但是月球伸向地球的半径，在朔望点掠过面积的速度大于其在方照点的速度。由此可以看出，在朔望点的用时减少了，而在方照点的用时增多了，所以把全部时间加起来，交会点的运动时间也会相应地增加或减少。但是，由于月球在方照点的面积变化率比其在朔望点的变化率等于10973比11073，所以月球在八分点的平均变化率比其超出在朔望点的那部分，以及比其少于在方照点的那部分，等于这两数字之和的一半与比之差的一半，即11023比50。因为月球在其轨道的几个相等间隔部分的时间反比于其速度，所以月球在八分点的平均时间与其在方照点的超出的那部分的比值，与其比上在方照点少了的那一部分的比值，近似等于11023比50。但是，我发现从方照点到朔望点的，它们的面积变化率之差，几乎正比于月球到方照点距离的正弦的平方；所以在任意点的变化率与在八分点的平均变化率之差，正比于月球到方照点的距离的正弦的平方，与45正弦的平方之差，或是与半径的平方的一半之差；而在八分点和方照点之间几处的时间增量，与八分点和朔望点之间的时间减量有着相同比例。但是当月球掠过轨道上几个相等部分时，交会点的运动以正比于该掠过的时间而加速或减速，因为当月球掠过PM ，该运动（等价的） 正比于ML ，而ML 正比于时间的平方。因此在月球掠过轨道上给定的小段间隔的时间里，交会点在朔望点的运动以正比于11073与11023比值的平方减少；且减少量与剩下的运动之比等于100比10973；但是减少量与整个运动之比近似为100比11073。但是八分点和朔望点之间部分的减少量，与八分点和方照点之间部分的增加量比上该增量，比该减少量近似于在这些位置上的运动总量与在朔望点的运动总量的比值，乘以月球到方照点距离的正弦的平方和半径平方的一半之差与半径平方的一半的比值。因此，如果交会点在方照点，我们可以取两个点，一个在它的一边，一个在另一边，它们到八分点的距离相等，又以相同间隔到方照点和朔望点，将朔望点和八分点之间两处的运动减量减去八分点和方照点之间两处的运动增量，剩下的减量就等于在朔望点的减量，这由计算可以简单地证明；所以应从交会点的平均运动中减去的平均减量，等于在朔望点的减量的 。交会点在朔望点的总小时运动（当月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于掠过的时间） 为32 s 42 th 7 iv 。且我们已经证明了在月球以最大速度运转相同距离时，交会点的运动减量比该运动等于100比11073；所以该减量为17 th 43 iv 11 v 。从上面求出的平均小时运动16 s 21 th 3 iv 30 v 中减去上述减量的 即4 th 25 iv 48 v ，剩下的16 s 16 th 37 iv 42 v 就是它们的正确平均小时运动。
如果交会点不在方照点上，我们取两个点，一个在其的一边，一个在另一边，它们到朔望点的距离相等，当月球位于那些点时交会点运动的和，比上当月球位于相同位置而交会点在方照点时它们的运动之和，等于AZ 2 比AT 2 。由此产生的运动减量相互间之比等于运动本身，所以剩下的运动相互间的运动之比为AZ 2 比AT 2 ；而平均运动也会正比于剩下的运动。所以任意交会点位置给定的情况下，它们的实际平均小时运动比16 s 16 th 37 iv 42 v ，正比于AZ 2 比AT 2 ；即，正比于交会点到朔望点的距离的正弦的平方比半径的平方。
命题32 问题13
求月球交会点的平均运动。（如图10）
（图10）
年平均运动就是这一年中所有的平均小时运动之和。设交会点为N ，且过了一小时，它又会退回到其原先的位置；因此，尽管它有运动，它还是恒定待在相对于恒星来说固定的位置上；与此同时，由地球的运动，太阳S 看起来似乎是要离开交会点，而以均匀运动继续前行直到完成其视在年运动。令Aa 表示以一给定的最短弧长；总是伸向太阳的直线TS ，在圆NAn 的范围内，在最短的给定时间间隔里掠过的就是该弧长；平均小时运动（由以上所证） 就会正比于AZ 2 ，即（由于AZ 正比于ZY ）正比于AZ ×ZY ，即正比于面积AZYa ；从最初开始算起的所有平均小时运动之和就会正比于所有面积aYZA 的和，即正比于面积NAZ 。但是AZYa 面积最大时等于弧Aa 与圆半径的乘积；所以整个圆中所有这些乘积的和与所有这些最大乘积的和的比值，等于圆的整个面积比上圆周长与半径的乘积，即等于1比2。但由于该最大乘积相应的小时运动为16 s 16 th 37 iv 42 v ，而在一个完整的恒星年时间里，就是365天6时9分的时间里，该运动达到了3938′7″50″′，所以其一半1949′3″55″′就是圆所对应的交会点的平均运动。在太阳从N 运行到A 点的时间里，交会点的运动比上1949′3″55″′，就等于面积NAZ 比整个圆的面积。
如果交会点每小时退回到其原先所在位置，这样这一结论才会成立。因此，在完成一次自转运动后，太阳在每一年的年底就会重新出现在其年初所处的同一个交会点上。但由于与此同时交会点也在运动，所以太阳必定要提前与交会点相遇；现在我们该来计算缩短的时间。因为在一年的时间里，太阳行进了360，而在相同时间里交会点最大运动3938′7″50″′，或39.6355；任意位置N 的交会点平均运动比上其在方照点的平均运动，等于AZ 2 比AT 2 ；太阳运动与在N 处的交会点运动之比就会为360AT 2 比39.6355AZ 2 ；即等于9.0827646AT 2 比AZ 2 。因此，如果我们设圆的周长NAn 分成几个相等的小部分，比如Aa 。如果圆是静止的，在太阳掠过这一小段弧Aa 所用的时间，比上圆与交会点一起绕中心T 掠过相同距离的时间，反比于9.0827646AT 2 与9.0827646AT 2 ＋AZ 2 的比；由于掠过这一小段弧的时间反比于其速度，又因为该速度为太阳和交会点速度之和，所以，如果扇形NTA 表示在没有交会点的运动下，太阳自身掠过弧NA 的时间，以及无限小的扇形Ata 表示太阳掠过最小弧Aa 的时间；且（作aY 垂直于Nn ） 如果我们取AZ 上长度dZ ，使dZ 与ZY 的乘积比上最小扇形ATa 等于AZ 2 比上9.0827646AT 2 ＋AZ 2 ；那就是说，dZ 比 AZ 等于AT 2 比9.0827646AT 2 ＋AZ 2 ；那么dZ 与ZY 的乘积就会表示由于交会点的运动，掠过弧Aa 所减少的时间；而如果曲线NdGn 是点d 的轨迹，则曲线所形成的面积NdZ 就会正比于掠过整个弧长NA 的时间流量；所以扇形NAT 大于面积NdZ 的部分就会正比于整个时间。但由于交点在更短时间里的运动与时间的比值更小，所以面积AaYZ 必定也会以相同比例减小。这可以由以下方法求出：从AZ 中取直线eZ ，使eZ 比AZ 等于AZ 2 比9.0827646AT 2 ＋AZ 2 ；因为这样eZ 与ZY 的乘积比上面积AZYa 就会等于掠过弧Aa 的时间减量比上在交会点静止的情况下掠过的总时间；由此可知，乘积就会正比于交会点运动的时间减量。而如果曲线NeFn 为点e 的轨迹，则e 点运动的减量之和，即面积NeZ 就会正比于掠过弧AN 的总时间流量；而剩下的面积NAe 会正比于剩下的运动，而该运动就是，在太阳和交会点的联合运动所掠过弧NA 的时间里，交会点的实际运动。现在由无穷级数的方法可以得出，半圆的面积比上图形NeFn 的面积约等于793比60。但由于对应于或正比于圆的运动为1949′3″55″′；所以对应于图形NeFn 面积两倍的运动为129′58″2″′，前一个运动减去这一运动剩下的为1819′5″53″′，就是相对于恒星来说，这就是交会点在它与太阳的两个会合点之间的总运动；而从太阳的年运动360中减去该运动，剩下34140′54″7″′，就是在相同会合点之间太阳的运动。但是该运动比上年运动360，等于刚刚我们求出的交会点运动1819′5″53″′比上其年运动，由此得出1918′1″23″′；而这就是交会点在恒星年中的平均运动。而在天文表中为1921′21″50″′。这一差异小于总运动的 ，看似是由月球轨道的偏心率和其倾斜于黄道平面而引起的。由于该轨道的偏心率，交会点的运动极大加速了；另一方面，由于轨道的倾斜，交点的运动或多或少地受到限制，减少到了其适当的速度。
命题33 问题14
求月球交会点的真实运动。（如图11）
（图11）
在正比于面积NTA -NdZ （在先前的图里） 的时间里，由于该运动正比于面积NAe ，所以是给定的。但由于计算太复杂，最好是用以下步骤来解决：以C 为中心，以任意间距CD 画圆BEFD ；延长DC 到A ，以至AB 比AC 等于平均运动比上当交点在方照点时的一半真实平均运动（即等于1918′1″23″′比1949′3″55″′） 所以BC 比AC 等于这些运动之差031′2″32″′与后一个运动1949′3″55″′之比，即等于1比 。然后通过D 点作不定直线Gg ，与圆相切于D 点，而如果我们取角BCE 或角BCF ，等于太阳到交会点距离的两倍，而该距离可由平均运动求出。延长AE 或AF 与垂线相交于G ，并取另一个角，其与交点在朔望点之间的总运动（即与911′3″） 之比必须等于切线DG 与圆BED 的周长之比而当交会点从方照点移动到朔望点时，我们在交会点的运动中加入这最后一个角（可以用角DAG 表示） ，并在交会点由朔望点移动到方照点时，从它们的平均运动中减去该角，由此我们可以得到交会点的真实运动，因为求出的真实运动几乎等于我们在设时间正比于面积NTA -NdZ 且交会点运动正比于面积NAe 的情况下的真实运动，任何人如果验算就会得知，这就是交点运动的半月均差。但是这也有一个月均差，它对求月球纬度是不必要的，因为月球轨道相对于黄道平面的倾斜变差易受两个不相等作用的影响，一个就是半月的，另一个是每月的，而该变差的月不相等性与交会点的月均差能够相互中和，所以在计算月球纬度时两个都可以忽略。
推论 由本命题和前一个命题可知，交会点在朔望点是静止的，而在方照点时是以每小时运动16 s 19 th 26 iv 是逆行的，且在八分点的月球交会点均差为130′。所有这些都完全符合天文现象。
附注
天文学家马金先生、格列山姆教授和亨利·彭伯顿博士相继用不同方法发现交会点的运动。本方法曾在其他地方论述过。他们的论文我都曾见过，每个包含两个命题，而且它们相互之间完全一致。我最先拿到马金先生的论文，所以我在这儿附上它。
月球交会点的运动
命题34
太阳离开交点的平均运动，是由太阳平均运动与太阳在方照点、以最快速度远离交会点的平均运动的几何中项所决定的。（如图12）
（图12）
令T 为地球的位置，Nn 为在任意给定时间里月球交会点的连线，KTM 垂直于Nn ，TA 为绕球心旋转的直线，有着与太阳和交会点相互远离彼此的相同的角运动速度，以至静止直线Nn 和旋转直线TA 之间的角可以总是等于太阳到交会点的距离。现在如果把任意直线TK 分成TS 和SK ，且那两部分之比会等于太阳的平均小时运动与在方照点的交会点平均小时运动之比，又取直线TH 为TS 和TK 的比例中项，所以该直线正比于太阳远离交会点的平均运动。（如图12）
以TK 为半径，绕中心T 画圆NKnM ，而又以TH 和TN 为半轴，绕同样的中心画椭圆NHnL 。在太阳沿着弧Na 离开交会点的时间里，如果作直线Tba ，让扇形NTa 的面积为太阳和交会点在相同时间里运动之和。所以，令极小的弧aA 为直线Tba 按上述规则在一给定时间里均匀旋转所掠过的弧，则该极小扇形TAa 就会正比于在该时间里太阳和交会点向不同方向运动的速度之和。现在太阳的速度几乎是匀速的，其不相等性小得几乎不能在交会点的平均运动中产生哪怕很小的不相等性。而和的另一部分，就是所谓的交会点速度的平均量，在离开朔望点的过程中以其到太阳距离的正弦的平方增大（由本编命题31的推论） 。又当其位于方照点而太阳又位于K 点时有最大值，其与太阳速度之比等于SK 比TS ，即等于TK 和TH 的平方差与TH 2 之比，或KH ×HM 与TH 2 之比。但椭圆NBH 把扇形Ata 这两个速度之和，分成分别正比于速度的两个部分ABba 和BTb 。延长BT 与圆相交于β ，过B 点做BG 垂直于长轴，且BG 向两边延长，分别与圆相交于点F 和点f ；又因为ABba 与扇形TBb 之比等于AB ×B β 与BT 2 之比（因为直线Aβ 被T 平均分割而被B 不平均分割，所以该乘积等于TA 与TB 的平方差） ，所以当ABba 在K 点面积最大时，该比例等于KHM 与HT 2 的比。但是前面所述的交会点最大平均速度与太阳速度之比也等于该比值，所以在方照点时扇形ATa 被分成正比于速度的各部分。又因为KHM 与HT 2 的乘积正比于FBf 比BG 2 ，以及AB ×Bβ 等于FB ×Bf ，所以当ABba 面积为最大时，其与剩余扇形TBb 的比值等于AB ×Bβ 与BG 2 的比。但是因为这些小部分面积的比值总是等于AB ×Bβ 与BT 2 ；所以当在A 点时ABba ，其面积要小于当其在方照点时的面积，这两个面积之比等于BG 与BT 比值的平方，即，等于太阳到交会点距离的正弦的平方之比。所以，所有这些小部分面积之和，也就是面积ABN ，将会正比于在太阳离开交点掠过弧NA 的时间里交会点的运动；而剩余的空间，也就是椭圆扇形NTB 的面积就会正比于在相同时间里太阳的平均运动。又由于交会点的平均年运动也就是交会点在太阳完成一周期的运转里的运动，所以交会点离开太阳的平均运动与太阳本身的平均运动之比，等于圆与椭圆的面积之比；即，等于直线TK 与TH 之比；而TH 是TK 与TS 的比例中项，等价地，也等于比例中项TH 与直线TS 的比值。
命题35
已知月球交点的平均运动，求它们的真实运动。（如图13）
（图13）
令角A 为太阳到交会点平均位置的距离，或为太阳离开交会点的平均运动。而如果我们取角B ，其正切与角A 的正切之比等于TH 比TK ，即，等于太阳的平均小时运动与太阳离开交会点的平均小时运动之比的平方根，则当交会点在方照点时，角B 等于太阳到交会点真实的距离。因为由上一个命题的证明得知，连接FT ，则角FTN 会等于太阳到交会点平均位置的距离，而角ATN 就会为太阳到交会点真实位置的距离，这两个角的正切相互之间之比为TK 比TH 。
推论 角FTA 为月球交会点的均差；该角的正弦，其在八分点的最大值比半径等于KH 比TK ＋TH 。但该均差在任意位置A 的正弦与最大正弦之比，等于角FTN 与角ATN 之和的正弦与半径之比；即，几乎等于太阳到交会点平均位置距离的两倍的正弦与半径之比。
附注
如果交会点在方照点的平均小时运动为16″16′″37 iv 42 v ，即，在一恒星年里，为3938′7″50′″，则TH 比TK 等于9.0827646与10.0827646之比的平方根，即等于18.6524761比19.6524761。所以TH 比HK 等于18.6524761比1，即，等于在一恒星年里太阳运动与交会点平均运动 之比。
但如果在20个儒略年里，月球交会点的平均运动为38650′16″，就正如通过天文观测由月球理论所推算出的结果，则交会点的平均运动在一恒星年里为1920′31″58′″，且TH 比HK 等于360比1920′31″58′″，即等于18.61214比1，由此交会点在方照点的平均小时运动为16″18′″48 iv 。交会点在八分点的最大均差为129′57″。
命题36 问题15
求月球轨道相对于黄道平面的小时变差。（如图14）
（图14）
令A 和a 表示朔望点；Q 和q 为方照点；N 和n 为交会点；P 为月球在其轨道上的位置；p 为P 点在黄道平面上的正投影；mTl 为跟上述运动一样的交会点即时运动。如果过Tm 我们作垂线PG ，且连接pG 并延长其与l相交于g ，再连接Pg ，则角PGp 为当月球在P 点时，月球轨道相对于黄道平面的倾角；而角Pgp 为在一小段时间后的相同倾角；所以角GPg 就为倾角的即时变差。但是该角GPg 比上角GTg 等于TG 比PG 的比值与Pp 比PG 比值的乘积。所以，如果我们设时间为一小时，则由于角GTg （由命题30） 比上角33″10″′33 iv 等于IT ×PG ×AZ 比AT 3 ，而角GPg （或倾角的小时变差） 比上角33″10″′33 iv 等于IT ×AZ ×TG × 比AT 3 。
完毕。
这些都是建立在假设月球是在圆形轨道上匀速运转的基础上的。但如果轨道是椭圆的，则交会点平均运动也会以正比于短轴与长轴之比来减少，就像我们前面所述一样；且倾角的变差也会以相同比例减少。
推论1 在Nn 上作垂线TF ，且令pM 为月球在黄道平面的小时运动；在QT 上作垂线pK 、Mk ，并延长它们与TF 相交于H 和h ；则IT 比AT 就会等于Kk 比Mp ；而TG 比Hp 等于TZ 比AT ；所以，IT ×TG 就会等于 ，即等于面积HpMh 乘以 ，所以倾角的小时变差与33″10″′33 iv 之比，等于面积HpMh 乘以 与AT 3 的比值。
推论2 如果地球和交会点每小时从它们的新位置迅速退回到它们的老位置，以至它们的位置在整个周期月里都是已知的，则在该月里倾角的变差为33″10″′33 iv ，等于在p点的一次旋转所产生的时间里（考虑它们的适当符号＋或-的总计），所产生的所有面积HpMh 之和，与AZ ×TZ × 与Mp ×AT 3 的比值的乘积；即，等于周长QAqa 乘以AZ ×TZ × 与2Mp ×AT 2 的比值。
推论3 在交会点的给定位置上，如果在一整月里都匀速运动而产生的月变差的平均小时变差比33″10″′33 iv ，等于AZ ×TZ × 比2AT 2 ，或等于Pp × 比PG ×4AT ；即（因为Pp 比PG 等于上述倾角的正弦比半径，而 比4AT 等于两倍角ATn 比四倍半径），等于相同的倾角的正弦乘以交会点到太阳距离的两倍的正弦比上半径平方的四倍。
推论4 由于交点在方照点时，倾角的小时变差比上角33″10″′33 iv ，等于IT ×AZ ×TG × 比AT 3 ，即等于 比2AT ，即等于月球到方照点距离两倍的正弦与 的乘积比上半径的两倍，在交点的这个位置上，在月球从方照点到朔望点的时间里（即，在 小时里），所有小时变差之和比上一样多的角33″10″′33 iv 之和或5878″，等于太阳到方照点所有两倍距离的正弦的和与 的乘积比上一样多的直径之和，即，等于直径与 的乘积比上周长，即，当倾角为51′时，等于 比上22，或等于278比10000。所以，在上述时间里由所有小时变差组成的总变差为163″或2′43″。
命题37 问题16
求在一给定时间里，月球轨道相对于黄道平面的倾角。（如图15）
（图15）
令AD 为最大倾角的正弦，AB 为最小倾角的正弦。C 把BD 平分成两截；以C 为圆心，BC 为半径，画圆BGD 。在AC 上取CE 比EB 等于EB 比两倍BA 。如果在给定时间里我们设角AEG 等于交点到方照点距离的两倍，在AD 上作垂线GH ，则AH 就会为所要求的倾角的正弦。
因为GE 2 等于GH 2 ＋HE 2 ＝BH ×HD ＋HE 2 ＝HB ×BD ＋HE 2 -BH 2 ＝HB ×BD ＋BE 2 -2BH ×BE ＝BE 2 ＋2EC ×BH ＝2EC ×AB ＋2EC ×BH ＝2EC ×AH ；因此，由于2EC 是给定的，GE 2 就会正比于AH 。现令AEg 表示交点到方照点距离的两倍，则在给定时间间隔里，由于角GEg 是给定的，弧Gg 就会正比于距离GE 。但由于Hh 比Gg 等于GH 比GC ，所以Hh 正比于GH ×Gg 或GH ×GE ，即正比于 ×GE 2 ，即正比于 ×AH ，即正比于AH 与角AEG 的正弦的乘积。如果在任意一个情况下AH 都是倾角的正弦，则由前一个命题的推论3得知，其将以与倾角正弦相同的增量增大，所以会以一直与该正弦相等。当点G 落在点B 或点D 上的时候，AH 与该正弦相等，所以就会一直与该正弦相等。
证明完毕。
因为我不能转而去论证每秒钟的不相等性，所以在该证明中我未令表示交会点到方照点两倍距离的角BEG 均匀增大。现令BEG 为直角，而Gg 为交会点到太阳距离的两倍的小时增量；而后由前一个命题推论3得知，在相同情况下倾角的小时变差会比上33″10″′33 iv ，等于倾角的正弦AH 与为两倍交点到太阳距离的直角BEG 的正弦之积，比上半径平方的四倍；即，等于平均倾角的正弦AH 与四倍半径之比；即（由于平均倾角约为 ） 等于其正弦896比四倍半径40000，或等于224比10000。但是相对于BD 的总变差（即正弦之差） 与小时变差之比等于直径BD 与弧Gg 的比值，即等于直径BD 与半周长BGD 的比值与交会点从方照点运行到朔望点的时间 比1小时，即等于7与11的比值与 与1的比值之积。因此，综合所有这些比式，我们可以得到总变差BD 比33″10″′33 iv ，等于224×7× 比110000，即，等于29645比1000，由此可得变差BD 为 。
这就是不计月球在其轨道上位置的倾角的最大变差；因为如果交会点在朔望点上，则倾角不受月球位置变化的影响。但如果交会点位于方照点，当月球位于朔望点时的倾角比其在方照点时要小2′43″，就正如我们在前一个命题的推论4里所论述的一样；而当月球在方照点时，总平均变差BD 就会减少 ，也就是减少上述差的一半，最后为15′2″；同样当月球位于朔望点时也会增加该数值，成为17′45″。如果月球位于朔望点，交会点在从方照点移向朔望点的过程中的总变差为17′45″，所以，如果当交会点位于朔望点时其倾角为517′20″，则当交会点位于方照点而月球位于朔望点时倾角为459′35″。这些都是通过观测验证过的真实数据。
现在，如果当月球在朔望点，而交会点位于它们和方照点之间的任意位置上，要求轨道的倾角，则要令AB 比AD 等于459′35″的正弦与517′20″的正弦之比，并取角AEG 等于交点到方照点距离的两倍，则AH 就是要求的倾角的正弦。当月球与交点有90远的距离时，该轨道倾角与该倾角的正弦是相等的。而在月球的其他位置上，由倾角的变差所带来的每月不相等性，在计算月球黄纬时得到平衡，且可以通过交会点运动的每月不相等性（就如我们在前面所说的） 予以消除，在计算月球黄纬时将其忽略。
附注
通过对这些月球运动的计算，我希望可以证明通过引力原理由月球的物理运动推测出月球的运动。由相同理论，我还进一步发现由太阳运动所引起的月球轨道扩大而产生的月球运动的年均差（由第1编命题66推论6）。该太阳作用力在近地点时大，使月球轨道扩大；而在远地点时小，使得轨道又缩小。月球在扩大轨道上运动得较慢，而在缩小的轨道上较快；在这种不相等性中得到调节的年均差，在远地点和近地点都完全消失了。在太阳到地球的平均距离里，它约为11′50″；在到太阳的其他正比于太阳中心的均差距离里，当地球从远日点移向近日点的过程中，它要加入到月球平均运动中，而当地球运动在另一半轨道上时，则其要从中减去。取最大轨道半径为1000， 为地球偏心率，则当均差为最大值时，由引力原理得出均差为11′49″。但地球偏心率似乎还要大些，这样，均差也会以相同比例增大。设偏心率为 ，则最大均差为11′51″。
另外，我发现由于太阳作用力在地球的近日点要强些，所以月球的远地点和交会点的运动比地球在远日点运动得快些，其反比于地球到太阳距离的立方；由此产生出那些正比于太阳中心均差的运动年均差。现在太阳运动反比于地球到太阳距离的平方，对应于前面所说的太阳偏心率 ，这种不相等性产生的最大均差为156′20″。但如果太阳运动反比于距离的立方，则这种不相等性就会产生的最大均差为254′30″；所以月球远地点和交会点不相等的运动事实上产生的最大均差比上254′30″，等于月球远地点的平均日运动和交会点的平均日运动比上太阳的平均日运动。由此可知，远地点平均运动的最大均差为19′43″，而交点平均运动的最大均差为9′24″。当地球从其近日点运行到远日点时，前一个均差会增加，而后一个均差会减小，但当地球运行在轨道的另一边时情况正好相反。
根据引力原理，我又发现当月球轨道的横向直径横穿太阳时，太阳作用在月球上的作用力大于当月球轨道的横向直径垂直于地球和太阳连线时的作用力，所以月球轨道在前一种情形中要大于后一种情形。由此产生的月球平均运动的均差，取决于月球的远地点相对于太阳的位置，而该均差在当月球的远地点在太阳的八分点时最大，当远地点到达方照点或朔望点时为零；当月球远地点由太阳的方照点移向朔望点时，该均差叠加在平均运动上，而当远地点由朔望点移向方照点时，则应从中减去。我称这种均差为半年均差，当其在远地点的八分点时达到最大，就我对其现象的收集分析，其约为3′45″，这就是其在太阳到地球平均距离上的量值。但由于它以反比于到太阳距离的立方而增大或减小，所以当距离最大时约为3′34″，而在距离最小时约为3′56″。但当月球的远地点不在八分点上时，其变得较小，其与其的最大值之比等于月球远地点到最近的朔望点或方照点的距离的两倍的正弦与半径之比。
同理，太阳作用于月球上的作用力在当月球的交会点连线穿过太阳时，要略大于当月球的交会点连线与太阳和地球的连线成90角时；由此产生的另一个月球平均运动的均差，我把它称作第二半年均差；当交会点在太阳八分点时最大，在朔望点或方照点时为零；然而当在交会点的另外一些位置上时，就正比于任意一个交会点到最近的朔望点或方照点的距离的两倍的正弦。如果太阳位于离它最近的交会点之后，则把它加入月球的平均运动中，而当太阳位于之前时，就把它从中减去；在有着最大值的八分点上，在太阳到地球的平均距离里，它达到了47″，就如我用引力理论所推算出的一样。在到太阳的其他距离上，在交会点位于八分点达到最大的均差，反比于太阳到地球距离的立方；所以在太阳的近地点上约为49″，而在远地点时约为45″。（如图16）
（图16）
同理，当月球的远地点位于与太阳的会合点时或相对处时，其以最大速度顺行，但在它相对于太阳在方照点时，其会逆行；由第1编命题66推论7、8和9得知，在前一种情况中，偏心率达到其最大量，而在后一种情况中最小。且由我们所提到上述推论中得知，那些不相等性差异很大，并产生出我称之为远地点半年均差的原理；该半年均差在其最大量时达到约1218′，这是根据我搜集的天文观测数据所推算出的结果。英国人霍罗克斯第一个提出月球是在以地球为下焦点的椭圆轨道上运行的理论。哈雷博士改进了这一观点，他提出椭圆的中心在一个中心绕地球均匀旋转的本轮上；由于该本轮上的运动，产生了前面提到的那个不相等性在远地点顺行或逆行，以及偏心率不相等性。设月球到地球的平均距离被分成100000个等份，且令T 表示地球，TC 为有着5505份该部分的月球平均偏心率。延长TC 到B ，使得最大半年均差1218′的正弦与半径TC 的比值正比于CB ；圆BDA 是以C 为中心，CB 为半径所掠过的圆，也就是前面提到的本轮，月球轨道也位于其中，其以字母BDA 的顺序运转。作角BCD 等于年角差的两倍，或是等于太阳真实位置到月球远地点第一次校正位置的距离的两倍，CTD 则会为月球远地点的半年均差，而TD 为其轨道的偏心率，其指向现在已二次校正的远地点的位置。但由于月球的平均运动，其远地点的位置、偏心率，以及其轨道长轴为200000都是已知的，则可由这些数据，通过普遍已知的方法求出月球在其轨道上的实际位置，以及其到地球的距离。
在地球的近日点，那里太阳的作用力最大，所以月球轨道的中心绕中心C 的运转速度要快于在远日点的运转速度，而且该作用力反比于太阳到地球距离的立方。但由于太阳中心的均差是包括在年角差中的，所以月球轨道的中心在其本轮BDA 上要运动得快一些，反比于太阳到地球距离的平方。所以，如果设其反比于到轨道中心D 点的距离，则还会运动得更快一些，作直线DE ，指向月球第一次校正的远地点，即，平行于TC 。设角EDF 等于前面所述的年角差减去月球远地点到太阳顺行近地点的距离之差；或等价地，取角CDF 等于太阳的实际近点角在360中的余角；令DF 比DC 正比于大的轨道偏心率的两倍比上太阳到地球的平均距离，以及太阳到月球的远地点的平均日运动比太阳到其本身远地点的平均日运动的乘积，即等于 比1000，与52′27″16″′比59′8″10″′的乘积，或等于3比100；设月球轨道的中心位于F 点，以D 为中心，以DF 为半径绕本轮旋转，与此同时，点D 沿圆DABD 运转。因为由这种方法，月球轨道的中心以C 为中心，以几乎正比于太阳到地球距离立方的速度，做某种曲线运动，就正如其应该做的那样。
计算该运动很复杂，但如果按照用近似法来算就会简单得多。像前面一样，设月球到地球的平均距离有100000等份，偏心率TC 有着5505个等份，直线CB 或CD 占 ，而DF 有 等份；该线段在离地球TC 处对着地球的张角是由于轨道中心从D 点移动到F 点产生的；延长直线DF 一倍，在月球轨道的上焦点到地球的距离里，对着地球的张角等于前一个张角，后一个张角是由该上焦点的运动所产生的；但是在月球和地球的距离里，两倍直线2DF 位于上焦点处，平行于第一条直线DF ，且对着月球的张角，而该张角是由月球的运动而引起的，所以该角可以被称做月球中心的第二中心均差；而在月球到地球的平均距离上，该均差几乎正比于直线DF 与点F 到月球的连线所形成夹角的正弦，它最大时可以达到2′55″。但是直线DF 与点F 到月球连线所形成的夹角既可以用从月球的平均近点角中减去角EDF 而得到，也可以用月球到太阳的距离加上月球远地点到太阳远地点的距离求得；而由于半径比该角的正弦已求得，即为2′25″比第二次中心均差：如果前面提到的和要小于半周长，就要加上；而如果大于，就减去。由于月球在其轨道上的位置已校正过了，据此，日月球在其朔望点的黄纬即可求出。
高35或40英里的地球大气层能折射太阳光。该折射散射了太阳光并把它射入了地球阴影地方；而这种散射的光在阴影附近时会扩大阴影范围；因此，由视差所引起的扩大的阴影，我在月食时间里增加了1或 分。
但月球的原理应用天文观测数据来检查和验证，首先是在朔望点，而后是方照点，最后是所有的八分点；任何愿意做这一事情的人都能发现，在格林尼治皇家天文台在旧历1700年12月的最后一天的下午，假设太阳和月球的如下平均运动是正确的：太阳的平均运动为 ，其远地点为 ；月球的平均运动为 ，其远地点为 ，其上升交会点为 ；而格林尼治天文台和巴黎皇家天文台的子午线差为9′20″，但月球和其远地点的平均运动还没有足够的精确的数据。
命题38 问题17
求太阳引起海洋运动的作用力。
在月球的方照点上的，太阳干扰月球运动的作用力ML 或PT （由命题25） ，与地表重力之比等于1比638092.6；而在月球朔望点上的力TM -LM 或2PK 是在方照点的力的两倍。但在地球表面这些力以正比于其到地球中心的距离而减小，即以 比1的比例；所以在地球表面的前一个力比引力等于1比38604600；该力使海水在离太阳90的地方受到抑制。但受另一个两倍于该力的力，海水不仅在正对太阳的位置可以涨起，而且在正背太阳的位置也可以涨起；这两力之和比引力等于1比12868200。又因为同样的力引起了相同的运动，不管是在距太阳90的地方受到的抑制海水的力，还是在正对以及正背于太阳的地方受到的涨起的力，前面所说的力之和就为太阳干扰海水运动的总力，而且会产生把全部力用于在正对和正背于太阳处使海水涨起的相等作用，而会在距太阳90的地方一点也不起作用。
这就是太阳在给定位置上干扰海水运动的力，在那儿既垂直于太阳又与此同时位于地球到太阳的平均距离上。在太阳的另一些位置上，该引起海水涨起的力正比于其正对于地平线的两倍高度的正矢，反比于到地球距离的立方。
推论 由于地球各部分的离心力是由地球的自转运动所引起的，该力比引力等于1比289，在赤道处引起的海潮要比在两极处的高出85472巴黎尺，就如在命题19中所证明的那样，太阳作用力比引力等于1比12868200，所以其与离心力之比等于289比12868200或等于1比44527，因为该尺度比85472尺等于1比44527，所以其在正对和正背于太阳的地方引起的海潮要比在距太阳90地方所引起的仅高出1巴黎尺又 寸。
命题39 问题18
求月球引起海水运动的作用力。
月球引起海水运动的作用力可以由它与太阳作用力的比值求出，该比例可由受这些力产生的海水运动得出。在布里斯托尔下游三英里阿文河口前面的涨潮，在春秋季的日月朔望点时（由塞缪尔·斯托米尔的观测） ，达到约45英尺高度，而在方照点时只有25英尺。前一个高度是由前面所说的力之和所引起的，后者是由它们之差所引起的，所以，设S 和L 分别表示当太阳和月球在赤道，且处于到地球的平均距离上的作用力，则我们可以得到L ＋S 比L -S 等于45比25，或等于9比5。
在普利茅斯（由塞缪尔·克里普莱斯的观测） 海潮的平均高度达到了16英尺，而在春秋季的朔望点时的高度与方照点时的高度之差为7或8英尺。设那些高度的最大差值为9英尺，所以L ＋S 比L -S 等于 比 ，或等于41比23，这一比值与前一个相符。但由于布里斯托尔的海潮很高，我更偏向用斯托米尔的观测数据；所以，我认定比值为9比5，直到我们找到更确信的数据。
遥望宇宙雕版画17世纪
宇宙不是一片空无，其中布满星星，宇宙里也有气体和尘埃形成的云。五十多亿年以前，在这些巨大的宇宙云当中，形成了太阳和周围的行星，包括地球。人类世界也因此形成。图为中世纪的天文学家在用天文望远镜观察宇宙。
由于水的往复运动，最大海潮不会在日月的朔望发生，但就像我在之前所说的那样，它会发生在朔望之后的第三次潮；或（从朔望开始算起） 在朔望点之后月球第三次到达当地子午线之后；也可以说（正如斯托米尔德观测） ，是新月或满月之后的第三天，也几乎是新月或满月之后的第十二个小时，因而落潮发生在新月或满月后的第四十三小时。但在这个港口，潮水在月球到达当地子午线后的第七个小时退下去；所以在月球距太阳或是其方照点提前约18或19度时，最大潮紧接着月球到达当地子午线。因此在冬夏的二至时刻并不会产生高潮，而发生在当太阳位于至点后，超出约总轨迹的十分之一时，即约为36或37度时。类似地，最大潮产生于月球到达当地子午线之后，当月球超过太阳或其方照点，由约为产生一个最大海潮到紧接着的一个最大海潮的总运动的十分之一运动时引起。设距离约为 度，则在月球到朔望点和方照点的距离里，该太阳作用力会比在朔望点和方照点使海水运动增大或减小的力要小，这两个力之比等于半径比两倍距离的余弦，或是等于比37度角的余弦；即，等于10000000比7986355；所以在前一个比例中，S 的位置我们必须用0.7986355S 来替代。
此外，由于月球在方照点时向赤道倾斜，所以月球作用力也会减小；因为月球在这些方照点上，更甚是过方照点 度处，向赤道倾斜约2313′；则日月引起海水运动的作用力随着其向赤道的倾角的减小，以正比于倾角余弦的平方而减少；所以月球在方照点的作用力仅有0.8570327L ；由此我们得出L ＋0.7986355S 比0.8570327L -0.7986355S 等于9比5。
进一步说，如果不考虑偏心率，则月球轨道的直径之比等于69比70；所以如果其他条件不变，月球在朔望点上到地球的距离与其在方照点上的距离之比等于69比70；而当月球过朔望点 度，此时会产生最大海潮，以及它过方照点 度产生最小海潮时其到地球的距离比平均距离等于69.098747和69.897345比 。由于月球引起海水运动的力反比于其距离的立方；所以其作用力在最大和最小距离里，分别与平均距离之比等于0.9830427比1和1.017522比1。由此我们可以得到1.017522L ×0.7986355S 比0.9830427×0.8570327L -0.7986355S 等于9比5；以及S 比L 等于1比4.4815。因为太阳的作用力比引力等于1比12868200，所以月球作用力比引力等于1比2871400。
