二象性假说也解决了自19世纪中期以来困扰物理学界的一个问题，即世界上似乎有两种东西：粒子和场。这种二元论的描述似乎是必要的，因为我们自19世纪以来就知道，带电粒子之间不直接相互作用，而是通过电场和磁场相互作用。这是许多现象背后的原因，包括信息在粒子之间传播的速度有限这一现象，其原因就是信息通过场中的波传播。
许多人一直困扰于需要假设两种截然不同的实体来解释世界。19世纪，人们试图用物质来解释场，这就是著名的以太理论，而爱因斯坦成功地推翻了这个理论。现代物理学家试图用场来解释粒子，但这并不能解决所有问题，其中最无法被解释的一些问题与场理论中充满无限量有关。它们的产生是因为带电粒子周围的电场强度随着距离粒子越来越近而增加。但是粒子没有大小，所以人们可以随心所欲地接近它。因此，在接近粒子时场强趋于无穷。这就是现代物理学中出现许多无限表达式的原因。
有两种方法可以解决这个问题，并且两者都在量子引力中占有重要地位。一种方法是否认空间是连续的，这样就不可能无限接近一个粒子。另一种方法是二象性假说，即用弦代替粒子。这可能会起作用，因为从远处看，人们无法真正分辨某个东西是点还是小圈。但如果二象性假说是真的，那么弦和场就可能是看待同一事物的不同方式。这样，通过接受二象性假说，那几个困扰了我们近两个世纪的物理学难题就可以得到解决。
我个人是相信这个假说的。究其原因，跟我在1976年进入研究生院前后参加的两个研讨会有关。我在哈佛大学面试的那天，肯尼思·威尔逊（Kenneth Wilson）碰巧在哈佛大学做一个有关QCD的演讲。威尔逊是最具影响力的理论物理学家之一，他贡献了多项创新，也包括那次演讲的主题。在那次演讲上，他提出了一种不同寻常的方法来理解真空超导体的图像，这对包括我在内的许多物理学家的工作产生了重大影响。
威尔逊要求我们假设空间不是连续的，而是一种用线将点按规则排列的图（如图9-4所示）。我们称这样的正则图为格点。他告诉我们格点的节点之间的距离非常小，比质子的直径小得多，所以从实验中很难判断格点是否存在。但从概念上讲，是把空间看作一个离散的格点还是连续介质是有很大区别的。威尔逊通过在格点上画出电场线，向我们展示了一种非常简单的描述QCD的色电场的方法。他没有试图证明真空就像超导体，而是简单地假设场线是可以在格点中移动的离散实体。他还写下了一些简单的规则来描述它们如何移动和相互作用。
图9-4 格点示意图
夸克和弦是由肯尼思·威尔逊提出的。空间被想象成由边缘连接在一起的节点构成的格点。夸克只能存在于格点的节点上。弦，或者说是场通量的量子化管，用来连接夸克，但它只能存在于格点的边上。假定节点之间的距离是有限的，但比质子小得多。为了简单起见，这里显示的格点只画在二维空间中。
然后，肯尼思·威尔逊以完全相反的方向与所有之前研究过这些问题的人进行了辩论。他指出，如果有一种类似于普通电的电荷，那么它的电场线会倾向于以这样一种方式组合在一起，即当电场线变得很长时，它们就会像普通电场线一样失去离散性。威尔逊以他的理论为基础得出了这个世界的一般性经验，而非相反。但是像夸克这样有三种电荷时，不管它们有多大，电场线都会保持离散，而且夸克之间有一个恒定的力。威尔逊理论的规则非常简单，甚至是孩子都能理解。
从那以后，威尔逊圈（Wilson’s loops）成为我理论物理学研究的一大主题。我不记得后来研讨会上发生了什么，但这个演讲仍然历历在目，以至于多年后我头脑中逐渐形成一个简单的论点：如果在假设空间是离散的而不是连续的前提下描述物理学要简单得多，那么这个事实本身难道不是空间是离散的有力论据吗？如果是这样的话，那么在很小的尺度上，空间是不是真的就像威尔逊的格点？
第二年秋天，我开始读研究生，之后有一天我发现理论家群体中发生了一阵骚动。那天下午，俄罗斯裔理论家亚历山大·波利亚科夫（Alexander Polyakov）来访并准备发表演讲。在我印象中，他散发着令人放松的温暖和亲近感，但背后隐藏着无限的信心。
他一开始就告诉我们，他一生都在追求一种愚蠢而不切实际的愿景，希望找到一种重新表达QCD的形式，使其得到准确的解释。他的想法是将QCD完全重新定义为一种线和色电通量圈的动力学理论。这实际上和威尔逊圈是一样的，而且波利亚科夫已经独立地在离散格点上创造了QCD的图像。但在这次研讨会上，他没用格点来做解释，而是尝试从理论中引申出一个描述，在这个描述中，量子化的电通量圈是基本实体。物理学家在没有格点的情况下工作就像一个没有网的空中飞人艺术家在表演，任何一个错误的举动都会带来致命的后果，并且永远都是这样。只不过在物理学中，死亡是由无数荒谬的数学表达式代替的。如前所述，所有基于连续空间和时间的量子理论中都会出现这种表达式。在研讨会上，波利亚科夫指出，尽管如此，人们仍然可以赋予电通量圈以物理意义。如果他没能完全成功地解出所得的方程，那么他的研讨会就只是对二象性假说（弦和电场线同样根本）的一种信心的表达。
对偶性仍然是基本粒子物理和弦理论研究的主要驱动力。对偶性是一种非常简单的观点，即从弦的角度和场的角度来看待同一事物。但是到目前为止，还没有人能够证明对偶性在普通QCD中是适用的，不过它已被证明在非常特殊的简化假设理论中是有效的。这些理论要么把空间的维数从3降为1，要么额外增加了大量的对称，使理论非常易于理解。即使对偶性还没有解决最原始的问题，它也已经成为量子引力的核心概念。这是个非常典型的事例，它告诉我们优秀的科学思想是如何从其源头传播出去的，威尔逊和波利亚科夫也许根本不曾想过他们的思想会被应用于量子引力理论。
许多优秀的思想都是如此，需要多次尝试才能成功。基于我从威尔逊和波利亚科夫那里听到的东西，以及研究生第一年从杰拉德·特·胡夫特、迈克尔·佩斯金（Michael Peskin）和斯蒂芬·申克（Stephen Shenker）那里得到的关于格点理论的启发，我开始用威尔逊的格点理论构建量子引力。利用从他们那里借鉴来的一些想法，我花了一年左右的时间学习波利亚科夫、威尔逊和其他人开发的各种技术，并把这些技术应用到我的量子引力研究中，由此构建出一个理论。当时我写了一篇长论文，发出去后焦急地等待着回应。但像平常一样，唯一的回应就是一堆远方来的复印文章的请求。曾几何时，我们还在用IBM电动打字机打论文，在地下室请专业人员画插图，然后把各自的副本塞进信封，邮寄出去。如今，我们已经能够在笔记本电脑上写论文，然后把它们上传到电子档案中，在互联网上可以立即下载和查看这些文件。现在的学生可能都没见过IBM电动打字机或需要预印的明信片，许多人甚至从来没有去图书馆在杂志上读过一篇论文。
几个月后，我意识到那篇论文的观点基本上是错的，但那是一次勇敢的尝试，只是存在致命的缺陷。尽管如此，我还是因此收到了一些会议邀请。当受邀在斯蒂芬·霍金组织的一个会议上做演讲时，我曾借机解释了为什么建立一个格点引力理论并不明智，但我也认为霍金并不赞同。有些人似乎很喜欢这个主意，但我不知道我还能做什么，因为我觉得它并没有那么好，我也有责任解释原因。
在另一次会议上，我在一个叫阿肖克·达斯（Ashok Das）的人的邮箱里留了一份论文副本，他曾告诉我他有兴趣做类似的研究。量子引力研究之父布赖斯·德威特（Bryce DeWitt）恰好也在同一个邮箱里收取他的信件，并以为我的论文是给他的。他肯定看到了我这篇论文的所有缺点，但还是好心地邀请我作为博士后加入他的团队，因此我的事业要归功于布赖斯的错误。当时他告诉我，从事量子引力的研究是自毁前程，因为这很难找到工作。
我那篇论文的错误之处在于，认为威尔逊的格点是一个绝对的、固定的结构，与爱因斯坦的引力理论的关系本质相冲突。所以我的理论不包含引力，与相对论毫无关系。但是要解决这个问题，格点本身就必须成为一个动态结构，可以随时间变化。我从这次失败的尝试中得到的教训是，一个人不可能从在固定背景下运动的物体的角度建立一个成功的量子引力理论。
也是在那段时间，我遇到了朱利安·巴伯（Julian Barbour），一位住在牛津附近一个小村庄的物理学家和哲学家。朱利安在获得博士学位后离开了学术界，以便能够自由地思考空间和时间的本质。他通过将俄语的科学期刊文章翻译成英语来维持生计。远离通常的学术生活压力后，他利用自己比较强的语言技能，广泛阅读并深入研究了人类理解时间和空间的历史，明白了空间和时间相互联系这一观点的重要性，然后他将这一智慧结晶应用到了现代物理学中。我相信他是深入理解这个观点在爱因斯坦相对论的数学结构中所起的重大作用的第一人。在一系列论文中，他先是独自一人，然后与意大利朋友布鲁诺·贝尔托蒂（Bruno Bertotti）一起，展示了如何用数学方法阐述一个理论，在这个理论中，空间和时间只不过是关系的某个方面。如果莱布尼茨或其他任何人在20世纪之前这样做，就会改变科学的进程。
还好，广义相对论已经存在了，但奇怪的是它却被广泛地误解了，甚至被许多专门研究它的物理学家误解了。广义相对论通常被认为是制造时空几何学的机器，因此大众对待广义相对论的方式就像牛顿对待他的绝对时空一样，认为时空是固定的和绝对的实体，物体在其中运动。接下来要回答的问题是，在这些绝对的时空中，哪一个描述了宇宙？这和牛顿的绝对时空的唯一区别在于，牛顿的理论对时空没有选择，而广义相对论提供了可选的时空。这个理论在一些教科书中就是这样表述的，甚至有些本该对此很清楚的哲学家，似乎也是这样理解的。朱利安·巴伯所做的重要贡献就是向大家证明这完全不是理解该理论的正确方法。相反，这个理论必须被理解为一种对关系网络的动态演化的描述。
朱利安当然不是唯一一个以这种方式看待广义相对论的人，约翰·施塔赫尔（John Stachel）也这么认为，他还通过自己负责的项目工作，收集爱因斯坦的论文并出版。朱利安开始研究广义相对论时有着其他人没有的工具，即一个描绘了空间和时间只不过是动态演化的关系的数学公式。之后，朱利安解释了爱因斯坦的广义相对论为何被理解为动态演化的网络。这个论证揭示了广义相对论中描述空间和时间的关系本质。
从那以后，大多数从事相对论工作的人都知道了朱利安·巴伯。最近，由于他关于时间本质的激进理论的发表，他变得更加广为人知并且受人赞赏。但在20世纪80年代初，几乎没有人知道他的工作，我却很幸运地在意识到格点引力理论陷入困境后不久见到了他。在那次会面中，他向我解释了广义相对论中空间和时间的意义，以及关系概念在其中的作用。这让我从概念上理解了为什么我的计算显示引力在我构建的理论中无处可寻。因此，我需要做的就是发明一种类似威尔逊格点的理论，这种理论中，格点应该是不固定的，所有的结构都应该是动态的和相关的。由边连接的一组点，也可以理解成一个图，是由关系定义的系统的一个很好的例子。我曾做错的是把理论建立在一个固定的图上。实际上，理论应该生成图，而不是反映任何预先存在的几何或结构。它应该按照威尔逊在他的格点上的圈运动中给出的那样简单的规则演化。过了10年，这一方法才初现雏形。
在那10年里，我花了大量时间尝试应用粒子物理学的各种技术来解决这个问题，但都以失败告终。这些技术都是依赖于背景的，因为它们都建立在经典的时空几何之上，并研究量子化的引力波，即引力子如何在背景上运动和相互作用。我们还尝试了很多不同的方法，但都失败了。除此之外，我还写了几篇关于超引力的论文。超引力是由我的一位顾问斯坦利·德塞和其他一些人发明的一种新的引力理论。此后，我写了几篇关于黑洞熵含义的论文，对其与量子力学基础问题的联系做了各种各样的推测。现在看着这些论文，我觉得这是自己这些年做的唯一有趣的事情，但我不知道有多少人读过它们。当然，将量子黑洞的思想应用到量子理论的基本问题上，年轻人对此并不感兴趣，且其本身也没有什么市场。
回首过去，我对自己为什么还能继续这一事业感到困惑。有一个原因是肯定的，当时从事量子引力研究的人很少，所以几乎没有竞争。虽然我并没有取得任何进展，但人们至少对我的那部分工作感兴趣，即尝试在量子引力学中应用从粒子物理中学到的技术，但是我不得不说，这些做法都不够明智。其他人也没有走得太远，所以这对于那些喜欢尝试新事物而不愿追随长者研究项目的人，或者那些喜欢从一个领域获取创意并将其应用到另一个领域的人来说，还有很大研究空间。但是，我非常怀疑我是否能在当今这个竞争激烈得多的环境中找到工作，因为在这个环境中，话语权通常掌握在权威专家的手中，他们确信自己在用正确的方法研究量子引力。这让他们——或许我应该说“我们”，因为我现在也是雇用博士后的人之一，觉得有理由利用年轻研究员对我们自己的研究项目表现出的热情来衡量他们的能力。
对我，对很多在这个领域工作的人来说，转折点发生在弦理论作为一种可能的量子引力理论复兴之时。下一章会讲到弦理论。现在我只能说，在经历了研究量子引力的一系列错误方法的尝试和失败后，我和其他许多物理学家对弦理论相当乐观。与此同时，我也完全相信，如果一个理论建立在固定的背景时空中运动的物体上，那它就不可能成功。无论弦理论在解决某些问题上多么成功，它仍然是一种类似的理论。它与传统理论的区别仅仅在于，背景中运动的物体是弦而不是粒子或场。所以对我和其他一些人来说，很明显弦理论可能是向量子引力理论迈出的重要一步，但它不可能是完整的理论。但无论如何，弦理论都改变了我的研究方向。因此，我开始尝试寻找一种方法来构建一种背景独立的理论，这种理论可以简化为弦理论，也就是在时空被视为固定背景的情况下有用的近似理论。
为了寻找这项研究的灵感，我回想起了波利亚科夫那场让时为研究生的我十分兴奋的研讨会。我想知道我是否可以使用他的方法，尝试以色电通量的圈为基本对象来描述QCD。我需要一个合我胃口的理论，其中没有格点存在，恰巧他的工作中也没有格点。我和路易斯·克兰按照这个思路合作了一年。当时我是芝加哥大学的博士后，路易斯·克兰是研究生。他比我年长，但实际上他是一个神童，也许还是芝加哥大学在他们十几岁时录取的一系列杰出的科学家和学者中的最后一个。他曾因领导一次反对入侵柬埔寨的罢工而不幸被开除，并且花了十年的时间才重新回到研究生院。从那以后，路易斯成了为数不多的数学家之一，这些数学家对量子引力理论的发展做出了重大的创造性贡献。他的一些贡献对这一领域的发展绝对具有开创性。当时我很幸运能成为他的朋友，现在也一样。
路易斯和我做了两个项目。在第一个项目中，我们试图阐述一个基于量子化电通量圈的相互作用动力学的引力理论。但我们没能建立一个弦理论，所以也没有就此发表任何论文，但毫无疑问，这些工作没有白做，其对后续研究产生了很大影响。在第二个项目中，我们尝试展现，一个时空在小尺度上离散的理论可以解决很多量子引力的问题。为了做到这一点，我们仔细研究了时空结构就像普朗克尺度上的分形一样的假设的含义。这种假设消除了不确定性，使理论成为有限，从而克服了量子引力的许多困难。我们在工作中意识到，制造这种分形时空的一种方法就是在一个相互作用的圈网络中构建它。与路易斯·克兰的两次合作都让我相信，我们应该尝试构建一个基于演化的圈网络之间关系的时空理论。问题是，我们应该怎么做？
这就是当时的情形，当一个彻底颠覆我们对爱因斯坦广义相对论的理解的发现呈现在我们面前时的情形。
10
圈量子引力2：节点、连接和扭量
在我与路易斯共事的那一年，一位名叫阿米塔巴·森（Amitaba Sen）的年轻博士后发表了两篇论文，让许多人感到兴奋和困惑。因为阿米塔巴·森正在尝试从超引力中创造一个量子理论，所以我们带着极大的兴趣阅读了他的两篇论文。论文中嵌入了几个引人注目的方程，其中爱因斯坦的引力理论被一套比爱因斯坦用过的更简单、更漂亮的方程表达了出来。我们几个人花了很多时间讨论，如果找到一种方法将量子引力建立在这些简单得多的方程上，将会怎样。但那会儿我们什么都没做。
唯一认真对待阿米塔巴·森的方程的人是阿布海·阿希提卡。他是经典相对论的支持者，在职业生涯早期，在这方面做过重要贡献，但后来他把研究重心偏向了量子引力理论。阿布海倾向于数学方法，他发现阿米塔巴·森的方程包含了爱因斯坦广义相对论重新表述的核心，在此基础上，一年后他真的建立了广义相对论的新表述。两个影响由此产生：它极大地简化了这个理论中的数学，并且用数学语言进行了表述，而这种数学语言与QCD中用过的语言非常接近。这正是将量子引力转化为一门真正的学科所需要的。在这门学科中，量子引力在时间上可以进行计算，从而在普朗克尺度上对空间和时间结构做出明确的预测。
在我刚刚成为耶鲁大学的助理教授时，我曾邀请阿布海在耶鲁大学做了一个演讲。那天来听演讲的学生中有一位来自哈佛的研究生，名叫保罗·伦特恩（Paul Renteln），他刚好也在研究阿米塔巴·森的论文。我们很清楚，阿布海的方程是进一步研究的关键。演讲之后，我载阿布海去哈特福德（Hartford）机场。在纽黑文（New Haven）和哈特福德之间一个小时的车程中，我的车有两个轮胎都漏气，不过阿布海仍然赶上了他的航班。但是最后一小段路，他不得不搭便车，而我则在路边等待救援。
那天一回到家，我就立刻坐了下来，开始应用阿米塔巴·森和阿布海的新形式体系，也就是我和路易斯在重新构建弦理论的失败尝试中发展出来的方法。几周后，在圣巴巴拉的理论物理研究所开始了为期一个学期的量子引力研讨会。我又非常幸运，就在耶鲁大学刚刚聘用我之后，我说服了学校领导让我在那里待上一个学期。我一到那里就找来了两个朋友，特德·雅各布森和保罗·伦特恩一起做事。我们很快就发现，如果用一些非常像电超导体的图景来表示引力场的通量线，就能描绘出一个非常简单的空间量子结构的图像。起初我和保罗一起工作，为了避免连续空间的无穷性，我们借鉴了威尔逊的格点。然后，我们发现爱因斯坦方程的新形式暗示了关于圈如何在格点上相互作用的非常简单的规则。但是我们遇到了和10年前一样的问题：如何消除由于使用一个固定格点而强加的背景。
特德·雅各布森建议我们试着跟随波利亚科夫的思路继续研究，并尝试在没有格点的情况下开展工作。我已经在第3章 描述了这个结果。第二天，我们站在黑板前，盯着一个从来没有想过、也没有人想过要去寻找的东西，那就是量子引力理论完整方程的精确解。
我们所做的就是把建立量子理论的常用方法应用到阿米塔巴·森和阿希提卡发现的广义相对论方程的简单形式上去。这些方法引领我们提出了量子引力理论的方程式。这些方程最初是在20世纪60年代由布赖斯·德威特和约翰·惠勒写下的，但我们发现了一些更简单的新形式。我们必须代入这些方程来描述空间和时间几何的可能量子态。当时由于一时冲动，我尝试了路易斯和我一起研究出来的东西，也就是直接采用波利亚科夫表达式来建立这些态，描述电场的量子化圈。我们发现，只要圈不相交，它们就满足方程（如图10-1所示）。
图10-1 空间几何的量子态
在圈量子引力理论中空间几何的量子态用圈来表示。只要圈之间没有交叉点或扭结，这些量子态就是量子引力方程的精确解。
我们花了几天的时间找到了更多的解。并且发现，即使圈相交，只要遵守某些简单的规则，我们仍然可以将它们结合起来，做出解。事实上，我们可以写出无穷多个这种态，并且所要做的就是画出圈，并在它们交叉的时候应用一些简单的规则。
我们和其他人花了很多年的时间才弄明白我们在那几天里所发现的东西的真正含义。但其实在一开始，我们就知道自己掌握了一个量子引力理论，这个理论开创性地给出了一个关于普朗克尺度物理学的精确描述，其中空间只不过由一组离散的基本对象之间的关系组成。这些对象仍然是威尔逊和波利亚科夫的圈，但它们不再存在于格点，甚至是空间里。相反，它们的相互关系定义了空间。
完成这个理论还差一步。我们必须证明我们的解是独立于背景空间的。这需要证明它们附加解决了微分同胚约束，并且表达了理论与背景的独立性。矛盾的是，我们很容易地解出了这些方程，即惠勒-德威特方程，而事实上，这些方程应该很难解才对。一开始我很乐观，但事实证明，要创造出能同时满足这两组方程的量子态是不可能的。解决一个问题很容易，但两全其美就比较难了。
第二年回到耶鲁大学，我们和路易斯·克兰一起花了很多时间来解决这个问题，但还是无果而终，因此我们确信这是不可能的。这件事令人非常沮丧，因为显而易见，如果想要摆脱背景依赖，就会得到一个只有圈和圈的拓扑关系的理论。圈在空间中的位置无关紧要，因为空间中的点没有内在的意义。重要的是圈如何相交，此外，它们如何打结和连接也很重要。
有一天，当我坐在圣巴巴拉的家的花园里时，我意识到了这一点。量子引力可以被简化为一种圈相交、打结和连接的理论。这样就可以得到一个普朗克尺度上的量子几何的描述。从我与保罗和特德的研究中，我也知道，我们所发现的爱因斯坦方程的量子版本可以改变圈相互连接和打结的方式，因此圈之间的关系可以动态变化。尽管我曾考虑过交叉的圈，但我从未想过圈是如何打结或连接的。
我进去给路易斯·克兰打了电话，问他数学家们是否知道圈如何打结和连接。他说，是的，有一个领域专门研究这个问题，叫作扭结理论。他还提醒我，我曾在芝加哥与扭结理论的一位重要思想家路易斯·考夫曼（Louis Kauffman）共进过几次晚餐。所以，最后一步是摆脱理论对圈在空间中的位置的依赖。这样，我们的理论就简化为对节点、连接和扭结的研究，美国主要的相对论学家之一詹姆斯·哈特尔（James Hartle）在不久之后就开始这样称呼它。但这并不容易，我们在一年多的时间里都没能迈出这一步。我们和路易斯，以及其他人一起努力，但还是没能做到。
在圣巴巴拉研讨会的最后一个会议上，我们首次提出了自己的新成果。在那里，我遇到了一位年轻的意大利科学家卡洛·罗韦利，他刚刚获得了博士学位。那时，我们没有聊很多，但不久之后，他就写信来询问是否可以来耶鲁大学参观我们的实验室。那年10月，他来到了路易斯的公寓，住进了其中一个房间。他到的第一天，我就告诉他，我们无事可做，因为我们的工作完全陷入了困境。这项工作看起来很有前景，但路易斯和我已经发现最后一步毫无希望。我对卡洛说，欢迎他留下来，但考虑到工作的前景惨淡，他可能更愿意回到意大利去。那段时间确实很尴尬。然后，我想找点事谈，就问他是否喜欢航海。他说自己是一个狂热的水手，所以我们放下了一整天的科学研究，直接去了港口。耶鲁大学帆船队在那里留有船只，我们登上其中一艘帆船。整个下午，我们都在船上谈论我们交过的女朋友们。
第二天我没有见到卡洛。第三天，他出现在我的办公室门口，说：“我找到了所有问题的答案。”他的想法是对这个理论再做一次重新表述，这样基本的变量就变成了圈。问题是到那时为止，几乎所有的理论不仅都依赖于圈，还依赖于圈周围的场。卡洛发现，正是由于对场的依赖，才使研究无法进行下去。他还找出了如何摆脱这种依赖的方法，就是他的导师、帝国理工学院的克里斯托弗·艾沙姆发现的一种方法。并且，卡洛已经发现，只要把这种方法应用到圈中，就能得到我们需要的东西。我们只用了一天的时间就给出了完整的描绘。最后，我们构建出了一个理论，一种纯粹的圈理论，波利亚科夫曾把它称为伟大的梦想，它用方程简单地描述了真实世界的一个方面，并且这些方程可以精确地解出来。当用它来构建爱因斯坦的引力理论的量子版本时，这个理论仅仅依赖圈之间的关系，即它们如何相交、连接和打结。在几天之内，我们就证明了所有的量子引力方程都可以构造无限多的解，就像有一种方法可以解决所有可能的打结方式。
几周后，我们去了锡拉丘兹大学（Syracuse University），阿希提卡和阿米塔巴·森就是在那里的研究中心有了新发现，卡洛举办了关于量子引力新理论的第一次研讨会。在去机场的路上，我们被一个开着豪华轿车的家伙追尾了。人没有受伤，我的旧道奇飞镖的后保险杠也几乎没有刮伤，但那个撞我们的家伙的玛莎拉蒂却被撞坏了。尽管如此，我们还是赶上了飞机。第二天卡洛发高烧，但他依然把研讨会挺了过去。研讨会的最后，是长时间的、感激的沉默。阿希提卡说这是他第一次看到可能是量子引力理论的东西。几周后的伦敦，在去印度参加会议的途中，我在克里斯托弗·艾沙姆面前举办了关于新理论的第二次研讨会。
在印度，当我把会议组织者介绍给卡洛时，两种古老的文化相遇了。卡洛冲动地跳上飞机就来了，事实上他并没有收到邀请。那位尊贵的绅士看了看他的长发、凉鞋和衣服（这是他一个人在孟买的后街闲逛了两天淘到的），气急败坏地嚷道：“卡洛先生，你没有收到我的信说会议结束了吗？”卡洛微笑着回答说：“没有，但你没有收到我的吗？”然后他被安排住在酒店里最好的房间，返回罗马时，被安排坐在印度航空航班上的头等舱。
这便是圈量子引力理论的诞生。我们花了好几年的时间，先是与卡洛合作，后来加入了一个由朋友和同事组成的不断壮大的群体，阐明了我们发现的量子引力方程的解的意义。一个明确的研究结果是，我们发现量子几何是离散的。我们所做的一切研究都是以离散的力线为基础的，就像在超导体的磁场中一样。如果把它转换成引力场的圈图，这就意味着任何表面的面积都是以基础单位的离散倍数表示的。最小的单位是普朗克面积，即普朗克长度的平方。这意味着所有的表面都是离散的，每个表面都有有限的面积，体积也是如此。
为了得到这些结果，我们必须找到一种方法来消除困扰场的量子理论的所有表达式的无穷性。我的直觉源自过去与朱利安·巴伯的谈话，以及与路易斯·克兰的合作，我认为这个理论不应该有无穷性。许多物理学家也推测无穷性是基于普朗克尺度的关于空间和时间结构的一些错误假设。从较早的研究工作中，我清楚地看到错误的假设是指假定时空的几何结构是固定的、非动态的。在计算几何尺寸（如面积和体积）时，我们必须用正确的方式消除固定结构的任何可能的影响。做到这一点的方式太过技术性，在这里无法解释。但最终事实证明，只要提出的是一个有意义的问题，就不会有无穷性。
根据我的经验，一位科学家只会有几个好想法。好的想法很少而且会间隔很久，需要经过多年的准备。更糟糕的是，一旦有了好想法，就注定要经过多年的艰苦努力去研究它。当我在一个汽车修理厂的嘈杂房间里坐了一个小时，等着我的车修好的时候，我试图计算一些量子几何的体积，并突然想到面积和体积可能是离散的。我的笔记本上满是杂乱的积分，但突然间我看到了一个计算公式。我在假设结果是实数的基础上开始计算一个量，但发现在某些单位中，所有可能的答案都是整数。这意味着面积和体积不能取任何值，而是以固定单位的倍数出现。这些单位对应着最小的面积和体积。我把这些计算结果拿给卡洛看，几个月后，我们在意大利东北部山区的特伦托大学一起工作时，卡洛提出了一个论点，即面积的基本单位不能近似为零。这就意味着如果我们的理论是正确的，则无法避免这样的结论：空间有一个原子结构。
我之所以清楚地记得我们在特伦托的工作，还有另一个原因。前一年，一个名为贝恩德·布鲁格曼（Bernd Bruegmann）的学生带着非常不安的表情来到我的办公室。他的论文的主题是把量子引力的新方法应用到格点上的QCD，看看质子和中子的性质是否会出现。在这样做的同时，他还做了优秀科学家应该做而我们没有做的事情，那就是彻底查阅文献。然后，他发现了一篇方法与我们非常相似的论文，已经被我们从未听说过的两个人——鲁道夫·甘比尼（Rodolf Gambini）和安东尼·特里亚斯（Anthony Trias），应用于QCD，他们在蒙得维的亚（Montevideo）和巴塞罗那（Barcelona）工作。
科学家也是人，我们都需要觉得自己的工作很重要。对科学家来说，几乎最糟糕的事情莫过于发现有人在你之前就有跟你同样的发现。唯一更糟糕的是，有人发表了你在此前已经发表了的发现，却没有给你足够的承认。我们发现的方法的确是用来处理圈量子引力领域而不是QCD领域的问题的，但是我们也无法回避，其很接近鲁道夫·甘比尼和安东尼·特里亚斯应用于QCD的方法，并且他们的应用早于我们很多年。尽管他们已经在主要期刊《物理评论》（Physical Review）上发表了文章，但不知何故，我们并未看到。
我们怀着沉重的心情做了唯一能做的事，那就是坐下来给他们写一封道歉信。直到有一天下午在特伦托，卡洛接到一个巴塞罗那打来的电话时，我们才听到他们的消息。他们终于收到了我们的信。他们知道我们在特伦托，问我们明天是否还在。晚上，他们驾车穿越了意大利北部和法国，找到了我们。我们一起度过了美好的一天，向彼此展示各自的工作，谢天谢地，我们的研究是互补的。他们把这个方法应用于QCD，而我们把它应用于量子引力。安东尼·特里亚斯说了很多话，而鲁道夫·甘比尼则坐在房间后面，一开始几乎什么也没说。但我们很快发现，鲁道夫是一流的创造性科学家。在接下来的几个月里，他迅速发明了一种新的方法，可以在圈量子引力理论中进行计算。
此后，鲁道夫一直是量子引力领域的领军人物之一，经常与宾夕法尼亚州立大学的乔治·普林（Jorge Pullin）以及他自己在蒙得维的亚培养的一个优秀的年轻团队一起工作，他们发现了更多量子引力方程的解，并解决了一些重要的问题。
必须指出的是，尽管鲁道夫·甘比尼性情安静，但在国家被军事独裁彻底摧毁后，他或多或少地独自肩负着委内瑞拉和乌拉圭的物理学的复兴重任。当我第一次访问蒙得维的亚时，我意识到了这意味着什么。那是隆冬时节，我们和鲁道夫·甘比尼以及他的小组在一个破旧的修道院里做物理研究，没有暖气，也没有电脑，我们只能靠不断地喝在煤气灯上烧着的茶来取暖。现在，乌拉圭大学的科学系都建在现代化的建筑和设施中，这些建筑和设施都是用鲁道夫在业余时间筹集的资金建造的，同时他不断地有新的想法，进行新的计算。
圈量子引力理论带来的最美丽的结果之一是发现圈的态可以出现在非常美丽的图景中，即自旋网络。自旋网络实际上是30年前由罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）发明的。彭罗斯也受到空间必须是纯粹关系的观点的启发。但他能够直接进入问题的核心，而不是像我们一样试图从一些现有的理论中推导出关系空间图。他更有勇气，寻求可能是量子几何理论基础的最简单的关系结构。他想出的便是自旋网络。自旋网络只是一个图（如图10-2、10-3、10-4和10-5所示），其边缘由整数标记。这些整数来自量子理论中粒子的角动量允许的值，它等于一个整数乘以普朗克常数的一半。
图10-2 自旋网络示意图
由罗杰·彭罗斯发明的自旋网络也代表了空间几何的量子状态。它由一个图形和边线上的整数组成。这里只显示了少部分数字。
图10-3 对圈进行组合而形成的自旋网络
图10-4 有多个节点的自旋网络
圈量子引力理论预测的空间的量子化。自旋网络的边缘携带着离散的面积单位。表面的面积来自其自旋网络的边的交叉点。最小的面积来自一个交叉点，大约是10-66平方厘米。自旋网络的节点携带离散的体积单位。最小的体积来自一个节点，大约是10-99立方厘米。
图10-5 代表量子几何的大规模自旋网络
一个非常大的自旋网络可以代表一个量子几何，它从比普朗克长度大得多的尺度上看起来是平滑和连续的。因此我们说经典的空间几何是由一个非常大且复杂的自旋网络编织而成的。在自旋网络图中，空间只不过看起来是连续的，但实际上是由构成自旋网络的节点和边缘组成的。
我早就知道彭罗斯的自旋网络应该纳入圈量子引力理论，但我一直避免工作中掺杂自旋网络。当彭罗斯在他的演讲中描述自旋网络时，它们总是看起来很复杂，仿佛只有彭罗斯才能在自旋网络中进行计算而不出错。要用彭罗斯的方法计算，你必须把一长串数字加起来，每一个都是+1、0或-1。如果你忽视了一个符号，你就死定了。不过，在1994年访问剑桥大学期间，我遇到了彭罗斯，并向他请教如何计算他的自旋网络。我们有幸一起做了一个计算，并且我认为自己也掌握了窍门。这足以让我相信自旋网络可以计算出量子几何的各个方面，比如最小的体积。然后我向卡洛展示了我所学到的东西，我们用那个夏天剩下的时间把我们的理论翻译成了彭罗斯的自旋网络的语言。
在做这项工作的时候，我们发现每个自旋网络都为空间几何提供了一个可能的量子态。其中，自旋网络每条边上的整数都对应于这条边所承载的面积单位。并且，自旋网络的线承载的是面积单位，而非一定数量的电或者磁通量。自旋网络的节点也有一个简单的含义，即对应量化的体积单位。如果用普朗克单位来衡量，一个简单自旋网络中包含的体积基本上等于网络的节点数。为了弄清楚这幅图，我们花费了很多心血。彭罗斯的方法是无价的，但正如我所预料的那样，使用起来并不容易。在此过程中，我们对理查德·费曼曾经说过的一句话深有感触：一位优秀的科学家会努力工作，并且不惜犯任何可能的错误来找到正确的答案。
我在科学领域最糟糕的时刻可能是在华沙的一次会议上，有一位名叫雷娜塔·罗尔（Renate Roll）的年轻物理学家上台发言，她在伦敦的时候也曾是克里斯托弗·艾沙姆的学生，她在发言的最后指出我们在最小体积方面的计算是错误的。经过一番争论，事实证明她是对的，后来我们发现计算的错误最终来源于一个符号的错误。但幸运的是，我们的基本框架和结果都是站得住脚的，并得到了数学物理学家的证实，他们用严格的数学定理支持了我们所发现的结果。数学物理学家的工作表明，量子几何的自旋网络图不只是一些人想象的产物，而是直接结合量子理论和相对论的基本原理而来。
圈量子引力的方法现在是一个蓬勃发展的研究领域。许多较早的想法也已经被纳入其中，如超引力和量子黑洞的研究。人们发现了量子引力的其他方法之间的联系，比如阿兰·孔涅的非交换几何方法、罗杰·彭罗斯的扭量理论和弦理论。
我们从这次经历中体会到，当具有不同教育背景的人们跨越国界联合起来的时候，科学进步的速度会有多快。理论物理学家和数学物理学家之间的关系并不总是融洽的。这就像第一次探索边疆的侦察兵和紧随其后的农民之间的关系，前者用篱笆把土地围起来，而后者则使土地肥沃起来。数学家们就像农民一样，需要把所有东西都固定下来，并确定一个想法或结果的确切界限，而物理学家就像侦察兵，其想法往往有些疯狂和野性。每个人都倾向于认为自己做了工作的重要部分。不过，我们和弦理论学家都知道的一点是，尽管他们的工作和思维方式不同，但数学家和物理学家学会相互交流和合作是很重要的。与广义相对论的境遇相同，量子引力既需要新的数学知识，也需要新的概念、思想和计算方法。如果我们取得了真正的进展，那是因为人们的共同努力可以创造出任何人都不可能独自想出的东西。
最后，圈量子引力给出的空间绘景最令人满意的地方是其完全相关性。自旋网络并不存在于空间中，相反，是它们的结构生成空间。实际上，自旋网络只不过是一种关系结构，该结构由节点上的边缘如何联系在一起决定。同样被编码的还有关于这些边如何扭结和连接的规则。同样令人满意的是，经典几何和量子几何之间有着完全的对应关系。在经典几何中，区域的体积和表面的面积取决于引力场的值。它们被编码在一些复杂的数学函数集合中，统称为度规张量（metric tensor）。而在量子几何中，几何图形由自旋网络的选择编码而成。这些自旋网络与经典描述相对应，在任何经典几何中，你都可以找到一个自旋网络描述相同的几何（如图10-5所示）。
在经典的广义相对论中，空间的几何形状随时间而演化。例如，当引力波经过一个表面时，这个表面的面积会随时间而振荡。实际上这里也有一种等效的量子图，其中自旋网络的结构可能随着引力波的通过而随时间演化。图10-6显示了自旋网络随时间演化的一些简单步骤。
图10-6 一个自旋网络随时间演化的简单步骤
每一个都是空间几何的量子跃迁，这是爱因斯坦方程的量子理论类比。
如果让一个自旋网络演化，我们就会得到一个离散的时空结构。这个离散时空的事件是图10-6中所示形式发生变化的过程。实际上我们可以画出演化的自旋网络图，它们看起来就像图10-7到10-9。一个演化的自旋网络很像一个时空，但它是离散的而不是连续的。
图10-7 两张量子空间的照片
量子时空中的每一个事件都是空间量子几何中的一个简单变化，对应图10-6所示的一个移动。根据圈量子引力理论，如果我们以10-43秒的时间尺度和10-33厘米的长度尺度来考察，这就是时空的样子。上图显示了一个基本的移动。下图显示了两个基本运动的合运动。
