从月球的运动我们可以推导出相对应的木星卫星运动，由第1编命题66推论16可知。木星最外层卫星交会点的平均运动与月球交会点的平均运动之比，正比于地球绕太阳运动的周期与木星绕太阳运动的周期之比的平方，乘以木卫星绕木星运动与月球绕地球运动的周期之比；所以，这些交会点在一百年的时间里，后退或前移了824′。内层卫星交会点的平均运动与外层卫星交点的平均运动之比，等于它们的周期与前者的周期之比，这是由同一个推论得出，所以也可以求出。每个卫星回归点的前移运动与其交会点的后移运动之比，等于月球远地点的运动与其交会点之比（由同一个推论） ，所以也可以求出。但是，这样求出的回归点运动必须以5比9，或是约为1比2的比例减小，其原因我不能在这儿很好地解释。每一个卫星的交会点和上回归点的最大均差分别与月球交会点和远地点最大均差之比，等于在前一均差一次环绕的时间里，卫星的交会点和上回归点的运动与在后一均差一次环绕的时间里，月球的交会点和远地点的运动。由同样的推论，从木星上所看到的卫星变差与月球的变差之比，等于在卫星和月球（从离开到回来） 分别绕太阳运转的时间里这些交会点的总运动的比，所以最外层卫星的变差不会超过5.2秒。
命题24 定理19
大海的涨潮和退潮是由太阳和月球的作用引起的。（如图3）
（图3）
由第1编命题66推论19，我们得知海水一天中有两次潮起和潮落，包括在太阳日和月亮日的。开阔的深海里的海水紧随着日、月到达当地子午线后在6小时里达到最高高度，就像在法国和好望角之间的大西洋和埃塞俄比亚海的东部区域，也就像南太平洋的智利和秘鲁海岸。在所有的这些海岸边涨潮发生在第2、3或4个小时，除非深海底的海水运动被海峡的浅滩导向一些特别的地方，这样会延迟到第5、6或7小时后，甚至更晚。我所估计的小时是从每一次日、月到达当地子午线，也是从高于或低于地平线时开始算起的；月球日是月球通过其视在周日运动经过一天后再次回到当地子午线所需的时间，小时是该时间的 。当太阳或月球到达当地子午线时海水涨潮的力是最大的；该作用于海水的力在作用后仍然能持续一段时间，且其随后由一种新的，尽管作用力很小，但是仍然作用于其之上的力所增强。这就使得海潮涨得越来越高，直到这一新的力变得越来越弱，已不能再使海水涨起来，海潮就涨到了其最高的程度。这一过程也许需要一两个小时，但是通常是在靠近海岸的地方停留约3个小时，当海水很浅时，甚至更多。
太阳和月球能够引起两个运动，这两个运动之间没有明显区别，但是它们之间会引起一个复合了前两个的混合运动。在日月的会合点或对冲点，它们的作用力结合在一起，就引起最高的潮涨潮落。在方照点时太阳会使月球退下去的潮水涨起来，或使月球涨起来的潮水退下去，并且它们力的差造成了最小的潮。因为（由经验可知） 月球的作用力大于太阳，所以在第三个月球小时会产生最高的潮。除了在朔望点和方照点时，月球独自引起的最大海潮应该发生在第三个月球小时，而太阳独自引起的最大海潮应该发生在第三个太阳小时。这两个的混合作用力引起的海潮必须是一个中间时间，且在更接近于第三个月球小时而不是太阳小时。所以，当月球从朔望点到方照点这期间，第三个太阳小时领先于第三个月球小时，而且最高海水到来的时间也要领先于第三个月球小时，且以其最大间隔稍微落后于月球的八分点；当月球从方照点到朔望点这期间，最高海潮以相同间隔落后于第三个月球小时。这些情形发生在开阔的水域；因为河口处的最高潮要晚于海面的最高潮。
但是，日月的这些作用取决于它们到地球的距离；因为当它们离地球很近时，它们的作用力就很强，而当它们离地球很远时，它们的作用力就很弱，该作用力正比于它们的视在直径的立方。所以在冬季时，当太阳在近地点时有最大作用力，且在朔望点时弄起的潮更高，而在方照点时引起的海潮比在夏季时要小；而每月月球在近地点弄起的海潮要大于在离近地点15天前后当其还处于远地点时弄起的海潮。由此可知，最大的两个海潮不是一个接一个地发生在两个紧接的朔望点之后。
日月的作用还依靠其与赤道的距离和倾斜度，因为如果它们在极地的位置上，则其就会维持对所有地方的水的吸引力，水的运动不会有任何变化，且也不会引起任何交替运动。所以，在日月从赤道到两极的过程中，它们会逐渐失去作用力，这样它们在朔望点时，在夏至和冬至时激起的海潮就会小于在春分和秋分时的。但是当在方照点时，它们在夏至和冬至时激起的海潮要大于在春分和秋分时，因为当月球在赤道时，其作用力超过太阳作用力的程度是最大的，所以最大的海潮发生在这些朔望点，最小的海潮在方照点，在“二分”点时情况也是这样的。我们由经验也可以得知，在朔望点时的最大海潮之后通常都紧接着在方照点时的最小海潮。但是，因为太阳在冬季时离地球的距离比夏季时更近，所以在春分之前最大海潮和最小海潮发生的频率要比在这之后发生得更高，而在秋分之前的频率则要比之后更小。
此外，日月的作用力也取决于纬度位置。令ApEP 代表表面覆盖深海的地球，C 就表示地心，P 、p 是两极；AE 为赤道，F 为赤道外任意一点，Ff 是赤道的平行线，Dd 是赤道另一边的平行线，L 表示月球三小时前所处的位置，H 为月球正对着L 的地球的点，h 为H 的地球另一面正对的点，K 、Q 为90处的距离，CH 、Ch 是海洋到地心的最大高度的海，CK 、Ck 是最小高度。如果以Hh 、Kk 为轴线作出一个椭圆，且绕其较长的轴线Hh 做自转，则椭球体HPKhpk 就形成了，该椭球几乎就能代表海的形状，CF 、Cf 、CD 、Cd 就表示在Ff 、Dd 处的海洋高度。而且，在前面所说的椭球体自转过程中，任意点N 所掠过的圆NM 与平行线Ff 、Dd 相交于随MN 移动的R ，T ，与AE 相交于S ，CN 表示在这个圆中R 、S 、T 所代表的所有地方中海面的高度。为此，在任意点F 的周日运动中，最大潮将发生在F ，就在月球由地平线上升到子午线后的第三个小时；此后，最大的潮水又发生在Q 处，在月球落下后的第三小时；然后最大的潮水又出现在f ，月球由地平线落到子午线后三小时；最后又是在Q 处的最大退潮，发生于月球升起后的三小时。且后者在f 处的潮水会小于前者在F 处的。因为整个海被分成两个半球的潮水，一个是在北部半球KHk 上，而另一个是在南部半球Khk 上，对此我们可以分别称之为北部潮水和南部潮水。这通常是一个与另一个相对的潮水，以12月亮小时的间隔，一个接一个地到达各地的子午线。由于北方国家受到北部潮水的影响较大，而南方则受到南部潮水的影响较大，因此日月引起的大小不等的潮涨潮落，交替在赤道以外的任何地方发生着。但是最大潮会发生在月球在当地的天顶，约为月球从地平线爬到子午线后的第三个小时；当月球变得更倾向于赤道的另一边时，则本是较大的潮水就会变得较小。这种改变最大的潮水将会发生在冬至、夏至，特别是当月球的交点是在白羊座的第一星附近时。由经验可知，在冬季时早潮要高于晚潮，而在夏季情况相反，根据科勒普赖斯和斯多尔米的观察，在普利茅斯这之间的高度差为1英尺，而在布里斯托为15英寸。
日食和月食
月球绕地球旋转，使得有周期性的月食和日食现象产生。当月球通过地球的阴影时，发生月食；当月球遮住太阳时，发生日食。日食和月食一样，以18年10、11或12天为周期，在这期间内各发生42次日食及月食。两者的不同之处是，在地球表面观察日食的地区有限，能亲眼目睹日食的人不多。
然而，我们所说的运动也会受到相互作用而有一些改变，水一旦动起来就会因其惯性而持续一段时间。因此，尽管日月的作用停止了，但海潮还是会持续一阵。这种能持续其运动的能力减少了交替海潮的差异，且让那些紧接在朔望点大潮之后的海潮更大，而在方照点小潮之后的海潮更小。因此在普利茅斯和布里斯托的交替海潮的高度差异相互之间不会超过1英尺或15英寸，且在所有这些港口中最大海潮不是在朔望点大潮之后的第一天而是第三天。而且，所有的运动都在它们通过的浅海峡而有所阻滞，因此在一些海峡和河口处，往往最大的海潮是在朔望点大潮后的第四天，甚至第五天。
月相图
月亮每天在星空中自西向东移动时所发生的位相变化，叫做月相。假设满月是一个圆形，那么无论月相如何变化，它的上下两个顶点的连线一定是圆形的直径。而且当月相外边缘接近字母C时，就是农历十五日以前的月相。反之，当月相外边缘接近反字母C时，则是农历十五以后的月相。
此外，还有一种情况就是潮水通过不同的海峡到达同一个港口，且在通过一些海峡时会比通过其他的要快一些；在这种情况中，同样的潮水分成了两道或三道，它们之间不停地相互追赶，最后它们可能会会合成一道不同种类的新运动。假设两支相等的海潮从不同地方汇聚到同一个港口来，有一个要提前另一个六小时；又假设这前一个海潮发生在月球到达该港口的子午线之后的第三小时。如果月球在到达该子午线时是在赤道上，该处每六小时就会出现相等的潮水，在遇到相等的退潮时，相互之间就抵消了，到那一天海水就会沉寂下来。如果月球接着从赤道上落下，就如我以前说过的，海潮就会在较大和较小之间交替；因此两个较大和较小的海潮就会交替到达港口。但是这两个较大的海潮会在它们到达的时间之间产生最高的潮水；而这两种潮水能在它们的到达时间之间，产生这四股潮水的平均高度的潮水，然后这两个较小海潮之间能产生最低的潮水。因此在24小时里潮水一般不会涨两次最高潮，而是只有一次到达了最高潮；如果月球倾向于上极点，则潮水的最高高度就会发生于月球到达地平线之后的第6或30小时；当月球改变其倾角时，潮水就会转为退潮。所有哈雷博士所给我们的例子中的一个是，在北纬2050′敦昆王国的巴特绍港口的水手的观察中发现：在该港口，在月球经过赤道后的第一天里，海水是平静的，当月球向北倾斜时，海水就开始涨和退，就像在其他港口一样不是每天有两次而是一次；而且涨潮发生在月落时，最大退潮是在月球升起时。这一潮水随着月球的倾斜而增强直到第七或八天；然后这第七、八天之后潮水就以涨潮时相同的比例退潮，当月球越过赤道向南，改变了其倾斜后，潮水才会停止退去。在潮水迅速转变为退潮之后；月落时就会发生退潮，而月球升起时就会涨潮；直到月球又一次越过了赤道，改变了倾斜。有两条海湾通向港湾口和临近水湾，一条是从大陆与吕卡尼亚之间的中国海，另一条是从大陆与波尔诺岛之间的印度海。但是是否真的有两股潮水通过刚才我们所说的海峡，一条从印度海在12小时之内赶来，而另一条从中国海在6小时之内赶来，在第三个和第九个月球小时汇聚在一起，产生这些运动；或者是否是由于这些海域的其他环境因素造成的，我把这留给了邻近海岸的观察者们去研究。
以上我已解释了关于月球运动和海洋运动的原因，现在是讲与这些运动的量有关的问题的时候了。
命题25 问题6
求太阳干扰月球运动的力。（如图4）
（图4）
令S 为太阳，T 是地球，P 为月球，CADB 为月球的轨道。从SL 上取SK 等于ST ，令SL 与SK 之比等于SK 与SP 之比的平方；作线LM 平行于PT ；如果设ST 或SK 表示地球受太阳的加速引力，则SL 就会表示月球受太阳的加速引力。但是该力是由SM 和LM 合成的，其中SM 干扰月球的运动的那部分力由TM 表示，正如我们在第1编命题66及其推论所证明的那样。因为地球和月球都绕它们的公共重心运转，所以地球的运动也会受到类似力的影响；但是我们可以把这些力的和与运动的和都看做是发生在月球上的，力的和用与其相似的线段TM 、ML 来表示。力ML （平均量） 比上在PT 的距离里使月球维持绕静止地球运转的向心力，等于月球绕地球的周期与地球绕太阳的周期之比的平方（由第1编命题66推论17） ，即等于27天7小时43分与365天6小时9分之比的平方，或为1000比178725，或为1比 。但是在本编命题4中我们可以知道，如果地球和月球都绕它们的公共重心运转，则它们之间的平均距离就几乎等于 个地球平均半径；在PT ，也就是 个地球半径的距离里，使月球维持在绕静止地球运转的轨道上的向心力，与使月球在相同时间里，在距离60个半径处运转的力之比等于 比60；且这个力与地球上的重力之比非常接近于1比60×60。所以力ML 与地球表面的引力之比为1× 比60×60×60× ，或者为1比638092.6；因此由直线TM 与ML 的比例，就求出了力TM 。这就是太阳干扰月球运动的力。
证明完毕。
命题26 问题7
求月球在圆形轨道上运行时，伸向地球的半径所掠过面积的每小时的增量。（如图5）
（图5）
我们前面已经证明过月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于掠过的时间，月球的运动受太阳作用的干扰忽略不计；在此我建议去研究变化率的不相等性，或受干扰的该面积的每小时增量，或受干扰的运动的每小时增量。为了使计算更简单，我设月球的轨道是圆的，且忽略掉其他所有不相等性，除了现在我们要考虑的；因为距离太阳很遥远，所以我们可以进一步设直线SP 和ST 是平行的。由此，力LM 就会总是简化为其平均量TP ，力TM 也简化为其平均量3PK 。这些力（由运动定律推论2） 合成了力TL ；且作垂线LE 到半径TP ，该力又可以分解成力TE 和EL ；其中TE 力恒定作用于半径TP 方向，且不使半径在掠过区域TPC 时加速或减速；但是EL 作用于半径TP 的垂线，这使得掠过该面积的速度以正比于月球运转速度的增加或减少来增加或减少。在从方照点C 移动到会合点A 的过程中，月球的加速每时每刻都正比于生成的加速力EL ，即正比于 。令时间由月球的平均运动来表示，或是（等价地） 由角CTP 来表示，甚至是由弧CP 来表示。过C 作CG 垂直于CT ，且CG 等于CT ；设直角弧AC 被分成无限个相等部分Pp ，这些部分代表同样无限个相等的时间部分。作pk垂直于CT ，直线TG 与KP 、kp 的延长线相交于F 和f ；则FK 等于TK ，因此Kk 比PK 等于Pp 比Tp ，即比值是给定的；所以FK ×Kk ，或是面积FKkf ，将会正比于 ，即正比于EL ；合成后，GCKF 整个面积将正比于在整个时间CP 里，EL 所有作用在月球上的力之和；所以也正比于该和所引起的速度，即，正比于掠过CTP 的加速度，或是正比于其变化率的增量。使月球在距离TP 上绕静止地球以27天7小时43分的周期在轨道CADB 上运行的力，可以使一物体在时间CT 里运动 CT 长的距离，与此同时也获得与月球在其轨道上运行的相等速度。这是在第1编命题4推论9所证明过的。但因为作TP 垂线的Kd ，是EL 的三分之一长，又在八分点处等于TP 或是ML 的一半长，所以在该八分点处力EL 最大，它超出力ML 的部分与力ML 之比为3比2；所以它比上使月球绕静止地球作周期运动的力，为100比 ，或是11915；且在时间CT 里可以产生的速度等于月球速度的 ；而在时间CPA 里可以产生一种正比于CA 比CT ，或是CA 比TP 的更大速度。令最大力EL 在八分点，由FK ×Kk ，或是由相等乘积 TP ×Pp 来表示；在任意时间CP 里该最大力能产生的速度与在同样时间里任意较小力EL 能产生的速度之比，等于乘积 TP ×CP 比面积KCGF ；但是在整个时间CPA 里产生的速度相互之比等于乘积 TP ×CA 比三角形TCG ，或为直角弧CA 比半径TP ；所以在整个时间里后一个速度正比于月球速度的 。该正比于面积的平均变化率的月球速度（设该平均变化率由数字11915表示） ，如果我们在该速度上增加或减少其他速度的一半；则和11915＋50，或11965就表示在朔望点A 面积的最大变化率；而差11915-50，或11865就表示在方照点面积的最小变化率。所以在相等时间里，在朔望点和方照点掠过的面积之比为11965比11865。若在最小变化率11865上再加上一个变化率，它比前两个变化率的差100等于四边形FKCG 比三角形TCG ，或等于正弦PK 的平方比半径TP 的平方（即等于Pd 比TP ） ，则所得到的和表示月球位于任意中间位置P 时的面积变化率。
潮汐
潮汐为海水规律性的上升及降落现象，大约每12小时26分钟就会发生一次。当海洋最靠近月球时，它受月球引力所吸引的程度较受地心引力强烈，因此会涌起大型巨浪。相反，当地球较靠近月球时，地球受月球的引力大于海洋所受的引力，亦会产生另一种类似由月球引力所产生的潮汐。当地球绕自转轴自转时，海浪也会因为一直沿地球海面运动而产生潮汐。
但是，这一切都是建立在太阳和地球都是静止的，以及月球会合周期是27天7小时43分的基础上的，但是由于月球的会合周期事实上是29天12小时44分，所以变化率必须按时间相同的比例增加，即以正比于1080853比1000000的比例增加。照此计算，曾是平均变化率 的整个增量，就会变为平均变化率 ；所以月球在方照点的面积变化率和在朔望点的变化率之比为（11023-50）比（11023＋50），或者是10973比11073；而月球在任意中间位置P 的变化率则为10973比（10973＋Pd ），设TP ＝100。
月球指向地球的半径在每个相等时间里画出的面积，在半径等于1时近乎正比于数219.46与月球到最近的一个方照点的距离的两倍的正矢之和。这里设在八分点的变差为其平均量，但是如果变差增大或减小，则正矢也要以相同比例增大或减小。
命题27 问题8
由月球的小时运动可以求出其到地球的距离。
月球指向地球的半径掠过的面积，在每个小时里正比于月球的小时运动与月球到地球距离的平方的乘积。所以月球到地球的距离正比于面积的平方根，反比于小时运动的平方根。
证明完毕。
推论1 因此可以求出月球的视在直径；因为它反比于月球到地球的距离。让天文学家去验证究竟这些规律是否和现象相符。
推论2 因此由现象可以求出比迄今所作的更精确的月球轨道。
命题28 问题9
求月球运行的无偏心率轨道的直径。（如图6）
（图6）
如果物体受垂直于轨道的方向的吸引，则物体掠过的轨道曲率正比于该引力，反比于速度的平方。我让曲线的曲率之比为相切角的正弦或正切与相等半径的最后之比，设那些半径无限制减小。但是月球在朔望点对地球的吸引力是其对地球的吸引力超出太阳引力2PK （如图4） 的部分，太阳引力2PK 就是月球指向太阳的加速引力与地球指向太阳的加速引力之间的差。而在方照点时引力就是月球指向地球的引力与太阳引力KT 之和，太阳引力KT 使月球趋向于地球。设N 为 ，则这些引力近乎正比于 和 ，或正比于178725N ×CT 2 -2000AT 2 ×C T ，和178725N ×AT 2 ＋1000CT 2 ×AT 。（如图6） 因为如果数字178725代表月球指向地球的加速引力，则把月球拉向地球的，在方照点时为PT 或TK 的平均引力ML 将为1000，而在朔望点时平均引力TM 就会为3000；从中，如果我们减去平均引力ML ，则这里就剩了2000，这就是在朔望点时把月球拉向的力，也就是我们在前面称之为2PK 的那个力。但是月球在朔望点A 、B 的速度与在方照点C 、D 的速度之比为CT 比AT ，与月球伸向地球的半径在朔望点时所掠过面积的变化率，比上在方照点时所掠过的面积变化率之乘积，即等于11073CT 比10973AT 。将该比值倒数的平方乘以前一个比值，则月球在朔望点时其轨道的曲率与其在方照点时的曲率之比为120406729×178725AT 2 ×CT 2 ×N -120406729×2000AT 2 ×CT 比122611329×178725AT 2 ×CT 2 ×N ＋122611329×1000CT 4 ×AT ，即，正比于2151969AT ×CT ×N -24081AT 3 比2191371AT ×CT ×N ＋12261CT 3 。
因为月球轨道的形状还不清楚，我们设地球是静止的，又设地球位于椭圆DBCA 的中心，且长轴DC 位于方照点之间，短轴AB 位于朔望点之间。但是由于该椭圆的平面以角运动绕地球运转，则我们现在要求的轨道就不应在有这种运动的平面上掠过。我们应去考虑月球运转在该平面上所掠过的轨道形状，那就是说，我们应这样去求在椭圆的Cpa 上任意一点p 的：设P 表示月球，作Tp 与TP 等长，且使得角PTp 等于太阳最后一个方照点C 以后的视在运动；或者（等价地） 使得角CTp 比上角CTD 等于月球的会合运动周期比上运动周期等于29天12小时44分比27天7小时43分。所以，我们取角Cta 与角CTA 的比值等于该比值，且取Ta 与TA 等长，这样我们就可以得出a 为轨道Cpa 的下回归点，而C 为上回归点。但是由计算得出在天顶a 处的轨道Cpa 的曲率与以T 为圆心，TA 为半径的圆的曲率之差，比上在天顶A 处的椭圆的曲率与该圆的曲率之差，等于角CTP 与角CTp 之比的平方；且椭圆在A 处的曲率与圆的曲率之比为TA 比TC 之比的平方；该圆的曲率与以T 为圆心，以TC 为半径的圆的曲率之比为TC 比TA ；但最后一个圆与椭圆在C 处的曲率之差为TA 比TC 的平方；且椭圆在天顶C 处的曲率与最后一个圆的曲率之差，正比于图形Cpa 在天顶C 处的曲率与同一个圆的曲率之差，为角CTp 与角CTP 之比的平方；所有这些比例都能从相切角的正弦以及那些角之间的差的正弦中很容易地推导出。但是把那些比例相互一起比较，我们可得知图形Cpa 在a 处的曲率与其在C 处的曲率之比为AT 3 - CT 2 ×AT 比CT 3 ＋ AT 2 ×CT ；这里 表示角CTP 与角CTp 的平方之差除以较小的角CTP 的平方；或表示（等价地） 时间27天7小时43分和29天12小时44分之平方差除以时间27天7小时43分的平方。
由于a 表示月球的朔望点，而C 为方照点，现在发现上述比例必须和上面求出的月球在朔望点的曲率与其在方照点的曲率之比的比值相等。因此，为了求出CT 比AT 的比值，让外项与中项相乘，再用得出的项除以AT ×CT ，就可得2067.79CT 4 -2151969N ×CT 3 ＋368676N ×AT ×CT 2 ＋36342AT 2 ×CT 2 -362047N ×AT 2 ×CT ＋2191371N ×AT 3 ＋4051.4AT 4 ＝0。现在如果我们设AT 和CT 之和的一半为1，且x 为它们之差的一半，所以CT 就会等于1＋x ，AT 则会为1-x 。然后把这些结果代入等式中，解出x ＝0.00719；因此半径CT ＝1.00719，而AT ＝0.99281，它们之间的比约为 比 。所以月球在朔望点与在方照点时到地球的距离之比为 比 ，或者整数比为69比70。
命题29 问题10
求月球的变差。
这种不相等性部分是由于月球轨道是呈椭圆形造成的，部分是由于月球伸向地球的半径所掠过的面积的变化率的不相等性而引起的。如果月球P 绕静止在椭圆DBCA 中心的地球运转，且其半径TP 伸向地球所掠过的面积CTP 正比于掠过的时间；且椭圆的最长半径CT 与最短半径TA 之比为70比69；则角CTP 的正切与从方照点C 处算起的平均运动角的正切之比就会等于椭圆的半径TA 与半径TC 之比，或等于69比70。但是掠过的面积CTP 应该随着月球从方照点移向朔望点，以这种方式加速，使月球在朔望点的与其在方照点的面积变化率之比为11073比10973；而且在任意中间点P 的变化率超出在方照点的变化率正比于角CTP 的正弦的平方；如果角CTP 的正切以10973与11073比值的平方根来减少，即以正比6868777比69的比值减少，则可以足够精确地求出它。因此，角CTP 的正切与平均运动角的正弦之比就会等于68.6877比70；角CTP 在平均运动角为45的八分点处会等于4427′28″，用平均运动角45减去该度数，就得到最大变差32′32″。这样，如果月球从方照点到朔望点则只掠过90的角CTP 。但由于地球运动造成太阳的视在移动，这样月球在追上太阳之前掠过的角CTa 大于直角，其与直角的比等于月球运转的会合周期与其自转周期之比，即等于29天12小时44分比27天7小时43分。由此所有以T 为顶点的圆心角也以相同比例增大；这样本应为32′32″的最大变差，现在也以相同比例增大到35′10″。
这就是在太阳到地球的平均距离上月球的变差，忽略掉可能由轨道曲率所引起的差异，以及太阳在月球呈凹面和新月时比在月球呈凸面和满月时的作用力更强。在太阳到地球的其他距离中，最大变差都正比于月球运转会合周期（一年的时间是给定的）的平方，且反比于太阳到地球距离的立方。如果太阳的偏心率比上轨道的横向半径为 比1000，则太阳在远地点的最大变差为33′14″，而在其近地点为37′11″。
至此，我们已经了解到一个无偏心的轨道的变差，其中月球在八分点到地球的距离就等于其到地球的平均距离，如果由于月球轨道的偏心率，月球到地球的实际距离或多或少有些差异，由法则可知，其变差也时强时弱。但是我把变差的增减留给天文学家通过观测作出推算。
命题30 问题11
求月球在圆轨道交会点的小时运动。（如图7）
（图7）
令S 表示太阳，T 为地球，P 为月球，NPn 为月球轨道，Npn 为轨道在黄道平面上的正投影；N 、n 为交点，nTNm 为交点连线的不定延长线；PI 、PK 垂直于直线ST 、Qq ；Pp 垂直于黄道平面；A 、B 为月球在黄道平面的朔望点；AZ 垂直于交点连线Nn ，Q 、q 为月球在黄道平面的方照点，pK 垂直于方照点之间的连线Qq 。太阳干扰月球运动的作用力（由命题25） 是由两部分组成的，一部分正比于直线LM ，另一部分正比于直线MT ；月球以平行于地球于太阳的连线ST 的方向，受前一个力的作用被吸引向地球，受后一个力的作用被吸引向太阳。前一个力LM 以月球轨道平面方向作用，所以对月球在轨道上的位置不产生影响，因此我们就把它忽略掉；而使月球轨道受影响的后一个力MT 等于力3PK 或3IT 。该力（由命题25） 比上使月球沿圆轨道绕静止的地球作匀速转动的周期运动的力，等于3IT 比轨道半径与178725的乘积，或等于IT 比半径与59575的乘积。但是在本计算中，以及以后的情况中我都把月球与太阳的所有连线看做是地球与太阳连线的平行线；因为这儿的倾斜使在一些情况下减少的作用，与使在另一些情况中增加的作用几乎相当；我们现在是在研究交会点的平均运动，应该忽略掉那些无意义，而又只会使计算更复杂的细节。
现在设PM 表示在最短时间间隔里月球所掠过的弧，ML 是一小段线段，由先前所说的力3IT 的作用下，月球可以在相同时间里掠过它的一半；延长PL 、MP 使之与黄道平面相交得到m ，l ，然后作PH 垂直于Tm 。现在，因为直线ML 与黄道平面平行，所以ML 永远不能和该平面上的直线ml 相交，而又因为这两条直线都在同一个平面LMPml 上，所以它们也是平行的，由此，三角形LMP 、lmp 相似。由于MPm 在轨道平面上，在该平面内当月球在P 点运动运动时，点m 就会落在轨道交点N 、n 的连线上。因为产生这一小段LM 的一半的力，如果整个一起同时作用于P 点，则就会产生整条线段，且使得月球在以LP 为弦的弧上运动；也就是，使月球从平面MPmT 转移到平面LPlT ；所以该力产生的交会点角运动就会等于角mTl 。但是ml 比mP 等于ML 比MP ；而因为时间是给定的，所以MP 也是给定的，因此ml 正比于乘积ML ×mP ，即，正比于乘积IT ×mP 。如果Tml 是直角，则角mTI 就会正比于 ，所以正比于 ，即（因为Tm 和mP ，TP 和PH 是成正比的） 正比于 ；且因为TP 是给定的，正比于IT ×PH 。但是如果角Tml 或角STN 不是直角，则角mTl 还要小，正比于角STN 的正弦与半径之比，或正比于AZ 比AT 。所以交会点的速度正比于IT ×PH ×AZ ，或者正比于角TPI 、PTN 和STN 的正弦的乘积。
如果它们都是直角，就像交会点在方照点，月球在朔望点一样，则小线段ml 就会转移到无限远的地方，且角mTl 就会等于角mPl 。但是在这一情况中，角mPl 比在相同时间里月球绕地球的视在运动所形成的角PTM ，等于1比59.575。因为角mPl 等于角LPM ，即等于月球偏离直线运动的角；如果月球的引力失去，则先前所说的太阳力3IT 就会在给定时间里单独产生该角。角PTM 等于月球偏离直线运动的角；如果太阳力3IT 失去了，则月球所受的向心力就能在同样时间里单独产生该角。且两个力（就是前面所说的） 相互之间的比值为1比59.575。因为月球的平均小时运动（相对于恒星而言） 是33 m 56 s 27 th 12 ，所以在这一情况中交会点的小时运动就会为33 s 10 th 33 iv 12 v 。但是在另一些情况中，小时运动比上33 s 10 th 33 iv 12 v ，就会等于TPI 、PTN 和STN 这三个角的正弦（或者是月球到方照点的距离，月球到交会点的距离和交会点到太阳的距离） 的乘积与半径的立方之比。随着任意角的正弦从正到负，又从负到正，逆行运动必须变为顺行运动，而顺行运动又变为逆行运动。因此当月球运行到任意方照点与方照点附近的交会点之间的位置上时，交会点就会是顺行的。在另外的情况中它们是逆行的，而又因为逆行会超过顺行，所以交会点逐月向逆行方向移动。（如图8）
（图8）
推论1 P 、M 是短弧PM 的端点，如果向连接方照点的直线Qq 上作垂线PK 、Mk ，且延长与交点连线Nn 相交于D 和d ，则交会点的小时运动就会正比于面积MPDd 与线段AZ 平方的乘积。令PK 、PH 和AZ 为先前所说的三个正弦，即PK 为月球到方照点的距离的正弦，PH 为月球到交会点的距离的正弦，而AZ 为交会点到太阳距离的正弦；所以交会点的速度就会正比于PK ×PH ×AZ 。但是由于PT 比PK 等于PM 比Kk ，又因为PT 和PM 是给定的，所以Kk 正比于PK 。类似地由于AT 比PD 等于AZ 比PH ，所以PH 正比于乘积PD ×AZ ；把这些比式相乘，得到PK ×PH 正比于Kk ×PD ×AZ ，PK ×PH ×AZ 正比于Kk ×PD ×AZ 2 ，即正比于面积PDdM 与AZ 2 的乘积。
完毕。
推论2 在任意给定的交会点位置上，它们的平均小时运动是它们在月球朔望点的小时运动的一半；所以它们比16 S 35 th 16 iv 36 v ，等于交点到朔望点的距离的正弦的平方与半径的平方之比，或是等于AZ 2 比AT 2 。因为如果月球以匀速掠过半圆QAq ，则在月球从Q 点运行到M 点的时间里，面积PDdM 的总和就会在到圆的切线QE 处为止，构成面积QMdE ；且在月球运行到n点时，该和就会构成由线PD 掠过的面积EQAn ：但是当月球从n 点运行到q 点时，直线PD 会落在圆外，且在到圆的切线qe 为止掠过面积nqe ，而因为之前交会点是逆行的，现在变为顺行，所以该面积必须从前一个面积中减去，而因为该面积等于面积QEN ，这样剩下的就等于半圆NQAn 。所以当月球掠过一个半圆，所有面积的总和就会等于半圆的面积；而当月球掠过一个整圆，所有面积的总和就会等于整个圆的面积。但是当月球在朔望点时，面积PDdM 为弧PM 和半径PT 的乘积；在月球掠过一个整圆的时间里，每一个与月球面积总和相等的面积，都会等于圆周长与圆半径的乘积；而在圆面积增大一倍时，该乘积也会增大为前一个面积总和的两倍。所以如果交会点继续以它们在月球朔望点的速度匀速运动，则它们就会掠过它们事实上掠过距离的两倍距离；这就可以得出，如果持续匀速运动会掠过的距离等于事实上不匀速的运动所掠过的距离，则该平均速度是月球在朔望点的速度的一半。当交会点在方照点时，它们的最大小时运动为33 s 10 th 33 iv 12 v ，由于它们的最大小时运动，在这种情况下它们的平均小时运动就会为16 s 35 th 16 iv 36 v 。由于在任意位置的交会点小时运动都正比于AZ 2 与面积PDdM 的乘积，所以在月球的朔望点，交会点的小时运动也正比于AZ 2 与面积PDdM 的乘积，即（因为在朔望点所掠过的面积是给定的）正比于AZ 2 ，所以平均运动也正比于AZ 2 ；这样得出，当交会点不在方照点时，该运动比16 s 35 th 16 iv 36 v 等于AZ 2 比上AT 2 。
完毕。
命题31 问题12
求月球交点在椭圆轨道上的小时运动。（如图9）
（图9）
令Qpmaq 表示绕长轴Qq 和短轴ab 旋转所形成的椭圆；QAqB 为该椭圆的外切圆；T 表示处于这两个圆共同中心的地球；S 为太阳；p 为在椭圆上运行的月球；pm 为月球在最短时间间隔里掠过的弧；N 和n 是交会点，连线为Nn ；pK 和mk 垂直于轴Qq ，与圆相交于P 和M ，与交会点连线相交于D 和d 。如果月球伸向地球的半径掠过的面积正比于所掠过的时间，则在椭圆交会点处的小时运动就会正比于面积pDdm 和AZ 2 的乘积。
令PF 与圆相交于P ，延长PF 与TN 相交于F ；令pf 与椭圆相切于p ，延长pf 与TN 相交于f ，这两条切线同时与轴TQ 相交于Y 。令ML 表示月球在绕轨道运行中掠过弧长PM 的时间里，受前面所说的力3IT 或3PK 的作用而做的横向运动所掠过的距离；且ml 表示月球在相同时间里，由同样的力3IT 或3PK 作用沿椭圆转动的距离；令LP 和lp 延长，直到它们与黄道平面相交于G 和g ，延长FG 和fg ，其中FG 的延长线会分别与pf 、pg 和TQ 相交于c 、e 和R ；而fg 的延长线会与TQ 相交于r 。因为作用在圆上的力3IT 或3PK 比作用在椭圆上的力3IT 或3pK ，等于PK 比pK ，或等于AT 比aT ，所以由前一个力所产生的距离ML 比后一个力产生的距离ml ，等于PK 比pK ；即，由于PYKp 和FYRc 是相似图形，所以也等于FR 比cR 。但是（由于三角形PLM 和PGF 相似）ML 比FG 等于PL 比PG ，即（由于Lk 、PK 、GR 平行），等于pl 比pe ，即（因为三角形plm ，cpe 相似）等于lm 比ce ；且反比于LM 比lm ，或等于FR 比cR ，也等于FG 比ce 。所以如果fg 比ce 等于fY 比cY ，即等于fr 比cR （即，等于fr 比FR 与FR 比cR 的乘积，即等于fT 比FT 与FG 比ce 的乘积），又因为除去两边的比例FG 比ce ，就剩下了fg 比FG 以及fT 比FT ，则fg 比FG 就会等于fT 比FT ；所以FG 和fg 和地球T 所形成的角是相等的。但是这些角（由前一命题的证明得知）都是当月球掠过圆的弧PM 以及椭圆的弧pm 的交会点运动；所以交会点在圆和椭圆上的运动是相等的。由此，我可以说如果fg 比ce 等于fY 比cY ，即如果fg 等于 ，就会是这种结果。但由于三角形fgp 、cep 相似，fg 比上ce 等于fp 比cp ；所以fg 等于 ；由此可得，事实上由fg 所形成的角比由FG 所形成的前一个角，即在椭圆上交会点的运动比上在圆上交会点的运动，等于fg 或 比前一个fg 或 ，也就是等于fp ×cY 比fY ×cp ，或等于fP 比fY ，乘以cY 比cp ；即如果ph 平行于TN 且与FP 相交于h ，则等于Fh 比FY ，乘以FY 比FP ；即等于Fh 比FP 或Dp 比DP ，因此就等于面积Dpmd 比面积DPMd 。由于（由命题30推论1） 后一个面积与AZ 2 的乘积正比于圆中交会点的小时运动，所以前一个面积与AZ 2 的乘积将会正比于椭圆中交会点的小时运动。
证明完毕。
推论 因为在任意给定的交点位置上，在月球从方照点运行到任意点m 的时间里，所有面积pDdm 的和等于以椭圆的切线QE 为边界的面积mpQEd ；且在一次完整的自转中，所有这些面积之和就等于整个椭圆的面积；在椭圆上的交会点的平均运动与圆上交会点的平均运动之比等于椭圆与圆的大小之比；即，等于Ta 比TA ，或69比70。由于（由命题30推论2）圆上交会点的平均小时运动比16 s 35 th 16 iv 36 v 等于AZ 2 比AT 2 ，如果我们取角16 s 21 th 3 iv 30 v 与角16 s 35 th 16 iv 36 v 之比等于69比70，则椭圆上交会点的平均小时运动与16 s 21 th 3 iv 30 v 之比就会等于AZ 2 比AT 2 ；即，等于交会点到太阳距离的正弦的平方比半径的平方。
