在一个随机系统中，例如在某个非零温度下的气体，大量的信息被编码为分子的随机运动。当我们用密度和温度等量来描述气体的时候，关于分子的运动和位置的信息并无具体说明。这些量是气体中所有原子的平均值，所以当人们用这种方式讨论气体时，大多数关于分子实际位置和运动的信息都被抛弃了。气体的熵是这种信息的一种度量，它等于能够给出气体中所有原子的精确量子理论描述所必须回答的“是／否”问题的数量。
被加速观察者看到的热光子的确切状态的信息丢失了，因为它被编码在隐藏区域光子的状态中。因为随机性是隐藏区域存在的结果，所以熵应该包含加速观察者看不见世界的程度，这与其隐藏区域的大小有关。或者可以这样说，熵实际上是一种对将观察者与其隐藏区域分开的边界大小的度量。他观察到的由加速而产生的热辐射的熵与其视界的面积成正比！视界面积和熵之间的关系是由一位名叫雅各布·贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）的博士生发现的，他在普林斯顿大学工作的时间也大约是比尔·昂鲁工作中做出自己重大发现的时间。这两位都是约翰·惠勒（John Wheeler）的学生，约翰·惠勒在几年前就起了黑洞这个名字。惠勒有一批杰出的学生，其中就包括贝肯斯坦和昂鲁，此外还有理查德·费曼（Richard Feynman）。
这两位年轻的物理学家迈出了探索量子引力的最重要的一步。他们给出了两个普遍而简单的定律，这是第一批来自量子引力研究的物理预测。
· 昂鲁定律（Unrus’s law）：加速观察者认为自己嵌入热光子的气体中，温度与其加速度成正比。
· 贝肯斯坦定律（Bekenstein’s law）：每一个视界都形成一个边界，将观察者和一个隐藏区域分开，有一个与视界面积成正比的熵来测量隐藏在它后面的信息量。
这两个定律是了解量子黑洞的基础，将在下一章详细讨论。
07
黑洞热力学3：黑洞的温度
我们之所以一直在考虑一个加速的观察者，是因为其情况与一个在黑洞的视界上方盘旋的观察者非常相似。上一章结尾谈论的两个定律——昂鲁定律和贝肯斯坦定律，可以告诉我们在黑洞上空盘旋时能看到什么。应用这个类比，我们可以预测，在黑洞外的观察者会看到自己被嵌在热光子气体中，而热光子的温度与引擎为保持航天器在视界上方的固定距离悬停而需要提供的加速度有关。此外，这个观察者检测到的光子是随机的，因为对它们的完整描述需要超出视界的信息，由他所观察到的光子和超出视界的光子之间的关系来编码（如图7-1所示）。为了度量这些缺失的信息，他把熵归因于黑洞，这个熵和黑洞视界的面积成正比。
图7-1 霍金发现的黑洞辐射
远离黑洞的光子具有随机性质和运动，因为它就像图6-3中的一个光子一样，与消失在视界后面的光子相关。因为在视界之外的观察者不能恢复消失光子携带的信息，向外移动的光子似乎有热运动，就像热气体中的分子。这导致离开黑洞的辐射具有非零的温度，并且也有熵，即对缺失信息的度量。
虽然这个类比很有用，但这两种情况之间仍有一个重要的区别，即加速观察者测量到的温度和熵仅仅是其自身运动的结果。如果他关掉引擎，构成他视界的光子就会赶上他，然后他就能看到对于他来说原本隐藏的区域。因此，他就无法再看到热光子气体，也测不出温度。因为他看到的是空白的空间，所以没有遗失信息，这与“没有隐藏的区域就没有视界”的观点相一致。但是对于黑洞，有无数的观察者一致认为存在一个他们看不到的视界。这不仅仅是他们运动的结果，因为所有没有穿过视界的观察者都认同黑洞和它的视界确实存在。这就意味着，远离黑洞的所有观察者一致认为黑洞有温度和熵。
对于不旋转、不带电荷的简单黑洞，其温度和熵的值可以非常简单地表示出来。用普朗克单位表示，黑洞的视界面积与其质量的平方成正比，熵（S）与视界面积成正比。在普朗克单位下，有一个简单的公式：
S=1/4 A/hG
其中A是视界的面积，G是引力常数。
有一种非常简单的方法来解释这个公式，这要感谢杰拉德·特·胡夫特（Gerard’t Hooft）。在研究量子引力之前，他在基本粒子物理学方面做了重要的工作，并因此获得了1999年的诺贝尔物理学奖。他认为，黑洞的视界就像电脑屏幕，每四个普朗克区域就有一个像素。每个像素有两种状态：开或关，这意味着每个像素编码一比特的信息。黑洞中包含的信息的总比特数等于它覆盖视界所需要的像素的总量。普朗克单位非常小，覆盖一平方厘米需要1066普朗克面积的像素。因此，一个视界直径几千米的黑洞可以包含巨量的信息。
除了作为信息的度量之外，熵还有另一种意义。如果一个系统有熵，它就会以不可逆的方式运行。因为根据热力学第二定律，熵只能被创造，而不能被破坏。如果茶壶掉在地上摔碎了，则熵大大增加，然而要把它重新组装起来是非常困难的。在热力学中，过程的不可逆性是用熵的增加来衡量的，因为熵增能够度量随机运动所造成的信息损失。这些信息一旦丢失，就永远无法恢复，因此熵通常不会减少。这是热力学第二定律的一种表达方式。
黑洞也在以一种不可逆的方式运行，因为物体可以落入黑洞，但不能从黑洞中出来。这导致黑洞的视界永远不会随时间缩小，该结果最先是由斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）发现的，他还给出了优美的论证。因此，我们可以得出结论，黑洞视界的面积类似于熵，只能随时间增加。贝肯斯坦的见解更为深刻，他认为，这不仅仅是一个类比，黑洞有真正的熵。他还推测熵与黑洞视界的面积成正比，并能够度量被困在视界之外的信息量。
你可能想知道，既然上述结论是基于一个简单的类比，似乎任何一个看过这个问题的人都能猜得出来，那么为什么其他物理学家没有像贝肯斯坦那样迈出这一步呢？原因是这个类比并不完整。因为如果没有东西能从黑洞里出来，那么它的温度就是零，因为温度是随机运动的能量的度量。如果一个盒子里什么都没有，就不会有任何形式的运动，不管是随机的还是其他什么形式。
因此，这种类比似乎并不明智，而是一种误用，这是所有领域新手思维的特征。但也有一些人认真对待了贝肯斯坦的理论，其中就包括斯蒂芬·霍金、保罗·戴维斯（Paul Davies）和比尔·昂鲁。霍金首先揭开了谜底，他意识到，如果黑洞是热的，它与热力学定律就没有矛盾。通过类似于以上论述的一系列推理，他证明在黑洞外的观察者会看到，黑洞处于一个有限的温度中。用普朗克单位来表示，黑洞的温度（T）与质量（m）成反比，这就是第三定律，即霍金定律：
T=k/m
常数k在常规单位下非常小。因此，天体物理学的黑洞的温度比一度要低得多，故它们比2.7开尔文的宇宙微波背景辐射要冷得多。但质量小得多的黑洞会相应地更热，即使它的体积更小。一个珠穆朗玛峰质量的黑洞不会比一个原子核大，但它会以比恒星中心更高的温度发光。
黑洞发出的辐射被称为霍金辐射，它会带走能量。根据爱因斯坦著名的质能关系方程，E=mc2，辐射也会带走质量。这说明真空中的黑洞必须失去质量，因为没有其他的能量来源为它发出的辐射提供动力。黑洞向外辐射其质量的过程被称为黑洞蒸发（black hole evaporation）。当黑洞蒸发时，它的质量就会减小。但是因为它的温度和它的质量成反比，所以当黑洞失去质量的时候，它就会变得更热。这个过程会一直持续下去，直到温度变得极高，以至于每一个发射出来的光子都能大致达到普朗克能量。此时黑洞的质量就大约等于普朗克质量，它的视界只有几普朗克长度。现在，我们已经深入量子引力起支配作用的领域了。接下来黑洞会发生什么，只能由一套完整的量子引力理论来决定。
天体物理学的黑洞蒸发是一个非常缓慢的过程。蒸发速度非常慢，主要取决于温度，而最初温度本身就很低。一个与太阳质量相同的黑洞需要约为现在宇宙年龄的1057倍的时间去蒸发。所以这不是我们能很快观察到的。但黑洞蒸发结束后会发生什么很吸引我们这些研究量子引力的人。这个主题中有很多自相矛盾的地方值得反复思考。例如，被困在黑洞中的信息会发生什么变化？我们说过这些信息的数量与黑洞视界的面积成正比。但当黑洞蒸发时，它的视界面积会减小，那么这是否意味着被困在黑洞中的信息数量也在减少？如果不是，似乎就有矛盾了，但如果是的话，我们必须解释信息是如何被释放出来的，因为它是被视界后面的光子编码的。
同样，我们也可以探讨黑洞的熵是否会随着视界的缩小而减小。这似乎是必然的，因为两个量是相关的。但这一定违反熵永远不会减小的热力学第二定律吗？一个答案是不会，因为黑洞释放的辐射有很多熵，这足以弥补黑洞的损失。热力学第二定律只要求世界总熵永不增加。如果把黑洞的熵算在内，那么我们所有的证据都证明热力学第二定律仍然成立。当一个物体落入黑洞，外部世界可能会失去一些熵，但是作为弥补，黑洞内部的熵会增加更多。另一方面，如果黑洞发出辐射，它会损失表面积从而失去熵，但是外部世界的熵会增加以弥补它。
所有这一切的结果既令人满意又令人深感困惑。说它令人满意是因为，对黑洞的研究导致了热力学定律的美丽延伸。起初，黑洞似乎违反了热力学定律，但最终我们意识到如果黑洞本身有熵和温度，那么热力学定律就依然适用。而令人困惑的是，在大多数情况下，熵是缺失信息的一种度量。在经典的广义相对论中，黑洞并不复杂，它可以用一些数值来描述，比如质量和电荷。但是如果黑洞有熵，则肯定会有一些缺失的信息。而经典的黑洞理论没有给我们提供任何线索来解释这些信息的本质。贝肯斯坦、霍金和昂鲁的计算也没有给我们任何暗示。
如果经典理论没有任何线索来解释这些缺失信息的本质，那么只有一种可能性，那就是我们需要黑洞的量子理论来揭示它。如果能把黑洞理解为一个纯粹的量子系统，它的熵就必须包含一些关于它自身的信息，而这些信息只有在量子层面上才会十分明显。所以我们现在可以提出一个只有量子引力理论才能解答的问题：被困在量子黑洞中的信息的本质是什么？当我们用不同方法继续探索量子引力时，请记住这个问题，因为量子引力理论对这个问题的回答可以作为对该理论一个很好的测试。
08
黑洞热力学4：空间的单位与有限的信息
在20世纪初，很少有物理学家相信原子学说，而现在凡受过教育的人几乎都相信原子学说。但是空间呢？如果我们取一立方厘米的空间，可以把每条边都分成两部分，从而得到8个更小的空间。当然，这种分割可以继续，永不停息。但是对于物质，可以分割的次数是有限的，因为最后会只剩下单个的原子。那么空间也是如此吗？如果我们持续分割它，最终会得到一个最小的空间单位，即一个最小的体积吗？还是我们可以永远继续下去，把空间分割得越来越小？我在前言中所描述的三条道路都支持这个问题的同一个答案，即空间确实有最小的单位。它比物质的原子小得多，然而，正如本章和其后三章将要论述的那样，我们有充分的理由相信，连续的空间和平滑的物质一样，都是一种错觉。当我们观察足够小的尺度时，会发现空间是由可以计数的东西构成的。
或许用离散客体把空间形象化是十分困难的。毕竟，为什么有些东西不能装进最小空间单位体积的一半呢？答案是，这是一种错误的思考方式，因为提出这个问题就是假设空间有某种绝对存在，万物都能适应。为了理解空间是离散的，我们必须将思维方式完全转变为关系思维，并真正地尝试去观察和感受我们周围的世界，它只是一个不断发展的关系网络。这些关系不是空间物体之间的关系，而是构成世界历史的事件之间的关系。关系定义空间，而非相反。
以这种观点来看，说世界是离散的是有意义的。这样会让人更容易理解，因为我们只需要设想有限数量的事件。我们很难想象由关系网络构建的平滑空间，因为这种想象要求空间中无论多么小的体积中的事件都存在无限数量的关系。就算没有其他的证据（确实有），离散的概念使时空的关系图更容易理解的事实也足以促使我们将时空视为离散的。
当然，到目前为止还没有人观察到空间的“原子”，也没有任何源自以空间是离散的为假设并且被实验证实的理论的相关预测。那么，为什么许多物理学家已经开始相信空间是离散的呢？因为现在的状况在某些方面类似于大多数物理学家开始相信原子存在的时期，也就是1890—1910年这20年的时间。第一个被承认使用最原始的基本粒子加速器探测到原子的实验，直到1911—1912年才完成。在那之后，大多数物理学家开始确信原子的存在。
目前，我们正处于物理学定律被改写的关键时期，一如1890—1910年这个时期，20世纪那场导致相对论和量子物理学诞生的物理学革命由此开始。致使人们接受原子存在的关键论点就是在那个时期形成的，最初被用来解释因物质和辐射是连续的这个假设而产生的悖论和矛盾。但真正发现原子的实验是后来才出现的，因为原子的概念化要求原子的发现源自实验结论的一部分。如果早在20年前就进行了这些实验，其结果甚至可能不会被视为原子存在的证据。
说服人们相信原子存在的关键在于理解控制热量、温度和熵的定律，即物理学中被称为热力学的部分。热力学定律中的第二定律我们已经讨论过了，它认为熵永远不会减少。第零定律（zeroth law of thermodynamics）认为，当一个系统的熵极高时，它就会达到一个统一的温度。二者之间的则是第一定律，它认为能量永远不会被创造或被消灭。
在19世纪的大部分时间里，大多数物理学家其实并不相信原子学说。即使化学家们发现了暗示原子存在的规律，即不同的物质以固定的比例结合，但物理学家们对此并不怎么感兴趣。直到1905年，他们中的大多数人都还认为物质是连续的，或者说验证原子是否存在的问题并非当时的科学所能解决的，因为即使原子存在，也永远无法被观测到。这些科学家以一种不涉及原子或其运动的形式发展了热力学定律。他们当时并不相信我在前几章中介绍的温度和熵的基本定义，即温度是随机运动能量的度量，而熵是信息的度量。相反，他们把温度和熵理解为物质的基本性质，即物质是连续的，温度和熵是其基本性质之一。
热力学定律不仅没有提到原子，19世纪这个理论的奠基人甚至还找到了原子和热力学之间没有关系的证据。因为，根据热力学第二定律，熵随时间增加，也就在时间上引入了不对称性。该定律还指出，未来不同于过去，因为未来是宇宙熵增加的方向。这些人还推断，如果原子存在，那么原子必须遵守牛顿定律，但在牛顿力学中，时间是可逆的。假设，你要根据牛顿定律制作一部一组粒子相互作用的电影，然后向一群物理学家展示这部电影两次，一次正常播放，另一次倒放。只要电影中粒子个数足够少，物理学家就无法确定时间的正确走向。
但是对于大而宏观的物体来说，情况就大不相同了。在我们生活的世界里，未来与过去有很大的不同，而这正是熵随时间而增加的定律所规定的。这似乎与牛顿的理论中“未来和过去是可逆的”这一事实相矛盾，所以许多物理学家拒绝相信物质是由原子构成的。直到20世纪的前几十年，才有了确凿的实验证明原子的存在。
温度是随机运动的能量的度量，而熵是信息的度量，这些概念都是热力学统计公式的基础。根据这一观点，普通物质是由大量原子构成的。这意味着人们必须从统计学的角度对普通物质的行为进行推理。根据统计力学（statistical mechanics）创始人的观点，人们可以用从牛顿定律推导出的热力学定律来解释关于时间方向的明显悖论，即热力学定律不是绝对的，它们描述了最有可能发生的事情，但总还是会有违背这些定律的事情发生，虽然可能性很小。
特别地，这些定律断言大多数时候大量的原子会以这样一种方式演化到一个更随机的、更无序的状态。这只是因为相互作用的随机性会冲击最初出现的任何组织或秩序。虽然这不一定会发生，但发生的可能性最大。一个经过精心设计的系统，或者包含了能够保存发生过的事情的记忆的结构，比如DNA这样的复杂分子，人们可以看到它从一个不那么有序的状态演化到一个更有序的状态的过程。
这个论点相当微妙，大多数物理学家经过了几十年才被说服。作为熵与信息和概率相关这一理论的创始人，路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）在1906年自杀身亡时，大多数物理学家还没有接受他的观点。无论玻尔兹曼的抑郁症是否与他的同事未能理解他的推理有关，玻尔兹曼的自杀至少产生了一些深远的影响：他说服了一位名叫路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）的年轻物理学学生放弃物理学，前往英国学习工程学和哲学。事实上，最终说服大多数物理学家相信原子存在的论据，是在一年前由当时在专利局任职员的阿尔伯特·爱因斯坦发表的。这个论据与统计观点允许热力学定律偶尔被违反有关。玻尔兹曼发现，对于包含无穷多个原子的系统，热力学定律是完全适用的。当然，在一个给定的系统中，比如玻璃杯中的水，原子的数量是非常大的，但它不是无限的。爱因斯坦意识到，对于包含有限数量原子的系统，热力学定律偶尔会遇到反例。由于玻璃杯中原子的数量很大，这些影响很小，但在某些情况下仍然可以被观察到。利用这一事实，爱因斯坦发现了可以观测到原子运动的方式。在显微镜下观察，花粉会随意地在周围跳动，因为它是被与之碰撞的原子所振动的。由于每个原子的大小有限，能量有限，所以虽然原子因本身太小而不能被看见，但它们与花粉颗粒碰撞时产生的振动却能被看到。
这些论据成功说服了爱因斯坦和其他一些人，比如他的朋友保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest），后者将同样的推理应用于光。根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在1865年发表的理论，光由穿过电磁场的波组成，每个波携带一定的能量。爱因斯坦和埃伦费斯特则想知道是否能利用玻尔兹曼的理论来描述烤箱内部的光的特性。
当烤箱壁上的原子被加热并产生振动时，就会发出光。那么这里的光是热的吗？它有熵和温度吗？令所有人都深感困惑的是，他们发现，除非光在某种意义上也由原子组成，否则就会出现可怕的不一致性。每一个光原子，或者他们所谓的量子，必须携带一个与光的频率有关的能量单位。这就促成了量子理论的诞生。
关于这个故事的讲述就到此为止了，因为它是一个非常曲折的故事。爱因斯坦和埃伦费斯特在他们的推理中应用的一些结果是由马克斯·普朗克（Max Planck）早些时候发现的，马克斯·普朗克在5年前就研究了热辐射问题。正是在这项工作中，著名的普朗克常数首次被提出。但是普朗克是那些既不相信原子也不相信玻尔兹曼理论的物理学家之一，所以他对自己的研究结果非常困惑，甚至在某种程度上有些矛盾。不仅如此，他还做出了一个复杂的论证来证明光子不存在。所以，量子物理学的诞生更多应该归功于爱因斯坦和埃伦费斯特。
讲这个故事是为了更好地理解热力学定律，该定律促使我们对原子物理学的理解迈出了关键的两步。这些论证使物理学家相信原子的存在，也首次发现了光子的存在。这两步都是由年轻的爱因斯坦在同一年推动的，事实上这并非巧合。
现在，我们可以重新回到量子引力，特别是量子黑洞。我们由前几章已经知道黑洞是可以用热力学定律描述的系统。因为它们有温度和熵，也服从熵增定律的延伸。这里我们就要提出几个问题：黑洞的实际温度是多少？黑洞的熵到底描述了什么？最重要的是，为什么黑洞的熵与视界的面积成正比？
对物质的温度和熵的探索导致了原子的发现。对辐射的温度和熵的研究导致了量子的发现。同样，对黑洞的温度和熵的探索导致了空间和时间“原子结构”的发现。
设想一下，一个黑洞与由原子和光子组成的气体相互作用。黑洞可以吞噬原子或光子。但是当它这样做的时候，黑洞外区域的熵就会减小，因为熵是关于那个区域的信息的度量，如果原子或光子更少，那么对气体可能的了解就会更少。为了弥补这一缺陷，黑洞的熵必须增加，否则就会违反熵永远不会减少的定律。由于黑洞的熵与视界的面积成正比，其结果必然是视界扩大了一点。
的确，这就是事实。当然这个过程也可以反过来：视界缩小一点，则意味着黑洞的熵减少。为了弥补，黑洞外的熵必须增加。要做到这一点，黑洞必须在外部产生光子，这里的光子也就构成了霍金预言的黑洞应该发出的辐射。光子是热的，所以它们可以携带熵来补偿视界的缩小。
为了遵循熵不减少的定律，黑洞外原子和光子的熵和黑洞本身的熵之间的平衡不断受到冲击。我们据物质由原子构成的观点来理解黑洞外的熵，它应该与信息的缺失有关。黑洞本身的熵似乎与原子或信息无关，它只是与空间和时间的几何关系有关的量的度量，与黑洞视界的面积成正比。
在两个完全不同的事物之间维持平衡或交换的规则是不完整的。这就好像我们有两种货币，一种是有价值的、有实体的，比如黄金，而另一种就只是一张纸。假设我们可以自由地把这两种货币混合进银行账户，那么这样的经济就会建立在矛盾的基础之上，无法长久。类似的，一个物理定律，允许信息转换成几何，反之亦然，但没有解释原因的话也不会存在很长时间。因此，在对等的基础上一定有更深刻但也更简单的东西。
这就提出了两个深刻的问题：
· 在空间和时间的几何结构中是否存在原子结构，以便能使我们以与理解物质的熵完全相同的方式来理解黑洞的熵，并将其作为关于原子运动的信息的度量？
· 当我们理解几何的原子结构时，视界的面积与它所隐藏的信息量成正比的原因还明显吗？
自20世纪70年代中期以来，这些问题已经激发了大量的研究。在接下来的几章中，我将解释为什么物理学家越来越一致地认为这两个问题的答案必须是肯定的。
圈量子引力理论和弦理论都断言空间有原子结构。在接下来的两章中，我们将看到圈量子引力理论实际上相当详细地对原子结构进行了描述。从弦理论得到的原子结构图景目前还不完整，但是，正如我们将在第11章 中看到的，弦理论仍然无法回避空间和时间必须有原子结构这一结论。在第13章中，我们将发现有两幅空间原子结构的图景都可以用来解释黑洞的熵和温度。
但是，即使没有这些详细的图景，也有一个普遍论点，仅仅基于我们在前几章中学到的东西可以得出，空间必须有一个原子结构。这个论点基于一个简单的事实，即视界有熵。在前面的章节中，我们已经知道黑洞的视界本身和加速观察者所经历的视界是相同的。在每种情况下，都有一个隐藏的区域，在这个区域内，信息会被捕获，外部观察者无法触及。而由于熵是缺失信息的一种度量，在这种情况下，与视界相关的熵是合理的，视界是隐藏区域的边界。但最值得注意的是，用熵来度量的信息缺失量有一个非常简单的形式，用普朗克单位表示，它等于视界面积的四分之一。
信息的缺失量取决于被困区域的边界的面积，这是一条非常重要的线索。如果我们把这种依赖关系和第4章 的时空概念结合起来，即时空是由从过去到未来传递信息的过程构成的，它就变得更加重要了。如果表面可以被看作信息从一个空间区域流向另一个空间区域的一种通道，那么表面的面积就是它传递信息能力的一个度量。这非常具有启发性。
同样奇怪的是，被捕获的信息数量与边界面积成正比。因为，如果在一个区域内可以被捕获的信息量与其体积而非面积成正比，也许会更加自然。无论边界的另一边是什么，都被困在了隐藏区域中，在边界的单位面积上，它只能包含有限数量的“是／否”问题的答案。这似乎是说，黑洞的视界面积是有限的，它只能容纳有限的信息。
如果这是对我上一章描述的结果的正确解释，则足以证明世界必然是离散的，因为给定的空间体积是否在视界后面取决于观察者的运动。对于任何体积的空间，我们都可以找到一个加速远离它的观察者，从而使这个区域成为观察者隐藏区域的一部分。由此我们可以得知，在这个体积中，没有比我们讨论的极限更多的信息了，因为边界的每个单位面积的信息是有限的。如果这是正确的，那么任何区域都不能包含超过有限数量的信息。但如果世界真的是连续的，那么每单位体积的空间都将包含无限数量的信息。在连续的世界里，即使是一个电子的位置，也需要无限的信息来准确描述。这是因为位置是由实数给出的，而大多数实数需要无穷位数来描述它们。如果把它们的小数展开式写出来，则有无穷位数。
实际上，可能存储在视界后面的最大信息量是巨大的，每平方厘米有1066比特信息。到目前为止，还没有实际的实验接近这个极限。但是，如果我们想在普朗克尺度上描述自然，则肯定会遇到这个限制，因为每4个普朗克区域只允许我们谈论1比特信息。毕竟，如果限制是每平方厘米1比特信息，而不是每平方普朗克区域1比特信息，那么我们很难看到任何东西，因为那样我们的眼睛一次最多只能对一个光子做出反应。
20世纪的物理学中许多重要的原理都被表达为我们认知的局限。爱因斯坦的相对论（它是伽利略原理的延伸）指出，没有任何实验能区分静止和匀速运动。海森堡不确定性原理指出，我们不可能同时准确知道粒子的位置和动量。这些局限告诉我们，对于我们可获得的视界另一边所包含的信息，存在着绝对的限制，它被称为贝肯斯坦界。20世纪70年代，雅各布·贝肯斯坦发现黑洞熵之后不久，写了一篇论文，发表了有关贝肯斯坦界的观点。
奇怪的是，在贝肯斯坦的论文发表后的20年里，似乎很少有人认真对待这个问题，尽管从事量子引力研究的人已经意识到这一结果。虽然使用的论据很简单，但雅各布·贝肯斯坦却遥遥领先于他的时代。事实上，信息的确是有绝对限制的，它要求每个空间区域最多包含一定数量的信息，但是这种观点对当时的人们来说还是过于震惊以至于无法认同。这与空间是连续的观点相矛盾，因为这一观点认为每个有限的体积可以包含无限的信息。在贝肯斯坦界被认真对待之前，人们必须用其他方法来解释为什么空间应该有一个离散的原子结构。要做到这一点，我们必须学会用尽可能小的尺度来研究物理。
09
圈量子引力1：对空间的计量
研究量子引力的第一个途径是圈量子引力理论，它详细描述了空间和时空的原子结构。这一理论提供的不仅仅描述世界的图景，它还精确地预测了在普朗克尺度上探测空间几何将会观察到什么。
根据圈量子引力理论，空间是由离散的原子构成的，每个原子的体积都非常小。与普通的几何形状不同，这里给定的区域不能是任意大小，而必须是有限的一组数字中的一个。这正是量子理论对其他物理量的影响：一些根据牛顿物理学应取连续值的物理量，在量子理论中被限制为只能取某一有限数集合中的数，比如原子中电子的能量以及电荷的值。因此，空间的体积被预测是量子化的。
这样就会产生一个最小的体积单位。这个最小的体积单位非常之小，例如一个顶针就能包含大约1099个最小体积单位。如果你想把这么大的体积减半，你不会得到两个一分为二各占一半体积的空间，相反，这个过程将创建两个新区域，它们加在一起的容量将比之前更大。或者可以这样说，试图测量小于最小尺寸的体积单位会改变空间的几何形状，从而产生更多的体积。
体积并不是在圈量子引力理论中唯一被量化的量。任何区域都是由边界包围的，边界的面积以平方厘米为单位。在经典几何中面积可以是任意大小。然而，圈量子引力理论中却存在一个最小的单位面积。与体积相同，该理论将一个表面的面积限制为一组有限的值。在这两种情况下，面积和体积的数值间距，即普朗克长度的平方和立方的间距很小。所以我们会产生错觉，认为空间是连续的。
这些预测可以通过用普朗克尺度来测量物体的几何形状进行证实或反驳。但是由于普朗克尺度太小，所以要进行这些测量很难，不过也不是不可能，我会在适当的时候解释这一点。
在这一章和下一章中，我将讲述圈量子引力理论是如何从一些简单的想法发展成在最小尺度上对时间和空间的详细描述的。这些章节可能会比其他章节更具叙述性，因为我会从个人经验的角度来描述该理论发展过程中的一些情节，这样做主要是为了举例说明那些使科学思想得以发展的复杂而又出乎意料的方式。这只能通过讲故事来传达，但我必须强调，这里有很多故事。我猜弦理论的发明者会有更好的、更具戏剧性的故事。同时，我也要强调，我并不希望这些章节单单讲述圈量子引力理论的发展史，我相信每个研究这个理论的人都会以不同的方式讲述这个故事。我所讲的故事很粗略，省略了很多理论发展过程中的具体情节和步骤，遗漏了许多曾经对这个理论做出过重要贡献的人。
圈量子引力理论的故事真正开始于20世纪50年代，最初的想法来自一个完全不同的学科——超导体物理学。物理学是这样的，有些真正好的想法是从一个领域传递到另一个领域的。金属和超导体等材料物理学一直是有关物理系统研究的丰富理论来源。因为在这些领域中，理论和实验之间存在着密切的相互作用，这使发现物理系统新规则成为可能。基本粒子物理学家无法直接探测他们所模拟的系统，因此在某些情况下，我们为了寻找新思路而借助了材料物理学。
超导性是一种特殊的“相”，处于这种相的某些金属的电阻可以降到零。当金属冷却到所谓的临界温度（critical temperature）以下，就能变成超导体。这个临界温度通常很低，只比绝对零度高一点。在这个温度下，金属发生相变，就像冻结一样。虽然它本来就是固体，但它的内部结构还会因此发生巨大的变化，使电子从原子中释放出来，并毫无阻力地穿过原子。自20世纪90年代初以来，人们一直在努力寻找在室温下具有超导性的材料。如果能找到这种材料来大大降低供电成本，将产生深远的经济影响。但我想讨论的这些想法可以追溯到20世纪50年代，当时人们第一次了解到简单的超导体的工作方式。开创性的一步是约翰·巴丁（John Bardeen）、莱昂·库珀（Leon Cooper）和约翰·施里弗（John Schrieffer）提出了BCS超导理论。他们的发现非常重要，不仅影响了后来材料理论的发展，也影响了基本粒子物理和量子引力的发展。
你可能还记得你在学校用磁铁、纸张和一些铁屑做的简单实验。把一张纸放在磁铁上方，然后将铁屑铺到那张纸上，将磁场可视化，你会看到一系列的曲线从磁铁的一端延伸到另一端（如图9-1所示）。正如你的老师可能告诉你的那样，磁场线的明显离散是一种错觉。在本质上，它们是连续分布的。因为铁屑的大小有限，所以它们看起来只是一组离散的线。然而，有一种情况下，磁场线确实是离散的。这种情况就是，如果你让磁场穿过超导体，磁场就会分裂成离散的磁通线，每条磁通线都带有一个基本的磁通量单位（如图9-2所示）。实验表明，通过超导体的磁通量始终是这个基本单位的整数倍。
图9-1 普通磁铁两极之间的磁场线
图9-2 磁通量
超导体的磁场分裂成离散的磁通线，每条磁通线都承载着一定数量的磁场。
超导体中的磁场线呈离散状态分布是一个非常奇妙的现象。它既不同于电荷的分立性，也不同于物质的离散性，因为它跟一个携带力的场有关。而且，由于它依赖于材料性质以及通过的磁场，所以看起来我们可以随意让它产生或者消失。
同样，电场也有电场线，虽然没有铁屑实验让其可视化。但在已知的所有情况下，电场线都是连续的，目前还没有发现类似于超导体的材料来将电场线分裂成离散的单元。但我们仍然可以想象有一个电子超导体，其电场的电场线会被量子化。这个想法很成功地解释了另一个看似不相关的研究课题的结果：实验表明，质子和中子都是由三个叫作夸克的小实体组成的。
我们有足够的证据证明质子和中子里面有夸克，就像原子里面有电子、质子和中子一样。不过区别在于，夸克似乎被困在质子内部。没有人见过夸克在质子、中子或其他粒子外自由运动。从原子中释放电子是很容易的，因为只要提供一点能量，电子就会跳出原子自由移动。但是还没有人找到从质子或中子中释放夸克的方法。我们认为夸克是被禁闭的（confined）。接下来需要了解的是，是否有一种力像电场作用于原子核周围的电子一样让夸克永远出不来。
许多不同的实验告诉我们，把夸克凝聚在质子中的力与电场力非常相似。我们知道力是由线组成的场传递的，就像电场线和磁场线。这些线连接夸克携带的电荷，就像电场线连接正负电荷一样。然而，夸克之间的力比电场力复杂得多，因为电场力只有一种电荷，而夸克之间的力有三种不同的电荷，每一种都可以是正的或负的。这些不同的电荷被称为色荷（color charge），所以描述它们的理论被称为量子色动力学（QCD）。这与普通的颜色无关，只是一个生动的术语，提醒我们有三种电荷。想象一下，两个夸克由一些彩色电场线连接在一起（如图9-3所示）。实验表明，当两个夸克非常接近时，它们几乎可以自由运动，彼此之间的力并不是很强。但如果试图分离这两个夸克，将它们结合在一起的力就会上升到一个恒定值，无论它们相距多远，这个值都不会下降。这与随着距离的增加而变弱的电场力有很大的不同。
图9-3 夸克间的力
夸克是由场的量子化通量线组成的弦连接在一起的，这个场被称为QCD场，类似于超导体中的量子化磁通线（如图9-2所示）。当两个夸克被拉得离彼此更远时，磁通线就会被拉伸，但夸克之间的力无论相距多远都是一样的，因此夸克不能被分开。
用一个简单的方法来描述。假设两个夸克由一根弦连接，而这个弦有一个特殊的属性，它可以被拉伸到我们想要的任何长度。要分离夸克，我们必须拉伸弦，而拉伸需要能量。无论弦已经被拉了多长，我们都需要投入更多的能量来拉伸它。为了把能量注入弦，我们必须用力拉它，这意味着夸克之间有一个力。无论夸克相距多远，要想把它们拉得更远，你必须把弦拉得更长，这意味着它们之间总有一个力（如图9-3所示），无论它们相距多远，它们仍然通过弦连接在一起。这个把夸克连接在一起的力的描述非常成功，并解释了许多实验的结果。但它也带来了一个问题：弦是由什么构成的？它本身是一个基本实体，还是由更简单的东西组成？这也是几代基本粒子物理学家一直致力于解答的问题。
这里有一个很好的线索，两个夸克之间的弦就像超导体中的磁通线。它表明了一个简单的假设：也许真空很像超导体，只不过最终离散的是使夸克色荷结合在一起的力线，而不是磁通线。在这个假设中，夸克上色荷之间的力线类似于电场而不是磁场。因此，这个假设可以非常简洁地表述为：真空是一种色荷超导体。这是近几十年来基本粒子物理学中最具开创性的观点之一。它解释了为什么夸克被限制在质子和中子中，以及关于基本粒子的许多其他事实。但真正有趣的是，尽管这个想法听起来很清楚，却包含着一个谜题，因为它可以用两种完全不同的方式来看待。
我们可以把色电场看作基本实体，然后试着理解夸克之间拉伸的弦的图像，因为空间具有某种特殊属性，使它类似于超导体的电子形式。这是那些研究QCD的物理学家所采取的路线。对他们来说，关键问题是理解为什么真空具有使其在某些情况下表现得像超导体的特性。这并没有听起来那么疯狂。正如第6章 所讨论的那样，在量子理论中，空间被视为充满振荡的随机场。所以，我们可以想象这些真空波动有时会像金属中的原子那样，导致像超导这样的大规模效应产生。
不过，还有另一种方法来解释夸克是由拉伸的弦连接在一起的。按照这种方法，弦本身被看作基本实体，而不是由某种场的力线组成。这个解释构成了弦理论的雏形：弦是基础，场只是弦在某些情况下的行为的一个近似的图像。
我们有两种不同的观点。一种认为弦是基本的，场线是一个近似的图像。而另一种则认为场线是基本的，弦是派生的实体。两种观点都被研究过，并且都在解释实验结果方面取得了一些成功。但是真的只有一个是正确的吗？20世纪60年代人们只有一种图景，即弦理论。在这段时间里，一些物理学家播下了种子，20年后，弦理论作为一种可能的量子引力理论被提出。QCD是在20世纪70年代被提出的，并且很快就取代了弦理论，因为QCD作为一种基本理论显得更成功。不过，弦理论在20世纪80年代中期得到复苏。现在，我们进入了21世纪，这两种理论都得到了蓬勃发展。也许其中一个比另一个更根本，但我们还不能确定究竟是哪一个。
也许还有第三种可能，即弦和场是看待同一事物的不同方式。这样理解的话，任何实验都无法验证弦或场谁才是根本的。这种可能性引起了许多理论物理学家的兴趣，因为它挑战了我们思考物理学的一些最深层的本能。它被称作二象性假说（hypothesis of duality）。
我要强调的是，这个二象性假说与量子理论中的波粒二象性是不一样的，但它和波粒二象性原理或相对论原理一样重要。正如相对论和量子理论的原理一样，二象性假说告诉我们，两种看似不同的现象可能只是描述同一事物的两种方式。如果这是真的，那么它将对我们理解物理学产生深远的影响。
