（图24）
如果彗星在前面所说的时间里，以其在μ 点的速度，沿抛物线μ 点上的切线，匀速前进，则它伸向点S 的半径所掠过的面积就会等于抛物线面积ASCμA ；所以掠过切线的长度线和长度Sμ 所包含的面积与长度AC 和SM 所包含的面积之比等于面积ASCμA 比三角形ASC ，即等于SN 比SM 。因此AC 比掠过切线的长度等于Sμ 比SN 。但由于彗星在SP 的高度上的速度（由第1编命题16推论6） 比上其在Sμ 的高度上的速度反比于SP 与Sμ 之比的平方根，即等于Sμ 比SN ，所以以该速度掠过的长度比上在相同时间里在切线上掠过的长度等于Sμ 比SN 。因为AC ，又因为以新的速度掠过的长度与在切线上掠过的长度之比也是该比值，所以它们之间必定是相等的。
证明完毕。
推论 彗星以在Sμ ＋ Iμ 的高度所具有的速度，在相同时间里差不多等于掠过了弦AC 。
引理11
如果一失去所有运动的彗星从SN 或Sμ ＋ Iμ 的高度上落向太阳，在掠过自己轨道上的弧AC 的时间里，彗星还是会继续不变地受到其最初落向太阳的力的推动，且掠过的距离等于长度Iμ 。
因为在与彗星掠过抛物线弧AC 所需的相同时间里，彗星（由最后一个引理） 以在SP 的高度所具有的速度掠过弦AC ；所以（由第1编命题16推论7） ，如果彗星在以仅靠自己的引力绕半径SP 的圆做圆周运动的相同时间里，则它在该圆上掠过的弧的长度比抛物线弧AC 所对应的弦长等于1比 。因此，如果以在SP 的高度上所具有的重量落向太阳，则它会在（由第1编命题16推论9） 前面说的时间的一半时间里掠过的空间等于前面所说的弦的一半的平方除以四倍的高度，即，它会掠过 的空间。由于彗星在SN 的高度上受太阳吸引的重力比上其在SP 的高度上受太阳吸引的重力等于SP 比Sμ ，所以彗星以其在SN 的高度上所具有的重力，在该高度上落向太阳的时间里掠过空间，即 ，等于长度Iμ 或μM 。
证明完毕。
命题43 问题21
从三个给定的观测点求在抛物线上运行的彗星轨道。
这是一个很难的问题，我试过很多方法来解决它，有几个与此相关的问题，我在第1编里已经作了相关阐述。但后来我想到了以下解决方法，它们更简单。
选三个时间间隔几乎相等的观测点，但是令彗星在这些时间间隔里的速度不同。因此，也就是使时间差比时间之和等于时间之和比600天，或使点E 可能落在M 周围偏向I 的地方而不是偏向A 的地方。如果你手头上没有这些现成的观测点，那就要由引理6求出一个新的点。（如图25）
（图25）
令S 表示太阳；T 、t 、τ 为地球在轨道上的位置；TA 、tB 、TC 为彗星的三个观测经度；V 是第一次和第二次观测之间的时间间隔；W 为第二和第三次之间的间隔；X 为在V ＋W 的整个时间里，彗星以在地球到太阳的平均距离上的速度所掠过的距离，该距离可以由第3编命题40推论3求出；tV 为弦Tτ 上的垂线。在平均观测经度tB 上任意取点B 为彗星在黄道平面上的位置；作直线BE 连接该处和太阳S ，并使其比上垂线tV 等于SB 和St 2 的乘积比上直角三角形斜边的立方，而该直角三角形的直角边分别为SB 和彗星在第二次观测时的纬度相对于半径tB 的正切。过点E （由引理7） 作直线AEC ，其被直线TA 和τC 所截得的两部分AE 和EC 相互之间的比等于时间V 和W 之比，如果B 刚好在第二次观测的位置上的话，那么A 和C 就会近似位于彗星在黄道平面上第一和第三次观测的位置。（如图26）
（图26）
在被I 二等分的AC 上作垂线Ii 。过B 点作直线Bi 平行于AC 。连接Si 与AC 相交于λ ，就形成了平行四边形iIλμ 。取Iσ 等于3Iλ ；又过太阳S 作直线σξ 等于3Sσ ＋3iλ 。删去点A 、E 、C 、I ，从点B 向点ξ 作一条新的直线BE ，则该直线比上原先的直线BE 等于距离BS 与量Sμ ＋ iλ 的比的平方。又过点E 同样由前面的规则作直线AEC ，即使得AE 和EC 之比等于观测时间间隔V 和W 之比。因此，A 和C 就会为更准确的彗星位置。
在被I 二等分的AC 上，作垂线AM 、CN 、IO ，其中AM 和CN 为第一和第三次观测时的纬度比上半径TA 和τC 的正切。连接MN 使其与IO 相交于O 。像前面一样作长方形iIλμ 。延长IA ，取ID 等于Sμ ＋ iλ 。又在MN 上向着N 一侧取MP ，以至MP 比前面求出的长度X 等于地球到太阳的平均距离（或地球轨道的半径） 与距离OD 之比的平方根。如果点P 落在点N 上，则A 、B 和C 就会为彗星的三个位置，通过这些点就可以在黄道平面上描出彗星的轨道。如果点P 没有落在点N 上，在直线AC 上取CG 等于NP ，则点G 和P 就会都位于直线NC 的相同侧。
用设定的点B 求出点E 、A 、C 、G 的同种方法，从任意设定的另一些点b 和β 上，求出新的点e 、a 、c 、g 和ε 、α 、κ 、γ 。然后过G 、g 和γ ，作圆Ggγ ，交直线τC 于Z ：那么Z 就会为彗星在黄道平面上的一个位置。又在AC 、ac 、αk 上，分别取等于CG 、cg 、kγ 的AF 、af 、αφ ；而又过点F 、f 和Φ ，作圆FfΦ ，交直线AT 于X ；那么X 就会为彗星在黄道平面上的另一个位置。而又在点X 和Z 上向半径TX 和τZ 作彗星纬度的切线，则就可以确定彗星在其自己轨道上的两个位置。最后，如果（由第1编命题19） 以S 为焦点作抛物线经过了这两个位置，则该抛物线就是彗星的轨道。
证明完毕。
本作图的证明是依照前一引理的，因为由引理7可知直线AC 按时间比例在E 点被截开，就像它在引理8中的一样；由引理11，BE 是直线BS 或Bξ 在黄道平面上，介于弧ABC 和弦AEC 之间的部分；由引理10，MP 是彗星在第一和第三次观测之间在轨道上掠过的弧所对应的弦长，所以如果B 是彗星在黄道平面上的真实位置，那么MP 等于MN 。
如果设点B 、b 、β 不是任意点，而是近似真正的位置，则计算就会更方便。如果黄道平面上的轨道与直线tB 的交角AQt 是大体知道的，则在该角沿Bt 作直线AC ，以至AC 比 等于SQ 比St 的平方根；作直线SEB 使得EB 等于长度Vt ，则我们用于第一次观测的点B 就可以求出，然后删除直线AC ，且根据前面作图法重新作直线AC ，进一步就可以求出长度MP 。在tB 上取点b ，规则如下，如果TA 和TC 相交于Y ，则距离Yb 比距离YB 等于MP 与MN 的比值乘以SB 与Sb 比值的平方根。如果你愿意把同样的步骤再重复一遍，那么由同样的方法你可以求出第三个点β ；但一般按照这个方法做的话，两遍就够了。因为如果距离Bb 碰巧很短，再求出点F 、f 和G 、g 之后，作直线Ff 和Gg ，则它们与TA 和TC 的交点就是所求的X 和Z 。
例
令1680年的彗星为我们所研究的彗星。下表显示了弗莱姆斯蒂得所观测并计算出的它的运动，哈雷博士也对这一结果作了校正。
这些结果都是用长7英尺配有千分仪的望远镜，并把准线调在望远镜的焦点上所得到的；我们用这些仪器确定了恒星相互之间的位置，以及彗星相对于它们的位置。令A 表示英仙座左侧末端的一个第四亮星（拜尔ο 星） ，B 表示左尾部的第三亮星（拜尔ξ 星） ，C 表示同样在左侧末端的第六亮星（拜尔n 星） ，以及D 、E 、F 、G 、H 、I 、J、K 、L 、M 、N 、O 、Z 、α 、β 、γ 、δ ，为左侧其他较小的星；而令p 、P 、Q 、R 、S 、T 、V 、X 表示前面观测得出的彗星的位置；设把距离AB 分成 份；AC 占 份；BC ， ；AD ， ；BD ， ；CD ， ；AE ， ；CE ， ；DE ， ；AI ， ；BI ， ；CI ， ；DI ， ；AK ， ；BK ，43；CK ， ；FK ，29；FB ，23；FC ， ；AH ， ；DH ， ；BN ， ；CN ， ；BL ， ；NL ， 。由于HO 比HI 等于7比6，延长该线，会从D 星和E 星之间穿过，以至D 星到直线的距离为 。而LM 比LN 等于2比9，延长该线，会经过H 星。因此恒星相互之间的位置就能确定。（如图27）
（图27）
此后，庞德先生又作了一次恒星之间相互位置关系的观测，并收集得出了它们的经度和纬度，如下表。
观测得出的彗星相对于这些恒星的位置如下：
在旧历2月25日星期五，下午8∶30，彗星在p 点，到E 星的距离小于 AE ，而大于 AE ，所以几乎等于 AE ；因为角ApE 近似为直角，但有一点偏向钝角。从A 点向pE 作垂线，则彗星到该垂线的距离等于 pE 。
而在那天晚上9:30时，彗星在P 点，到E 星的距离大于 AE ，而小于 AE ，所以几乎等于 AE ，或 AE 。但彗星到过A 星作的垂直于直线PE 的垂线的距离为 PE 。
在2月27日星期日，下午8∶15，彗星在Q 点，到O 星的距离等于O 星和H 星之间的距离；延长直线QO 于K 星和B 星之间穿过。由于云层的干预，我不能更准确地确定恒星的位置。
在3月1日星期二，晚上11∶00，彗星在R 点正好位于K 星和C 星之间的连线上，以至直线CRK 的CR 稍微长于 CK ，又稍微短于 ，所以等于 ，或 CK 。
在3月2日星期三，下午8∶00，彗星在S 点，到C 星的距离近似等于 FC ；F 星到直线CS 的延长线的距离为 FC ，B 星比F 星到该线的距离大4倍，NS 的延长线过H 星和I 星之间，距离H 星较I 星更近5或6倍。
在3月5日星期六，晚上11∶30。当彗星位于T 点，直线MT 等于ML 的一半，LT 的延长线于B 和F 之间穿过，距离F 较B 近4或5倍，在BF 上靠近F 的一侧截取BF 的 或 ；MT 的延长线过BF 的外面，较F 来说距离B 近4倍。M 是很小的星，几乎不能用望远镜观测到；但是L 较暗，约为第八星等。
在3月7日星期一，晚上9∶30，彗星位于V ，直线Vα 的延长线过B 和F 之间，在BF 上向F 点方向截取 BF ，且与直线Vβ 之比等于5比4。彗星到直线αβ 的距离为 Vβ 。
在3月9日星期三，晚上8∶30，彗星位于X ，直线γX 等于 γδ ，过δ 星在直线γX 上作的垂线为 γδ 。
同样还是那天晚上12∶00，彗星位于Y ，直线γY 等于 γδ ，或稍微短点为 γδ ；从δ 星到直线γY 作垂线等于约 γδ 或 γδ 。但是由于彗星极其接近地平线，以至几乎不能辨别，所以它的位置不能像前面的观测那样精确得出。
根据这些观测，由作图和计算，我推导出彗星的经度和纬度；而庞德先生校正了恒星的位置，这些都已在前面所展示出来了的。我的千分仪虽然不是最好的，但在经度和纬度上的误差（由我的观测） 很少超出一分。彗星（根据我的观测） 在其运动的末期，从它在二月底掠过的平行线开始朝北方明显倾斜。
现为了从上述观测结果来确定彗星轨道，我选择了弗莱姆斯蒂得的三次观测结果，有12月21日的，1月5日的和1月25日的；如果地球轨道平均分成10000份，则St 含有9842.1份，Vt 为455份。然后在第一次观测中，设tB 包含5657个这些部分，则求出SB 为9747，BE 在第一次观测中为412，Sμ 为9503，iλ 为413，BE 在第二次观测中为421，OD 为10186，X 为8528.4，PM 为8450，MN 为8475，NP 为25；由此，在第二次观测中我收集整理得出距离tb 为5640；由本次观测我最后推算出距离TX 为4775，TZ 为11322。从这些数据求出的轨道，我发现其下降交点在 ，而上升交点在 153′；其轨道平面对黄道平面的倾角为 ；所以顶点（或彗星的近日点） 距交会点838′，在 2734′，南纬734′；其通径为236.8；如果设地球轨道半径的平方为100000000，则在日运动中由伸向太阳的半径掠过的面积为93585；彗星在这个轨道上完全按照星座顺序运动，在12月8日晚00时04分时运行到其轨道的顶点或近日点处；所有这些是我用标尺和罗盘（而角的弦都是在自然正弦表中求出的） ，在一张巨大的图中求得的，在图中地球轨道的半径（包含有10000个部分） 有 英寸长。
最后，为了求证彗星是否真的在该轨道上运动，我用算术方法结合标尺和罗盘，求出了其在轨道上对应于观测时间的位置，结果见下表：
但之后哈雷博士确实用算术方法求出了比作图求出的更精确的轨道保持了交会点在 和 153′的范围内摆动，轨道平面向黄道平面的倾角为 ，彗星在近日点的时间为12月8日00:04分，他发现近地点到彗星轨道上上升交会点为920′，如果设太阳到地球的平均距离为100000个部分，则抛物线的通径就为2430个该部分。通过对这些数据的算术计算，他求出了彗星在各观测时间里的位置，如下表。
该彗星也在以前11月时出现过，哥特弗里德先生在萨克森的科堡于旧历的该月4、6、11日观测到过；考虑到科堡和伦敦的经度差11，以及庞德先生所观测的恒星位置，哈雷先生求出了彗星的位置如下：
11月3日17点2分，就是彗星出现在伦敦的时间，它位于 2951′，北纬117′45″。
11月5日15点58分，彗星位于 τ 323′，北纬16′。
11月10日16点31分，彗星距位于 的两颗星距离相等，拜尔定义为σ 和τ ；但它又没有真的位于这两个星的连线上，而是距此有一点距离。在弗莱姆斯蒂得的星表中那时σ 星在 1415′，近似北纬141′，而τ 是在 ，南纬 ；所以这两个星之间的中间点为 ，北纬 。令彗星到该直线的距离为10′或12′；因此彗星到该中间点的经度差为7′，纬度差约为 ；因此得出彗星位于 1532′，约为北纬26′。
第一次观测到的彗星位置相对于某些小恒星来说，具有所要求的所有精确度；第二次观测也够精确。第三次观测是最不精确的，可能有六七分的误差，但也不会比这个还大了。就像在第一次也是最精确的一次观测中测出的那样，彗星的经度由上述抛物线轨道计算得出 2930′22″，北纬为125′7″，且到太阳的距离为115546。
此外，哈雷先生还注意到一颗显著的彗星曾以575年为间隔出现过四次（即在朱利叶斯·恺撒被杀后的9月；然后在公元531年，就是在兰帕迪乌斯和奥里斯特斯执政时；之后就是在公元1106年2月；最后就是在1680年末；并且它都拖着又长又明显的尾巴，除了在恺撒死的那次，在那时由于地球位置的原因，彗尾不易见） ，这让他求出了这样的一个椭圆轨道，如果地球到太阳的平均距离包含有10000部分，其最长轴应为1382957个该部分；在该轨道上彗星环绕一周的时间为575年；上升交会点位于 22′，该轨道平面相对于黄道平面的倾角为616′48″，在该平面上彗星的近日点为 2244′25″，到近日点的时间是12月7日23点9分，近日点到位于黄道平面上的上升交会点的距离是917′35″，其共轭轴为18481.2，由此，他计算出了彗星在该椭圆轨道上的运动。而由观测的推算和该轨道的计算得出的彗星的位置（见此处 表） 。
对该彗星的观测从一开始到最后都完全与推算出的彗星在轨道上的运动相符，就像行星的运动与由原理推算出的它们的运动相符；由这种一致性可以清楚地证明所有出现的彗星是同一个彗星，就连它的轨道都已正确地给出了。
在前面的表中我省略了11月16、18、20和23日的观测数据，因为它们不是很精确，在这几次观测中很多人都对该彗星做过观测。旧历11月17日早上6∶00，庞修和他的同事在罗马（即在伦敦为5:10） 将准线对准恒星，观测到彗星在 830′，南纬041′。庞修的论文中有提及这次他们观测的结果。切里奥当时也在观测这一彗星，他在写给卡西尼的信中说道，彗星在那同一时刻位于 830′，南纬030′。同样的伽列特也那一时刻在阿维尼翁（即，是伦敦早上5:42） 观测到位于 8，南纬0。但由彗星原理计算得出，那时它位于 816′45″，南纬053′7″。
11月18日早上6∶30在罗马（即在伦敦的5:40） ，庞修观测到彗星位于 1330′，南纬120′；而切里奥的结果是 1330′，南纬100′。但在阿维尼翁的早上5∶30，伽列特发现在 1300′，南纬100′。在法国拉弗累舍大学的早上5∶00（即在伦敦的5:09） ，安果观测到它位于两个小星之间，其中一个是位于室女座南肢的连成一线的三个星中间的那个——拜尔ψ 星；而另一个是该肢上最远的一个——拜尔θ 星。所以那时彗星位于 1246′，南纬50′。而哈雷博士告诉了我，也在那一天的早上5∶00，在位于北纬 度的新英格兰的波士顿（即在早上9:44的伦敦） 测得彗星位于 14，南纬130′附近。
1664年的彗星
图中是艺术家笔下的1664年的彗星现象，这一年的这颗彗星具有特别的意义，它促成了巴黎天文台的创建，也引起了当时还在上大学的牛顿的兴趣。对牛顿而言，这颗彗星和苹果一样重要，都促使他思考重力的本质。
11月19日4∶30在剑桥，彗星（由一个年轻人的观测） 距角宿一 约西北方向2。那时角宿一位于 1923′47″，南纬21′59″。在同一天，早上5∶00，新英格兰的波士顿，彗星距离角宿一 1，纬度相差40′。也在同一天，在牙买加岛，彗星距离角宿一 1。还是那一天，亚瑟·斯多尔在弗吉尼亚地区的马里兰那里，临近亨丁·克里克的帕图森河（北纬 度） ，在早上5∶00（即，在伦敦10∶00） ，看到彗星在角宿一 之上，几乎连在一起，它们之间的距离有 度。通过对这些数据的比较，我得出在伦敦9∶44分，彗星位于 1850′，南纬125′。而由理论推算出当时彗星位于 1852′15″，南纬126′54″。
哈雷彗星
绕太阳一周大约需76年的哈雷彗星在太阳附近通过后，会运行到冥王星处然后再次回归。1705年，哈雷推测这颗彗星将在1758年回归，它的如期再现证实了哈雷的预测，这是引力定律的重要证明。引力定律不仅解释了月球和行星的运动轨道，也揭示了彗星的运动规律。哈雷彗星最近一次飞临地球附近是1986年，2024年，它将到达距地球的最远点。
11月20日，帕多瓦的天文学家蒙特纳里在威尼斯的早上6∶00（即伦敦的5∶10） ，发现彗星位于 23，南纬130′。同一天在波士顿，彗星在角宿一 偏东4的地方，因此就是在近似于 2324′的地方。
11月21日，庞修和他的同事在早上7:15观察到彗星位于 2750′，南纬116′；而切里奥观察得出是在 28；安果在早上5:00测出的 2745′；蒙特纳里的为 2751′。同一天里，在牙买加岛看到的彗星位于 开始处附近，几乎与 位于相同纬度，即22′。同一天在东印度群岛的巴拉索尔的早上5∶00（即，伦敦的前一天的晚上11∶20） ，彗星位于角宿一 向东735′。就是在角宿一与天秤座的连线上，所以就是在 2658′，南纬111′；过了5∶40之后（即在伦敦早上5∶00） ，彗星就位于 2812′，南纬116′，而现在由理论推算出彗星那时在 2810′36″，南纬153′35″。
11月22日，蒙特纳里发现彗星在 233′；但新英格兰的波士顿，它被发现位于 3，而几乎和以前一样的纬度130′。同一天早上5∶00在巴拉索尔彗星位于 150′；所以在伦敦的早上5∶00彗星近似位于 35′。同一天在伦敦的早上6∶30，胡克博士在观察到它约在 330′，在角宿一 和狮子座之间的连线上，但是也不是完全位于线上，而是有一点偏向北边。蒙特纳里同样也在那一天以及之后的几天里做了观察，他发现彗星到角宿一 的连线经狮子座南侧的很近的地方通过。狮子座和角宿一 的连线在 346′处与黄道平面所成的交角为225′；而如果彗星在该直线上的 3处，则其纬度就会为226′；但由于胡克和蒙特纳里都认为彗星位于该直线偏北一点的地方，所以它的纬度必定还要小一点。在20日时，通过蒙特纳里的观测，其纬度几乎与角宿一 的相同，即约为130′。但由于胡克、蒙特纳里和安哥都认为纬度是不断增加的，所以在22日那天，就会比130′大很多；取这些数据中的最大值和最小值（也就是226′和130′） 的中间值，则纬度就约为158′。胡克和蒙特纳里都认为彗星的彗尾是指向角宿一 ，但胡克认为其有一点倾向该星南侧，而蒙特纳里则认为是倾向该星北侧，所以该倾斜几乎是看不见的；而该彗尾应近似平行于赤道，相对于太阳位置要略偏北一点。
旧历11月23日早上5∶00，在纽伦堡（即在伦敦的4∶30） ，齐默尔曼先生以恒星位置推算出彗星位于 88′，南纬231′。
11月24日日出之前，蒙特纳里看到彗星在狮子座和角宿一 之间连线北侧的 1252′，所以其纬度要小于238′；而由于就像我前面说的蒙特纳里、安哥和胡克都观测出纬度是不断增加的，所以如果在24日就会大于158′；所以取平均值，就会为218′，没有任何明显误差。而庞修和切里奥则认为纬度是不断减小的，但伽列特，以及在新英格兰的观测者则认为其纬度保持不变，即约为1或 。庞修和切里奥的观测很粗糙，特别是那些用地平经度和纬度推算出的很不准确；伽列特的观测也是。而蒙特纳里、胡克、安哥和那些在新英格兰的观测者们用的方法比较好，庞修和切里奥有时用的也是这一方法，他们用相对于恒星位置来求出彗星位置。同一天在早上5∶00在巴拉索尔，观测到彗星在 1145′；所以在伦敦早上5∶00时近似位于 13。而由理论推算出，彗星在那时位于 1322′42″。
11月25日日出之前，蒙特纳里观测到彗星近似位于 ；而切里奥与此同时观测到的却位于室女座右侧上的亮星和天秤座南部亮星的连线之间；该直线与彗星轨道的交角为 1836′。而由原理推算出约为位于 。
从以上这些可以明显看出，这些观测结果是与原理相符的；由这种相符性可以证明从11月4日到3月9日一直出现的都是一个而且是同一个彗星。由于该彗星的路径两次与黄道平面相交，所以它不是沿直线运动的。它在室女座的末端和摩羯座的开端与黄道平面相交，这两个之间的弧度为98，因此说它不是在天空中相对的位置上与黄道平面相交；所以彗星的路径偏离大圆很多；因为在11月它至少向南偏离黄道平面3；而后在接下来的12月它向北偏离了29；在该轨道上有两个部分，在这儿，彗星落向太阳又从太阳处上升，根据蒙特纳里的观测，彗星的这种下落上升的视在倾角大于30。该彗星经过九个星座，也就是从 的末尾到 的开始，彗星经过 之后才开始被发现的；我们还没有一个原理可以解释为什么彗星能用规则运动掠过天空中这么大的部分。但是该彗星的运动是不相等的；因为在11月20日左右，它每天掠过约5。然后它的运动在11月26日到12月之间的时间里是减速的，即在15天半的时间里它只掠过了40。但之后的运动就是增速的了，它那时接近每天运动5，直到它的运动又一次减速。这种与不相等的能穿越如此巨大天空的运动完全相符的理论，又与完全符合精确天文观测的行星运动理论具有相同原理，那么这种理论只能是真理。
考虑到这没有什么不妥，我就附上一幅图，上面我详细绘制了彗星轨道，以及它喷出的彗尾的位置。在该图中ABC 表示彗星的轨道，D 为太阳，DE 表示轨道的轴，DF 为交会点连线，GH 为地球轨道与彗星轨道平面的交线；I 为彗星在1680年11月4日所处的位置，N 为12月21日的位置，K 为那一年里11月11日的位置，L 为那一年11月19日的位置，M 为那一年12月12日的位置，O 为12月29日的，P 为次年1月5日的，Q 为1月25日的，R 为2月5日的，S 为2月25日的，T 为3月5日的，V 为3月9日的。为了求出彗尾的长度，我做了如下观测。（如图28）
（图28）
11月4日和6日，彗尾没有出现；11月11日，彗尾才刚出现，但其长度在10英尺长的望远镜中不会超过 。11月17日，庞修观测得出为长于15；11月18日，在新英格兰测出为30长，且直指太阳，并延伸至位于 954′处的火星处；11月19日，在马里兰岛发现彗尾有15或20长；12月10日（根据弗莱姆斯蒂得先生的观测） 彗尾从蛇夫座的蛇尾和天鹰座南翼的δ星之间穿过，停在拜尔A 、ω 、b 星附近。所以彗尾位于 ，北纬约 ；12月11日，它上升到天箭星座顶部（拜尔α 、β ） ，停在 2643′，北纬3834′；12月12日，它从天箭星座中间穿过，但它也没有运动到很远；停在约 4，北纬 。但是我们必须要知道，我们所说的彗尾长度是最亮部分的长度；因为在晴朗的夜空中可能比较微弱的亮光也可以看到，在12月12日5∶40在罗马，庞修观测到其彗尾上升到了天鹅座尾星以上10的位置，彗尾的侧部指向西北，距该星有45′。但在那时彗尾上端的宽度有3；所以彗星中间在该星偏南215′，而上端尾部位于 22，北纬61；所以彗尾约有70长；12月21日，它几乎延伸到了仙后座那里，它的距离与β 星到王良四的距离相等，这两个星分别到它的距离也与这两个星之间的距离相等，所以彗尾停在 24，纬度 ；12月29日它到达了室宿二，与其左侧相接触，并恰好填满了在仙女星座北部足间的有54长的所有空间；所以该彗尾停在 19，纬度为35；1月5日，彗尾接触到仙女座胸部右侧的π 星和其腰部左侧的μ 星；根据我们的观测得出彗尾有40长；但是是呈曲线的，且凸起的那一侧指向南部；在彗星头部附近与过太阳和彗头的圆成4角；但彗尾却与该圆成约10或11角；彗尾的弦和该圆成8角。1月13日彗尾停在Alamech和大陵五之间，其亮度还可见；最后以微弱光亮消失在背对κ星靠英仙座的那一侧。彗尾到过太阳和彗星的圆的距离为350′；而彗尾的弦对该圆的倾角为 。1月25日和26日，彗尾亮度微弱长约6或7；经过一两个夜晚后，当在晴朗天空下时，就算它的亮光很微弱几乎不能看见，它也能延伸至12或更多；但是它的轴恰好指向御夫座东肩上的亮星，所以向北偏离与太阳反向的位置10。最后，2月10日我用望远镜观测到彗尾长2；因为太微弱的光无法通过玻璃所以看不见。但庞修曾写到在2月7日看到彗尾有12长。2月25日彗星失去彗尾消失了。
现在，如果我们回顾所阐述过的轨道，并适时考虑到彗星的其他状态，则我们会清楚地了解彗星是固体的、紧密的、固定的和耐久的，就像行星的星体；因为如果它们就只是地球、太阳和其他行星的所形成的气体，则该彗星在经过太阳附近时就会瞬时消散掉；因为太阳的热度正比于它光线的密度，即反比于它所处的位置到太阳的距离的平方。所以在12月8日当彗星位于近日点时，从彗星位置到太阳中心的距离比地球到太阳的距离约为6比1000，而那时太阳作用在彗星上的热量比夏日里的太阳光作用在我们身上的热量等于1000000比36，或等于28000比1。我曾试验过把水煮沸的热量是把地球土壤晒干的太阳热量的3倍；而烧红的铁的热量（如果我设想的没错） 约为沸水热量的3到4倍。所以当彗星位于近日点时，彗星上的泥土受到太阳光线照射而晒干的热量约为烧红的铁的热量的2000倍。而在这样高的热量中，蒸汽和雾气，以及任何挥发性物质，都会瞬时挥发消失掉。
所以，该彗星必定从太阳那里吸收了大量的热量，并在相当长的时间里保持该热量，因为直径长1英寸的烧红铁球暴露在空气中，在一个小时的时间里几乎也不会失去所有的热量；而体积更大的球体会以正比于其较大的直径而保持热量更持久，因为该表面（正比于受使其冷却的周围流动的空气的多少） 比内部所含的热量要小。所以一大小等于地球的烧红铁球，即直径约40000000英尺的球体，在与地球冷却天数一样多的日子里，或是在50000多年里是不会冷却的。但我怀疑有一些潜在原因，使得热量持续时间的增加比例要小于体积增大的比例。我是很期望看到能用实验测出真实比例。
我还注意到，在12月就在彗星刚刚受到太阳光热，它就会放射出比在11月当它还未到达近日点时更亮的彗尾。一般来说，最长又最亮的彗尾是马上紧接着出现在它们经过紧邻的太阳之后。所以彗星接受的太阳光热最多，才放射出最长的彗尾。由此我可以推出彗尾就只是彗头或彗核受热所放射的微细的蒸气。
关于彗尾还有三种其他说法：一是有些人认为它们不是别的，就是太阳透过彗头（人们认为它是透明的） 的光束；再者是有些人认为是彗头向地球放射的光反射而成的；最后还有些人认为是它们是不断从彗头冒出的云雾或蒸气之类的，且背向太阳方向运动。这第一种是与光学不相符的，因为在暗屋里能看见太阳光束只是因为光束反射在空气中飘浮的尘埃和烟尘的微粒的结果。由此可知，如果空气中布满浓烟，则这些光束发出的光亮就会更强，使眼睛受到更强的刺激；而在更纯净的空气中，它们的光亮就不容易被察觉。但是在宇宙是真空的，没有物质来反射光亮，所以我们是不可能看到光束的。光不是因为成为一束光而被我们看见，而是光反射到我们的眼睛而被看见，因为景象只有在落入我们眼睛才能被我们看见，所以在我们看见彗尾的地方必定有一些能反射的物质，而且由于天空中太阳光是平均分布的，所以不存在有些地方的亮度要大于另一些地方。第二种说法会面临很多问题。彗尾从来没有出现过一般反射会造成的多种色彩，而恒星或行星射向我们的唯一的光就证明了天空不能产生折射，因为就正如人们提出埃及人有时看到彗发包裹在恒星周围，因为这并不常见，我们最好把它归结为平常的云层的折射。恒星的发光和闪烁也是由于我们眼睛和空气折射的作用，因为把望远镜放到我们眼睛前这种闪烁便即刻消失了。由于空气的震颤和水汽的上升，这就造成了光线在我们狭长的瞳孔里交替摆动；但是在有着宽孔径的望远镜下就不会发生这种情况，因此闪烁只会发生在前一种情况中，而后一种情况是不可能发生的。而在后一种情况中的闪烁不存在就证明了光在天空中是均匀传播的，没有任何明显的折射。人们有时看见有的彗星的光太弱了，以至看不到彗尾，就好像次级光太弱，以至不能被我们看见一样。因此有的人认为这就是为什么恒星没有尾巴。为了消除这种异议，我们得这样想，在望远镜下恒星的光可以增加100倍，但仍然看不见尾巴。而行星的光则更亮但还是看不到任何尾巴，但是当彗头有时光很暗淡时，我们还是能看见彗星有着长长的尾巴。这种情况在1680年就发生过，当时，在12月时它的光亮还不到第二星等的星的亮度，但还是放射出明显的尾巴，并有40、50、60或70，甚至更长。此后，在1月27日、28日，当时彗头的亮度等于第七星等的亮度，但还是可以看见彗尾（就如我前面所说） ，尽管光亮很微弱，但仍有6至7长，如果加上更难以看到的渐微的亮光。它甚至还有12长以上，而到了2月9和10日，那时肉眼已经看不到彗头了，但透过望远镜我看到彗尾有2长。再说，如果彗尾是由于天体的折射而形成的，且是背离太阳的，则根据其在天空中的形状，它在相同位置的偏离应该一直指向同一个地方。但是1680年的彗星，在12月28日晚上8点半时，在伦敦被观察到位于 841′，北纬286′；而当时太阳位于 1826′。1577年的彗星，在12月29日位于 841′，北纬2840′，而太阳和前面一样位于 1826′。在这两种情况中，地球的位置都相同，彗星在天空中的位置也相同；尽管在前一种情况中，彗尾（不管是我还是其他人的观测都是） 向北偏离太阳反向 度；而在后一种情况中，它（根据第谷的观测） 向南偏离了21。所以不能证明是天体折射所引起的，究竟彗尾的现象是不是由物质折射而成的还尚待证明。
从对彗尾的进一步观测得出，彗尾确实是由彗头引起的，并指向太阳的反向。位于经过太阳的彗星轨道平面，它们不断地偏离太阳反向并朝向彗头在轨道上掠过了剩下的部分。对于位于那些平面里的旁观者而言，彗尾看起来是位于正对太阳的地方；但随着旁观者们远离该平面，彗尾的偏离就逐渐明显了起来，且日益增加。如果其他条件不变，在彗尾更向彗星轨道倾斜时，以及在彗头更接近太阳时，特别是当在彗头附近所测的偏离角度，该偏离会少一些。如果彗尾没有偏离，则它就呈现出直线，但当它有偏离时就会呈现出曲线。偏离越大曲率就越大。因为如果彗尾越短曲率越不容易看见，所以在其他条件不变的情况下，彗尾越长曲率也越大；而又由于彗尾凸起的那一侧是朝向引起偏离的那一侧，而且该侧是位于太阳到彗头的直线上的，所以偏离角在接近彗头部分较小，而在彗尾末端部分较大。那些又长又宽，光亮很强的彗尾中，其凸侧部分比凹侧部分更亮，轮廓更清晰。由此我们可以清楚地知道，彗尾的现象取决于彗头的运动，而不是我们在天空中看见的彗头的位置；所以彗尾并不是由天体的折射产生的，而是由它们自己的彗头提供的物质来形成彗尾的。就像在地球空气中，燃烧的物体所产生的烟，当在物体静止时垂直上升，而在物体运动倾斜运动时斜向上升，因此在天空中，所有的天体都受太阳吸引，则烟雾和蒸气都必定（正如我之前说的） 会向太阳方向升起，当生烟物体静止时，烟尘就会垂直上升，而当物体在所有运动中都离开那些较高部分的烟尘最初升起的位置时，烟尘就斜向上升；而且当烟尘以最大速度上升时，倾斜度就会最小，也就是说在生烟物体接近太阳时，倾斜度最小。但是，由于倾斜度在变化，所以烟柱也是弯曲的；又由于在前部的烟尘升起较晚，即较晚从生烟物体中升起，则在那头的烟尘密度较大，因此也必定反射更多的光，轮廓也就更清晰。我并没有考虑进彗星的突发不确定摆动，以及它们的不规则形状，而很多学者都对此做过描述。可能是由于空气的流动和云层的运动，遮挡了这些彗尾；还有可能是由于当彗星经过银河系时，把其中的某一部分当作了彗尾的一部分。
赤道星图
星图是恒星观测的一种形象记录，它是天文学上用来认星和辨别方向的工具。星图种类繁多，有的用来辨认某种天体，有的则用来对比发生的变异等。图中为赤道星图，中心是天赤道，即赤纬0000′00′′。
但关于彗星的大气能够提供充足的水汽来填满如此大的空间，我们不难从地球空气的稀薄来得以理解。因为在地球表面的空气所具有的空间是相同重量的水的体积的850倍，所以一个高850英尺的空气柱体，和一个有相同幅宽而只有1英尺高的水的重量是相同的。而高度达到大气层顶端的空气柱体的重量，与一个高33英尺的水柱体的重量是相等的。所以，如果把这整个空气柱的较低部分的850英尺的空气全部拿走，则剩下的较高部分就会等于高32英尺的水柱体的重量。由此（由很多试验验证的假设得知，空气压力正比于周围包裹大气的重量，以及引力反比于到地球中心的距离的平方） 从第2编命题22的推论引出一个计算，我得出从地球表面算起，在地球半径的高度的地方，空气要比地球表面的稀薄，这两个地方的稀薄比例要远远大于土星轨道以内的空间与直径一英寸的球体的体积之比。因为如果第七表面大气层的厚度只有一英寸，且其空气稀薄程度和在地球半径的高度上的空气稀薄程度相同，但它也能填满行星们到土星轨道的所有空间，甚至更远。由于越靠近大气层外层空气越稀薄，所以从彗星中心算起，彗发或是包裹彗星的大气层就会普遍比彗核表面的大气稀薄10倍，而彗尾离彗星中心更远，所以彗尾的大气还要稀薄；虽然，由于彗星表面的大气层密度较大，又受到太阳的强烈吸引力，而且它们的大气和烟尘的粒子又相互吸引，所以可能在天空中和彗尾中的大气不是那么稀薄，但是从这一计算来看，很小量的大气和烟尘就足够产生彗尾的所有状态；因为事实上由周围星星透过它们的闪耀就可以知道它们有多么稀薄。尽管地球大气层只有几英里的厚度，在太阳光的照射下，还是能遮住所有星星的光亮，甚至月球的光亮；然而同样在太阳光的照射下，哪怕是最小的星星也能透过彗尾厚厚的大气层而被我们看见，并且没有失去任何的亮度。大多数彗尾的亮度，通常都不会大于在一个暗室里太阳光束透过百叶窗的缝隙反射到1到2英寸厚的地球空气上的亮度。
我们也可以作彗尾末端到太阳的连线，并标出直线与彗星轨道的交点，这样可以求出蒸气从彗头升到彗尾末端的近似时间。因为现在位于彗尾末端的蒸气，如果它从太阳方向以直线上升，就必须要当彗头位于其交会点处蒸气就上升。但事实上，蒸气并没有从太阳方向以直线上升，而是保持了其在没有脱离彗星之前的运动，倾斜上升。所以，如果我们做与轨道相交的直线，平行于彗尾长度方向的直线，或是（由于彗星的曲线运动） 该直线稍微有一点偏离彗尾长度方向直线，就可以更精确地求出这个问题的解。用这种方法我求出在1月25日位于彗尾末端的蒸气，在12月11日之前就要开始从彗头升起，所以它总共上升了45天时间。但是在12月10日出现的整个彗尾，在其到达近日点后的两天里就停止上升了。所以在开始上升时和在靠近太阳时会以最大速度上升，之后又会受引力阻碍继续以匀速上升。它上升得越高，就使彗尾长度又增加一点，我们持续看到的彗尾几乎全都是自彗星经过近日点以来所上升的蒸气，而且我们所看到的部分也不是最早上升的。因为位于彗尾末端的部分到离太阳距离太远时，由于从太阳反射到它们身上的太阳光不能再到达我们眼睛，使其看起来就像是消失了。因此其他那些较短的彗尾不是快速从彗头升起以后又迅速消失，而是形成一个持久的蒸气柱，里面的蒸气是经过很多天缓慢地从彗头升起，并保持了它们在以开始就有的彗头的运动，与彗头一同继续划过天际。由此我们又得出了一个论据来证明宇宙是真空的，没有任何阻力，因为在宇宙中不仅像行星和彗星之类的固体，而且像彗尾这种极稀薄的气团，都能以极大自由维持其高速运动，并持续很长一段时间。
