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《数学少女》作者：[日]结城浩【完结】 >
数学少女.txt
我的心里只有你
一秩尾望都『ラーギニー』
2．1校门口
升上高二，不过只是学年标志从I变成II，今天仍旧和昨天一样没有变化……在早上之前我是这么认为的。
「请、请收下这个。」
在阴天的四月底，升高二后经过一个月的早上，我在校门口被一个女孩叫住。
她向我伸出的两手中有一封白色的信，我糊里糊涂地收下信，这个女孩向我行个礼后，就往校舍的方向跑走。
她的身高比我矮很多，也没有看过的印象，大概是刚入学的新生。我急忙将信收入门袋并向教室走去。
上次收到女生的信是在小学的时候，那时我感冒请假休息，身为班长的女孩将作业以及「大家都在等你，要快点好起来回学校上课喔！」的信送到家里……只是单纯的联络事项。
之前米尔迦说过『不晓得之后会发生什么事』，的确没错，今天未必和昨天一模一样。
口袋里的信不断在课堂中动摇着我的心。
2．2心算问题
「这是心算问题。1024的因子有几个？」
现在是午休时间，正想把女孩的信拿出来的时候，米尔迦边咬着巧克力棒边走到我的身旁问问题。由于没有换班，所以我和米尔迦二年级仍然同班。
「用心算？」我把信放回口袋。
「我数到10之前回答。0，1，2，3……」
等一下，1024的因子……能整除1024的数，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的话可以。啊，对了！1024是2的10次方……我急急忙忙地计算。
「……9，10，时间到。几个？」
「11个，1024的因子有11个。」
「正确答案，怎么算的？」米尔迦一边舔着拿巧克力的手指一边等我回答。
「1024用质因子分解的话就是2的10次方，所以1024就会像这样分解。」我说。
1024＝2<10次方>＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2——2有10个
我接着说：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2n×n从1到10，所以1024的因数为以下11个。」
2<0次方>，2<1次方>，2<平方>，2<立方>，2<4次方>，2<5次方>，2<6次方>，2<7次方>，2<8次方>，2<9次方>，2<10次方>
对于我的回答，米尔迦点了点头。「答对了，那么下一个问题。将1024的因数全部加起来的和是……」
「米尔迦，抱歉。中午我有点事，晚点再聊……」我说完之后站了起来。
我不顾被打断话题、明显露出不愉快表情的米尔迦，快速地走出教室。
打断她出题真的很抱歉，1024的因子的和啊……我边走向屋顶边思考答案。
2．3信
即使是午休，屋顶上还是没什么人，是因为天气不太好的关系吧。
信封里装着白色的信纸，上面是用钢笔横写的娟秀字体。
我是今年入学的蒂德菈，是跟学长就读同所国中、小你一届的学妹。因为想跟学长讨论关于数学的事，所以写了这封信。
虽然我对数学有兴趣，不过国中的上课内容就让我很吃力。听说进高中之后数学会更深，很希望能解决这个问题。
非常抱歉在您忙碌的时候打扰了，希望能有机会与您商谈。今天放学后我会在大型教室里等您。
蒂德菈
我将这封信读了四次。
原来她叫做蒂德菈啊，摩诺=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所国中、小我一届的学妹。不过我完全没印象，不擅长数学的学生确实很多，尤其是新生。
……先不管这些，这封信还是像联络事情用的嘛……虽然有点失望，不过算了，这样也好。（JoyJ：==你在期待什么……）
放学后在大型教室见面啊。
2．4放学后
「……算出来了吗？」
结束了一天的课程，在我前往大型教室的途中，米尔迦突然问。
「2047。」我立刻回答，1024所以因数的和就是2047。
「是因为思考时间充裕吧。」
「大概……那明天见。」
「你要去图书室吗？」米尔迦的眼镜闪了一下。
「不，今天大概不会去了，突然有点事。」
「喔……这样的话，就出个回家作业吧。」
※※米尔迦出的回家作业
请说明一正整数n，求其「因数和」的方法为何？
「这是要使用n来表达因数和的算式吗？」我问。
「不，只要写出求的过程就好了。」
2．5大型教室
「对不起。找你出来……这个……」
刚进大型教室，就看到蒂蒂一个人紧张地等着，胸前还抱着笔记本和铅笔盒。
「我、我想和学长谈一谈，可是又不知道该怎么办。我朋友说在这里的话会比较方便，所以……」
这个大型教室必须从主校区绕过小小的中庭才能到达，主要在物理和化学课时使用。教室由阶梯构成，最下阶是讲台，这是为了让学生方便看清楚教室实验操作的配置。
我和蒂蒂坐在最后一排的长椅上，我从口袋中拿出今天早上的信。
「我已经看了这封信了。但是不好意思，我不太记得你。」
她的右手立刻在脸前左右摇晃。
「没关系，我也觉得你不会记得我的。」
「而且，为什么你会认识我啊？我在国中时应该不怎么显眼才对。」没参加社团、放学后只到图书间的人应该不会引人注目。
「啊，这个……学长你很有名喔。我……那个……」
「算了……你说想谈谈有关数学不拿手的事情，可以说明得再详细一点吗？」
「啊，好的，谢谢您……我从小学开始就觉得数学的问题很有趣。但是进国中后，不管是上课还是看课本，都常常觉得『无法完全理解』。到高中之后，老师又说数学很重要，要好好学习，所以才想要解决『无法完全理解』这个问题。」
「原来如此。所以就是因为有『无法完全理解』的问题，你的成绩也不是很好啰？」
「不，这个的话……」
蒂蒂边将食指指甲放在嘴唇上边思考，拥有一头短发、灵活滚动双眼的蒂德菈给人的感觉像是活泼的小动物松鼠或是小猫之类的。
「像段考之类有一定范围的考试，就不会有太大的问题。但是像模拟考，有时候就会考得很差，中间会有蛮大的落差。」
「上课呢？上课的时候听得懂吗？」
「上课啊……老师教的时候好像都听懂了。」
但是却无法完全理解？
「是啊，无法完全理解。多多少少能解题，上课也好像听得懂。可是实际上却没有完全理解。」
2．5．1质数的定义
「那么我再问得更具体一点，你知道质数吗？」
「……嗯，应该知道。」
「应该知道啊……那你说说看质数的定义，就是回答『什么是质数』。不需要用算式，用自己的说法表达就可以了。」
「什么是质数？嗯～～像5或7之类的吗？」
「嗯，5和7都是质数没错——但是5和7都只是质数的一个例子。「举例」和「定义」并不一样。什么是质数？」
「啊，好的。质数就是……『只有1和自己本身能整除自己的数』吧，这是数学老师叫我们一定要记起来的定义。」蒂蒂点点头说。
「也就是说，你认为这个定义是正确的？」
『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数』(？)
「嗯，我觉得这是正确的。」
「不，这定义是错的。」
「咦？假如拿5当例子的话，只有1和5可以整除啊。」
「嗯，5是质数没错。但是照这个定义的话，1也会变成质数了。因为当p用1代入时，p只能被1与p整除这点是符合的，但是1并不包含在质数之内。最小的质数是2，将质数由小到大排列，会像下面的数列一样从2开始。」
2，3，5，7，11，13，17，19，……
我继续说下去：「所以前面的定义是错的，质数的定义应该如下面所写……」
『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数，但1除外。」
「或是从一开始就定下条件。」
『p为大于1的整数，当正整数p只能被1与p整除时，p为质数。』
「条件用算式也可以。」
『整数p＞1，当p只能被1与p整除时，p为质数。』
「1不是质数啊。的确，老师好像也是这样教的，我能懂学长写的定义了。但是……」
蒂蒂突然拾起头。
「我知道了，质数不包含1。不过我还是不能认同，为什么质数不能包含1呢？包含进去会有什么不合理的地方吗？我不懂质数不能包含1的rationale。」
「rationale？」
「就是正当的理由、原理的说明、理论的根据。」
喔～～这女孩也知道认同理由的重要性啊。
「……学长？」
「啊……抱歉。为什么质数不能包含1呢？很简单，是因为质因子分解的唯一性。」
「质因数分解的唯一性？唯一性是什么？」
「所谓质因数分解的唯一性就是指一正整数n的质因子分解只有一种。例如说24的质因子分解只有2×2×2×3一种。啊，在这里不考虑数字的排列顺序，像2×2×3×2或3×2×2×2之类，虽然顺序不同仍然视为同样的质因子分解。质因子分解的唯一性在数学里是相当重要的，为了要遵守这个性质，所以就定义1不能为质数。」
为了要遵守这个性质？因为这个原因就可以擅自定义吗？」
「可以的。虽然说擅自有点夸张……数学家会找出对构成数学世界有用的数学概念，然后将它命名，这就是定义。将概念清楚地规定下来，就能勉强算是定义了。但是，可以定义和这个定义能不能派上用场又是两回事。在你的定义里，质数包含1，会使质因子分解的唯一性消失。话说回来，你懂质因子分解的唯一性了吗？」
「唔，懂了……吧。」
「嗯～～为什么说『吧』？必须确定自己是否理解才行。」我特别强调了『自己』。
「要怎么确定自己是否理解了呢？」
「例如举个适当的例子来确定是否理解了。『举例是理解的试金石』。虽然举例并非定义，但是适当地举例也是一种很好的练习。」
『举例若质数包含1，则质因子分解的唯一性无法成立』
「原来是这样。假如质数包含1，则24的质因子分解，就会像这样有很多种……」
2×2×2×3
1×2×2×2×3
1×1×2×2×2×3
.
.
.
「是的。这就是质因子分解的唯一性无法成立的例子。」
我的话让蒂蒂松了一口气，
「但是与其说『很多种』，不如用『复数个』或『2个以上』的方式表现。这是因为……」
「……因为比较严密？」蒂蒂马上接下去。
「没错，『很多种』这种表达方式并不严密。几个以上算是很多？这样界线就很模糊。」
「学长……我似乎也要先整理一下我的脑袋才行了。关于『定义』、『举例』、『质数』、『质因子分解』、『唯一性』……还有严密的表达，在数学里用词也是很重要呢！」
「没错！你很聪明。在数学里语言是很重要的。要尽可能避免误会，所以数学才会使用严密的用语，而其中最严密的语言就是算式。」
「算式……」
「那么进入数学的语言——算式的话题吧。因为要用到黑板，我们到下面去。」
我走向大型教室的前方，蒂蒂则跟在后面，才刚走几步就听到一声」啊！」接着我的背后感受到一阵冲击。
「哇！」
「对……对不起。」
蒂蒂被楼梯绊倒，撞向我的背后，在两个人快要跌倒的时候，我总算站稳脚步，真危险。
2．5．2绝对值的定义
「……那么接下来，你知道绝对值吗？」我们面向黑板并排站着。
「嗯，应该知道。5的绝对值是5，－5的绝对值也是5，去掉负号就好了吧。」
「嗯～～那么我写出x的绝对值定义，你觉得这样可以接受吗？」我在黑板上列式。
※※x的绝对值|x|的定义
|x|＝x(x≥0的情况)
|x|＝－x(x＜0的情况)
「啊……这样表示的话，我就想到问题了。既然是x的绝对值，把负号拿掉还出现x不是很奇怪吗？」
「『把负号拿掉』以数学来讲是很暧昧的说法。虽然能够理解意思，也大致上符合定义。」
「那么『把负的变成正的』呢？」
「一样很暧昧。那么－x的绝对值是什么？」我在黑板上写下式子。
|－x|
「因为要把负号去掉，答案是x吧。所以说就是|－x|＝x。」
「不对，假如x＝－3的话呢？」
「咦？x＝－3的话……」蒂蒂也在黑板上演算。
|－x|＝|－(－3)|因为x＝－3
＝|3|所以－(－3)＝3
＝3最后|3|＝3
「假如像你说的|－x|＝x的话，x＝－3时，就会变成|－x|＝－3.可是实际上是|－x|＝3，所以才会变成|－x|＝－x。」
听着我的说明、看着黑板上的式子，蒂蒂细细思索。
「啊！原来如此，x也有可能是负的，这种状况的话，负负就会得正，我看到x就不自觉地想到3或5之类的正数了。」
「是啊，因为x前而并没有任何符号表示，所以通常不会想到x会等于－3之类的负数，但是这却很重要。特别使用x就是表示即使不用很多实例来说明，也可以具体地定义绝对值。『绝对值就是把负号拿掉』这种说法太过笼统，必须更进一步地确认才行，或许你可能会觉得在挑毛病，不过严密的思考是必要的，习惯这种严密的思考就能习惯算式，甚至是数学也说不定。」
蒂蒂在最前排找了个座位坐下，她一边用手指拨弄笔记本边缘，一边沉思。
而我则在等待她的发言。
「我的国中生活好像都浪费了。」
「怎么说？」
「我本来觉得我还算用功的。但是我不曾严密地读过课本里面的定义和算式。我的数学一定是念得很松散吧。」
她深深地叹了一口气，表现出一副很失望的样子。
「……我说你啊。」
「咦？」蒂蒂看向我。
「假如你真的这么想的话，从现在开始不就好了。过去的已经过去了，你是活在现在啊，把现在发现的事情在未来改变就可以了。」
蒂蒂突然睁开眼睛，然后站了起来。
「是……是啊，后悔过去的事也没用。迈向未来就好了……谢谢你，学长。」
「嗯，今天就先到这里为止吧，天色也渐渐暗了，接下来的下次再讲解。」
「接下来的？」
「嗯，我放学后大部分都会待在图书室，假如你有什么想问的，到那里找我就可以了，蒂蒂。」
她的眼中一瞬间浮现光辉，很高兴地露出微笑。
「好的！」
2．6回家的路上
「唉呀，下雨了。」
刚走出校舍门口的蒂蒂望向天空，乌云密布的天空开始下雨。
「你没带伞吗？」
「虽然有看天气预报，不过早上出门太赶，所以就忘记了。不过没关系，只是小雨，用跑的就好了。」
「这样到车站前就会淋湿了。反正顺路，而且我的伞也够大，一起走吧。」
「不好意思……谢谢学长。」
这似乎是我第一次跟女孩子共撑一把伞，我们漫步在柔和的春雨之中，虽然我有点不习惯，不过还是配合着她的步调渐渐地沉稳下来，或许是这阵雨吸收了城市的喧嚣，街道一片静寂。
今天跟她聊了一段时间，感觉很愉快，我也没想到竟然会有个崇拜自己的可爱学妹，和蒂蒂聊天很轻松，从她的表情就可以知道她有没有听懂。
「为什么学长会知道呢？」
「知道什么！？」
「就是……就是今天谈的那些数学，有关我不懂的部分，为什么学长会知道我哪里不懂呢？」
啊～～吓到我了，我还以为蒂蒂会心电感应。
「因为今天谈到的论题，也就是质数和绝对值的部分，我也曾经抱持疑问。读数学的时候，为不懂的地方感到困扰、在想了好久、读了很多书之后，才发现『啊，原来如此！』这是相当不错的体验，在累积这些体验后，会渐渐对数学产生兴趣，进而变得拿手。啊，在前面转弯吧。」
「转弯。是『TheBendintheRoad』吧……从这条路也能到车站吗？」
「嗯，从这里转弯、穿过住宅区会比较快到车站。」
「会比较快到吗？」
「是啊，早上从这里走也会比较快喔。」
咦？蒂蒂的速度突然慢了下来，是我走太快了吗？果然要配合步调不太容易。
到了车站。
「因为我等一下还要到书店去，就在这里说再见了。对了，伞先借你吧。」
「啊，就到这里吗？呃……这个……」
「嗯？」
「没……没什么事情。那伞我就收下了，明天我会还你的，今天真谢谢你。」
蒂蒂将两手放在前面深深地鞠躬。
2．7自家
夜晚。
我在房间里回想今天与蒂蒂的互动，她既纯真又有冲劲，之后应该会继续成长吧，要是能让她知道数学的乐趣就好了。
和蒂蒂说话的时候，我摆出的是教导者的姿态，这与米尔迦说话的时候有很大的不同。米尔迦始终都一直保持主动，或许该说是我一直被教导吧。
拿出米尔迦出的回家作业。竟然被同班同学出回家作业啊……
※※米尔迦的回家作业
请说明一正整数n，求其『因子和』的方法为何？
这个问题只要把n的全部因子找出来就好了。找出来之后再把它们加起来，就成『因子和』了。但是这种回答未免太过无趣，必须寻找更进一步的答案才行……嗯，先将整数n质因子分解。
用午休时1024＝2<10次方>的问题将题目稍微广义化，例如先将n以质数的乘幂表现。
n＝p<m次方>p为质数，m为正整数
当n＝1024时，上式变成p＝2，m＝10，用同样的方法思考1024的所有因子如下。
1，p，p<平方>，p<立方>，……，p<m次方>
所以在n＝p<m次方>的状况下，n的『因子和』求法如下。
(n的因子和)＝1＋p＋p<平方>，p<立方>＋……＋p<m次方>
以上，就能回答整数n＝p<m次方>的因子和了。
之后再广义化……就是这样，并没有那么难，只要用和质因子分解一样的写法。
正整数n通常能如下质因子分解，设p，q，r，……为质数，a，b，c，……为正整数。
n＝p<a次方>×q<b次方>×r<c次方>……×等一下！
等一下，使用英文字母的话无法做广义性的表现，假如指数部分用a，b，c，……表示的话，很快就会到达p，q，r……了。这样会使算式变得混乱。
要以2<立方>×3<1次方>×7<4次方>……×13<立方>这样的形式，也就是质数<正整数次方>的乘积书写。
……既然如此，那就这么做，质数以p<0>，p<1>，p<2>，……表示，而指数以a<0>，a<1>，a<2>，……a<m>表示。像这样以标记0，1，2，3，……，m书写，虽然算式会变得很复杂，但是可以做广义性的表现，在这里m＋1代表『将n质因子分解时质因数的个数』，可以改成这种写法……
正整数n可以如下质因子分解，其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>为质数，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>为正整数。
n＝p<0><a<0>次方>×p<1><a<1>次方>×p<2><a<2>次方>×……×p<m><a<m>次方>
其中n为上述结构时，n的因子则以下列表示。
p<0><b<0>次方>×p<1><b<1>次方>×p<2><b<2>次方>×……×p<m><b<m>次方>
其中b<0>，b<1>，b<2>，……，b<m>为整数，且符合以下条件。
b<0>＝0，1，2，3，……，a<0>的其中任一数
b<1>＝0，1，2，3，……，a<1>的其中任一数
b<2>＝0，1，2，3，……，a<2>的其中任一数
b<m>＝0，1，2，3，……，a<m>的其中任一数
……嗯，虽然写得很完整，但是相当啰唆，简单来说就是质因子的指数随着0，1，2，……一直变化就是因子了，通常要广义化都需要很多的文字叙述。
而广义化到这里，接下来就简单了，只要把因子全部加在一起就是因数和。
(n的因数和)＝1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>
＋1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>
＋1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
＋……
＋1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>(？)
……不对不对，这并不是『全部因子的和』，而是因子中按照质因子乘幂排列的数字和。实际的因子应该是像……
p<0><b<0>次方>×p<1><b<1>次方>×p<2><b<2>次方>×……×p<m><b<m>次方>
……将质因子的乘幂全部组合之后，挑选出来合并在一起，这才是正确的和。用语言说明很难理解，就用算式表达吧。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(×……
(×1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
※※米尔迦的回家作业的解答
将正整数n如下做质因子分解。
n＝p<0><a<0>次方>×p<1><a<1>次方>×p<2><a<2>次方>×……×p<m><a<m>次方>
而其中p<0>，p<1>，p<2>，……，p<m>为质数，a<0>，a<1>，a<2>，……，a<m>为正整数，此时则由以下算式得n的因子和。
(n的因子和)＝(1＋p<0>＋p<0><平方>＋p<0><立方>＋……＋p<0><a<0>次方>)
(×1＋p<1>＋p<1><平方>＋p<1><立方>＋……＋p<0><a<1>次方>)
(×1＋p<2>＋p<2><平方>＋p<2><立方>＋……＋p<2><a<2>次方>
(×……
(×1＋p<m>＋p<m><平方>＋p<m><立方>＋……＋p<m><a<m>次方>
还能不能再写得更简洁一点呢？……嗯……不过这是答案没错。
2．8米尔迦的解答
「正确解答，虽然看起来很复杂。」
隔天米尔迦看到我的答案时很干脆地下结论。
「有办法写得更简洁吗？」
「可以。」米尔迦立刻回答，「首先，在和的部分可以用下面的式子代替，限定1－x≠0的状况下……」米尔迦一边回答，一边在我的笔记本上写下……
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/1－x
「原来如此。」我说。这是等比数列的求和公式。」
「马上就可以证明。」米尔迦继续说。
1－x<n+1次方>＝1－x<n+1次方>两边是同一个算式
(1－x)(1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>)＝1－x<n+1次方>将左式因子分解
1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＋x<n次方>＝(1－x<n+1次方>)/1－x两边同除1－x
「这样一来，你写的乘幂部分的和就全部变成分数了。然后积的部分就用∏。」
「∏是π的大写……」我说。
「对，但是这和圆周率没关系。∏(Product)是∑(Sum)的乘法形式。只是刚好积(Product)的第一个英文字母P的希腊文字是∏而已，而同样和(Sum)的第一个字母S的布腊文字是Σ一样，∏的定义式如下。」米尔迦继续讲解。
∏<k=0到m,f(k)>=f(1)×f(2)×f(3)×……×f(m)定义式
「用∏的话，积的部分就可以简洁地表示。」她说道。
※※米尔迦的解答
正整数n质因子分解如下。
n＝∏<k=0到m,p<k><a<k>次方>>
设pk为质数，ak为正整数。
此时则由以下算式得n的因子和。
(n的因数和)＝∏<k=0到m,(1－p<k><a<k+1>次方>)/(1－p<k>)>
「原来如此，虽然变短，不过文字也变多了。话说回来，米尔迦你今天会去图书室吗？」我问。
「不会，今天要去英英那里练习，她作出新曲子了。」
2．9图书室
「学长你看，我从国中的课本里把定义全部抄下来了。这样我就可以自己练习举例了。」
蒂蒂找到在图书室算数学的我，并笑着摊开笔记本。
「喔～～真厉害。」竟然一个晚上就做好了。
「我很喜欢做这个喔，就像做单字本一样……重新看过课本一次后我才发现，算数和数学有很大的不同点，就是式子里是否有文字，对吧，学长？」
2．9．1方程式与恒等式
「……那么，说到关于文字与数学公式的话题，就来谈谈方程式与恒等式。蒂蒂有解过这个方程式吧？」
x－1＝0
「啊，有的，答案是x＝1吧。」
「嗯，这样x－1＝0这个方程式就解开了。那这个方程式呢？」
2(x－1)＝2x－2
「好的，我列式算算看。」
2(x－1)＝2x－2这是题目
2x－2＝2x－2将左边展开
2x－2x－2＋2＝0再将右边移项
0＝0计算结果
「咦？变成0＝0了。」
「实际上2(x－1)＝2x－2这个算式不是方程式而是恒等式。将左边的2(x－1)展开，就会变成和右边的2x－2一样。也就是说，无论x代入任何数，这个算式都会成立。正因为它永远都成立，所以叫做恒等式，更精确的说法是对x的恒等式。」
「方程式与恒等式不一样吗？」
「不一样，所谓的方程式是『当x代入某数时，此算式成立』，而恒等式则是『无论x代入任何数，此算式皆成立』，两者相当不同，由方程式衍生出来的会是『求出能让此算式成立的某个数』这种问题，而恒等式衍生出来的则是『此算式是否代入任何数皆成立？』变成要证明是否为恒等式的问题。」
「原、原来如此，之前都没有注意到这种差别。」
「嗯，通常是不会注意到的，不过注意一下会比较好，毕竟大部分的公式都是以恒等式的形式出现。」
「有办法一看到算式，就知道它是否为恒等式吗？」
「有时候可以有时候不行，有时候也必须从叙述中判断，也就是说，必须去判断写这个算式的人到底是想要写方程式还是恒等式。」
「写算式的人……」
「当一个算式在变化的过程中，都算是恒等式，来看看这个算式。」
(x＋1)(x－1)＝(x＋1)×x－(x＋1)×1
＝x×x＋1×x－(x＋1)×1
＝x×x＋1×x－x×1－1×1
＝x<平方>＋x－x－1
＝x<平方>－1
「一直都用等号连接，像这样无论x代入任何数，等式都必然成立，也就是变成了一连串的恒等式，一步一步地慢慢来，最后就能得到下面这个恒等式。」
(x＋1)(x－1)＝x<平方>－1
「原来如此。」
「这一连串的恒等式就是为了要让人理解才把算式的变化像慢动作一样表现，所以不要有『啊，好多算式喔』这种负面想法，一步一步慢慢了解就好……知道了以后来试试看这个算式。」
x<平方>－5x＋6＝(x－2)(x－3)
＝0
「两个等号之中，第一个等号构成了恒等式，也就是『x<平方>－5x＋6＝(x－2)(x－3)对所有x皆成立』，而第二个等号则是构成方程式。因此上面这个算式全部代表『用(x－2)(x－3)＝0来代替x<平方>－5x＋6＝0求解的意思』。」
「喔～～原来是要这样理解啊……」
「除了方程式与恒等式，还有定义式。当一个复杂的式子出现时，将它赋予一个名字，进而简化式子，要赋予名字的时候就使用等号，定义式无法像方程式那样可以解开，也不用像恒等式一样需要证明，只要自己方便就可以了。」
「所谓的定义式，可以举个例子吗？」
「譬如将有点复杂的式子α(Alpha)＋β(Beta)赋予s这个名字。所谓命名——也就是定义——就像下面的式子。」
s＝α＋β定义式的例子
「学长，我有问题！」
蒂帮活泼地举起手，由于距离很近，即使不用举手也没关系，真是个有趣的女孩啊。
「学长，到这里我已经快不行了，为什么要用s呢？」
「其实用什么都可以。只是取个名字，不管是s还是t都行，当你定义s＝α＋β之后，后面要表示α＋β时只要用s来代替就可以，假如善用定义，就能将算式表现得清楚易懂。」
「我知道了，那α和β又是什么呢？」
「嗯，这是指在别的地方被定义的文字。当写成s＝α＋β的时候，一般就是指用等号左边的文字来将等号右边的算式命名，也就是说，在定义好α和β构成的算式中，可以用s取代。」
「定义式用什么名字都可以吗？」
「是的，基本上什么都可以，但是不能用已经被定义成其它意思的符号。举例来说，当已经定义s＝α＋β，倘若之后又定义s＝αβ，那阅读的人就会混乱了。」
「说得也是，这样就没有命名的意义了。」
「还有，若是使用常出现的符号，例如圆周率的π或是虚数单位i等等，也会变得很奇怪。当算式中出现新的符号时，先别急，可以先想想『啊，这是不是定义式呢？』。假如文中有出现像，『s定义为以下……』或是『使α＋β为s』之类的说明，那就一定是定义式了。」
「原来是这样……」
「是啊，蒂蒂。这次就试着找出数学的书中含有文字的等式吧，像方程式、定义式，或是其它的式子。」
「好的，我会试试看。」
「数学的书里有很多的算式，这些算式都是某人为了传达自己的想法写下的，这些算式的背后一定会有传达这些讯息的某人。」
「传达讯息的某人……」
2．9．2积的形成与和的形式
「接下来，在阅读算式的时候，注意算式整体的形式是很重要的。」
「整体的形式？是什么意思？」
「譬如这个方程式。」
(x－α)(x－β)＝0
算式的左边是乘法，也就是积的形式，一般来说，构成积的每个算式被称为因式或因数。
(x－α)(x－β)＝0
↑因式↑
「所谓的因式和因子，跟因式分解有关系吗？」
「有的，因式分解是将算式分解为积的形式，质因子分解则是分解成质数的积的形式。通常会将乘法的×号省略，所以下面3个算式的意思是一样的，都是相同的方程式。」
「有的，因式分解是将算式分解为积的形式，质因子分解则是分解成质数的积的形式。通常会将乘法的×号省略，所以下面3个算式的意思是一样的，都是相同的方程式。」
(x－α)×(x－β)＝0使用×的时候
(x－α)×(x－β)＝0使用×的时候
(x－α)(x－β)＝0省略的时候
「好的。」
「然后由于(x－α)(x－β)＝0，所以两个因式之中，至少会有一个等于0，这是因为积的形式导出来的结论。」
「我懂了，由于两数相乘结果为0，所以其中会有一个为0。」
「在叙述上，将『其中一个为0』用『至少会有一个为0』比较好，因为有可能两边都是0。」
「啊，『至少会有一个为0』也是一种严密的表现吗？」
「没错。那么，当两边至少会有一个为0，就表示x－α＝0或x－β＝0成立。换句话说，x＝α，β就是这个积方程式的解。」
「好的。」
「再来试着将(x－α)(x－β)展开，你觉得下面这个算式是方程式吗？」
(x－α)(x－β)＝x<平方>－αx－βx＋αβ
「不对不对，这是恒等式。」
「很好，展开之后就从积变成和了，左边是积的2个因式，右边是和的4个项。」
「项？」
「构成和的每一个式子称为项，为了让你容易懂，我用括号括起来，就像这样。」
