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《数学少女》作者：[日]结城浩【完结】 >
数学少女.txt
我在这里将连贯的数章分开，
探求着无穷级数的诸多性质与其总和。
若不准备好解析无限的方法，
这些无穷级数具备着无法一探究竟的性质。
——尤拉[25]
9．1图书室
9．1．1两张卡片
「学长～～信来了！」
总是充满活力的蒂蒂跑向我，挥舞手上的卡片并大声呼喊我的名字，不过音量稍微……
「蒂蒂，这里是图书室，而高中生的我们需要安静，所以请轻声细语。」
「啊，是的……对不起。」她回过神后低下头，不好意思地看了看周围。
一如往常的图书室，一如往常的放学后，一如往常的活力少女——蒂蒂。
确实图书室里只有我们……但是太过吵闹而惊动管理员瑞谷老师就麻烦了。
「嗯……来，这是学长的卡片。」她将手上的两张卡片看了一会儿，递给我其中一张，然后说：「这是我的」，而将另一张卡片放在胸前。
「咦？蒂蒂也拿到村木老师的卡片吗？」
「嘿嘿嘿，是啊，我跟村木老师说『学长正在数我数学』，结果老师就拿了卡片给我，说一张是我的，另一张给学长，就是这样，所以我今天是邮差喔。」
蒂蒂露出纯真的笑容。
我的卡片上写着这样的式子。
※※(我的卡片)
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>
而蒂蒂的卡片则是……
※※(蒂蒂的卡片)
sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「学长，我的卡片是『研究课题』吧？」恢复认真表情的蒂蒂在我旁边坐下后发问。
「没错，『研究课题』……以这张卡片为出发点，自己做出问题，自由地思考，村木老师有时候会出这种问题给我们。」
蒂蒂将脸凑近用双手拿着的卡片，应该是在思考式中的意思。
「那个……学长，像sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>这种方程式，我怎么解都解不开。」
「蒂蒂，这不是求x的问题，也就是说，这个式子不是方程式。」我笑着回答。
「不是……方程式？」
「嗯，这不是方程式，而是恒等式，想办法让这张卡片上的式子变成恒等式——也就是要对所有x成立——要我们求出数列a<0>，a<1>，a<2>，……的问题。」
「呃，这个……学长，可以先教我一点开头吗？实际解问题时我会自己加油的……只要一开始的部分就好。」
蒂蒂说完话，她的手像是抓着透明的楼梯般地一层一层往上爬，这楼梯大概会一直朝天空延伸下去……
直到无限的远方为止。
9．1．2无穷多项式
「那试试看像这样设定问题吧。」我边说边在蒂蒂的卡片上写下问题。
※※问题9－1
假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。
sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「幂级数……是……？」
「幂级数就是这张卡片右边的无穷多项式，多项式则是……例如，你知道对x的二次多项式吧？」
「这个吗？」蒂蒂打开笔记本。
ax<平方>＋bx＋c二次多项式(？)
「是的，但是严密来说不正确，必须再加上a≠0这个条件，不然的话……假如a＝0，b≠0就不是二次多项，而是一次多项式了，将加上去试看看。」
「好的。」
她马 上回答并动手写在笔记本上，真纯真。
ax<平方>＋bx＋c二次多项式(a≠0)
「那个，学长……无穷多项式是这样写吗？总觉得很奇怪。」
ax<∞次方>＋bx<∞－1次方>＋cx<∞－2次方>＋……无穷多项式(？)
原来如此，蒂蒂会写成这样……
「不对不对，这样太麻烦了，蒂蒂，无穷多项式要从次数小的项开始写，不然会变成在指数部分加上∞的奇怪状况，无限次方的『无限』部分由最后的删节号(……)表现，比较下面这两个式子就很清楚。」
a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>二次多项式(a<2>≠0)
a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……无穷多项式(幂级数)
「啊，原来如此。先写x的指数比较小的部分，这样说也没错……话说回来，为什么不用a，b，c，……，而是用出a<0>，a<1>，a<2>，……呢？」
「因为若是系数使用a，b，c，……，z，就表示只能从0到25次方而已，毕竟英文字母只有26个，而且……变量已经用x了，系数就不能再用用x。再来，a<k>一样使用k这个变量，在广义化的时候也会比较容易，因为『导入变量而形成广义化』……那么在这里，将问题9－1的式子去掉∑写写看。」
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<k>x<k次方>＋……
「这样就能求出序列a<k>吗？」
「还没还没。这只是将刚才问题9－1的∑具体地写出来，这是将sinx的变化当成手段，来求出a<k>的问题，最后可以找出a<0>，a<1>，a<2>，……的实际值。」
「能知道实际的数值吗？a<0>，a<1>，a<2>，……全部的实际数值？」
「没错，全部。将三角函数画成图的话，就会变成这样的曲线，是所谓的正弦曲线，看这个图可以立刻找出a<0>。」我边画图边说。
[插图：y＝sinx]
「蒂蒂，看着这张图想想看，a<0>是什么？能说出具体的数值吗？」
「咦？我也能想出来吗？」
「绝对可以，现在在这里努力地想想看。」
蒂蒂认真地看着式子与图，开始寻找a<0>的值。
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
蒂蒂的表情相当丰富，当她开心的时候、困扰的时候、陷入思考的时候，心里的想法会直接反应在脸上，越看越觉得自己的心情也会随之起舞。
嗯……大眼睛是蒂蒂的注册商标啊，灵活转动的瞳孔、夸张的动作也让人有很不错的感觉，而最重要的是，她以直率的性格作为一切的根本……不过，分析这个也没有意义，蒂蒂就是蒂蒂啊。(无名之声：你还好意思说)
过来一会儿，她高兴地抬起头。
「学长，这很简单，我知道了，是0！a<0>＝0！」
「没错，为什么呢？」
「看这张图就能知道sin0的值是0了，因为图上有通过x＝0，y＝0的点，也就是说x＝0，式子a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……应该要等于0、等于sin0，然后也因为x＝0，所以右边的式子只剩下a<0>，除了a<0>之外其它的系数都乘上x＝0而剩下a<0>，因此a<0>的值是0。」
「正确答案，不过不可以太激动。」
「啊……对不起，要轻声细语……对吧？」
「也不是，因为激动喊着0！的话，就会变成1了。」
「……」
「……」
「……」(无名之声：激动地喊0就变成「0!」，数学上人们定义0!＝1，这个冷笑话还真冷，男猪你还是专学数学吧，哄女生你没天分＝。＝)
「……继续吧，能知道a<0>以外的值吗？」
自己解出a<0>＝0正确答案的蒂蒂，再度用她的大眼睛端详算式，并且开始计算。
嗯，活力女孩蒂蒂在必要时的集中力也很恐怖，这也是她的特色之一吧。
蒂蒂开始跟问题9－1奋战。
我则是开始面对我的卡片Σ<k=1到∞,1/k<平方>>，我先打开笔记本、握起自动铅笔，首先……从掌握具体的型态开始。
这里是图书室，高中生的我们安静地开始用功。
9．2自我学习
在回家的路上，我和蒂蒂在曲折的住宅区小巷里往车站前进，我一如往常地配合着蒂蒂的脚步慢慢行走。
「关于sinx的幂级数思考到哪里了？」
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
「因为知道代入x＝0会得到a<0>＝0，所以想代入x＝π/2或x＝π计算看看，毕竟我对sin的了解只有sinπ/2＝1或sinπ＝0之类而已……」
她伸出食指，一边小声地说「波形、波形、波形」，一边画着正弦曲线。
「原来如此。」我不禁微笑。
「……不过，就算知道sinπ/2＝1，重要的……右边的幂级数以π/2代入x的值却不知道，所以我很挫折，唉～～」
「要给你提示吗？」
「啊，好的。」
「蒂蒂知道研究函数最强的武器吗？」
「武器吗？」蒂蒂闭上左眼，摆出对我射击的动作。
「研究函数最强的武器之一就是微分。」
「微分……我还没学到，嗯，是有听说过，我自己也有兴趣。」
「蒂蒂在这方面比较被动吗？」
「被动……？」
「在图书馆或书店有很多很好的书，从学习用的参考书到专门书籍都随你挑选，在学校跟老师学习，这在启发上很重要，但是从头到尾都在学校等着老师教你就太被动了，假如这是兴趣的话……」
「唔……」
她似乎有点不知所措，我说得太过火了吗？
「蒂蒂喜欢英语吧……你会读外文书籍吧？」
「是啊，我常常读paperback。」
「当遇到不知道的单字时，你会等老师来教你吗？」
「不会，我会自己查字典，不会等到上课才学，因为我想先读完文章……啊，学长要说的就是这个吧？」
「是的，我们因为喜欢而去学，没有必要等待老师，也不用等到上课，可以自己找书、可以自己阅读，这样就能学得更深更广。」
「的确……我在读英文书籍时会自己前进，会期待『再来要读哪本书呢？』不只是查单字，也会在辞典里找同义字之类的，原来数学也是要这样学习，想想这也是当然的……不过因为上课还没上到，所以好像会有种先学不太好的感觉。」
「……话题好像变了，刚刚说到哪里？」
「Wherewerewe？」
「咦？」
「学长……我们到『Beans』一起想吧。」
对于蒂蒂满怀期望的提案，我没有任何抵抗能力。
9．3『Beans』
9．3．1微分的规则
这已经是第几次和蒂蒂一起来车站前的咖啡厅『Beans』呢？曾几何时，我们已经习惯并肩坐在一起了，为什么……要说为什么的话，因为面对面坐着不方便阅读算式，我们坐下后摊开笔记本。
「从这里开始，若是不晓得三角函数的微分和多项式的微分，会稍微辛苦一点，不过在困难的地方我会说明『微分的规则』的关键。」
「……没关系，我会加油的！」蒂蒂握紧双拳。
「将sinx以下面的幂级数表现。」
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
「sinx并不是自然地就能以这种形式表现，必须经过证明，不过现在先暂时不管，而现在的目标是解开无穷数列a<k>＝a<0>，a<1>，a<2>，……会变成什么样的数列，将sinx这个函数分解成a<k>这个数列，这就是函数的幂级数展开……到这里为止明白吗？」
蒂蒂认真地点点头。
「然后a<0>的值在刚才已经被蒂蒂用x＝0找到了，因为＝0，所以下式成立。」
a<0>＝0
蒂蒂看了之后微微点头。很好，继续下去吧。
「你还不知道微分，不过现在没有时间，没办法从微分的定义开始说明，所以就先将微分当成一种计算的规则吧，将微分当成『从函数中做出函数的计算』……虽然也不能算是错误的。」
「『从函数中做出函数的计算』吗？」
「没错，将f(x)这个函数微分的话，会得到另一个函数，而这个函数被称为f(x)的导函数，f(x)的导函数写成f’(x)，虽然也有其它书写方式，不过f’(x)比较常被使用。」
f(x)函数f(x)
↓微分
f’(x)函数f(x)的导函数
「在这里列出一些限制微分的『微分的规则』，假如学过微分的定义，这些规则都可以由定义证明，不过这里就先跳过。」
※※『微分的规则(1)』常数的微分会变成0。
(a)’＝0
『微分的规则(2)』x<n次方>微分会变成nx<n－1次方>。
(x<n次方>)’＝nx<n－1次方>(指数会下降)
『微分的规则(3)』sinx微分会变成cosx。
(sinx)’＝cosx
「这些『微分的规则』是把apriori做为given吧。」蒂蒂说。
「咦？把apriori做为given？」(无名之声：「apriori」，法语单词，表示「先验的，由因及果的，演绎的」)
「把『微分的规则』当成是一开始给予的工具吧。」蒂蒂改口说。
「……嗯，就是这样，接着将下面两个式子对x微分。」我在笔记本中写上式子。
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……
(sinx)’＝(a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……)’
「微分的结果会像下面的算式，能理解吗，蒂蒂？」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
她反复看了看『微分的规则』与上面的式子。
「嗯……左边是『微分的规则(3)』吧，sinx微分会变成cosx，然后右边将『微分的规则(2)』用在各项。」
「没错，虽然本来应该要先证明可以适用在微分算子的线性与幂级数上。」
「啊，不过为什么a<0>消失了？」
「因为a<0>，是与x无关的常数，所以用『微分的规则(1)』消去，常数的微分会变成0。」
「我懂了，学长，我理解『微分的规则』怎么导出以下的式子了。」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
9．3．2再微分
「那么看看下面的式子，蒂蒂知道a<1>的值吗？假如看y＝cosx的图应该就知道了。」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……
[插图：y＝cosx]
「咦？……啊，难道说和刚才一样吗？将0代入cosx＝……的式子就好了吧？嗯……这样子对吗？」
cosx＝a<1>＋2a<2>×0＋3a<3>×0<平方>＋4a<4>×0<立方>＋……
＝a<1>
「然后从图中得cos0＝1，所以……会变成这个答案吧！」
a<1>＝1
「没错。」我点点头。
蒂蒂的脸上浮现出笑容。
「学长！我看到之后要怎么做了！接下来要把cosx微分吧？」
「没错，就是这样，为此需要(cosx)’的计算规则，这是cosx用的『微分的规则』。」
※※『微分的规则(4)』cosx微分会变成－sinx。
(cosx)’＝－sinx
「这样的话，把cosx微分……」
cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……
(cosx)’＝(a<1>＋2a<2>x＋3a<3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……)’
「就会变成这样！」抬起头的蒂蒂脸上泛起红潮。
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……
「嗯，没错，这要求的系数是？」我问。
「是a<2>，就像之前一样代入x＝0。」蒂蒂迅速地写在笔记本上。
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……由上述所得的式子
－sin＝2a<2>代入x＝0
a<2>＝0用sin0＝0整理式子
「这样就求出a<2>＝0了，我似乎充分地运用最强的武器了，状况越来越好……好的，下一个『微分的规则』是什么？」
「已经不用了。」
「但是这次要－sinx……啊，这可以sinx的微分得到。」
「没错，之后就是反复绕圈。」
「绕圈？」
「将sinx微分就变成cosx，将cosx微分就变成sinx……会变成下面所列的『以4次为周期的循环』，这就是三角函数微分的特征。」我对蒂蒂讲解性质。
※※三角函数微分
微分
sinx→cosx
微分↑↓微分
－cosx←－sinx
微分
「我知道了，接下来求a<2>。」
－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……刚才得到的式子
(－sinx)’＝(2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……)’将两边微分
－cosx＝6a<3>＋24a<4>x＋……用『微分的规则』
－cos0＝6a<3>代入x＝0
a<3>＝-1/6用cos0＝1将式子整理
「……好的，求出a<3>＝-1/6了，再来是a<4>……」
「稍等一下，虽然一个一个求下去也是可以，不过试着统整全体看看，没问题吧？」
「咦？……啊！没问题！」
9．3．3sinx的泰勒展开式
我们喝着已经冷掉的咖啡，将笔记本翻到新的一页，我给她口头上的提示，蒂蒂自己在笔记本中写上算式。
「现在我们要做sinx的幂级数展开，刚才已经求出了系数中的a<0>，a<1>，a<2>，a<3>四个数，接着就是要统整，再写一次sinx的幂级数展开吧。」我说。
「好的，是这样吧。」
sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……
「嗯，这样就好，对了，将x写成x<1次方>吧。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……
「两边同时微分，不过现在不要将系数计算出来，以积的形式保留下来，这是关键。」
「咦？学长……不要计算吗？」
「没错，不要计算，让积保留下来比较容易找出『规则性』。来，试试看，要特别注意常数项。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>……
↓微分
cosx＝1×a<1>＋2×a<2>x<1次方>＋3×a<3>x<平方>＋4×a<4>x<立方>＋5×a<5>x<4次方>……
↓微分
－sinx＝2×1×a<2>＋3×2×a<3>x<1次方>＋4×3×a<4>x<平方>＋5×4×a<5>x<立方>……
↓微分
－cosx＝3×2×1×a<3>＋4×3×2×a<4>x<1次方>＋5×4×3×a<5>x<平方>……
↓微分
sinx＝4×3×2×1×a<4>＋5×4×3×2×a<5>x<1次方>＋……
↓微分
cosx＝5×4×3×2×1×a<5>＋……
↓微分.
.
.
「好的！」
「学长！我找到『规律性』了，会出现5×4×3×2×1这样规则的积……原来如此，『微分的规则(2)』的『指数会下降』发挥效果了，我已经了解相乘数会有规则的变化。」
「没错没错，自己动手写出算式就能清楚体会这种感觉，不能只是看，动手写也是很重要的，蒂蒂。」
「真的是这样。」
「接下来就用求出的导函数，以x＝0观察式子会变成怎么样吧。」
「好的，是像小时候的牵牛花观察日记一样观察吧……嗯，因为sin0＝0且cos0＝1……」
0＝a<0>
＋1＝1×a<1>
0＝2×1×a<2>
－1＝3×2×1×a<3>
0＝4×3×2×1×a<4>
＋1＝5×4×3×2×1×a<5>
「发现『规则性』了！」
「嗯，左边的1写成＋1或许比较好，现在要求的是序列a<k>，将上式的各个a<k>整理到左边，5×4×3×2×1由于是阶乘，所以写成5!，这样就能做幂级数展开了，将下式的ak具体地写出来。」
sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……
「好的！0不用管，所以就是a<1>，a<2>，a<3>，…………好，完成了！」
「嗯，蒂蒂所写的这个幂级数展开，被称为sinx的泰勒展开式喔。」
※※sinx的泰勒展开式
sinx＝＋(x<1次方>/1!)－(x<立方>/3!)＋(x<5次方>/5!)－(x<7次方>/7!)＋……
「我正想说是蒂德菈展开式呢……」
「……」
「……」
「……」
「……不、不过这好像很难记起来，好复杂。」
「确实是很复杂，不过你仔细看，式子里远留下许多推导时的痕迹，例如分母的1!，3!，5!这些阶乘就是不断微分指数、数字下降的结果。＋与－号的交错，没有x的偶次方项，这都是来自0，＋1，0，－1的环，自己动手导出的公式并不容易忘记。」
「哈哈……原来如此，或许没那么难……吧。」
「假如故意不用阶乘与乘幂来写的话，就会形成很有节奏感的有有趣算式。」
sinx＝＋(x/1!)－((x×x×x)/3!)＋((x×x×x×x×x)/5!)－((x×x×x×x×x×x×x×x)/7!)＋……
「咦……看起来好漂亮，这样写也可以吗？」;
「当然没问题，为了增加乐趣或是方便理解，可以试试很多种不同的写法喔，尤拉也曾经在书里把x<平方>写成xx，不过考试的时候写成x×x就不太好，那么现在就可以解答卡片上的问题9－1了。」
「咦？啊，好的，我已经忘了卡片的事了……是这个吧。」
※※问题9－1
假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。
sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>
「可以依照k除以4所得的余数将数列a<k>分类。」我说。
※※解答9－1
a<k>＝0k除以4得到的余数为0的时候
a<k>＝＋1/k!k除以4得到的余数为1的时候
a<k>＝0k除以4得到的余数为2的时候
a<k>＝－1/k!k除以4得到的余数为3的时候
9．3．4函数的极限
「话说回来，现在稍微深入思考一下sinx的泰勒展开式的内涵，再写一次sinx的泰勒展开式。」
「那个……可以写有节奏感的泰勒展开式吗？总觉得想写写看。」
sinx＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)＋……
「蒂蒂，这个式子是无穷级数——也就是由无限个项构成的和，从无穷级数中取出有限个的部分和思考看看，在这里将到xk项为止的部分和设做s<k>(x)，当然s<k>(x)也是x的函数。」
s<1>(x)＝＋x/1
s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)
s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)
s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)
我从背包里拿出图表用纸。
「画画看函数s<1>(x)，s<3>(x)，s<5>(x)，s<7>(x)，……的图，也就是将y＝s<k>(x)以k＝1，3，5，7，……描绘，就可以清楚地发现这个函数会渐渐接近sinx。我将图画出来。
[插图：y＝sinx与y＝s<1>(x)＝x/1在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<3>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<5>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)在同一平面直角坐标系内]
[插图：y＝sinx与y＝s<7>(x)＝＋x/1－(x×x×x)/(1×2×3)＋(x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5)－(x×x×x×x×x×x×x×x)/(1×2×3×4×5×6×7)在同一平面直角坐标系内]
「喔……原来如此。学长，我不懂将sinx以幂级数表现是什么意思，虽然我能理解用『微分的规则』导出式子，但是会有种『所以呢？』的感觉。不过看到这张图，k变大之后sk(x)会接近sinx就懂了，这样慢慢贴近正弦函数的样子好可爱。」
「是啊。」
「那、那个……学长。虽然我不太会说，那个sinx……就只是个名称吧，只是将某个函数以sinx表示而已，泰勒展开式也是将同样的函数以幂级数的形式表现。就『sinx』与『幂级数』来说，虽然看起来相当不一样，但是函数的性质没有改变，所以，变成幂级数的形式会相当方便。唔……不好意思我不太会表达。」
「不，不会不会，蒂蒂，你真的很厉害，能清楚地了解本质，就是这样，在要研究函数的时候，能将函数以泰勒展开式的形式展开，可以在比较方便的多项式延长线上进行研究，例如能像刚才一样思考的话会非常有用，因为是无限次所以必须特别注意演算，可是改用幂级数就会十分方便，话说回来，解斐波那契数列和卡塔兰数的时候，用的生成函数也是幂级数。」
「……总觉得好像我在学校上课听讲时，都会去注意比较细微的地方。而不了解整体概要，所以对于要学什么及正在做什么都感到一片混乱。不过学长的话正好相反，细微的地方……就好像之后再让我自己补充一样快速略过，但是对于为什么和正在做什么这种大方向却很明白。」
「嗯～～不是这样，是因为蒂蒂的理解能力……」
「就是这样！」
蒂蒂打断了我要说的话。
「就是这样，学长，就像刚刚我完全不懂微分、幂级数和泰勒公式展开式这些词也是第一一次听到，不过我却懂了，用了泰勒展开式就能像普通的多项式一样研究函数，虽然要我一个人做可能还不行……不过将困难的函数变成无穷多项式——幂级数——xk的无限和的方法，我已经能掌握了。」
蒂蒂将拳头紧握在胸前。
「我想我不会忘记今天学长教过我的泰勒展开式，今天的我已经确实记下来了，当要研究函数的时候就『用泰勒展开式试试看吧』，这都是学长的功劳……」
她的目光突然从我的脸上移开，转向桌上的图表用纸，蒂蒂的脸上不知为何染上一抹嫣红。
「所以……所以……虽然我很抱歉浪费学长的宝贵时间，不过我很喜欢听学长说话，非常地喜欢。学长，我……」
蒂蒂边说边抬起头，看着我毅然说：
「……我一辈子都不会忘记学长教过我的泰勒展开式！」
9．4自家
夜晚。
我在自己的房间看着从村木老师那里拿来的卡片，设定给我的如下。
问题9－2
若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>
首先先将Σ具体写出来，抓住式子的感觉。
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝1/1<平方>＋1/2<平方>＋1/3<平方>＋1/4<平方>＋1/5<平方>＋……
虽然想进行下一步，不过似乎不是那么容易就能找到方法，先计算数值，也就是说，并非计算这个无穷级数，而是将这个的部分和以具体的n代入计算，白天都在注意蒂蒂的卡片，所以只计算到一半，先硬算看看。
Σ<k=1到1,1/k<平方>>＝1/1<平方>＝1
Σ<k=1到2,1/k<平方>>＝1＋1/2<平方>＝1.25
Σ<k=1到3,1/k<平方>>＝1.25＋1/3<平方>＝1.3611……
Σ<k=1到4,1/k<平方>>＝1.3611……＋1/4<平方>＝1.423611……
Σ<k=1到5,1/k<平方>>＝1.423611……＋1/5<平方>＝1.463611……
Σ<k=1到6,1/k<平方>>＝1.463611……＋1/6<平方>＝1.491388……
Σ<k=1到7,1/k<平方>>＝1.491388……＋1/7<平方>＝1.511797……
Σ<k=1到8,1/k<平方>>＝1.511797……＋1/8<平方>＝1.527422……
Σ<k=1到9,1/k<平方>>＝1.527422……＋1/9<平方>＝1.539767……
Σ<k=1到10,1/k<平方>>＝1.539767……＋1/10<平方>＝1.549767
嗯，还是不懂，画图看看吧。
「咦？」
我打开背包却没看到图表用纸，是放在学校了吗？
算了，这个部分和看起来不会急遽增加，不过也不能确定会收敛，之前计算调和级数的时候，也是有缓缓发散的级数。
这样说的话，这个式子和调和级数十分相似。
Σ<k=1到∞,1/k<平方>>这次的问题9－2
Σ<k=1到∞,1/k<1次方>>调和级数
不一样的地方只有一个，就是k的指数。这次的问题9－2由于是1/k<平方>的和，所以k的指数是2；而调和级数是1/k<1次方>的和，所以k的指数是1。
指数……指数啊，话说回来，米尔迦教过我关于ζ函数的事，我将函数的定义式再度写在笔记本上。
ζ(s)＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>(黎曼函数的定义式)
使用这个定义，将调和级数以ζ(1)表示。
ζ(1)＝Σ<k=1到∞,1/k<1次方>>(将调和级数以黎曼函数表示)
问题9－2也以函数的形式书写，由于指数是2，所以ζ(2)是……
ζ(2)＝Σ<k=1到∞,1/k<平方>>(将问题9－2以黎曼函数表示)
命名，命名啊。不过……就算像这样命名，也没办法打开视野。
9．5代数基本定理
「你知道『代数基本定理』吧？」
早上进到教室时，米尔迦突然就指着我问问题。
米尔迦是我的同班同学，她对数学相当拿手，早巳脱离了学校教授的范围，她会读自己喜欢的书，自己找出问题，然后解决问题，虽然我的数学并不算糟，但是跟米尔迦比起来还是差得很远，不过我也不需要产生自卑感，只是我希望也能看见她所看到的世界。
数学创造的美好、伟大及深奥，我已经开始一点一点地享受了，我会站在书店中数理书籍的前面想着：「啊，这里摆的书我大部分都还无法理解吧」，同时也会想到她，想到她的知识到底有多宽广。
