物体必须相互之间互相吸引，但为什么我们不曾在任何地方发现此引力呢？我回答道，因为这些物体所受引力与地球整体所受引力之比等于这些物体与地球整体之比，它们所受的引力远远小于我们所能感觉到的那种程度。
推论2 任何一物体的几个相等粒子的引力反比于粒子距离的平方；第1编命题74推论3已清楚证明了。
命题8 定理8
两个互相吸引的球体，如果球体内到球心距离相等处的物质是相似的，则其中一个球体的重量与另一个的重量之比反比于它们球心之间的距离的平方。
在我发现行星整个所受引力是由部分所受引力构成且指向各部分的引力反比于到该部分距离的平方之后，我仍然怀疑，在总引力由这么多的分引力构成的情况下，那个平方反比是否是精确的或是几乎如此；因为很可能在距离较远的地方，这个比例是很精确的，但是在地球附近，这里粒子间的距离不相等，情况也不一样，这个比例就不适用了。但是由于有了第1编命题75、76及其推论，我很高兴最后还是证明了这一命题，结果正如我们所看到的那样。
推论1 这样我们可以找到并比较物体受不同星球作用的引力；因为物体绕行星旋转的引力（由第1编命题4推论2）正比于轨道的直径，反比于它们周期的平方；且它们在行星表面，或是在到它们中心任何距离处的重量（由本命题），随距离平方的反比关系而变大变小。金星绕太阳运转的周期时间为224天 小时、距木星最远的木卫星绕木星运转的时间为16天 小时、惠更斯卫星绕土星运转的周期时间为15天 小时、月球绕地球运转的周期时间为27天7小时43分；这样将金星到太阳的平均距离与木星最远卫星到木星中心的最大距角——8′16″，惠更斯卫星到土星中心的最大距角——3′4″和月球到地球中心的最大距角——10′33″作比较，通过计算，我发现相等的物体在到太阳、木星、土星、地球的中心等距的地方，其重量之比分别为1、 、 和 。然后因为距离增大或是减小，重量以平方比例关系减小或是增大，相等物体相对于太阳、木星、土星、地球的重量，在到它们的中心距离为10000、997、791和109时，即在它们的表面时，分别正比于10000、943、529和435。至于该物体在月球表面的重量为多少，我将在后面作阐述。
推论2 同样，我们可以发现在几个行星上的物质的量；因为它们的物质的量在到其中心距离相等处正比于其引力，即在太阳、木星、土星、地球上分别为1、 、 和 。如果太阳视差大于或小于10″30，则地球上的物质的量必须以该比值的立方比例关系增大或减小。
推论3 我们也找到了行星的密度；因为（由第1编命题72）相等且相似的物体在相似球体表面的重量正比于球体的直径；这样相似球体的密度正比于它们的重量除以球的直径。而太阳、木星、土星和地球之间直径之比分别为10000、997、791和109；同样的重量之比分别为10000、943、529和435；所以其密度之比为100、 、67和400。在此计算中的地球的密度，不是由太阳视差所决定，而是由月球所决定的，所以这个计算是正确的。所以太阳的密度比木星的大一点，木星比土星大，而地球的密度是太阳的四倍；因为太阳由于其极高的温度，就保持了一种稀薄的状态。月球的密度大于地球，这在后面会提及。
推论4 行星越小，在其他条件不变的情况下，其密度越大；因为这样在它们各自表面的引力可以趋于相等。同样地，在其他条件不变的情况下，当它们越靠近太阳，其密度越大。所以木星的密度比土星的大，地球的大于木星的；因为行星运行在离太阳远近不同的轨道上，这样根据它们密度的不同，它们受太阳热的程度的比例也是不同的。如果把地球上的水移到土星轨道上，则水就会变成冰；而放在水星的轨道上，则会立刻变成水蒸气挥发掉了。因为正比于太阳温度的阳光，在水星轨道上的密度是在地球上的七倍，而我曾用温度计测出过七倍于地球夏季的温度可以使水沸腾。我们也不用去怀疑水星物质能适应其极高的温度，所以其密度大于地球物质；因为在密度更高的物质里，自然的作用要求更高的温度。
命题9 定理9
行星表面里，越往下，引力以几乎正比于到其中心的距离减小。
如果行星物质的密度是均匀的，这一命题就完全正确（由第1编命题73） 。所以其误差不会大于由于密度不均匀所造成的误差。
命题10 定理10
宇宙中行星的运动可以持续很长时间。
在第2编命题40的附注中，我已经证明过了一个都是水的球冻成冰，在掠过其半径长距离的时间里，将由于阻力失去其运动的 ；且不管球有多大，以何种速度运动，在这种情况下都会是这种比例。但是我们地球的密度会比它全由水构成的密度大，我将对此作证明。如果全是由水构成的，任何密度小于水的物体，因为其较小的比重，则该物体会浮在水面上。照这个推论，如果地球里面的物质跟我们现在的一样，而表面上全是由水包裹着，这样，因为里面的物质密度小于水的密度，则会在某处漂浮；而下沉的水则将会在另外一边聚集起来。而我们地球现在的状况是表面大部分覆盖的都是海水。地球如果不是密度大于海水，则会浮在海面上，并根据其轻的程度，将会或多或少浮在表面，而海水则会退去另一边。由此原理，飘浮在发光物质上的太阳黑斑也是轻于该物质；而不管行星是怎样形成的，当其还是流质状态时，所有较重的物质就会沉入球心。因为地球表面的普通物质的重量是水的两倍，而地球更深处的物质会是水的重量的三四倍，或是五倍，这就使得地球的整个物质比全是由水构成的物质量大五六倍；特别是因为我在前面证明出了地球密度约比木星的密度大四倍。所以，如果木星的密度比水大，则在30天的时间里，木星掠过459个半径长度的空间里，其将会受与空气相同密度的介质的阻力，而失去几乎 的运动。但是由于介质的阻力，随其重力或密度的正比关系减少，所以比水银轻 倍的水的阻力也会比水银的阻力小相同倍数；而空气比水轻860倍，在空气中的阻力也比在水中的阻力小860倍。所以在宇宙中，由于介质的重量极小，行星运动的阻力几乎等于零。
行星大小的比较
图中太阳系行星及其卫星用同一比例表示。从太阳出发，我们可观测到直径分别为4880公里的水星、12100公里的金星、12700公里的地球和卫星月球、6800公里的火星及2个小卫星、140000公里的木星和16颗卫星、120000公里的土星和17颗卫星、51000公里的天王星及15颗卫星、49000公里的海王星及其8颗卫星。
在第2编命题22的附注中证明过，在地球以上200英里处的空气比其在地球表面稀薄，其比值为：30比0.0000000000003998，或约为75000000000000比1。所以如果木星在与高空空气密度相等的介质里运转，则在1000000年的时间里，介质的阻力只使它失去其百万分之一的运动。在近地球处的阻力只是由空气、薄雾和水蒸气所造成的。当容器底部的气泵把它们全部干净地抽走时，重物就会在容器里自由下落，并且没有任何哪怕是很小的可感知的阻力：金和最轻的下落物一起下落时，它们的速度是一样的；就算它们要下降四、六或者八英尺的距离，它们也能在同等的时间里到瓶底；实验可以证明这一点。所以，宇宙中完全没有空气和水汽，行星和彗星不受任何明显的阻力，这样它们才能在宇宙中运动很长的时间。
假设1
宇宙的中心是固定不动的。
这一说法是大家公认的，但是有些人认为是地球，而其他人则认为是太阳处在宇宙的中心。让我们来看看下面可以推出什么结果。
命题11 定理11
地球、太阳和所有行星的公共重心是固定不动的。
因为（由运动定理推论4） 那个重心或是静止的，或是做匀速直线运动；而如果它是运动的，则宇宙的重心也会运动，这就和假设相冲突。
命题12 定理12
太阳受到恒久运动的推动，但是从不远离所有行星的公共重心。
因为（由命题8推论2） 太阳的物质的量与木星的物质的量之比为1067比1；木星到太阳的距离比上太阳的半径略大于该比值，所以木星和太阳的公共重心位于太阳表层一点的位置。同理，因为太阳的物质的量与土星的物质的量之比为3021比1，且土星到太阳的距离与太阳半径之比略小于该比值，所以土星和太阳的公共重心将会落在太阳表层略往下一点的位置上。且通过运用该原理来计算，我们可以发现地球和所有的行星都位于太阳的一侧上，所有公共重心到太阳的距离几乎都不能达到太阳直径。在另一些情况中，这些重心的距离会更短。因为该重心是永远静止的，则根据行星的不同位置，太阳必须不断改变位置，但是绝不会远离该重心。
推论 因此地球、太阳和所有行星的公共重心被看作是宇宙的中心；因为地球、太阳和所有的行星都相互吸引，所以根据它们的吸引力大小，正如运动定理所要求的那样，它们会不断地相互推动。很明显，它们的可移动的重心不能被看作是宇宙不可移的中心。如果把一个天体放在该中心上，且对其他天体的吸引力最大（根据普遍观点），则太阳会是最佳选择；但是因为太阳本身是运动的，所以定点只能选在离太阳中心距离最近处，且当太阳的密度和体积变大时，该距离还可以更小，这样太阳运动更小。
命题13 定理13
行星的运行轨道呈椭圆形，且其公共焦点位于太阳中心；在伸向该中心的半径时所掠过的面积正比于其掠过的时间。
前面我们已经在“现象”这一节讨论了这些运动。现在我们知道了它们所依据的原理，从中我们推导出宇宙中的运动规律。因为行星受太阳的重力反比于它们到太阳中心的距离的平方，如果太阳是静止的，其他行星不再相互吸引，则它们的轨道将会是椭圆的，太阳会在其公共焦点上；由第1编命题1、11，以及命题13推论1得知它们所掠过面积正比于掠过的时间。但是行星间的相互作用力很小，几乎可以忽略掉；且由第1编命题66所知，在太阳运动时，它们对绕太阳运转的行星运动的干扰，要小于假设太阳静止时对绕太阳的这些运动的干扰。
事实上，木星对土星的作用力是不能忽略的；因为木星引力和太阳引力之比（在距离相等的情况下，由命题8推论2） 为1比1067；且因为土星到木星的距离比上土星到太阳的距离约为4比9，则在木星和土星的交会处，土星受木星的引力与土星受太阳的引力之比为81比16×1067，或者约为1比211。这样在土星和木星的每一个交会点处，土星轨道就会产生明显摄动，以至于很多天文学家都迷惑不解。因为木星在交会点的不同位置，其偏心率有时增大，有时减小；其远日点有时顺时针运转，有时逆时针运转，且其平均运动依次加快和减慢；尽管木星绕太阳运动的所有误差都是产生自这么强大的作用力，但通过把其轨道的低焦点放在木星和太阳的公共重心（由第1编命题67） 上，则几乎可以避免（除了平均运动） 产生该误差，所以当该误差达到最大值时，几乎也不超过两分钟；且在平均运动中的最大误差每年也不会超过两分钟。但是在木星与土星的交会点处，土星受太阳的加速引力，土星受木星的加速引力，以及太阳受木星的加速引力之间的比值约为1618和 ，或156609；所以土星受太阳和木星的不同引力比上太阳受木星的引力，约为65比156609或1比2409。但是土星干扰木星运动的最大作用力正比于该差值；所以木星轨道的摄动要比土星的小得多。其他行星的摄动更是要远远小于土星的，除了地球的轨道明显受到月球的干扰。地球和月球的公共重心绕太阳做椭圆运动，且其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于掠过的时间。此外地球平均每月绕该公共重心运转一次。
星体的运动合成图片
星体的运动是指它与其他物体的相对位置发生改变，如果从不同的位置来观察同一星体的运动，就会发现这一星体有着不同的运动方式。
命题14 定理14
行星轨道的远日点和交点是固定的。
由第1编的命题11可知远日点是固定的，且由同一编的命题1可知轨道的平面也是固定的。如果平面是固定的，则交点必须也是固定的。事实上在行星和彗星环绕的相互作用中会产生平面的一些位置变动；但是这些变动都太小了，我们可以把它们忽略不计。
推论1 因为既然与行星的远日点和交点都保持位置不变，所以恒星是不动的。
推论2 因为在地球的年周运动中看不到恒星有明显视差，又因为它们与我们相距甚远，所以恒星不能对我们的天体系统产生任何明显的影响。更不用说由于它们的反向吸引抵消了它们间的相互作用，恒星无规律地在宇宙中到处分布，这由第1编命题70可知。
附注
因为太阳附近的行星（水星、金星、地球和火星）都太小了，所以它们之间几乎不能产生相互作用力。这样，它们的远日点和交点必定是固定的，除了受到一些木星、土星和其他更远行星的作用干扰。所以我们可以通过引力理论得出，它们的远日点位置相对于恒星来说稍微前移，且该移动正比于它们各自到太阳距离的 次幂。因此，如果在一百年的时间里，火星的远日点相对于恒星来说前移33′20″，则地球、金星和水星在一百年里各自前移17′40″、10′53″和4′16″。但是这些移动都太小了，在本命题中我们就把它们忽略掉了。
命题15 问题1
求行星轨道的主径。
由第1编命题15可知，它们正比于周期时间的 次幂。又由第1编命题66得知，它们各自以太阳与各行星的物质总量的和的三次方根与太阳物质量的三次方根的比值而增大。
命题16 问题2
求行星轨道的偏心率和远日点。
可由第1编命题18得出本命题的解。
命题17 定理15
行星的周日运动是均匀的，且月球的天平动是由这种周日运动产生的。
这一命题可由第1编命题66推论22来证明。相对于恒星而言，木星的自转时间为9小时56分，火星为24小时39分，金星为23小时，地球为23小时56分，太阳为 天，以及月球为27天7小时43分，这些在现象这一节已经讲明了。太阳表面黑斑回到其表面相同位置，相对于地球来说为 天，这样相对于恒星来说太阳自转要 天。但是因为由月球绕其轴均匀转动而产生的太阴日是一个月时间，即，等于其在轨道上环绕一周的时间，所以相同月相总是出现在其轨道的上焦点附近；但是随着焦点位置的移动，该月相也会朝一侧或另一侧偏向在低焦点位置上的地球，这就是经度天平动；因为纬度天平动是由月球的纬度和其轴向黄道平面倾斜所造成的。关于月球天平动的理论，N．默卡特先生在其发表于1676年初的《天文学》这本书中，已经根据我给他写的信作了详尽阐述。土星最远的卫星似乎也在跟月球做一样的自转运动，对土星来说，该卫星呈现的总是同一面向；因为在其绕土星的运转过程中，只要其转到轨道东部位置时，其便很难让人看见，基本可以说是消失了；据M．卡西尼的观测，这可能是由于在球体在面向地球的那部分有一些黑斑所导致的。木星最远那个卫星看起来也在做类似运动，因为在其背向木星的那一部分也有黑斑，而不管其在木星与我们视线范围之间的任何位置上，看起来其总像是在木星球体上。
中世纪的天盘
中世纪的天文学家用天盘来测量天体的位置，航海家用它来确定自己的位置。天盘上有一个刻着角度的圆盘和可移动的指针。
命题18 定理16
行星的轴短于与轴正交的直径。
如果行星各部分相等的引力不是让其在轨道上自转，则就会使其呈球形。由于自转运动，使得远离轴的那部分受力在赤道附近隆起；这样如果该部分是流质状态，由于其在赤道附近隆起，则赤道部分行星的直径将会扩大，且由于极点的下陷，行星的轴也会减短。因此木星的直径（由天文学家的共同观测） 在两个极点之间比在东西之间要短。同理，如果地球赤道处的直径要短于轴长，则大海就会在极点附近下陷，且在赤道附近隆起，并将淹没一切物体。
命题19 问题3
求行星轴长和与轴正交的直径之比。（如图1）
（图1）
英国人诺伍德先生在1635年测出了伦敦和约克之间的距离为905751英尺，且观测出纬度差为228′，得出了一度长为367196英尺，即57300巴黎托瓦兹。M．皮卡得测出在亚眠和马尔瓦新之间的子午线弧为22′55″，则一弧度为57060巴黎托瓦兹。老M．卡西尼测出了在罗西隆的科里乌尔镇到巴黎天文台的子午线距离；而小M．卡西尼又把这一观测距离从天文台延伸到敦刻尔克的西塔德尔。总距离为 巴黎托瓦兹，且科里乌尔和敦刻尔克之间的弧度差为 。所以一弧度长为57061巴黎托瓦兹。从这些测量我们可以得出地球周长为123249600巴黎尺，半径为19615800巴黎尺，则假设地球是正球体。
在巴黎的纬度上，重物在一秒钟的时间里下落15巴黎尺1寸 分，同上，即 分。而由于周围空气的阻力重物的重量会减轻。设减去的重量为总重的 ，则重物在真空里一秒钟下落2174分。
一个物体在一长23小时56分4秒的恒星日里，在离球心19615800英尺距离的圆周上作匀速运动，一秒钟里其掠过的弧长为1433.46英尺，其正矢为0.05236516英尺或7.54064分。则物体在巴黎纬度上下落的重力，与物体在赤道上由于地球的自转运动所产生的离心力之比为2174比7.54064。
物体在赤道上的离心力与物体在巴黎纬度，4850′10″上的离心力之比，等于半径与该纬度的余弦之比的平方，即等于7.54064比3.267。把该力加入到物体在巴黎纬度上由其重量而下落的力中，则该物体在巴黎纬度上，一秒钟时间里，受阻力不计的引力的作用而下落，则其将下落2177.267分或15巴黎尺1寸5.267分。且在该纬度上的总引力与物体在地球赤道上的离心力之比为2177.269比7.54064或289比1。
因此，如果APBQ 表示地球，现在它不再是球体了，而是由它较短的轴PQ 旋转而形成的椭球；ACQqca 表示装满水的管道，从极点Qq 延伸到中心Cc ，又延伸到赤道Aa ；在管道ACca 这一支的水的重量与在另一支QCcq 中的水的重量之比为289比288，因为自转运动所产生的离心力维持并消去了重量的 （一支中） ，而另一支288份的则维持其余重量。通过计算（由第1编命题91推论2） 我发现，如果地球的所有物质是均匀的，不做任何运动，且其轴PQ 比上直径AB 为100比101，则在Q 处所受的地心引力，与在同样位置Q 受以C 为球心、以PC 或QC 为半径的球体的引力之比为126比125。同样的原理，在A 处受轴AB 旋转而成的椭圆APBQ 的引力，与同样在A 处受以C 为中心、以AC 为半径的球体引力之比125比126。但是在A 处受地球的引力，是受椭球引力与受球体引力的比例中项；因为如果该球体的直径PQ 以101比100的比例减小，该球体就会变成地球形状；而如果垂直于直径AB 和PQ 的第三条直径也以相同比例减少的话，则该球体形状就会变成先前所说的椭球形；且在A 处所受的引力也以相同比例减少。在A 处指向以C 为球心，以AC 为半径的球体的引力，比上在A 处指向地球的引力为126比 。在Q 处指向以C 为球心，QC 为半径的球体的引力，与在A 处指向以C 为球心，以AC 为半径的球体的引力之比的比值，正比于两个球体的直径之比（由第1编命题72） ，即100比101。如果我们把这些比值126比125、126比 和100比101连乘，则得到在Q 处与在A 处受的地球引力之比为126×126×100比125× ×101，或为501比500。（如图1）
现在因为（由第1编命题91推论3） ACca 与QCcq 这两支管道中的引力正比于到地球中心的距离，如果假设管道被横向的、平行的和等距的平面分割成正比于整体的部分，则在ACca 这一支中的任意几个部分的重量与另一支中相同数量部分的重量之比，等于它们的大小与加速引力的乘积之比，即，等于101比100乘以500比501，或505比501。所以如果在ACca 这一支中任意一部分的由自转运动产生离心力与同样部分的重量之比为4比505，这样分成的505个等份，离心力可以抵消四份该等份的重量，则两支中任意一支中的剩余重量相等，因而流体可以在均衡状态中保持静止。但是任意一部分的离心力与相同部分的重量之比为1比289，即本应为重量的 的离心力只为重量的 。所以，我认为由比例的规则可知，如果离心力的 使得在ACca 这一支中的水面高度仅仅超过了QCcq 这一支中水面高度的 ，则离心力的 仅仅会让ACca 这一支中的水面高度超出另一支中的高度的 ；所以在赤道上的地球直径与地球的轴之比为230比229。因为根据皮卡德的测量，地球平均直径为19615800巴黎尺，或3923.16英里（1英里等于5000英尺） ，所以地球在赤道处要比在极点处高出85472英尺，或 英里。且地球在赤道上的高度约为19658600英尺，而极点处则为19573000英尺。
如果行星在自转运动中的密度和周期时间都不变，则大于或小于地球的行星，其离心力与引力的比例，以及极点之间的直径与赤道上的直径都不变。但是如果自转运动以任意比例加速或减速，则离心力就会以几乎相同比例的平方增大或减小，直径的差以相同比的平方增大或减小。而如果行星的密度以任意比例增大或减小，则指向它的引力也会以相同比例增大或减小；相反的直径差会正比于引力的增大而减小，且正比于引力的减小而增大。因为相对于恒星而言，地球自转要23小时56分，而木星要9小时56分，它们周期时间的平方之比为29比5，且它们密度之比为400比 ，以及木星的长直径与其短直径之比为 比1，或几乎等于1比 。所以木星从东到西的直径与极点之间的直径之比约为 比 。这样因为木星最长的直径为37″，则其两极之间较短的直径为 。并且有大约3″的光的不规则折射，这样该行星的视在直径为40″和36″25，这两个值之间的比约为 比 。这些都是建立在假设木星本身是有着均匀密度的基础上。但是，现在如果其在赤道附近的密度大于其在极点附近的密度，则其相对应的直径之比为12比11，或13比12，或14比13。
卡西尼在1691年观测到木星东西向的直径就比其他直径长约 。庞德先生在1719年用他的123英尺长的望远镜和精确千分尺测出了木星的直径，见下表。
因此，这一理论跟现象相符。因为行星赤道附近能受更多的太阳光热，所以赤道处的密度就要比极点处的大。
此外，随着地球的自转运动引力也会减小，所以地球在赤道处要比在极点处隆起得要高（假设其物质的密度均匀） ，这可由与以下命题相关的钟摆实验来证明。
命题20 问题4
求地球不同地区的物体重量，并对此进行比较。（如图2）
（图2）
因为管道ACQqca 的两分支长度不相等水的重量却是相等的，且部分的重量正比于整个管道的重量，且位置相似处的重量都各自正比于整体的重量，所以它们的重量相等；在管道中重量相等且位置相似部分反比于管道长，即反比于230比229。管道两支中所有位置相似的均匀物体都是这种情况。它们的重量反比于管长，即反比于物体到地球中心的距离。所以，如果物体位于管道的最顶部，或是位于地球表面，则它们各自的重量反比于它们到球心的距离。同理，整个地球表面所有其他位置的重量都反比于其到球心的距离；所以，假设地球是椭球体，则比值即定了。
从该原理可以得出从赤道移到极点的物体的重量几乎以正比于纬度正矢的两倍增加；或者，正比于纬度正弦的平方也是一样的；且在子午线上的纬度弧长也几乎是以相同比例增加。所以因为巴黎纬度为4850′，赤道为0000′，极点为90；这些弧的两倍的正矢为1133400000和20000，半径为10000，且极点处与赤道的引力之比为230比229；极点引力多于赤道的那部分与赤道引力之比为1比229；在巴黎纬度处多于赤道的引力与赤道引力之比为1× 比229，或者为5667比2290000。该处总引力比另一处总引力等于2295667比2290000，因此，由于在相同时间里的摆长正比于引力，所以在巴黎纬度上，秒摆摆长为3巴黎尺 分，或者由于考虑到空气的重量，摆长为3巴黎尺 分，周期相同的赤道上的摆长就要比前者短1.087分。
从此处 的表格可以看出，每度子午线长的差异实在是太小了，所以从地理学角度，我们可以把其看做是球体，特别是如果地球在赤道平面处的密度比在极点处的密度大时。
现在几个被派到遥远国家作天文观测的天文学家发现，摆钟在赤道附近确实比在我们地区走得相对慢些。最早在1672年，M．里歇尔在凯恩岛注意到这一现象。因为在八月时，当他正在观测恒星过子午线的移动，他发现他的摆钟比其本该有的速度要慢，相对于太阳的平均运动来说它一天要慢2′28″。所以他制作了一个简单秒摆，由精确钟表校准，并测出了那个摆的摆长。他一个星期又一个星期地重复做这个实验，足足做了十个月。当他回到巴黎后，他比较了前面测出的摆长和在巴黎测出的摆长（3巴黎尺 分） ，他发现它要短 分。
此后，我的朋友哈雷博士在1677年左右在圣赫勒拿岛时，发现了在条件相同的情况下，他的摆钟比在伦敦时走得要慢。但是当他缩短了摆钟的摆杆 英寸，或 分多时，因为在摆杆底部的螺丝失效了，他就在螺母和摆锤之间插入了一个木环。
然后，在1682年，M．法林和M．德斯海斯在巴黎皇家天文台测出了一个简单秒表的摆长为3巴黎尺 分。用同样的方法，在戈雷岛他测出了等时摆的摆长为3巴黎尺 分，与前者相差2分。且在同一年里去了瓜达罗普和马丁尼古岛，在那里他测出了等时摆的摆长为3巴黎尺 寸。
这之后，小M．库普莱在1697年7月在皇家天文台，他让他的摆钟与太阳的平均运动校准，使之在相当长时间里与太阳运动相吻合。在接下来的十一月，他来到了里斯本，在这里他发现他的摆钟一天里比以前慢了2分13秒。然后紧接着的三月，他去了帕雷巴，他发现在这儿他的钟比在巴黎时一天要慢4分12秒；他断定秒摆的摆长在伦敦要比在巴黎短 分，在帕雷巴要短 分；他如果计算的这些差值为 分和 分的话，他会做得更完美；因为这些差异都是和时间差2分13秒和4分12秒相对应的。但是这位先生做观测太疏忽大意了，以致他的数据不值得信赖。
处所纬度 摆长 每度子午线长度
度 尺分 托瓦兹
0 37.468 56637
5 37.482 56642
10 37.526 56659
15 37.596 56687
20 37.692 56724
25 37.812 56769
30 37.948 56823
35 38.099 56882
40 38.261 56945
1 38.294 56958
2 38.327 56971
3 38.361 56984
4 38.394 56997
45 38.428 57010
6 38.461 57022
7 38.494 57035
8 38.528 57048
9 38.561 57061
50 38.594 57074
55 38.756 57137
60 38.907 57196
65 39.044 57250
70 39.162 57295
75 39.258 57332
80 39.329 57360
85 39.372 57377
90 39.387 57382
在随后的1699年和1700年，M．德斯海斯去了美洲，他测出了在凯恩和格林纳达岛秒摆摆长稍微小于3巴黎尺 分，而在圣克里斯托弗岛是3巴黎尺 分，在圣多明戈岛为3巴黎尺7分。
随后，在1704年，P．费勒在美洲的皮尔托贝卢发现在那儿秒摆的摆长为3巴黎尺 分，那几乎比在巴黎要短3分；但是这一观测结果是错误的。因为在之后去马丁尼古岛时，他发现在那儿等时摆的摆长为3巴黎尺 分。
现在帕雷巴在南纬638′，皮尔托贝卢为北纬933′，凯恩、戈雷、瓜达罗普、马丁尼古、格林纳达、圣克里斯托弗和圣多明戈岛则分别为北纬455′，1440′，1500′，1444′，1206′，1719′和1948′。在巴黎的摆长超出在上述这些纬度上等时摆摆长的那部分长度要比在从上表中得出的要稍微多一点。所以地球赤道要比前面计算的隆起得还要高，且在球心处的密度比表面的还要大，除非是热带的温度让摆长增加了。
因为M．皮卡德曾经观察过，在冬季会结冰的天气里，一根铁条是1英尺长，而在遇火加热后，变成了1英尺 分长。此后M．德拉希尔发现在冬季同样的天气下，铁条是6英尺长，当暴露在夏日阳光下时，就增长到了6英尺 分。在前一种情况中温度要比在后者中高，但是后者的温度也要比人体表面温度高，因为金属暴露在阳光中可以得到相当可观的热量。但是摆钟的铁条却从来没有暴露在夏日阳光里，也从没得到过与人体表面温度相同的热量；所以，尽管3英尺长的摆钟铁条确实会在夏季比冬季长，但这一差值还不到 分。所以，在不同气候下的等时摆长差不能归因于热量的不同，也不能归因于法国天文学家的错误事实。因为，尽管他们的观察结果不统一，但是这些误差不大可以忽略掉；他们一致同意的是等时摆的摆长在赤道处要比在巴黎皇家天文台要短，其误差在 分到 分之间。M．里歇尔在凯恩岛观测出的误差为 分。而那一误差被M．德斯海勒更改成了 分或是 分。其他人做同样的观测更不精确，误差为2分。这一误差有一部分是由观测误差所造成的，有一部分是来自地球内部构造的差异和山的高度，还有一部分是空气温度的差异。
我观测出的3英尺的铁条在英格兰的冬季要比夏季短 分。因为赤道处的温度极高，要从M．里歇尔的 分中减去这一量，这样就会剩下 分，这就和本理论前面所得出的 很符合。M．里歇尔在凯恩岛反复做这一观察，每周一次，做了10个月，还把在这儿记录到铁条上的观测数据与他在法国观测的作比较。这种勤奋和仔细看起来似乎是其他观测者所缺乏的。如果这位先生的观测数据值得信赖，则地球的赤道就要比极点隆起得要高，且高出约17英里，就正如本理论所证明的那样。
地球磁场
地球是一个大磁场。在地球上空，地球磁场有效地阻止了来自太阳风中高能带电粒子的轰击。在地球演化史中，地球磁场的作用和水、空气一样重要。
命题21 定理17
二分点后移，地轴由于公转运动中的章动，每年两次朝黄道移动，也以相同频率回到其原先的位置。
这一命题由第1编命题66推论20所证明；而章动运动必定很小，几乎不能察觉。
命题22 定理18
月球的所有运动和那些运动的所有不相等性，都要遵循以上原理。
由第1编命题65可知，较大的行星在围绕太阳转时，可能在同时带动一些较小的卫星绕其旋转；而那些较小的卫星必须在以较大行星的中心为其焦点的椭圆轨道上运动。但是它们的运动将会受到太阳多种形式的干扰，并像月球所受的那样呈现不相等性。这样我们的月球（由第1编命题66推论2、3、4和5） 就会运动得越快，在伸向地球的半径在相同时间里所掠过的面积越大，且其轨道弯曲得越小，所以在朔望点时比在方照点时更靠近地球，除了当这些干扰被偏心运动所阻挡的时候；因为（由第1编命题66推论9） 远地点的位于朔望点时，偏心率是最大的，而在方照点时是最小的；由此得出近地点的月球在朔望点时运动得较快，且更接近地球，而远地点的月球在方照时运动得较慢，且离地球较远。此外，远地点向前移，而交会点向后退；且这不是由规则的运动而是由不均匀的运动造成的。因为（由第1编命题66推论7、8） 在朔望点时远地点前移得更快，而在方照点时后退得更慢，这种顺逆行差就造成了每年的前移。相反地，交会点（由第1编命题66推论11） 在朔望点时是静止的，而在方照点时后退得最快。而且，月球的最大黄纬（由第1编命题66推论10） 在方照点时大于在朔望点时。且（由第1编命题66推论6） 月球的平均运动在地球近日点时比其在远日点时要慢。这些都是天文学家所发现的（月球运动的） 基本不相等性。
但是也有其他一些过去天文学家没发现的不相等性，他们使月球的运动被干扰，到现在我们也不能把它们归入任何确定的规律下。因为月球的远地点和交会点的速度或每小时的运动及其均差，以及在朔望点的最大偏心率和在方照点的最小偏心率的差值，还有就是我们称之为变差的不相等性，是（由第1编命题66推论14） 年度里随着正比于太阳视在直径的立方而增大或减小的。而且（由第1编引理10推论1、2和命题66推论16） 变差几乎是以正比于朔望之间的时间的平方而增加和减小。但是在天文计算中，该不相等性通常都与月球中心运动的均差相混淆。
命题23 问题5
从月球的运动中得出木星和土星卫星的不相等运动。
