第8章调和数

巴哈认为各声部之间就像是一群好友在对话。

以三个声部为例，其中一部突然沉默，

是为了在轮到自己再度说话之前，

能倾听别人的话语。

——福克尔『巴哈小传』(角仓一朗译)

8．1寻宝

8．1．1蒂蒂

「学长～～」

放学後，我站在校门口，蒂蒂跑了过来。

「原来在这里啊，在图书室沒看到你，还以为发生了什么事情，假如学长现在在要回去的话，请让我一起……咦？这个是？」

我将手里拿着的卡片交给她，她将视线移到那张卡片上。

※※(我的卡片)

H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>

蒂蒂是比小我一届、高中一年级的学妹，平常就像小狗一样绕在我的身边，是个有时候会在图书室里一起用功的好伙伴。她很爱说话，虽然不够稳重，不过偶尔也会露出令人赞叹的认真神情，一头短发配上她那双大大的眼睛，我觉得相当可爱。

「这是……什么？」蒂蒂抬起头。

「嗯，研究课题，就是从这个式子出发，然后寻找『有趣的东西』的习题。」

「？」她仍旧一副不解的表情。

「这个式子就像是藏着宝物的森林一样，看你能不能在当中找出宝物，这张卡片是从村木老师那里拿来的。」

「找出宝物是……」蒂蒂再度看了看我的卡片。

「嗯，从这张卡片出发，自己做出问题，然后再将问题解开。」

「原来如此……那学长你已经从这个算式里找到宝物了吗？」

「不，还没。不过看到这张卡片就能知道一点，这个式子是H<∞>定义式，右边的Σ<k=1到∞,1/k>是……」

「啊！啊～～啊～～～！」

蒂蒂突然大叫让我吓了一跳，她红着脸用两手遮住嘴巴。

「……抱、抱歉，学长，请你什么都不要说，可以让我也一起，『寻宝』吗？」

「什么意思？」

「这个研究课题也可以让我想想看吗？因为我到现在为止都没有试过，想要试一次看看，我想努力将『宝物』挖掘出来。」

说话的蒂蒂摆出拿着铁锹挖洞的样子。

「当然可以，假如找到什么有趣的东西，就写个报告给村木老师吧。」

「咦？不用到这种程度吧。」

她连忙摇头，蒂蒂还是一样有朝气。

「那张卡片先给你，明天会在图书室讨论，所以你就想想看吧。」

「好！我会加油的。」

蒂蒂双眼发亮并将双拳紧握。

「学长……学长对我……」

蒂蒂的声音突然停止了，她注视着我的背后，接着小声地「唉呀」一声。

我回过头看到米尔迦站在那里。

8．1．2米尔迦

「久等了。」米尔迦向我微笑。

我在校门前被两个女孩夹在中间。

米尔迦是跟我同班、高中二年级的学生，也是个与长发和眼镜相当相配的美丽女孩，而且数学很好，虽然她常常随便写我的笔记本、突然开始教我数学、做出一些不管别人想法的事情……

蒂蒂突然慌张了起来，「学长是在等人啊……我、我好像打扰了。那个……我先告辞了。」她点了一下头，跟着退后半步。

「嗯……」

米尔迦慢慢地看向蒂蒂，再看向我，又看看蒂蒂，然后她眯起眼睛微笑，并用和缓的语气说：

「没关系，蒂德菈，我一个人回去就好了。」

米尔迦伸出右手温柔地拍拍蒂蒂的头，接着从我和蒂蒂之间走过。

蒂蒂在被拍的时候微微缩着头，并眨了眨大大的眼睛，她只能看着米尔迦潇洒地离去。

远去的米尔迦没有回头，只有像要回答目送她离去的蒂蒂一样举起了右手挥了挥，最后……她消失在转角。

在她做这一连串动作的时候，我忍耐着不发出声音，因为米尔迦走过的时候踩了我的脚。

而且是非常用力地。

……好痛。

8．2对话存在于所有的图书室

隔天，放学后的图书室人并不多。

「如何？」我问。

蒂蒂露出好像要哭出来一样的表情打开笔记本，上面只写上一行算式。

Σ<k=1到∞,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……

「学长……我的数学果然不行。」

「不，你有抓到这个式子表达的意思了，这个式子没错。」

「学长，虽然我很想找到有趣的东西……可是我完全不知道之后要做什么才好。」

「像这种无限的连续式子虽然好像可以感觉到什么，但是要实际出来却很困难。蒂蒂的挑战精神很值得赞赏，从现在开始我们就一起寻宝。」

「咦？啊，不好意思。耽误你宝贵的时间。」

「没关系，我们就慢慢前进吧。」

8．2．1部分和与无穷级数

「先看问题的式子Σ<k=1到∞,1/k>，这个式子难懂的部分是∞（无穷大）的地方吧。」

「呃……无限大的数是……」

「∞（无穷大）并不是『数』，至少通常不被当成数处理，例如实数就不包含∞。」

「啊，是这样吗？」

「是的，写作Σ<k=1到∞,1/k>的时候，就要理解成『k从1累进到∞，将所有1/k累加』，不过若是说成∞好像是某个地方的一个数，然后k会慢慢地前进过去，这种说法是不正确的，无穷级数Σ<k=1到∞,1/k>是以部分和Σ<k=1到∞,1/k>的极限定义出来的。」

Σ<k=1到∞,1/k>＝lim<n→∞,Σ<k=1到n,1/k>>

「那个lim是……」

「limit就是极限，由于数学上的定义很长，在这里我只简单地说明，假定有数列a<0>，a<1>，a<2>，……a<n>就是表示n在非常大的时候，『a<n>的值会变得如何』的式子。在n非常大的时候，a<n>可能会『无止境变大』，也许会『有时变大有时变小』，甚至可能『接近一定的值』，而这个式子在接近一定的值时a<n>会被定义，总而言之，就是表示a<n>的『目标地点』，而会到达某个目标地点的极限则称此极限收敛。」

「嗯……好难，不过到n在非～～常大的时候，会怎么样的部分我还听得懂……」

「嗯，太难了啊……算了，就是很难用一般的用语表现，所以才用算式写出来，首先对『到达的目标地点是被定义出来的』这件事情有个印象就好，既然是被定义出来的，就不一定能靠直觉理解。不必马上就去求无穷级数的值，从部分和开始思考n→∞的极限才是正确的方法。」

「不、不好意思。对于无穷级数以及部分和的差别，我还是不太清楚……」

「这个是无穷级数，也可以说只是级数。」

Σ<k=1到∞,1/k>(使用k的式子)

「这是部分和。」

lim<n→∞,Σ<k=1到n,1/k>>(使用n的式子)

「如何，了解差别了吗？」

「嗯，∞和n是不一样的……不过，因为n是变量，所以和∞不是一样的吗？」

「不对，完全不一样，确实n代表变量，不过是表示有限的数，而∞不是数，所以不能用n代入，就是因为n是有限的数，所以Σ<k=到n,>上才会是有限个项相加，也就是一定能得到计算结果，但是像这样Σ<k=到∞,>无限个项相加，就不一定会得到计算结果。如果是刚刚有稍微提过的『无止境地变大』或『有时变大有时变小』的状况，目标地点就会不固定，而不固定的值就不能以数看待，另外，若目标地点不固定，则称这个极限发散。当讨论无限个项时，这是一个要非常注意的地方。」

「好的……我已经知道要注意无限了，也知道了发散……所以跟无限有关的话，就算解出算式也不一定是固定的值啊……」

「再来是标记上要注意的地方。下面两个式子都会用到这个删节号『……』，标记无穷级数用是(1)还是(2)呢？」

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)…………＋(1/n)(1)

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……(2)

「表示无穷级数的……应该是(2)吧。」

「没错，(1)的(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……＋(1/n)的『……』并不是表示无穷级数，只是因为写不下所以不写，在这里的项是有限的，而值是固定的并不恐怖，但是(2)的(1/1)＋(1/2)＋(1/3)……的『……』表现的就是无穷级数，这里面藏着lim，如同在说『或许值会不固定』，有限的『……』和无穷级数的『……』意思完全不一样，所以需要特别注意。」

「看起来一样的『……』，有着不一样的意思呢。」

8．2．2从理所当然的地方开始

「喔，又谈到无限的话题了，在开始计算无穷级数前必须先习惯无限个项的和才行。为了要习惯Σ。就先将n为1，2，3，4，5的式子具体地列出来。」

Σ<k=1到1,1/k>＝1/1

Σ<k=1到2,1/k>＝(1/1)＋(1/2)

Σ<k=1到3,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)

Σ<k=1到4,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)

Σ<k=1到5,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)

「那现在开始计算部分和吧，首先要注意Σ<k=1到n,1/k>的值是『由n决定』的。所以即使写做H<n>也是可以的，这是H<n>的定义式。」

H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(H<n>的定义式)

「不、不好意思请稍等一下，『由n决定』这边我不太懂。」

「嗯，像这样会将自己不懂的地方提出来正是蒂蒂的优点，不管是5或是1000，只要n的值是具体固定的，Σ<k=1到n,1/k>这个式子的值就是固定的，这就是『由n决定』的意思，所以可以写出以n为标记的H<n>。这样的话，H<5>就和H<1000>一样，只是命名上的问题。」

「为什么用H呢？」

「因为卡片上写作H<∞>，所以部分和就用H<n>。」

「啊，原来如此，话说回来……写为H<n>，虽然n留下来了，但是k为什么却消失了？」

「因为Σ<k=1到n,1/k>中的k是只在Σ中使用的变量，不会用在其它的地方，像k这种变量称为约束变数，意思就是在Σ中被约束的变量，也不一定非使用k不可，可以填入自己喜欢的文字，像i，j，k，l，m，n这些都常常使用。啊，不过由于i是表示<根号>的虚数单位，所以会造成混乱的时候就不要用，另外平常会用n当约束变量，但是这里不行，因为n已经有其它的意思了，把Σ<k=1到n,1/k>写成Σ<k=1到n,1/n>的话，意思就会变得很奇怪。」

「好的，我知道了。不好意思打断学长的说明。」

「不，没关系。不知道的地方还是问清楚比较容易进行下去。」

我们相视而笑。

8．2．3命题

「那来列举与H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>有关的部分，因为『举例是理解的试金石』，下面的叙述正确吗？」

n＝1的话，H<n>＝1。

「是正确的。因为H<1>＝1，这是当然的……啊，原来如此，『从理所当然的地方开始』，对吧？」

「没错，你记住了，那下面的叙述成立吗？」

对所有的正整数n，H<n>＞0。

「会成立。」

「像这样判断是否会成立的数学主张称为命题，命题可以用国语或英语，甚至是算式来写……那，下面的命题会成立吗？」

对所有的正整数n，当n变大时，H<n>必然变大。

「这个……是的，没错，n变大就代表会有更多的数相加。」

「是的，正数相加就会变大，『当n变大时，H<n>必然变大』这个命题，也可以用算式写成下面的式子，这种方式会比较严密。」

对所有的正整数n，H<n>＜H<n＋1>。

「确实，这个……命题会成立，不过……比起『当n变大时，H<n>必然变大』，『H<n>＜H<n＋1>』会比较严密啊……嗯……」

我静静地等待蒂蒂的思考。

「啊，我知道了。『变大』这个动作和使用不等号的『大于』在叙述的表现上是不同的吧，就像英语的一般动词和be动词一样？」

「咦……？」

蒂蒂的话带给我一些冲击，『变大』和『大』的差别？一般动词和be动词？……原来如此，或许是这样吧，之前村木老师好像有稍微提过，追寻数列变化形态的观点与捕捉数列各项关系式的观点……是『过程的定义与叙述的定义』的话题……

「学长……怎么了吗？」

「不，你说了以后我才想到也有这种看法，不过我只是要表达『比起一般生活用语，用算式表达会比较严密』而已，话说回来，蒂蒂你到底是……？」

「什么？」蒂蒂歪着头，眼睛骨碌碌地转着。

「没事……继续往前进吧，下一个命题会成立吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/n。(？)

「会成立，因为H<n>是以分数的和来定义的，所以用减法会出现分数也是当然的。」

「很可惜答错了，H<n＋1>－H<n>＝1/n不会成立，右边的分母是错的，要像下面的式子，分母不是n而是n＋1才会成立。」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/(n＋1)。

「咦～～啊？原来如此，学长，出陷阱题太过分了。」蒂蒂开始对我抱怨。

「抱歉抱歉，不过还是要好好地确认过才行。」

「是这么说没错……」她不满地嘟起嘴。

「那么H<n＋1>－H<n>到底会变成怎么样呢？能使用H<n>的定义式计算吗？你动笔试试看。」

「好的，嗯……」

H<n＋1>－H<n>＝Σ<k=1到n＋1,1/k>－Σ<k=1到n,1/k>

这是Hn的定义式，再来把Σ具体地写出来。

＝(1/1)＋(1/2)＋…＋(1/n)＋(1/(n＋1))－(1/1)＋(1/2)＋…＋(1/n)

好，完成了。然后……嗯……把项的顺序改变。

＝((1/1)－(1/1))＋((1/2)－(1/2))＋…＋((1/n)－(1/n))＋(1/(n＋1))

这样就可以了吧，学长？

＝1/(n＋1)

「好，做得很好，那这次由蒂蒂命题看看。」

「嗯……那因为出现了H<n＋1>－H<n>……所以这个命题可以吗？」

对所有的正整数n，当n增大时，H<n＋1>－H<n>会变小。

「没错没错，很好，算式的话要怎么写呢？」

「这样吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>。

「就是这样，非常好！」

「加上去的数，像1/2，1/3，1/4，……这种『变小』的感觉就用『小』的算式表现。」

8．2．4全部的……

「蒂蒂，像这样把一切都用算式表示是很重要的，就算是一些理所当然的事也不要紧，尽量写写看，这是一个练习使用数学语言的方法。」

「好，我想起学长之前曾经对我说过『玩数学就像在捏黏土』，我捏我捏……」蒂蒂一边说一边做出捏黏土的动作。「啊，不过『对所有的正整数n』……这个不算是式子吧。」

「嗯，要说明正整数N的集合，就用这个算式。」

n∈NH<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>

「这个算式要怎么念啊？」

「<ForAll>n∈N……就念成『ForallninN……』，用说的就是『对所有正整数n』……或是『对任意整数n』吧，<ForAll>是All的A倒过来写。

「这个好像跟一般的N不太一样？」

「是的，写N的话会被当成是一般的数。但是写成N就能很清楚地知道『这不是数，而是集合』。」

「那这个∈呢？」

「这是用来表现元素∈集合的形式，是要表示『集合中的元素』的意思，写成<ForAll>n∈N的话，就是代表『在这个集合中，无论选出哪一个元素n……』的意思。」

「意思就是不管选出哪个都可以吧……学长，这样学数学就像在写作文一样，不过不是英文作文而是数学作文。」蒂蒂笑着说。

「数学作文……数学确实也有这样的一面，大部分的算式都会经过压缩后再以简洁的方式表现，所以想要搞清楚这个算式到底在写什么的时候，还是慢慢来比较好。」

「那算式就像浓缩果汁一样啰？一口气喝下去的话会有危险吗？」

「……好了，我们将算式具体地写出来。」我说。

H<1>＝1/1

H<2>＝(1/1)＋(1/2)

H<3>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)

H<4>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)

H<5>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)

「按照顺序从上往下看的时候，要注意增加的部分，也就是Hn＋1－Hn唷。」

H<2>－H<1>＝1/2

H<3>－H<2>＝1/3

H<4>－H<3>＝1/4

H<5>－H<4>＝1/5

H<6>－H<5>＝1/6

「像这样H<n＋1>－H<n>的值就会渐渐变小，就跟刚才蒂蒂你说的一样。」

「是的。」

「H<1>，H<2>，H<3>，H<4>，H<5>，……虽然本身越变越大，但是『变大的量』，也就是『增加量』却逐渐减少。每个数字之间增加也越来越少，这样的话……」

「啊，请等一下，这个『增加得越来越少』的部分，我想可以用我刚刚写的算式表现，嗯……就像这样。」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>。

「没错，就是这样，虽然增加得越来越少这种说法很暧昧，但算式写出来就很清楚了，也会变得比较容易理解，虽然有很多人觉得算式既复杂又难以理解，不过很多状况不写算式反而会更加难懂。算式是一种语言，只要使用得当，就能帮助自己理解，或是成为传达讯息的有用工具。」

「好的，我看看。将目前的命题用算式写出来的话……这样写可以吗？」

<ForAll>n∈NH<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>

「嗯，不错，就是这样。」我说。

蒂蒂似乎很高兴。

8．2．5……是存在的

「那么，差不多要看见最初的宝物啰。」

「咦？」

「到目前为止定义了H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>，n变大的话，H<n>也会随着变大，不过增加量会越来越少，如此一来，在n变大时，H<n>也会不断地变大吗？还是说，即使n不断地增大，H<n>也不会大到超过某个数呢？」我提出质疑。

「也就是下面的式子会不断地变大，最后出现瓶颈吧？」蒂蒂将自己的头托在手上说。

(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)＋……

「没错，这就是从那张卡片上自然而然会发展出来的问题，要调查这个题目是发散还是收敛，用算式写写看。」

※※问题8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下列式子是否成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

「ヨ？」

「ヨ不是日文片假名的yo，而是将Exists的E反过来写的记号。」

「『存在』吗？也就是说『ForallMinR,nexistsinN……』。」

「蒂蒂的发音很漂亮，可以用『nexists』，或者用『thereexistsn』也没关系，再用suchthat补充的话就更容易明白了。」

ForallMinR,thereexistsninNsuchthatM＜Σ<k=1到n,1/k>。

「学长，用讲的要怎么说呢？」

「硬要说的话就会像这句话。」

对任意的实数M，有一个正整数n存在，使M＜Σ<k=1到n,1/k>成立。（JoyJ：我们一般说“存在n”就够了==）

「虽然很啰嗦……不过勉强能懂。」蒂蒂回答。

「下面的(a)和(b)两个式子，你能知道它们哪里不一样吗？」我在笔记本上写上两行算式。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>(a)

ヨn∈N<ForAll>M∈RM＜Σ<k=1到n,1/k>(b)

「稍微有点长，所以为了让意思清楚一点，就加上括号吧。」我加上括号并对蒂蒂说明。

<ForAll>M∈R{ヨn∈N[M＜Σ<k=1到n,1/k>]}(a)

ヨn∈N[<ForAll>M∈R{M＜Σ<k=1到n,1/k>}](b)

([]内为M的约束范围,{}内为N的约束范围)

「用英语写的话……」我继续写上英文。

ForallMinR,thereexistsninNsuchthatM＜Σ<k=1到n,1/k>(a)

ThereexistsninN,suchthatforallMinRM＜Σ<k=1到n,1/k>(b)

蒂蒂将英文念了几次，陷入沉思。

「……我觉得我应该懂，顺序很重要吧？(a)这边是先决定M然后找n，在找n的时候M不会变，但是(b)这边是先决定n，然后对n寻找所有M……这样吗？」

「是的，意思对了。(a)这边是一开始选出M，然后用M去找n，认为可以在对全部的M中找到n，依照选择的M，n不同也没关系，但是(b)这边是先找到n，无论这个n是什么数，都会对全部的实数M成立这个不等式，在(b)的情形下，选择M的时候n不会变。这次的问题8－1说的是(a)，这没问题吧？」

「……勉强没有。」蒂蒂说。

「要用语言来表现(a)与(b)的差异是非常困难的，但是仔细地看的话，用算式就可以很清楚地表现。」

「的确要用语言区分很困难。话说回来，这个不等式的出现的M是什么啊？」

「你觉得是什么呢，蒂蒂？」。

「嗯，很、很大的数？」

「大概就是这种感觉吧，比起表现『会一直变大』，用任意实数M来表现『比M还大』会更清楚，无论M设多大，只要有像问题8－1那样对M存在的n，就可以说会一直变大下去，若是对其中任何一个M都不存相对的n，就不能说会一直变大下去。」

「原来如此……虽然好像绕了好大一圈，不过我终于将意思弄明白了……呼。」（JoyJ：为什么我反倒越来越晕了==）

「嗯？累了吗？」

「不会不会一有一点点累而已。不过多亏学长的说明，让我的『数学作文的语汇』增加不少。」

「真是辛苦你了，蒂蒂，今天就到这里为止吧，差不多管理员瑞谷老师也要出现了，就等明天放学后再打开这个宝箱吧。」

「好！学长……我……非常高兴喔！」

「没错，数学很有趣吧？用算式这个新语言，就不会让思绪变得暧昧喔……」

「我是说，能和学长一起……呃，嗯，是的，没错，明天也要拜托学长了！」

(无名之声：我相信对高中生来说，有趣的不会是ε－Ｎ语言，有趣的只是暧昧的对象而已。)

8．3附有无止境上升螺旋阶梯的音乐教室

隔天，午休的音乐教室中。

经过的学生们都被钢琴声吸引而停下脚步观看。

两位美少女正在平台钢琴前连手弹奏。

其中一位是才女米尔迦，另外一位是喜欢钢琴琴键的少女英英，她是钢琴社团『极强音』的社长，也是高中二年级的学生，虽然和我跟米尔迦是同学年，不过不同班。

米尔迦与英英弹着以上升音阶为基调的变奏曲，两个人配合呼吸、弹着相似的旋律，在不断反复的同时，音阶也逐渐上升，咦？仿佛快要超越钢琴的音域了……不，这不可能，拉回注意力的时候，不知何时音阶又降下来了，到底是什么时候降的？这真是非常不可思议的感觉……就像是爬上永无止境的楼梯一样，这种令人焦急的感觉有如拥有能一口气冲上天的巨大翅膀，却在螺旋阶梯上一步一步地往上爬，无限上升的无限音阶、永远持续变奏的音乐，她们竟然能用钢琴弹出这种曲子，着实让我惊讶。

从我的位置可以看见米尔迦快速移动的手指(就是那温暖的手指)，嗯，确实能看见手又回到左边的低音部，不过我的耳里却只见不断上升的音乐。

曲子在最后慢慢地转向渐弱，然后淡出，在残响消逝的那一刻，在场的人爆出叫好声与拍手声，米尔迦与英英站起来行了个礼。

「有趣吗？」米尔迦问我。

「真不可思议，明明只是有限的琴键，却好像有无限的曲调。」我说出感想。

「就像向正无限大发散一样有趣，明明有限却发散这点很矛盾。」米尔迦露出开玩笑似的微笑。

「似乎有用不同的八度音吧。」

「没错，让不同音程的八度音同时平行上升，然后音越高音量就越小，在高音消逝的同时以小音量混入低音，在中音域表现最大的音，这样就能瞒过人的耳朵产生无限上升的感觉，一个人弹的话会有表演的极限，所以要两个人。」

「不能把秘密说出来啊！」英英靠了过来并说：「要做出这曲子真的很难，因为只有单纯的音阶就不有趣了，所以要用快节奏让听众不会听腻，还要不能太过单调，得让人有不可思议的感觉，幸好米尔迦的手指很灵敏，真是帮了我大忙。」

「对了，我希望下次是梅比乌斯环形状的协调曲。」米尔迦笑着建议。

「那是什么曲子啊！……算了，下次再一起弹吧。」英英一边苦笑，一边走向自己的教室。

米尔迦则是绕起食指哼歌，和我一起往教室走去。

看来她的心情非常好。

8．4不愉快的ζ

在午休的后半段，米尔迦啃着当成午餐的巧克力在我前面坐下。

「你看过村木老师的这张卡片了吗？」说完话的她把卡片放下。

※※(米尔迦的卡片)

ζ(1)

(咦？和我的不一样。)

米尔迦不等我的回答就继续说下去。

「要我研究ζ(1)，不过ζ(1)是向正无限大发散的这件事已经很有名了，证明很快就可以完成。不过正因为这样，我才想要用不同方式试试看，我的想法是先……」

我呆然地听着米尔迦飞快的说明，脑中想着「原来老师这次给我和她的是不同的卡片啊」，印象中有听过ζ函数，应该是目前最尖端的数学领域，原来如此，这是配合才女米尔迦实力的困难问题。

……话说回来，不晓得蒂蒂解出昨天的问题了吗？蒂蒂，那跳跳的女孩到底该怎么形容她呢，虽然觉得她并不是很擅长数学，不过她的行动与叙述……具有相当敏锐的洞察力，不过本人似乎没有意识到这一点。

一开始我是以教导学妹的态度与蒂蒂对话的，不过最近有点在与她解答问题的同时，会有种需要重新整理思考的感觉。我说明，而蒂蒂接受，这样的行为不断地累积，就像一阶一阶地爬上楼梯，接着换蒂蒂说明，我接受，哈哈……就像递推公式一样慢慢地、慢慢地产生变化，然后一个一个确认……而且，我被蒂蒂那双大眼睛一直凝视着的时候，就会……

「喂。」米尔迦叫我。

面无表情的米尔迦盯着我。

糟了，我完全没在听她说话，这真是太糟糕了。

上课的铃声响了。

米尔迦无言地起身，看都不看我一眼就走回自己的座位。

看来她的心情非常糟。

8．5无限大的过分评价

由于今天是图书室整理内部的日子，所以不能使用图书室，我和蒂蒂就在别馆的大厅『学仓』角落找了个位置进行计算。

「不好意思。」

蒂蒂慎重地行礼后在我的身旁坐下，她稍微迟到了一下子，从她的身上飘来特有的香味，而耳边传来的是练习中的长笛二重奏。

我静静地开始写下昨天问题解答的算式。

※※问题8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下列式子是否成立。

M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

蒂蒂在旁边看着。

H<8>＝Σ<k=1到8,1/k>

＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋(1/4)＋(1/5)＋(1/6)＋(1/7)＋(1/8)

＝(1/1)＋((1/2))＋((1/3)＋(1/4))＋((1/5)＋(1/6)＋(1/7)＋(1/8))——分为1个，2个，4个一组

≥(1/1)＋((1/2))＋((1/4)＋(1/4))＋((1/8)＋(1/8)＋(1/8)＋(1/8))

＝(1/1)＋((1/2)×1)＋((1/4)×2)＋((1/8)×4)

＝(1/1)＋(1/2)＋(1/2)＋(1/2)

＝1＋3/2

「在这里稍微休息，虽然中间变成了不等式，你应该能理解吧？为了方便广义化，这里就不计算到最后，而只到1＋3/2为止。虽然现在只看H<8>，不过H<1>，H<2>，H<4>，H<8>，H<16>，……都是用一样的方法，最后会变成这样。」

H<1>≥1＋0/2

H<2>≥1＋1/2

H<4>≥1＋2/2

H<8>≥1＋3/2

H<16>≥1＋4/2

「要将这式子广义化不难，令m为0以上的正数，则下式成立。」

H<2<m次方>>≥1＋m/2

「不过这是不等式吧，不是等式的话，不就不能求H<2<m次方>>的值吗？」

「现在的目的并不是要求H<2<m次方>>的正确值，而是要看出H<2<m次方>>到底能大到什么程度。你想想看，依照上面的式子，m值很大的话会发生什么事情？」

「……啊，我知道我知道！会一直变大！m变大的话，1＋m/2就会一直变大下去。所以……嗯！用不等号来想的话，只要m变大，H<2<m次方>>要大到什么程度都没问题！」

「先冷静下来从头开始好好地看，定义M的时候，是为了让某一个n使得M＜Σ<k=1到n,1/k>成立。」

「好的，我懂了，无论对多大的M，只要m够大的话就能像……

M＜1＋m/2

一样找到m，这里只要将m设为2M以上的整数，找到m之后，就令n＝2<m次方>，也就是用m做出n，而这个n就是我们要求的n吧？」

M＜1＋m/2≤H<2<m次方>>＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

「没错，所以昨天的问题8－1的解答就是……」

※※解答8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下式成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

「原来是这样，不等式真方便，虽然不能求出正确的值，却可以从小的地方向上推……」蒂蒂一边说一边做出排球托球的姿势。

「这样就找到一样宝物了，Σ<k=1到n,1/k>会一直变大下去。」

「学长，真不可思议，用1＋m/2这个会变大的数，就可以将H<2<m次方>>推上去，而为了要推挤则用上了不等式，到这里还好……明明越变越小的数1/k，相加成Σ<k=1到n,1/k>竟然可以一直变大下去，真的很不可思议。」蒂蒂不断地点头。

「嗯，那就试试看将『一直变大下去』这种说法用算式表现，在这里为了简化，就限定数列里全部的项比0大。」我边说边在笔记本上书写。

「对部分和Σ<k=1到n,a<k>>有一任意项都比0大的数列a<k>＞0(k＝1，2，3，……)使得……

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

成立时，因为n→∞，所以称Σ<k=1到n,a<k>>为向正无限大发散，这是定义，然后以……

Σ<k=1到∞,a<k>>＝∞

表现出来，a<k>＝1/k的状况就是问题8－1，因为现在定义了『向正无限大发散』，所以可以得到下面的结论。」

『无穷级数Σ<k=1到∞,1/k>是向正无限大发散。』

蒂蒂一直盯着我的笔记本，认真地思考。

「无论是什么正数，只要一直加上去，就会不断地变大下去啊……果然这就是无限……」

「咦？你刚刚说了奇怪的话喔，那这个问题如何？」

※※问题8－2

令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式是否必然成立？

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

「我觉得问题8－2会成立。因为……将a<k>这个正数一直不断地累加下去的话……也就是n变大……和也会跟着变大。所以，总会加到Σ<k=1到n,a<k>>比M大的时候。」

「嗯，虽然我了解你的想法，不过蒂蒂，虽然这么说有点奇怪，可是你对无限大有过大的评价喔。」

「咦？有不管正数再怎么加，也不会比M还大的状况吗？」

当然。举例来说，假如数列a<k>的一般项是以下的式子的话会如何？」

a<k>＝1/2<k次方>

「咦？」

「在这个状况里，对全部的正整数k，a<k>＞0会成立，但是Σ<k=1到n,a<k>>却不会无止尽地变大，因为……」

Σ<k=1到n,a<k>>＝Σ<k=1到n,1/2<k次方>>

这里就按照an的定义，将Σ具体地写出来。

＝1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2<n次方>