推论1 由于太阳作用引起海水涨到1英尺 英寸，而月球作用可以使海水涨到8英尺 英寸；所以这两个力之和可以使海水涨到 英尺；而当月球在其近地点作用的高度为 英尺，此外，特别是当风向顺着涨潮方向时，高度还会更高。这时的作用力完全可以引起各种海洋运动，这是与那些运动的比例相符的；因为在那些深邃而又开阔的海洋里，就像在太平洋里，以及位于回归线以外的大西洋和埃塞俄比亚海上水域里，潮水通常可以涨到6、9、12或15英尺。因为要使潮水完全涨起来，至少需要该海域东西横跨90度。而由于太平洋广阔而深邃，潮水要高过在大西洋或是埃塞俄比亚海的海面；而在埃塞俄比亚海，因为其位于非洲和南美洲之间，海面很狭窄，所以其回归线以内的水域引起的海潮要小于在温带地区的。在开阔海域，如果不是与此同时东西两岸同时落潮，中间海水就不会涨潮，尽管这样，在狭长的水域里，也会要两岸潮水的交替涨落才能引起中间海水的涨落；由此可知，通常在那些离大陆很远的海岛上只有很小的海水涨落。相反，在那些海水交替灌进灌出的海湾港口里，由于海水受极大的压迫力被推进推出狭长的海峡，所以涨潮和退潮必定比平常地方的大；就像在英格兰的普利茅斯和切斯托·布里奇，在诺曼底的圣米歇尔山和阿弗朗什镇，在东印度群岛的坎贝和勃固，这些地方海水进出很急，有时岸上涨起很高的潮水，有时潮水又退出好几英里。这种使海水流进流出的力可以使海水涨落30～50英尺以上。同样的道理可以解释又长又浅的水道或是海峡的情况，就像麦哲伦海峡以及英格兰周围的浅滩的情况一样。在这种港口或是海峡里，潮水受流进流出的海水的推动力，使海潮得到极大增强。而在那些面朝深邃开阔海洋并有着陡峭悬崖的海岸，在这儿海水可以在没有水流进流出的推动下自由地涨落，潮水的大小正比于日月作用力。
天文学成为时尚 佚名 油画 17世纪
17世纪，研究天空的美丽和有序已在受教育的人群中成为一种时尚，他们对如此美丽有序的天空感到惊讶。
推论2 由于月球使海水运动的作用力比引力等于1比2871400，所以很明显该力在静力学和流体静力学，甚至是在摆动实验中还远远不能产生明显影响。只有在潮水中该力才能产生明显的影响。
推论3 由于月球使海水运动的作用力比太阳作用力等于4.4815比1，且那些力（由第1编命题66推论14）正比于太阳和月球球体密度与它们视在直径立方的乘积，所以月球密度与太阳密度之比等于4.4815比1，反比于月球直径的立方比太阳直径的立方；即等于4891比1000（由于月球和太阳的平均视在直径为 和32′12″）。但由于太阳与地球密度之比为1000比4000；所以月球与地球密度之比为4891比4000，或等于11比9。所以月球球体比地球的密度更大更实，而且上面陆地更多。
推论4 由于月球的实际直径（由天文观测）比地球实际直径等于100比365，所以月球上的物质比地球上的物质等于1比39.788。
推论5 月球表面的加速引力约比地球表面加速引力小三倍。
推论6 月球中心到地球中心的距离比上月球中心到地球和月球的公共引力中心的距离等于40.788比39.788。
星盘部件
星盘是一种航海仪器，它可以帮助航海者确定自己的方位。星盘通常由青铜制成，外沿有刻度，中间是可以旋转的扁杆。使用时，将扁杆的一端对准太阳，另一端所指的就是纬度。图为一个星盘的构件。
推论7 因为地球最长半径为19658600巴黎尺，而月球中心到地球中心的平均距离为 个该半径，等于1187379440巴黎尺。所以月球中心到地球中心的平均距离几乎正比于地球最长半径的 倍；而这一距离比月球中心到地球和月球的公共引力中心的距离等于40.788比39.788，所以后一个距离为1158268534巴黎尺。而又因为月球相对于恒星的公转周期为27天7小时 分，所以月球在一分钟里掠过的角的正矢为12752341比半径1000000000000000；所以半径比该正矢等于1158268534巴黎尺比14.7706353巴黎尺。这样月球受把其维持在轨道中的力的作用落向地球，会在一分钟时间里掠过14.7706353巴黎尺；而如果我们以正比于 比 来扩大该力，则由命题3的推论，我们就能得到月球轨道总引力；而月球受此力作用，在一分钟时间里掠过14.8538067巴黎尺。在月球到地球中心距离的六十分之一距离里，即，在到地球中心197896573巴黎尺的距离里，物体受重力落下，在一秒钟时间里可掠过14.8538067巴黎尺。所以在19615800巴黎尺的距离里，即为一个地球平均半径，重物会在相同时间里下落15.11175巴黎尺，或15巴黎尺1寸 分。这就是物体在45纬上的下落的情况。由命题20中的表格可知，物体在巴黎纬度上落下的距离会比在45上的略长 分。所以通过该计算可知，在接近一秒钟的时间里，重物在巴黎纬度上在真空中落下的距离为15巴黎尺1寸 分。而如果引力失去了一个等价于在该纬度上由于地球自转运动产生的离心力的量，则在这儿重物在一秒钟里会掠过15巴黎尺1寸 分的距离。这就是在巴黎纬度上重物下落的实际速度，正如我们在命题14和19中所证明的。
推论8 因为（由命题28）这两个距离与月球在八分点的平均距离之比等于69和70比 ，所以地球中心到月球中心在月球朔望点的平均距离等于60个地球最大半径减去一个半径的 ；而在月球方照点，这两个中心之间的平均距离等于 个地球半径。
推论9 在月球朔望点，地球和月球中心的平均距离等于 个地球平均半径，而在月球方照点这一平均距离等于 个地球平均半径。
推论10 在月球朔望点其在0、30、38、45、52、60和90度的纬度上的地平视差分别为57′20″、57′16″、57′14″、57′12″、57′10″、57′8″和57′4″。
在以上这些计算中，我并未把地球磁力考虑在内，因为其量很小，也还未知：如果一旦能求出该值，则子午线的度数，在不同纬度上的等时摆的摆长，海洋运动的规律，以及月球视差（由太阳和月球的视在直径求出） ，都能由天文观测结果更准确地得到，然后我们也可以让该计算更准确。
命题40 问题19
求月球球体的形状。
如果月球球体是像地球海洋一样的流质，则地球在离月球最近和最远地方引起月球上流体运动的力，比上月球在正、背于地球的地方所引起的地球海水运动的力，等于地球对月球的加速引力与月球对地球的加速引力之比，乘以月球与地球的直径之比，即，等于39.788与1的比值，乘以100与365的比值，或等于1081比100。由于我们地球海水受月球作用可以涨到 尺，所以月球上的流体受地球作用能涨到93尺；由此可得，月球应为椭球，其最长直径的延长线应会穿过地球球心，最长直径要比垂直于该直径的那条直径长186尺。所以月球形状的这一偏差必定是一开始就有的。
推论 这就是为什么月球面向地球的那一面总是呈现相同样子的原因；月球球体在其他任何位置都不可能是静止的，而通过反复运动回到该状态；但由于引起这种运动的力很微弱，所以这种运动必须是极慢的；由命题17中的原因得知，月球那本该总是背对着地球的一面，在转向月球轨道的另一个焦点时，由于不能被即刻拉回来，所以转而面向地球。
引理1
如果APEp 表示密度均匀，以C 为中心，P 、p 为极点，AE 为赤道的地球；如果以C 为中心，CP 为半径，作球面Pape ，且QR 为一平面，一条连接了太阳和地球的中心直线与该平面垂直；又设地球整个外围PapAPepE 上的粒子，如果在不受前面所说高度作用，都倾向于分别以受正比于到平面QR 的距离的力，离开该平面的一侧或另一侧；首先，位于赤道上，以及均匀分布于地球之外并以圆环形式绕着地区的所有粒子促使地球绕其中心转动的合力和作用，比赤道上距离平面QR 最远点A 处同样多的粒子促使地球绕其中心作类似转动的合力和作用，等于1比2。该圆周运动所绕的轴是赤道和平面QR 上的公共交线。（如图17）
（图17）
令以K 为中心，IL 为直径，掠过所形成的半圆为INL 。设半圆周长INL 被分成无限个相等部分，过这几个部分中的N 向直径IL 作正弦NM ，则所有正弦平方之和就会等于所有正弦KM 平方之和，而这两个和相加又会等于同样多个半径KN 平方之和；所以所有正弦NM 平方之和仅为同样多个半径KN 的平方之和的一半。
现设圆AE 的周长被分成同样多个相等部分，过这些相等部分中的F 部分向平面QR 作垂线FG ，同样过A 点也向该平面作垂线AH ，使粒子F 从平面QR 离开的力（由假定） 正比于垂线FG ；该力与距离CG 的乘积就表示粒子F 作用于地球绕球心运转的力。所以在F 点粒子的作用力与在A 点粒子的作用力之比等于FG ×GC 比AH ×HC ，即等于FC 2 比AC 2 ，所以所有粒子F 在其自身位置F 处的总力，比上相同数量粒子在A 处的力，等于所有FC 2 之和比所有AC 2 之和，即（由我们前面所证明的） 等于1比2。
证明完毕。
因为那些粒子的作用是作用于垂直于平面QR 的直线方向，且在平面四周所产生的作用是相等的，所以这些力能推动赤道所在的圆周，连同连带的地球球体一起，绕轴（平面QR 和赤道的交线）转动。
引理2
其次，我仍然设相同的条件，所有位于球面各处的粒子推动地球绕先前所说的轴转动的总作用力，比上均匀分布于赤道AE 所在的圆周各处，形成环形的同样数量的粒子推动地球作类似转动的总力，等于2比5。（如图18）
（图18）
令IK 为任意平行于赤道AE 的稍小的圆，又令Ll 为该圆上任意的两个位于球面Pape 外的相等粒子；如果在与伸向太阳的半径形成直角的平面QR 上，作垂线LM 、lm ，则这些粒子从平面QR 离开所受的力正比于垂线LM 、lm 。作直线Ll 平行于平面Pape ，且在点X把其平均分成两半；过X点作Nn 平行于平面QR ，并分别与垂线LM ，lm 相交于N 和n ；又过平面QR 作垂线XY 。粒子L 和l推动地球向相反方向转动的相反的力，分别正比于LM ×MC 和lm ×mC ，即正比于LN ×MC ＋NM ×MC 和LN ×mC -nm ×mC ，或正比于LN ×MC ＋NM ×MC 和LN ×mC -NM ×mC ；而这两个力的差LN ×Mm -NM ×（MC ＋mC ）就是这两个粒子一起推动地球运转的合力。该差的正数部分LN ×Mm 或2LN ×NX ，比上两个位于A 点的相同大小粒子产生的力2AH ×HC ，等于LX 2 比AC 2 ；而该差的负数部分NM ×（MC ＋mC ），或2XY ×CY ，比上同样大小的两个粒子在A 点所产生的力2AH ·HC ，等于CX 2 比AC 2 。所以这两个部分的差，即粒子L 和l一起使地球运转的力，比上这两个粒子在前面所说的在点A 推动地球做类似运动的力，等于LX 2 -CX 2 比AC 2 。但如果圆IK 的周长IK 被分成无限个相等的小部分L ，则所有LX 2 比同样多的IX 2 等于1比2（由引理1） ；而比同样多的AC 2 等于IX 2 比2AC 2 ，又同样多的CX 2 比同样多的AC 2 等于2CX 2 比2AC 2 。因此所有粒子在圆IK 的圆周上的合力比上同样多的粒子在A 点的合力，等于IX 2 -2CX 2 比2AC 2 ，所以（由引理1） 与同样多的粒子在圆AE 的圆周上的合力之比等于IX 2 -2CX 2 比AC 2 。
现在如果球面的直径Pp 被分成无限个相等部分，其中每部分都有同样多数量的圆IK ，则每个圆IK 的圆周上的物质就会正比于IX 2 ；所以该物质推动地球转动的力正比于IX 2 与IX 2 -2CX 2 的乘积；因此相同的物质如果位于圆AE 的圆周上，则产生的力会正比于IX 2 乘以AC 2 。所以位于球面外所有圆的圆周上的所有粒子的物质总量所产生的力，比位于最大圆AE 的圆周上由同样多的粒子所产生的力，等于所有IX 2 与IX 2 -2CX 2 的乘积比上同样多的IX 2 与AC 2 的乘积；即等于所有的AC 2 -CX 2 与AC 2 -3CX 2 的乘积比上同样多的AC 2 -CX 2 与AC 2 的乘积；即等于所有AC 4 -4AC 2 ×CX 2 ＋3CX 4 比同样多的AC 4 -AC 2 ×CX 2 ；即，等于其流数为AC 4 -4AC 2 ×CX 2 ＋3CX 4 的总流积量比上流数为AC 4 -AC 2 ×CX 2 的总流积量；所以，可以由流数法得出，等于AC 4 ×CX - AC 2 ×CX 3 ＋ CX 5 比AC 4 ×CX - AC 2 ×CX 3 ；即，如果我们用Cp 或AC 代替CX ，则等于 AC 5 比 AC 5 ，即等于2比5。
证明完毕。
引理3
第三点，我仍然设相同的条件，地球受所有粒子的作用而绕先前所说的轴转动的总运动，比上前面所说的圆环绕相同轴的运动，等于地球上物质与环上的物质的比值，乘以任意圆的四分之一周长的平方的三倍与其直径的平方的两倍的比值，即，等于这两种物质之比乘以925275比1000000。
由于圆柱体绕其静止的轴转动比上其与内接圆一起的运动，等于任意四个相等正方形比三个这种正方形的内切圆；而该圆柱体的运动比极薄的圆环绕球体和圆柱体的公共切线的运动，等于两倍圆柱体中的物质比上三倍环上的物质；而该环持续均匀绕圆柱体中轴的运动，比其绕它自己的直径在相同周期时间里做的相同运动，等于圆的周长比其两倍直径。
假设2
如果地球的其他部分被取走，就剩下一个圆环在地球轨道上绕太阳公转运动，与此同时它也会绕它自己的中轴做自转运动，该轴线与黄道平面成 度角，则不管该环是流质的还是由坚硬固体构成的，二分点的运动都不会变。
命题41 问题20
求二分点的岁差。
环形轨道上的月球交会点，当其位于方照点时，其中间小时运动为16″35″′16 iv 36 v ，其的一半8″17″′38 iv 18 v （原因已在前面解释过了） 就为在这种轨道上的交会点的平均小时运动，而这一运动在一恒星年里会为2011′46″。所以在该轨道上的交会点运动就会每年后移2011′46″；而如果月球不止一个，则每一个月球的交会点运动（由第1编命题66推论16） 就会正比于其周期时间；如果月球在一恒星日里，在地球表面上环绕地球一周，则该月球交会点的年运动比2011′46″，就等于一恒星日23小时56分比我们月球的周期时间27天7小时43分，即等于1436比39343。不管这些月球有没有相互接触，或是熔化为一整体的环，也不管该环是否必须为固定的固体环，都同样地环绕地球的月球环上的交会点运动。
现在设构成该环的物质的量等于位于球体Pape 以外的（见图18） 整个地球外围PapAPepE 的物质的量，又由于该球体比地球外围等于aC 2 比AC 2 -aC 2 ，即（由于地球的最小半径PC 或aC 比地球的最大半径AC 等于229比230） 等于52441比459；如果该环是环赤道来环绕地球，并一同绕该环的直径转动，则环的运动（由引理3） 比球体的运动，等于459与52441的比值乘以1000000与925275的比值，即等于4590比485223；所以环的运动比上环和球体的运动之和等于4590比489813；因此，如果环是连接在球体上的，并把它的运动传递给球体，以至其交会点或二分点后退，则环上剩下的运动比其以前的运动等于4590比489813；据此，二分点的运动也会以相同比例减小。因此由环和球体构成的物体，其二分点的年运动比运动2011′46″等于1436与39343的比值乘以4590与489813的比值，即等于100比292369。但由于很多个月球的交会点的运动所产生的力（正如我在前面所阐述的原因） ，所以使环的二分点后退的力（由命题30的图可知，即为力3IT ） ，在各粒子中都正比于那些粒子到平面QR 的距离；这些力使粒子远离该平面。所以（由引理2） 如果环的物质被遍布于球体表面，并按照PapAPepE 的形状来构成地球外围部分，则所有粒子使地球绕任意赤道直径转动，并使二分点运动的总力，会以2比5的比例减小。所以二分点的年度逆进比2011′46″等于10比73092，即，等于9″56″′50 iv 。
但由于赤道平面倾斜于黄道平面，又因为该运动以正比于91706比半径100000的比值的正弦（就是 。的余弦） 来减少；则剩下的运动为9″7″′20 iv ，就是太阳作用所引起的二分点的年度岁差。
月球使海洋运动的力比上太阳的作用力约等于4.4815比1；月球使二分点运动的力比太阳的该力也是成这一比例。由于月球的作用二分点的年度岁差为40″52″′52 iv ，则由这两个力的和所引起的总岁差为50″00″′12 iv 。因为天文观测的结果二分点的岁差每年约为50″，所以该运动与现象是相符的。
如果地球在赤道隆起的高度比在两极的高度要高出 英里，则地球表面的物质密度要小于地球中心的物质密度，所以二分点的岁差就会随着高度差的增大而增大，以及密度差的增大而减小。
到此为止，我们已经论证过了太阳、地球、月球以及行星的系统的运行情况，剩下的我就要谈到彗星了。
引理4
彗星远于月球，位于行星区域内。（如图19）
（图19）
天文学家之所以会认为彗星远于月球，是因为他们发现彗星没有日视差，而它们的年视差就证明了它们位于行星区域内。这是由于当所有的彗星根据星座的顺序做直线运动，如果地球位于彗星和太阳之间，则其显现的尾部就会比正常时要慢或逆行，而如果太阳位于它们中心，而地球和彗星处在相对的位置，就会比正常时要快；而在另一方面，在所有的彗星按星座顺序做逆向直线运动时，情况与前面这种情况中的正好相反。这些彗星的这些现象主要是由于地球在其运动进程中的不同位置所引起的，这和行星所受地球位置变化的影响是相同的，行星会随着地球是与行星是同方向运动还是反方向运动，而有时逆行，有时较慢，有时则快又顺行。如果地球与彗星同方向运动，但由于地球绕太阳所做的角运动较快，所以地球到彗星的直线超出了彗星本身，又由于彗星的运动较慢，从地球上看彗星的运动就会显得是逆行的；甚至即使地球的运动慢于彗星，彗星的运动中减去地球运动的部分，其运动也会看上去减慢。但如果地球与彗星的运动方向相反，彗星的运动就会看上去是加速的；而彗星的距离可以从这些加速、减速或逆行中用以下方法求出。
令rQA 、rQB 、rQC 为观测出的彗星第一次显现的黄纬（如图20） ，而rQF 为观测到的彗星消失前的最后一次黄纬。作直线ABC ，其中AB 和BC 为直线QA 和QB ，QB 和QC 分别切割出的部分，且AB 和BC 相互间的比值等于前三次观测中的两段时间间隔的比值。延长AC 到G ，因此AG 比AB 等于第一次和最后一次观测之间的时间比上第一次和第二次之间的时间；连接QG 。现在如果彗星做匀速直线运动，而地球要么是静止的，要么类似地匀速直线前移，则角rQG 为最后观测到的彗星黄纬。所以角FQG 就为彗星和地球运动的不相等性所产生的黄纬差；如果地球和彗星的运动方向相反，则角rQG 就要加入到角FQG 中，使彗星的视在运动增速；但如果彗星与地球同方向运动，就要把角rQG 从中减去，使彗星的运动要么减速，要么逆行，就像我在前面解释的那样。所以主要由地球运动而产生的该角，如果忽略掉一些彗星轨道上的不相等运动所引起的增量或减量，恰好可以被看做是彗星的视差；且从这一视差我们可以得到彗星的距离。令S 表示太阳（如图19） ，acT 为大轨道，a 是第一次观测中地球的位置，C 是第三次观测中地球的位置，T 为最后一次观测中地球的位置，Tr 为到白羊座首星的直线。设角rTV 等于角rQF ，即等于当地球在T 处的彗星黄纬；连接ac ，并延长至g 点，以至ag 比ac 等于AG 比AC ；则如果地球持续沿直线ac 匀速运动，g 就会为地球在最后一次观测的时间里所到达的地方。如果我们作gR 平行于Tr ，使得角RgV 等于角rQG ，则角RgV 就会等于在g 点所看到的彗星黄纬，而角TVg 就会为由于地球从g 点运动到T 点所造成的视差；所以V 点就是彗星在黄道平面上的位置。而位置V 通常都比木星轨道要低。
（图20）
同样的也可以由彗星路径的弯曲度求出上述结果，因为这些天体速度很大，它们几乎都是绕巨大的圆做运动。但在当由视差所引起的视在运动部分在总视在运动中占了较大比重时，它们的路径的末尾部分通常都会偏离轨道。当地球偏向一侧时，它们就偏向另一侧，而由于该偏斜是与地球运动相对应的，所以其必定是主要由视差所引起的；而该偏斜很大，按我计算的结果，彗星消失的位置要低于木星很多。据此，当它们在近日点和远日点处接近于地球时，它们通常移到火星轨道和内层行星轨道之下。
彗星的接近也可以进一步由彗星头部的光亮证明。因为一个天体的光是由太阳光反射而成的，而且随着离开得越远，以正比于距离的四次幂减小。也就是说，由于到太阳距离的增大使得正比于其的平方，又由于视在直径的减小而又正比于其的平方。如果彗星的亮度和视在直径都是已给定的，则其距离也就可以通过取彗星到一行星的距离正比于它们的直径，而反比于它们的亮度的平方根而求出来。因此弗莱姆斯蒂得先生在1682年用16英寸长的配有千分尺的望远镜观测到的彗星的头部最少有2′；但其头部中间的彗核或星体几乎还不到该数值的十分之一，所以它的实际直径只有11″或12″，不过它头部的光亮却超过其1680年时的亮度，可能还会和第一或第二恒星等的亮度差不多。设土星带环的亮度为彗星的四倍，因为环的亮度几乎等于它里面星体的亮度，又因为星体的视在直径约为21″，所以环和球的总亮度就会等于一个直径为30″的星体的亮度；从而得出彗星与土星的距离之比正比于12″比30″，反比于1比 ，即，等于24比30，或4比5。然后，海克威尔公布了在1665年4月，彗星的亮度超过了所有恒星的亮度。它有着生动的鲜艳颜色，甚至比土星的色彩还鲜艳，因为该彗星要比其在前年年末时出现另一颗彗星要亮，且已和第一星等的恒星亮度差不多，其头部直径约为6′。但通过望远镜观测得知，该彗核的亮度和行星的差不多，但比木星要小；与土星环内的球体相比，有时较小，有时相等，因此彗星头部的直径几乎不会超过8′或12′，而彗核或中心星的直径仅为头部直径的十分之一或十五分之一。这样通常这些恒星看起来就与行星有着相同的视在大小，它们的亮度通常可能与土星的差不多，有时还会超过土星的。这就证明了所有的彗星在其近日点时必定要么位于土星的下面，要么位于其上方不远处。那些认为它们几乎和恒星一样远的人实在是荒谬之极，因为如果是这样，那么彗星就不可能从太阳处吸收比行星从恒星处吸收的光亮多。
由于其头部被大量浓烟包围，彗星显得很暗淡，到现在为止，我们还没有把这一因素考虑在内。而星体的头部越是被烟尘所包围，因为其反射的亮度与行星的差不多，所以其必定要更靠近太阳一些。因此彗星轨道就很可能远远低于土星轨道，正如我们在前面通过视差所证明的那样。最重要的是，这可以由它们的彗尾来证明，因为彗尾要么是由其所产生的烟尘扩散到太空中所反射的太阳光所形成的，要么是由其头部的光亮所形成的。在前一种情况中，彗星的距离必须要缩短才行，否则要让它头部的烟尘能在如此广阔的空间里，以极大的速度传播，是不可能的；而在后一种情况中，彗星的头尾部的总光亮都要归因于彗核的光亮。如果我们设所有的光亮都浓缩在彗核中，毫无疑问，核本身的亮度就会远大于木星球体的亮度，特别是当它发射出又大又亮的彗尾时。所以，如果它能在一个视在直径更短的星体上反射出比木星更多的光，则其必定接受的太阳光的反射更多，所以其必定更接近太阳；由同样的论点可以得知，当彗头被太阳光所掩盖时，彗头有时会位于金星的轨道之内，它们会放射出那种又大又亮的彗尾，就像它们有时那样放射出像火束一样的彗尾；因为，如果所有的光都聚集到一个星球上，其亮度有时不仅超过一个金星的亮度，而且会超过一个相当于很多个金星的星体的亮度。
最后，同样的结论也可以由彗头的光亮得出，其亮度随着彗星远离地球趋向太阳而增加，又随着远离太阳返回地球而减少；因为自从1665年的彗星（由海克威尔） 第一次被观测到后，其就经常失去其视在运动，所以其已经过了其近地点；但是其头部的亮度却每日增加，直至隐藏在太阳光之下，所以彗星就消失了。在1683年7月底首次出现的彗星（同样是海克威尔观测） ，以很慢的速度运动，每天只在其轨道上前进约40′或45′；但是从那时起它的周日运动就不断增快，直到9月4日达到了约5°。时才停止增快；所以，在所有这些时间段里，彗星一直是趋向地球的。这也可以用千分仪测量出其头部直径来证明，因为在8月6日，海克威尔发现，加上彗发它也只有6′05″，而在九月二日，他的观测结果为9′07″，所以其头部在开始时看起来远远大于运动结束时，由于接近太阳，就算是才开始时，也要比结束时亮很多，正如海克威尔所表明的那样。所以，由于彗星是渐渐远离太阳的，尽管其是趋于地球，在所有的时间段里，其亮度还是逐渐减小。1618年的彗星，在该年的12月中旬以及在1680年12月末，它都以其最大速度运动，所以那时是位于近地点的。但是它头部的亮度却是在两周前达到最大值的，当时它才刚走出太阳光，而彗尾的最大亮度还要提前一点到来，那时它更接近太阳。前一个彗星的头部（根据赛萨特的观测） ，在12月1日比第一星等的恒星还要亮；而在12月16日（在近地点） ，它的大小没有减小，而亮度却极大地减少了。在1月7日开普勒对彗头的一些情况不确定，就放弃了观测。在12月12日，后一个彗星的彗头被弗莱姆斯蒂得先生观测到，那时它到太阳的距离为9°，亮度仅及第三星等的恒星。到12月15、17日，由于被接近落日的云层的光辉所挡住了，它的亮度减少了，就与第三星等恒星的亮度相等了。在12月26日，当它位于近地点时，以最大速度前进，它的亮度稍微小于第三星等的天马座口的亮度。到1月3日，它就为第四星等的亮度。1月9日，就只有第五星等的亮度了。然后在1月13日，它被月球的光辉掩盖了，那时月亮光辉正在增加。而到了1月25日，它的光辉就只是接近于第七星等的亮度了。如果我们把近地点两侧的相等时间间隔来作比较，就会发现在这两个间隔很大的时间段里，彗头离地球距离却相等，所以它们的亮度本应该相等的，但在近地点到太阳的那一侧呈现出的是最大亮度，而在另一侧却消失了。所以从亮度在两侧的不同，我们可以推出在太阳的大范围里的彗星都属于前一种情况；因为彗星的亮度一直是有规律地变化，当它们头部运动最快时亮度最大，所以是在近地点上；除了在它们接近太阳时亮度随之增大。
推论1 彗星受太阳光的反射而发亮。
推论2 从以上我们所讨论的，我们知道了为什么彗星通常出现在受太阳光照射的那一半球，而在另一半球却很少出现。如果它们出现在远高于土星的区域上，则它们会更频繁地出现在背对太阳的那一侧；因为在靠近地球的地方，太阳光必定会隐藏那些出现在正对太阳光的那一侧的光亮。另外我通过查阅彗星出现的历史得知，彗星出现在面向太阳的那一侧的次数是背向太阳那一侧的四倍、五倍，并且，毫无疑问被太阳光遮盖的也不少。因为彗星落入我们天区时既没有放射出彗尾，又没有受到太阳照射，所以我们用肉眼是无法看到它们的，直到它们进入到离地球的距离比木星到地球的距离小的区域里时，才能被我们发现。绕太阳以极小的半径作的球形天区中，地球对着太阳的那部分区域占了其中的绝大部分，而彗星在那大部分区域里通常受到更强烈的照射，因为它们大多数时候都接近太阳。
推论3 很明显，宇宙中没有任何阻力；因为尽管彗星沿倾斜轨道运动，有时还会与行星运行方向相反，但是它们还是以极大的自由运动，并在很长时间里保持它们的运动，甚至是与行星的运动方向相反的运动。如果它们不是那种永远沿自己的轨道做环形运动的行星，那我敢说我的推论是正确的；像某些学者认为彗星不过就是流星，因为它们认为彗头会不断地变化，这是很没有根据的；因为彗头是由很重的大气所包围的，而该大气层的最里面必定是最密的；所以我们所看到的这些变化只是发生在彗星大气层中，而不是发生在彗星本身。同样，如果从行星上看地球，也只是大气层发光，而地球球体很少能透过包裹的云层显现出来。由此，也可以得出木星的小行星带也是由于木星的云层而形成的，因为这些小行星之间不断相互改变位置，所以我们很难透过它们看到木星球体；因此彗星实体必定也是掩盖在更浓厚的大气层下的。
命题42 定理20
彗星在以太阳为焦点的圆锥截面上运动；其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于掠过时间。
该命题可以对照第1编命题13推论1和第3编命题8、12、13来证明。
推论1 如果彗星是沿环形轨道运行，则该轨道必定是椭圆；而它们的周期时间与行星的周期时间之比等于它们主轴的 次幂。由于彗星的轨道大部分都远于行星轨道，所以彗星轨道的轴更长，也就要用更多的时间才能完成一次环绕。因此，如果彗星轨道的轴长为土星轴长的四倍，则彗星的环绕周期时间比土星的环绕周期（即30年），等于 （或8）比1，所以彗星环绕周期为240年。
推论2 它们的轨道如此接近于抛物线，以至于把抛物线作为它们的轨道也不会有明显误差。
推论3 根据第1编命题16推论7，每颗彗星的速度，比在相同距离处沿圆形轨道绕太阳旋转的行星的速度，近似于行星到太阳中心的距离的两倍与彗星到太阳中心距离之比的平方根。设大轨道的半径或地球掠过的椭圆轨道的最大半径，是由100000000部分构成；则地球的平均日运动就会掠过1720212个部分，小时运动为 个该部分。所以在地球到太阳的相同平均距离处，彗星以比地球速度等于 比1的速度，日运动掠过2432747个部分，而小时运动掠过 个部分。不管距离是大还是小，日运动和小时运动比上这个日运动和小时运动都会反比于距离的平方根，所以速度都是给定的。
推论4 如果抛物线的通径是大轨道半径的四倍，设该半径的平方包括100000000个部分，则彗星伸向太阳的半径每日所掠过的面积就会有 个部分，而小时运动的面积为 个部分。如果其通径以任意比例增大或减小，每日运动和小时运动所掠过的面积就会以反比于该比例的平方根而减小或增大。
引理5
求通过任意给定点的类似抛物线的曲线。（如图21）
令这些点为A 、B 、C 、D 、E 、F 等，这些点到任意直线HN 的位置是给定的，过这些点作同样多的垂线AH 、BI 、CK 、DL 、EM 、FN 等。
情形1 如果点H 、I 、K 、L 、M 、N 等之间的间距HI 、IK 、KL 等是相等的，取b 、2b 、3b 、4b 、5b 等为垂线AH 、BI 、CK 等的第一次差；它们的第二次差为c 、2c 、3c 、4c 等；第三次差为d 、2d 、3d 等，也就是，AH -BI ＝b ，BI -CK ＝2b ，CK -DL ＝3b ，DL ＋EM ＝4b ，-EM ＋FN ＝5b 等；然后b -2b ＝c 等，依此类推，直到最后一个差f 。作任意垂线RS ，该垂线可以被看做所求曲线的纵坐标。为了求该纵坐标的长度，设间隔HI 、IK 、KL 、LM 等为长度单位，令AH ＝a ，-HS ＝p ， 乘以-IS ＝q ， 乘以＋SK ＝r ， 乘以＋SL ＝s ， 乘以＋SM ＝t ；这样一直进行下去直到倒数第二根垂线ME ，在从S 到A 的各项HS 、IS 等的前面加上负号；而在S 的另一边的各项SK 、SL 等的前面加上正号；统计好这些符号后，RS ＝a ＋bp ＋cq ＋dr ＋es ＋ft ＋…
情形2 如果点H 、I 、K 、L 等的间隔HI 、IK 等是不相等的，就取垂线AH 、BI 、CK 等的第一次差b 、2b 、3b 、4b 、5b 等，除以这些垂线之间的间隔；又取它们的第二次差c 、2c 、3c 、4c 等，除以每两个垂线之间的间隔；再取它们的第三次差d 、2d 、3d 等，除以每三个之间的间隔；然后取它们的第四次差e 、2e 等，除以每四个之间的间隔等等，这样下去，即可以得出：b ＝ ， ， 等，又 ， ， 等，然后 ， 等。这样就求出了这些差，令AH ＝a ，-HS ＝p ，p 乘以-IS ＝q ，q 乘以＋SK ＝r ，r 乘以＋SL ＝s ，s 乘以＋SM ＝t ；这样一直进行下去直到倒数第二条垂线ME ；纵坐标RS ＝a ＋bp ＋cq ＋dr ＋es ＋ft ＋…
推论 所有曲线的面积都可以由上述方法求出近似值；因为如果求出要求曲线上的一些点，并设一条抛物线通过了这些点，则该抛物线的面积就会几乎与所求曲线的面积相等，而抛物线的面积一般可以通过常规几何方法求出。
引理6
已知彗星的某些观测点，求在这些点间的任意时刻彗星的位置。
令HI 、IK 、KL 、LM （见图21） ，表示观测时间的间隔；HA 、IB 、KC 、LD 、ME 为彗星的五个观测到的经度；而HS 为第一次观测到所求经度之间的给定时间。如果设曲线ABCDE 通过点A 、B 、C 、D 、E ，纵坐标RS 可从前一个引理求出，而RS 就是所求的经度。
（图21）
由同样的方法，从这五个观测到的经度，我们可以求出任意给定时间的经度。
如果观测到的这些经度差很小，设为4或5，则三四次观测就能求出新的经度和纬度；但如果该差很大，就像有10或20，则就需要五次观测才能求出。
引理7
过一给定点P 作直线BC ，其PB 和PC 两部分分别与给定直线AB 和AC 相交，使得PB 和PC 相互之间的比是给定的。（如图22）
（图22）
设任意直线PD 是过P 点的直线，它既要与给定的一条直线相交（如AB ） ，又要延长至E 与另一条给定直线相交AC ，以至PE 与PD 之比为一给定比值。令EC 平行于AD 。作直线CPB ，则PC 比PB 等于PE 比PD 。
证明完毕。
引理8
令ABC 为焦点在S 的抛物线。在I 点被二等分的弦AC 所截取的弓形ABCA ，其直径为Iμ ，顶点为μ 。延长Iμ 使μO 等于Iμ 的一半。连接OS 并延长至ξ ，以至Sξ 等于2SO 。现设一彗星沿弧CBA 运行，作ξB 与AC 相交于E ；那么点E 就会在弦AC 上截线段AE 近似正比于时间。（如图23）
（图23）
如果我们连接EO ，与抛物线弧ABC 相交于Y ，并作μX 与同一个弧相切于顶点μ ，且与EO 相交于X ，则曲线面积AEXμA 比曲线面积ACYμA 等于AE 比AC 。由于三角形ASE 与三角形ASC 也成该比例，所以整个面积ASEXμA 与ASCYμA 之比等于AE 比AC 。但是因为ξO 比SO 等于3比1，而EO 比XO 也是这一比值，所以SX 就会平行于EB ；连接BX ，三角形SEB 就会等于三角形XEB 。因此如果从面积ASEXμA 加上三角形EXB 的和中减去三角形SEB ，就会剩下面积ASBXμA ，等于面积ASEXμA ，所以面积ASBXμA 比面积ASCYμA 等于AE 比AC 。但由于面积ASBYμA 近似等于面积ASBXμA ；所以面积ASBYμA 比面积ASCYμA 等于弧AB 掠过的时间比弧AC 掠过的时间；所以AE 与AC 的比值近似于时间之比。
证明完毕。
推论 当B 点落在抛物线顶点μ 的位置上时，AE 与AC 之比完全等于时间之比。
附注
如果我们连接μξ 并与AC 相交于s ，在其上取ξn ，使得ξn 比μB 等于27MI 比16Mμ ，作Bn 与弦AC 相交所截得的比例比以前更精确地正比于时间之比。但应根据点B 比点μ 到抛物线的主顶点的距离是大还是小，来决定是点n 在点ξ 的外侧还是内侧。
引理9
直线Iμ 、μM 和长度 相互之间都相等。
因为4Sμ 是抛物线顶点μ 的通径。
引理10
延长Sμ 到N 和P ，以至μN 可以为μI 的三分之一，而SP 比SN 等于SN 比Sμ ；在彗星掠过弧AμC 的时间里，如果假设它总是以它在SP 的高度上所具有的速度前进，则它掠过的长度等于弦AC 的长度。（如图24）
