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《数学少女》作者：[日]结城浩【完结】 >
数学少女.txt
接下来为了方便计算，加入1/2<0次方>之后再减掉。
＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2<n次方>)－1/2<0次方>
这样就能用等比数列的求和公式了。
＝(1－1/2<n＋1次方>)/(1－1/2)－1
除去分子－1/2<n＋1次方>的这一项，就可以做出不等式。
＜1/(1－1/2)－1
之后就是计算。
＝2(？)
「那个……不好意思……最后的计算1/(1－1/2)－1的结果不是2吧？」
「咦？……啊，真的，最后的计算结果应该是1，结论是下面会成立。」
Σ<k=1到n,1/2<k次方>>＜1
「也就是说无论＝中的n有多大，结果都不会在1以上。无论加了多少，由于去会极度地接近0，所以和没办法累加到1以上，虽然当M＜1时n会存在，但M≥1的话n就不存在了，所以用ak＝为反例，问题8－2的答案会是这样。」
※※解答8－2
令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式并非必然成立。
<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>
「原来如此，当n变大的时候，会有部分和不断增大与并非如此的两种状况……不过，学长也会计算错误啊。」
「当然也会有算错的时候，虽然对刚才的证明没什么影响……」
就在这一瞬间，蒂蒂学着我的口吻说：
「不过还是要好好地确认过……对吧，学长？」
经过瞬间的沉默，我们看着彼此笑了出来。
8．6于教室演练调和数
在放学后的教室，我叫住不发一语、准备回去的米尔迦。
「米尔迦，之前发呆没好好听你说话是我不对。那个……关于昨天的事，我对ζ函数其实不太清楚，就是关于ζ(1)是向正无限大发散的话题……」
「嗯……」
看来是很难对话了。
不过最后米尔迦终于拿起粉笔，开始在黑板上写下：
「这是黎曼函数ζ(s)的定义，黎曼的ZETA函数。」
ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)
米尔迦继续写下去。
「ζ(s)被以无穷级数的型式定义，这里的s＝1就是调和级数，用的是HarmonicSeries第一个字母H，写做H<∞>。」
H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)
「也就是说，黎曼函数中s＝1的式子就等于调和级数？」
「是这样啊……那我和蒂……我想到的无穷级数与ζ(1)就是一样的。」
村木老师出给我和米尔迦的是相同的问题吗？原来H是Harmonic的第一个字母。
无视我说的话，米尔迦继续说下去。
「下面的部分和Hn称为调和数。」
H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)
「也就是当n→∞，调和数H<n>→调和级数H<∞>。」
教室里回荡着米尔迦用粉笔写黑板的声音。
H<∞>＝lim<n→∞,H<n>>(调和级数与调和数的关系)
「因为调和数H<n>是n→∞，所以向正无限大发散。」
lim<n→∞,H<n>>＝∞
「因此调和级数也是向正无限大发散。」
H<∞>＝∞
「也就是说ζ(1)是向正无限大发散。」
ζ(1)＝∞
「为什么能说『调和级数是向正无限大发散』……」
到这里米尔迦终于向我笑了一下，她已经回复到平常的模式了。
我在呆然的状态下向她说明我写给蒂蒂的式子，是以m为0以上的整数，利用H<2<m次方>>≥1＋m/2成立的证明。
「没错，你的证明和14世纪奥雷姆用的是相同的方法。」米尔迦说到。
※※黎曼函数、调和极数、调和数
ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)
＝H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数的定义式)
＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>(调和数的定义式)
米尔迦这时闭上眼睛，仿佛指挥般用手指划了一个L型，然后张开眼说：
「你还记得在离散的世界找出指数函数的事吗？」
「嗯，还记得。」印象中是做出差分方程式解开问题的。
「那么这个问题如何？在离散的世界中试着找出『指数函数的反函数』……也就是对数函数。」
※※问题8－3
对应连续世界的对数函数㏒<以e为底，x>，定义离散世界的函数L(x)
连续世界←→离散世界
㏒<以e为底，x>←→L(x)＝？
「那我要回去了，你慢慢想吧。」
米尔迦上将手上的粉笔灰弄掉之后走向教室门口，接着她回头对我说：
「先告诉你一件事。你的缺点就是不画图，数学可不是只有式而已。」
8．7两个世界，四种演算
夜晚。
我在自己的房间里打开笔记本，思考着米尔迦的问题8－3。
是在离散的世界中，找出对应对数函数㏒<以e为底，x>的函数问题。
以前调查指数函数的时候，解决了将De<x次方>＝e<x次方>与ΔE(x)＝E(x)互相对应的问题，成功地将微分方程式与差分方程式彼此对应。
这次就从对应对数函数的微分方程式开始吧。
我曾在书上看过对数函数㏒<以e为底，x>的微分。
f(x)＝㏒<以e为底，x>
↓微分
f’(x)＝1/x
将『微分之后变成1/x』这个性质，当成是满足对数函数的微分方程式思考，由于1/x也可以写作x<－1次方>，所以可以用『微分之后变成x<－1次方>』表现，用米尔迦以前用过的微分算子D来写的话，就变成下列式子。
D㏒<以e为底，x>＝x<－1次方>满足对数函数的微分方程式。
以此类推，在离散世界对应㏒<以e为底，x>的函数L(x)会满足下面的差分方程式，并将平常的－1次方取代为递降阶乘的－1次方。
ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>满足函数L(x)的差分方程式
不过之前和米尔迦讨论的时候，只考虑到递降阶乘x<n次递降阶乘>中n＞0的状况而已。
※※递降阶乘的定义(n为正整数)
x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))
这样的话，必须适当地考虑在n≤0的状况要如何定义x<n次递降阶乘>。
n＝4，3，2，1的时候，x<n次递降阶乘>会如同下面的式子。
x<4次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)(x－3)
x<3次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)
x<2次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)
x<1次递降阶乘>＝(x－0)
仔细观察的话，可以知道以下性质。
×x<4次递降阶乘>除以(x－3)的话会得到x<3次递降阶乘>。
×x<3次递降阶乘>除以(x－2)的话会得到x<2次递降阶乘>。
×x<2次递降阶乘>除以(x－1)的话会得到x<1次递降阶乘>。
将这性质自然延伸的话，会变成下面的规则。
×x<1次递降阶乘>除以(x－0)的话会得到x<0次递降阶乘>。
×x<0次递降阶乘>除以(x＋1)的话会得到x<－1次递降阶乘>。
×x<－1次递降阶乘>除以(x＋2)的话会得到x<－2次递降阶乘>。
×x<－2次递降阶乘>除以(x＋3)的话会得到x<－3次递降阶乘>。
然后会变成下面的式子。
x<0次递降阶乘>＝1
x<－1次递降阶乘>＝1/(x＋1)
x<－2次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2))
x<－3次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3))
※※递降阶乘的定义(n为整数)
x<n次递降阶乘>＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－(n－1))n＞0时
x<n次递降阶乘>＝1n＝0时
x<n次递降阶乘>＝1/((x＋1)(x＋2)(x＋3)……(x＋(－n))n＜0时
接着回到对数函数吧，目标是解出下面的差分方程式。
ΔL(x)＝x<－1次递降阶乘>
左边以Δ的定义变成L(x＋1)－L(x)。
右边以x－1的定义变成1/(x＋1)，所以差分方程式会变成下面的式子。
L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)L(x)的差分方程式
要是能从这里求出L(x)就好了……咦？
咦？
L(x＋1)－L(x)＝1/(x＋1)不是和蒂蒂之前讲到的式子相同吗？嗯……是这个。
H<n＋1>－H<n>＝1/(n＋1)调和数H<n>的递推公式
L(x)的差分方程式和调和数H<n>的递推公式居然完全一样！既然这样，就定义L(1)＝1吧，可以得到下面这种简洁的关系式。
L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>
使用调和数的标记法H<n>，就会变成下面的模式。
L(x)＝H<x>x为正整数
这样就解决问题8－3了。
解答8－3
L(x)＝Σ<k=1到x,1/k>
＝H<x>
然后可以做出下面这样的对应关系。
※※对数函数与调和数的关系
连续世界←→离散世界
㏒<以e为底，x>←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>
不过对于对数函数和调和数有什么密切的关联，还是没什么感觉。
等一下，在讨论『微分和差分」的时候，米尔迦在最后有稍微提到关于『积分与和分』的事情，名为『连续世界』和『离散世界』的两个世界，还有微分、差分、积分、和分这四种演算吗……好，画图整理一下。
※※两个世界，四种运算
『连续世界』『离散世界』
微分D←对应→差分Δ
↑↑
逆运算逆运算
↓↓
积分∫←对应→和分∑
嗯，漂亮地整合起来了，调和数字于图中的「和分Σ」，也就是说要回到左下的连续世界……啊，对了！㏒<以e为底，x>微分的话会变成1/x，也就是说将1/x积分的话就会变成㏒<以e为底，x>，好厉害，积分的倒数与和分的倒数完全对应了，因为写成㏒<以e为底，x>所以看不出来，要是写成∫<x,1>(1/t)的话就好了。
这样就能继续下去了。
※※对数函数与调和数的关系
连续世界←→离散世界
㏒<以e为底，x>＝∫<x,1>(1/t)←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>
连续世界的积分用dt写会不会比较好？那离散世界……就需要δk了，啊，假定δk＝1的话就能顺利对应。
∫<x,1>(1/t)dt←→Hx＝Σ<k=1到x,1/k>δk
越来越顺了，演算真是能带给我喻快的心情。
『你的缺点就是不画图。』
呜……被米尔迦这么直接说还真痛啊，比脚被踩痛多了。
好，那就照米尔迦说的来画图，将积分与和分表示的面积画出来。
[插图：作只有正坐标轴的平面直角坐标系，画出y＝1/x的图像。描出(1,1)点，投影到坐标轴上。之后，在其右侧任取一点(x，1/x)，投影到x轴上。此时(1,0)、(1,1)、(x,0)、(x，1/x)四点以坐标轴与图像为边界围成的不规则图形的面积㏒<以e为底，x>＝∫<x,1>(1/t)]
[插图：作只有正坐标轴的平面直角坐标系，画出y＝1/x的图像。描出(1,0)、(2,0)、(1,1)、(2,1)点围成一个矩形，描出(2,0)、(3,0)、(2,1/2)、(3,1/2)围成一个矩形……描出(n,0)、(n＋1,0)、(n,1/n)、(n＋1,1/(n＋1))围成一个矩形，则矩形的面积和H<n>为Σ<k=1到n,1/k>]
(无名之声：弄这插图的阴影还弄得我真纠结)
(JoyJ：理解并描述更纠结==)
喔～～确实画图之后，『连续世界』与『离散世界』的呼应也能用视觉来充分理解了……真令人惊讶。
8．8已知的钥匙，未知的门
「……所以得到『连续世界的对数函数』和『离散世界的调和数』是互相对应的。」
一如往常在回家的路上，我和蒂蒂并肩走向车站，我简单地说明米尔迦的问题和我的成果。
「仔细想想，只要检讨一下奥雷姆的证明就应该能发现了，你看，在证明是向正无限大发散的时候，1个、2个、4个、8个，每2<m次方>个项就会形成一个群，也就是说集合项的个数会以指数函数的方式增加，接着如果能发现指数函数的反函数——对数函数与调和数之间其实很相似就更好了。」要是在那时画图的话，或许就能立刻解开米尔迦的问题，结果完全如米尔迦指出的问题一样，真是让人心痛。
原本蒂蒂兴味盎然地听自信满满的我说话，却突然停下脚步，还表现出一副垂头丧气的模样。
「……学长，我虽然说出『也想做研究课题』，但是结果完全无法找出『有趣的东西』，全部都是学长告诉我的，我的数学果然还是不行。」
「不，不是这样喔。」我也停下了脚步对她说。
「蒂蒂希望能自己思考吧？这是很重要的，即使这么做却什么也没发现也一样。正因为有努力地思考过了，所以才能立刻听懂我的话，不要忘了这一点。」
蒂蒂认真地听我说。
「你会想要读懂算式到底是什么，这是非常好的一件事，一看到算式就停止思考的人非常多，在思考算式的内容之前就完全不想去碰它。当然，难的算式本来就不容易懂，但是就算完全不懂，也应该要想『到这里为止是我知道的，从这里之后是我不知道的』。当人说出『没办法』的时候就会停止理解、停止思考，接着会找借口说算数学又没有多大用处，结果以后就一定会从『因为没用所以不读』变成『就算有用也读不懂』，学数学时不能有酸葡萄心理，所以愿意挑战的蒂蒂非常伟大。」
「但是……看学长做出问题与解答问题时，我虽然能理解，却没办法做到那种地步，要怎么做才能做到呢？要从哪里开始思考呢？……这让我觉得非常不可思议。」
「有时候，就算是我也并不是真的有什么新发现，而是以过去读过的东西、解过的问题当成基础，上课时的练习问题、自己想的课题、书里写的范例、和朋友讨论的解法……这些都成为我能发现宝物、挖掘宝物的原动力。」
我继续向前走，蒂蒂跟在我的旁边，我继续说：
「解问题时的心态就类似使用不等式来评估算式的大小，不一次都会像等式一样马上得到答案，而是像『从现在知道的条件来判断，答案会比这个大，但是会比那个小……』之类的。使用自己到目前能使用的方法，慢慢地接近答案，并不一定会一下子全盘了解，在知道的地方先钉下楔子，再用铁撬慢慢地移动岩石，也就是用已知的钥匙打开未知的门。」
蒂蒂的眼中发出光芒。
「蒂蒂，学习时在自己心中多累积『原来如此』的感觉吧，不是自己想到的也无所谓，藉由阅读完美的证明体会『这真是太厉害了』的感觉也是很重要的经验。」
「嗯、嗯，我懂，在学英文的时候，在听到以英文当母语的人的发音后，我也会希望自己的发音能像对方一样……而且学长，我听了学长的话之后……都会特别有活力。我、我真的……」
她一边说话一边放慢脚步，一向活泼的蒂蒂在回家的路上总是慢慢地行走。
我们陷入短暂的沉默，只是向前漫步。
「啊，对了，这星期六要不要去天文台？」
「咦……和学长吗？去天文台？跟我吗？」蒂蒂用食指指着自己的鼻子。
「我从都宫那里拿到免费的招待券，说不定值得去看看，你不喜欢吗？」
「我很喜欢！我要去！哇、哇……学长，我好高兴！啊～～可是不邀『那位学姊』可以吗？那个……米尔迦学姊。」
「啊，说得也是。假如蒂蒂你不方便的话……」
「不、不会！不会不方便！我绝对会去的！」
8．9假如世界上只有两个质数的话
假如世界上只有两个人的话，烦恼会不会少很多呢？就是因为人太多才会陷入比较与争夺中吧？假如像亚当与夏娃一样，只存在两个人的世界，就不会有麻烦了吗？只有亚当与夏娃的时候也有麻烦吧？不过那时候还有蛇，真的只剩两个人的话，就不会有问题吗？不，或许问题仍会发生，而且虽然最初是两个人，不过迟早会从他们开始有更多的人出现，这样的话，在丰富变化的同时说不定也产生了烦恼……
「你在想什么啊？」米尔迦问我。
「在想假如世界上只有两个人的话会变成怎么样？」
「喔……打开数学笔记本想这件事？……那就来说说『假如世界上只有两个质数的话』吧。」
米尔迦一如往常地将我的笔记本拿走开始写上算式。
8．9．1折积
「我从头开始说明，首先思考下列式子的积。」米尔迦说，我默默地听。
(2<0次方>＋2<1次方>＋2<平方>＋……)×(3<0次方>＋3<1次方>＋3<平方>＋……)
「这个积向正无限大发散，所以称为形式上的积，不过将开头的几项展开观察。」
2<0次方>3<0次方>＋2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>＋2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>＋……
「依照指数的和来分类的话，就能看清规律。」
(2<0次方>3<0次方>)＋(2<0次方>3<1次方>＋2<1次方>3<0次方>)＋(2<0次方>3<平方>＋2<1次方>3<1次方>＋2<平方>3<0次方>)＋……
「也就是能用下面的二重和来表现。」
Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,2<k次方>3<n－k次方>>>
我看着式子的展开并点点头，接着开口说：
「米尔迦，这是折积吧，外侧的Σ<n=0到∞,>会让n以0，1，2，……的规律增加，然后里面的Σ<n=k到∞,>会对应n列出指数的和。也就是将2与3的指数『平分』……」
「平分？……嗯，也可以这样说，所以只拥有2或3的质因数的正整数，必定只会在这个和中出现一次，这是因为在2与3的指数部分，0以上的整数任意组合也只出现过一次而已。」
「原来如此，的确是这样。」我回答。
「虽然是只拥有2或3的质因子，不过也包含1。」她接着补充。
8．9．2等比级数收敛
米尔迦继续说：「这次就来思考下面的无穷级数的积，命名为Q<2>。」
Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)
「刚才那个是向正无限大发散、形式上的积，但是这式子却不：这是因为Q<2>，的两个无穷级数是收敛等此级数的关系，用等比级数公式算两个因式的话，会出现Q2，的积的形式。」
Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)
＝(1/(1－1/2))×(1/(1－1/3))『积的形式』
她继续说下去。「现在试试将Q<2>从头展开，Q<2>就会变成『和的形式』，然后分母就会出现刚才的2<k次方>3<n－k次方>。」
Q<2>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>……)
＝1/(2<0次方>3<0次方>)＋(1/(2<0次方>3<1次方>)＋(1/2<1次方>3<0次方>))＋((1/2<0次方>3<平方>)＋(1/2<1次方>3<1次方>)＋(1/2<平方>3<0次方>))＋……
＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/(2<k次方>3<n－k次方>)>>『和的形式』
「Q<2>可以用以上两个方法求出，也就是说下面的等式成立。」米尔迦说。
(1/(1－1/2))×(1/(1－1/3))＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/(2<k次方>3<n－k次方>)>>
「左边是积，右边是和啊。」我说。
8．9．3质因数分解的唯一性
「那么在这里假设『世界上只有2和3两个质数』，然后所有的正整数就一定只会在的分母2<k次方>3<n－k次方>出现一次。」
「咦？米尔迦，2<k次方>3<n－k次方>并不能表现全部的正整数吧？就算加上1，也只会有包含2或3这两个质因数的正整数而已，像是5或7或10之类的都不会出现。」我说。
「所以才假设『世界上只有2和3两个质数』，假如世界上只有2和3这两个质数，就不会有5或7或10之类的整数了，还不懂我在说什么吗？」她回答。
「你说的是质因子分解的唯一性吧，『比1大的所有整数都可以用唯一的质数积表示』。所以你想说『世界上只有2和3两个质数的话，就不会有5或7的整数』？不过『世界上只有两个质数』的话题还是到此停止吧。总觉得不会有什么结果。」
「我知道了，你这么说的话就算了，不接受质数只有2个的原因是质数根本不可能只有2个，那假设世界上的质数只有m个。」米尔迦说。
「这……所以就说不行了，不管是2个还是m个都一样，这样假设的话。质数就会变成有限个了。」米尔迦到底想要说什么？
「就是假设『质数是有限个』啊，你还没发现吗？」
看着米尔迦的表情，我突然想到了。
「反证法……吗？」
8．9．4质数无限的证明
反证法——基本的证明方法之一，总而言之就是『否定想要证明的命题，将其导致矛盾』。不过，对否定想证明的命题这种难以处理法感到棘手的人也相当多。
※※反证法
假设：否定想证明的命题
↓
矛盾
↓
假设为否
↓
结论：则命题为真
「从现在开始就要使用反证法证明质数有无数存在。」
她仿佛手术前的外科医师般将两手展开宣言。
「米尔迦，说到证明质数无限，要用欧几里德的方法吧？假设质数为有限个，将全部的质数相乘再加1还会是质数……」
我说到一半的时候，米尔迦将手指伸到我的面前摇晃，要我别再说下去。
「假设质数为有限个。」米尔迦干脆地继续说下去。
「假设质数的个数有m个，则全部的质数依照由小到大的顺序可以大小成……
p<1>，p<2>，……，p<3>，……，p<m>
最初的3个是p<1>＝2、p<2>＝3、p<3>＝5喔，在这里思考下面的无限和Q<m>的有限积。」
Q<m>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……)……(1/p<m><0次方>＋1/p<m><1次方>＋1/p<m><平方>＋……)
＝∏<k=1到m,1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……>『积的形式』
＝∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)>
「简单地说，就是将刚才的Q<2>中的两个质数变成m个，然后因为是m个有限的数值相乘，所以也是有限的。」
我看着式子思考。
「嗯……啊，原来如此，没错，由于质数p<k>是2以上，所以等比级数1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……会收敛在1/(1－1/p<k>)，也就是会成为有限的数值。」
「没错，所以从现在开始会变得更有趣。」
说完话的米尔迦伸出细舌慢慢地舔着上唇。
「将刚才对2与3做的事情同样地移到对m个质数上，也就是在有限的前提下具体地展开算式，用你的表现方式来说，这次不是两个质数『平分』，而是m个质数『平分』。」
Q<m>＝(1/2<0次方>＋1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……)×(1/3<0次方>＋1/3<1次方>＋1/3<平方>＋……)……(1/p<m><0次方>＋1/p<m><1次方>＋1/p<m><平方>＋……)
＝(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>))＋((1/(2<1次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><0次方>)＋……＋(1/(2<0次方>3<0次方>5<0次方>……p<m><1次方>))＋……——以指数和分类
＝Σ<k=0到∞,Σ<,1/(2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>)>>『和的形式』
「会变成这样的式子。」米尔迦说。
「这、这个……最后的式子我不太懂，特别是内侧的Σ什么都没有写。」
「虽然什么都没有写，不过内侧的Σ满足r<1>＋r<2>＋……＋r<m>＝n，故取r1，r2，……，r<m>做为全部的总和。」
「这就是『指数之和为n的全部组合』吗，米尔迦？」
「没错。简单地说，Q<m>就是1/(质数的积)各项的和，将p<k>的指数以n表示，让指数之和的全部组合为n，取出1/(质数的积)的和。接下来注意分母，也就是『质数的积』的部分，会变成这样。」
2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>
「从反证法的假设，世界上的质数只有m个，从质因子分解的唯一性可知，全部的正整数2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>有唯一的分解法，也就是说……将Q<m>展开的各项1/(质数的积)的分母中，所有的正整数必然只会出现一次。」
「嗯……这和刚刚的2和3情况一样。」
「分母中『所有的正整数必然会只出现一次』，也就是下式会成立的意思。」
Q<m>＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4
「啊！」是调和级数。
「你终于发现了。」
「明明Q<m>是有限，但是总和却会发散。」
「没错，由收敛的无穷等比级数可知Q<m>是有限的。」米尔迎接二连三地说下去。
Q<m>＝∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)>(有限的值)
「然而现在Q<m>又等于调和级数Σ<k=1到∞,1/k>。」
Q<m>＝Σ<k=1到∞,1/k>(调和级数)
「也就是会形成下式。」
∏<k=1到m,1/(1－1/p<k>)＝Σ<k=1到∞,1/k>
「左边是由反证法的假设得到质数为有限个，右边是从调和级数得到『向正无限大发散』，所以两式矛盾。」
「！」我说不出话来。
「从反证法的假设『质数为有限个』导出的矛盾，因此假设为否，命越为真，表示『质数有无数存在』，QuodEratDemonstrandum……证明终了。」
米尔迦竖起食指发出宣言。
「好，就到此告一段落了。」
调和级数的发散竟然会与证明质数的无限有关连……真让人吃惊，这可是相当贵重的宝物。
「这完美的证明是从被称赞为『他计算起来好像一点也不费力，有如人呼吸空气、老鹰乘风飞翔一样』的老师得来的。」
「我们的老师是……？」
「就是十八世纪最伟大的数学家——莱昂哈德×尤拉啊。」
米尔迦面对着我说。
※※调和级数与质数的无限性质
假设：质数是有限个
↓
『积的形式』←Qm→『和的形式』
↓ ↓
收敛在有限值→Qm←向正的无限大发散
↓
假设为否
↓
结论：质数是无限个
8．10天文台
星期六。
天文台里有许多情侣与带着小孩的父母，我与蒂蒂在相邻的座位坐下，圆顶的中央摆设了一台形状怪异的黑色投影机。
「和学长一起来天文台让我有点紧张，今天早上我起得非常早喔，嘿嘿。」蒂蒂敲了敲自己的头。
过了一会儿，照明关上了，四周投影出一片黄昏景色，太阳西下，星星一颗一颗地浮现，夜空不久后布满大大小小的光点。
「好漂亮……」
旁边的蒂蒂发出赞叹声，确实相当漂亮。
——那现在开始，就让我们飞向北极点吧。——
解说员声音停止的同时，天幕的所有星辰一齐旋转，让人有种置身在空中的错觉，身体也跟着不由自主地僵硬起来，我们很快就到达了北极点。
「极光！」不知从哪里传来小孩子的叫喊。
细微的光芒不断迭合，形成了一片帘幕；起伏的层次互相交合将我们围在中央，观客们也安静下来，沉浸在光的旋律之中。
与任何世界、任何时间分离，我与蒂蒂两个人到达了北极点；到达了遥远的世界、遥远的时间，我们一起眺望宇宙，眺望着这有限却看似无限的星空。
就在这时……
我的心脏「扑通」一跳。
我的右腕感受到蒂蒂的重量。
她抱住我的手肘、将身体靠在我的身上，从她身上传来的香味变得更浓了。
蒂蒂……
解说员讲解从北极点可以看见哪些星座、地轴倾斜与永昼的现象，声音虽然在我的耳边响着，却到达不了我的脑海。
空中群星闪烁，我的心中却只浮现了正在身边的蒂蒂身影，呼唤名字就会容姿焕发的蒂蒂、活泼的蒂蒂、认真的蒂蒂、打破砂锅问到底，却总是犯下简单错误的蒂蒂，专注、一心一意、充满活力的蒂蒂。
这样的蒂蒂，对我……？
我已经不晓得我在想什么了。
即使心意无法完全重合，倘若保持一致，看起来就能十分相近，即使会花上许多时间……即使有如递推公式一样缓慢行进。
我们共享着有限的时光，所见所知极其细微，可是我们掌握了无限，我们将所见化为方法、将所知化为工具，我们没有翅膀，但是我们有语言。
……就这样，时间逐渐流逝，天空的极光终于像被吹散般消失，解说员沉稳的声音将我们带回现实。
——各位有好好享受这短暂的旅程吗？一—
照明亮起，群星被白光吞噬，刚才繁星笼罩的天幕变成了近似多媒体的屏幕。
从幻想中归来的观客们像是不舍却又松口气似地咳嗽、伸懒腰、准备起身，大家都各自回到了自己的生活里。
但是……
但是我仍然被蒂蒂抓着，我们依旧留在北极点；在遥远的世界、北极光之下。
嗯……要怎么出声比较好呢？我慢慢地看向她。
「……咦？」
蒂蒂靠着我睡着了。
而且还睡得很沉。
★★「我」的笔记本
部分和Σ<k=1到n,a<k>>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……＋a<n>
无穷级数Σ<k=1到∞,a<k>>＝a<1>＋a<2>＋a<3>＋……
调和数H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>＝
调和级数H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>＝(1/1)＋(1/2)＋(1/3)＋……
黎曼函数ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>
黎曼函数与调和级数ζ(1)＝Σ<k=1到∞,1/k>
