第9章泰勒展开式与贝塞尔问题.2

于是我变得不了解自己，究竟是在想数学的事呢？还是想着自己的事？抑或是在想着……她的事呢？我郁闷地发现自己的幼稚，她无论做任何事情看起来都是聪敏地完成，跟她比起来，虽然我每天都在演练算式，似乎还是被她远远抛在后头。

不，想这些也无济于事，像蒂蒂一样喊声「加油！」，努力地让自己振作吧。

「米尔迦，代数基本定理？是『n次方程式会有n个解』吗？」

「嗯，大致上没错，『复数系数的n次方程式，会有n个复数解，但是重根同样并入计算』。」

「好长啊。」

「虽然这是高斯老师发现的，不过令人惊讶的是他当时才二十二岁，而且是用博士论文证明，用博士论文来证明这种基本定理是很罕见的。」

看来米尔迦切换到多话授课模式了，在我来之前，她似乎和都宫一直在聊天，我一进入教室，都宫就立刻回到自己的座位，仿佛表现出「多话的才女就拜托你了」的感觉。

米尔迦把我拉到黑板前开始『上课』。

「其实真正的『代数基本定理』只要『任意复数系数的n次方程式，至少会有1个解』就好了，只要至少有1个解α，就能以x－α这个因式来分解n次多项式，从现在开始要证明n次方程式a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>＝0至少会有一个解，首先思考函数f(x)＝a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>吧，然后调查函数的绝对值|f(x)|能到多小，假如最小值是0的话，就表示有解，在这之前先来复习复数，没问题吧……」

米尔迦以非常快的速度在黑板上书写着，让我见识高斯的证明，我边听她『上课』，边提醒自己是否对复数的理解不太够，虽然感觉是懂了，不过之后必须再自己实际算过、用自己的力量证明，然后在不看证明下能写出来才可以，像米尔迦这样在第一时间就能对人说明，那又是另一种阶段了。

思考的我看着从米尔迦手中写出来的算式，代数基本定理与因式定理的解说『上课』告一段落，她开始用解将n次多项式进行因式分解。

「……具体地试写看看，令n次方程式为a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a<0>＝0，n个解为α<1>，α<2>，……，α<n>的话，左边的n次多项式就能因式分解。」米尔迦边说边写。

a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x<1次方>＋a0＝a<n>(x－α<1>)(x－α<2>)……(x－α<n>)

「也就是说，要看出方程式的解与因式分解有直接的关系，虽然这个式子右边的一开始用a<n>，不过同时考虑到最高次x<n次方>的系数就很容易理解。首先两边先除以a<n>，将n次的系数变成1会比较好思考，因为是n次多项式，所以a<n>≠0，因此除以a<n>没有问题。」

这时，教室的入口似乎有人在叫我。

「喔，与传闻中的妹系角色——活力女孩的会面！」

因为低年级学生来访而兴味津津的同学们，不由分说地将蒂蒂拉进教室里，蒂蒂红着脸将图表用纸递给我。

「学长……不好意思到教室打扰你，我是来将这个还给你的。」

然后她嘟着嘴问：「学长……我给人的印象很有活力吗……我有点意外，还有『妹系角色』是什么意思？从今以后我就叫你哥哥啰。」

「啊……不……」

「你叫哥哥的话，或许他会很高兴喔。」米尔迦仍旧对着黑板写着算式，头也不回地说。

这两个人什么时候这么协调了？口吻也这么相近，真奇怪。

「哇……黑板上这么多算式，都是米尔迦学姐写的吗？」

「对了，蒂蒂知道『代数基本定理』吧？」

……看来我们班的多话才女这次要对蒂蒂开始『上课』了。

米尔迦向蒂蒂以超快的速度说明『代数基本定理』、『因式定理』以及『n次方程式中解与系数的关系』。

「……令二次方程式ax<平方>＋bx＋c＝0的解为α，β，ax<平方>＋bx＋c＝a(x－α)(x－β)就会成立。要看出方程式的解，与因式分解有直接的关系，解与系数的关系就像以下的式子。」米尔迦解说。

－b/a＝α＋β

＋c/a＝αβ

「同样令三次方程式ax<立方>＋bx<平方>＋cx＋d＝0的解为为α，β，γ……」

－b/a＝α＋β＋γ

＋c/a＝αβ＋βγ＋γα

－d/a＝αβγ

「然后广义化，令n次方程式a<n>x<n次方>＋a<n－1>x<n－1次方>＋……＋a<1>x＋……＝0的解为α<1>，α<2>，……，α<n>的话……」

－a<n－1>/a<n>＝α<1>＋α<2>＋……＋α<n>

＋a<n－2>/a<n>＝α<1>α<2>＋α<1>α<3>＋……＋α<n－1>α<n>

－a<n－3>/a<n>＝α<1>α<2>α<3>＋α<1>α<2>α<4>＋……＋α<n－2>α<n－1>α<n>

(-1)<k次方>a<n－k>/a<n>＝(α<1>，α<2>，……，α<n>中，k项互乘的总和。)

(-1)<k次方>a<n－n>/a<n>＝α<1>α<2>……α<n>

「原来如此，这就是『n次方程式中解与系数的关系』吧。」

这时候钟声响起，就连活力少女也不禁说出「我的脑袋好像被算式淹没了……」这句话，接着摇摇晃晃地走回一年级的教室。

「很可爱的女孩呢，哥哥。」

说话的米尔迦拨了一下浏海，并用中指推了推眼镜，长发从之间滑落并露出她的耳朵，手跟手指则在空间中划出优美的曲线，我的视然仍然停在她划出那曲线的瞬间。

说到曲线，我也喜欢她的脸型，还有她的嘴唇与所发出的声音，那是会让人想一直听下去、有着丰富声响的声音，以乐器来比喻的话，就像……

「ζ吧。」声音的主人说。

「咦？」

「上次说村木老师的问题是ζ，我应该说过了。」米尔迦把卡给我看。

※※(米尔迦的卡片)

ζ(2)

果然。

跟之前一样，调和数的时候，米尔迦是拿ζ的卡片，所以我想这次也应该相同，村木老师会将同样的问题以两种不同的形式……嗯？不过蒂蒂的卡片就不是了。

「已经解开了吗，米尔迦？」

「要说解开……应该说我记得贝塞尔问题的解答，所以在拿到卡片的时候就回答了。」

「贝塞尔问题？你记得……答案？」

「是啊，贝塞尔问题就是求ζ(2)的问题……我说出答案之后，老师露出苦笑，说不是真的要答案，而是要我从这个式子中找出有趣的问题，他这样告诉我。」米尔迦耸耸肩。

「嗯……这问题这么有名吗？」

「贝塞尔问题可是将十八世纪初的数学家全部打倒的超难问题，在尤拉老师登场之前，没有任何人能提出正确解答，尤拉老师就是因为解开了贝塞尔问题而一举成名。」

「等一下，这么难的问题只靠我们能解开吗？」

「可以。」

米尔迦认真地说。

「虽然在十八世纪初时是个难题，不过现在我们已经有了许多的武器，每天都持续锻炼着的武器。」

「不过米尔迦你还记着答案吧？」

「那只是靠单纯的记忆力而已，难得从老师那里拿到卡片，我想思考别的问题，我想将x设为z，拓展到复数的范围试试看。」

「喔……话说回来，贝塞尔问题……对吧，这个ζ(2)是发散吗？」

「你想知道吗？」米尔迦吃惊地看着我，她的眼镜在一瞬间发出光芒。

「不是不是，我说错了，刚才是我的失言，我还在想，所以先不要告诉我。」我慌忙回答。

接着我在卡片的最后写上了「贝塞尔问题」。

※※问题9－2

若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

9．6图书室

9．6．1蒂蒂的尝试

「学长，大发现大发现。」

一如往常的图书室、一如往常的放学后，我正想开始今天的计算时，活力少女蒂蒂蹦蹦跳跳地跑了过来。

「……怎么了，蒂蒂？」

最近都一直陪蒂蒂，因此开始思考自己应该也要开始计算了。

「那个啊，昨天不是有做sinx的泰勒展开式吗，我回家思考之后，又有发现了，sinx随着x的变化会一直变成0喔，譬如……」

说着话的蒂蒂拿出自己的笔记本摊开给我看。

sinπ＝0，sin2π＝0，sin3π＝0，……，sinnnπ＝0，……

像这样，当n＝1，2，3，……的时候，sinnπ＝0。」

「是啊。」虽然这样回答，不过我有点烦了，这不是理所当然的吗？而且……

「蒂蒂，你忘了考虑n在0以下的情况，假如要广义化的话，要这样写……」

sinnnπ＝0n＝0，±1，±2，……

「哎呀，没、没错，的确也有负数。」

「还有0也是，把这个和x轴交点的图形画出来，不是马上就解决了？」

[插图：y＝sinx]

「……看来我好像一个人高兴过头了。对不起，在你忙的时候还打扰你……」

我严峻的口气让蒂蒂有点沮丧，她不只是在高兴的时候，连丧气的时候也都表现得很直接，我不好意思地连忙改口：

「那关于昨天的话题，你想到什么呢？」

「啊，不，没什么大不了的……」蒂蒂观察我的脸色小心地说。

然后……

我……

对蒂蒂的下一句话，感到无比震惊。

「我试着将sinx因式分解。」

啊？

什么？

「将sinx……『因式分解』？这是什么意思？」

「呃，就是……因为我找到很多满足sinx＝0的x。所以想将x……

sinx＝0

……打算解开这个方程式喔！」

不等我回话，蒂蒂继续说：

「今天米尔迦学姐不是说了吗？『要看出方程式的解与因式分解直接的关系』。」

确实是这样没错……不过要将sinx『因式分解』？我仔细思量话里的意义。

蒂蒂面对沉默的我接着往下说：

「就像刚才学长说的一样，当解是x＝0，±π，土2π，±3π，……的时候……

sinx＝x(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

就可以如上因式分解。」

我还没弄懂，咦？可以这样吗……？确实代入x＝nπ，的话会会变成0没错……

「不，蒂蒂，这样很奇怪，因为sinx有个很有名的极限式子。」

lim<x→0,(sinx)/x>＝1

「也就是x→0的时候，应该会令(sinx)/x→1才对，在x非常接近0的时候，就会非常接近1，不过蒂蒂的式子中，令x≠0将两边同瞬的话，就会变成下列算式。」

(sinx)/x＝(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……(？)

「x－0的时候，这个式子左边的极限值虽然会是1，但是我不认为右边的极限值会是1，所以很明显是哪里出了问题。」

9．6．2何去何从

「蒂蒂也在思考贝塞尔问题吗？」

「哇！」

「啊！」

突然从背后传来的声音把我们都吓了一跳，我们完全没有发现米尔迦就站在后面。

慌张的蒂蒂把笔记本和铅笔盒都摔到桌下，笔、橡皮擦和尺的掉落声零落响起。

「不是的，米尔迦，蒂蒂不是在思考贝塞尔问题，是类似sinx的『因式分解』。」

「学长，那个……贝塞尔问题是什么啊？」蒂蒂边捡起笔边问。

我让蒂蒂看卡片，并对她说明贝塞尔问题是求正整数平方倒数和的问题，在我的卡片里是以Σ<k=1到∞,1/k<平方>>的值，在米尔迦的卡片里是以ζ(2)表现的问题，当然求值是指『收敛』的情况下。

蒂蒂听了我的说明后，表现出一副讶异的神色，这也是当然的，毕竟听到到自己完全没有思考过的问题。

这时候米尔迦捡起蒂蒂掉在桌下的笔记本，然后开始翻阅。

「喔……」

「啊，那个……」虽然蒂蒂想把笔记本拿回来，不过却被米尔迦的眼神压住而缩回了手。

「你啊……」米尔迦的视线没有离开笔记本，她对我说：「……你教蒂德菈sinx的泰勒展开式了吗？……嗯，原来如此，这也是村木老师的作战啊……不过，这边写着『一辈子都不会忘记！』是……？」

「对、对不起！」蒂蒂像是用抢的一样拿回笔记本。

「嗯……」米尔迦闭上了眼睛，像是指挥一样摆动起手指，当她变成这种状态的时候，周围的人都会保持沉默、安静地注视她，米尔迦在思考的时候，有一股吸引我们的魅力。

米尔迦睁开眼睛。

「那就从sinx的泰勒展开式开始吧。」

她一说完话就拿走我的笔和笔记本，开始写上算式。

sinx＝sinx＝＋(x<1次方>/1!)－(x<立方>/3!)＋(x<5次方>/5!)－(x<7次方>/7!)＋……sinx的泰勒展开式

「在这里令x≠0，将两边同除以x，会得到下式。这是将以『和』表示。」

(sinx)/x＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……令x≠0，将两边同除以x

「然后蒂德菈思考的是下面这个方程式。」

sinx＝0

「这个方程式的解如下所示……先假定是这样。」米尔迦继续说。

x＝nπ(n＝0，±1，±2，±3，……)

「用这个解来对sinx做『因式分解』是蒂德菈的想法吧？。」

对于米尔迦突然提高语尾声调的独特问法，蒂蒂点了点头，她仍然将刚从米尔迦手中拿回来的笔记本抱在胸前，那本写着『一辈子都不会忘记！』的笔记本，以及抱着泰勒展开式的蒂蒂。

「不过，过程并不顺利，当x→0的时候(sinx)/x的极限虽然会变成1，但是我的因式分解却不行……」蒂蒂插嘴说道。

「那样的话……」米尔迦脸上浮现不怀好意的表情说：「那样的话，将sinx像这样『因式分解』呢？」

sinx＝x(1＋x/π)(1－x/π)(1＋x/2π)(1－x/2π)(1＋x/3π)(1－x/3π)……

我和蒂蒂互相对看，然后看回米尔迦写的因式分解式子，蒂蒂马上打开抱在胸前门笔记本开始计算。

「嗯，这个……确实会成立，当x＝0的时候，全部都会变成0，而且当x＝nπ的时候，因为有(1－x/nπ)这个因式存在——正题也会变成0，所以当x＝0，±π，±2π，……的时候，会使得sinx＝0了。」

我听了她的话之后也开口说：

「而且，将(sinx)/x像下面的式子表示，当x→0的时候，也会让(sinx)/x→1。」

我在蒂蒂的笔记本上写下。

(sinx)/x＝x(1＋x/π)(1－x/π)(1＋x/2π)(1－x/2π)(1＋x/3π)(1－x/3π)……

「蒂德菈……」这是米尔迦温柔却又充满力道的声音。

「蒂德菈，试着将她刚才写的(sinx)/x右边算式再简化看看。」

蒂蒂发出了「嗯」的声音之后就开始思考。

「简化……啊，真的可以，因为『两数和与差的积等于两数平方的差』，所以(1＋x/π)(1－x/π)＝1<平方>－x<平方>/π<平方>，接着可以……」蒂蒂瞄了我一眼继续写下。

(sinx)/x＝(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……

能进行到哪呢？我如此想着。米尔迦那知道结果的话语不晓得为何让我无法冷静。米尔迦知道什么？又到了什么地步？为什么要讨论贝塞尔问题？村木老师的作战又是什么？全都是我不了解的事』不过我有预感会出现了不起的结果。

米尔迦对着思考中的我说：「现在蒂德菈将用『积』表现，因为因式分解就是将算式用积表现，另外，你所写的泰勒展开式也是同样吧用『和』表现，所以……」

米尔迦在这里停了下来，喘了口气之后继续说：「在这里将蒂德菈的『积』与你的『和』视为相等吧。」

(sinx)/x积的形式＝(sinx)/x和的形式

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……

写到这里的米尔迦仿佛偷看般将脸靠近在旁看着算式的蒂蒂，同时说出：「蒂德菈，你差不多也该发现了吧。」

蒂蒂涨红脸、缩起身体回答：「要、要发现什么啊……？」

米尔迦在原地对我们张开双手，用细微的声音说：「比较看看x<平方>的系数。」

我看着算式。

比较系数？

我瞬间计算。

比较系数！

我屏住呼吸。

难道……

厉害……这真是太厉害了。

我看向米尔迦。

米尔迦则是往蒂蒂看去。

而蒂蒂……

「咦？怎么了吗？咦、咦？」

……还是一脸困惑的表情，她似乎还没发现。

「左边的x<平方>系数是什么，蒂德菈知道吗？」米尔迦问她。

「这个……这个我知道，是无限的积吧……」

「蒂德菈，实际展开看看，现在把这个式子展开。」

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……

「因为有一堆π，看起来很难懂，所以把……

a＝－－x<平方>/1<平方>π<平方>，b＝－(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)，c＝－(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)，d＝－(1－x<平方>/4<平方>π<平方>)，……

这样定义，算式就会变成下面写的无限积。」

(1＋ax<平方>)(1＋bx<平方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……

「将这个从左边开始依序展开。」

(1＋ax<平方>)(1＋bx<平方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……(注意前两个因式)

＝(1＋(a＋b)x<平方>＋abx<4次方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)……(展开，注意现在的前两个因式)

＝(1＋(a＋b＋c)x<平方>＋(ab＋ac＋bc)x<4次方>＋abcx<6次方>)(1＋cx<平方>)(1＋dx<平方>)

「喔……好像有什么规则在里面呢。」蒂德菈边看米尔迦展开算式边。

「其实这就是今天早上说明的解与系数的关系，知道x<平方>系数的规则性了吗？」米尔迦说。

从刚才开始米尔迦就只和蒂蒂说话，展开式子的速度也比平常缓慢，或许是顾虑到要让她容易理解。

「好，我懂了，x<平方>的系数会变成a＋b＋c＋d＋……吧。」

「没错，在这个无限积中各个因式里的x<平方>系数(a，b，c，d，……)的无无限和(a＋b＋c＋d＋……)，会成为展开后的x<平方>系数，然后回到刚才『因式分解』的算式。」米尔迦继续说明。

(sinx)/x积的形式＝(sinx)/x和的形式

(1－x<平方>/π<平方>)(1－x<平方>/2<平方>π<平方>)(1－x<平方>/3<平方>π<平方>)……＝1－(x<平方>/3!)＋(x<4次方>/5!)－(x<6次方>/7!)＋……

米尔迦淡淡地说下去。

「在左边展开时，『x<平方>的系数』是右边各因式的『x<平方>系数和』，也就是a＋b＋c＋d＋……会变成－1/(1<平方>π<平方>)－1/(2<平方>π<平方>)－1/(3<平方>π<平方>)－1/(4<平方>π<平方>)－……，另一方面，右边的『x<平方>系数』则很简单易懂，考虑到目前为止的算式，将两边的x<平方>系数做比较，下面的等式就会成立。」

－1/(1<平方>π<平方>)－1/(2<平方>π<平方>)－1/(3<平方>π<平方>)－1/(4<平方>π<平方>)－……＝－1/3!

蒂蒂确认过米尔迦的等式之后说：「要将x<平方>的系数抽出来吧……好，我懂了。」

「还没发现吗？蒂德菈。」

「什、什么事啊？」蒂蒂用一双大眼睛紧张地望着。

米尔迦对蒂德菈露出笑容，仿佛在说不用那么慌张也没关系，她面对笔记本继续向蒂蒂说明：

「将式子整理之后，就变成这样。」

－1/(1<平方>π<平方>)＋1/(2<平方>π<平方>)＋1/(3<平方>π<平方>)＋1/(4<平方>π<平方>)＋……＝1/6

「将两边乘以π<平方>……」

－1/(1<平方>)＋1/(2<平方>)＋1/(3<平方>)＋1/(4<平方>)＋……＝π<平方>/6

「啊、啊啊啊啊啊啊！」

蒂蒂大声叫了出来，虽然这里是图书室，不过我能理解她想要大喊的心情。

「解开了，真的解开了！解开贝塞尔问题了！」

蒂蒂看向米尔迦，然后再看向我。

米尔迦点点头，并以吟咏般的语气说：

「解开了，贝塞尔问题已经解开了，困扰着十八世纪数学家的难题——贝塞尔问题已经获得解答了，而且还是用让人愉快的解法。」

米尔迦将式子重新改写。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

「当然也可以这样写。」她接着写上另外一种算式。

ζ(2)＝π<平方>/6

「好的，这样就告一段落了。」米尔迦歪着头竖起食指露出笑容，这是她最美的笑容。

「为、为什么！什、什么时候！太、太奇怪了！」

蒂蒂依然陷入混乱之中。

※※解答9－2(贝塞尔问题)

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

9．6．3向无限的挑战

「解开问题的人是我们的老师——莱昂哈德×尤拉。他是世界上第一个解开贝塞尔问题的人，就在公元一七三五年，尤拉老师二十八岁时，也是他结婚的第二年……」米尔迦详细地描述。

我们是否超越了两世纪半的时间，重新体会尤拉的解法呢？当时的尤拉与我们不过只差十岁……而且还是结婚的第二年？

「我们解开了这个问题吗？」蒂蒂问。

「是的，尤拉老师留下好几个解开贝塞尔问题的方法，而我们再现了其中一种解法。」

「我在证明到一半的时候就已经搞不懂了，不过还是觉得非常惊讶。」蒂蒂接下去说：「我对不知不觉就解开贝塞尔问题非常惊讶，原本我只是认为既然x＝nπ是sinx＝0的解，说不定可以将sinx因分」，我觉得这是个很大的发现，不过也只能到这里为止，可是米尔迦学姐却找到其它的因式分解法，并且一下子就用比较x<平方>系数的方法把贝塞尔问题解开了。」

「然后，还有一点……」蒂蒂继续说：「我对Σ<k=1到∞,1/k<平方>>的和是π<平方>/6很震惊，为什么整数的倒数平方和会跑出π呢？」

我们陷入沉默，因为我们对身为无理数的圆周率π怎么会突然出现而感到不可思议。

「……说到这个，为什么蒂蒂的『因式分解』会行不通呢？」我提出疑问：「明明x＝nπ(n＝±1，±2，……)就是sinx/x＝0的解。」

sinx/x＝(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

而米尔迦解答了我的疑问。

「nπ确实是sinx/x＝0的解没错，但是这个『因式分解』太冗长、也太自由了。毕竟只有x＝nπ是解这个条件的话，直接乘以C倍也是分解法之一，没有唯一性。」

sinx/x＝C×(x＋π)(x－π)(x＋2π)(x－2π)(x＋3π)(x－3π)……

「嗯～～原来如此，米尔迦，lim<x→0,sinx/x>＝1的条件无法只靠这个『因式分解』表现啊。」

「没错，假如是n次多项式的话，就可以配合n次的系数调整，一般来说，最高次方项的系数都是固定的，所以可以配合调整，但无穷项式因为不知道的系数是多少，所以没办法配合最高次方项的系数，这次成功的关键在于有(x－nπ)用来配合系数，可以由因式(1－x/(nπ))的积组合出lim<x→0,sinx/x>＝1，在迈向无限之前的整合发挥了效果。」

米尔迦用手推了推眼镜继续说：

「但是严格来说，刚才的证明仍然不完全。我们为了找出sinx＝0的解，而取出图形与x轴的交点x＝nπ，但是虚数解并不会出现在与x轴的交点上，所以我们并没有讨论到虚数解的可能性，其实尤拉老师除此之外还留有数种证明方式，不过用sinx的幂级数展开来证明的手法是既漂亮又有魅力的，如同藉由比较x<平方>的系数求出ζ(2)比较x<正偶数次方>的系数也可以求出ζ(正偶数)。」

※※贝塞尔问题的解法

蒂蒂的卡片sinx＝0的解

↓↓

sinx的泰勒展开式sinx的因式分解

↓↓

sinx/x和的形式→比较x<平方>的系数←sinx/x积的形式

↓

ζ(2)＝Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝π<平方>/6

↓

米尔迦与我的卡片

「虽然这次做最后整理的是我，不过那是因为我已经知道尤拉老师解法的关系……」

米尔迦边说边站起身。

「虽然不是理解得很清楚，不过能想出『用方程式的解将sinx因式分解』真的是非常了不起，虽然其中还有不太严谨的部分，不过也有对无限挑战的决心。」

米尔迦将右手放到仍然坐着的蒂蒂头上。

「在对我们的老师——尤拉老师表示敬意的同时，我们也要为蒂德菈拍手。」

米尔迦开始拍手，我也站起来对蒂蒂拍手，这是只有两个人的起立喝采。

「米尔迦学姐……学长……不用这样……」

蒂蒂将两手捧住羞红的脸颊，大眼睛不断眨着。

这里是图书室，高中生的我们需要安静。

但是这些都已经不重要了。

现在……为我们的活力少女蒂蒂拍手！(无名之声：很好！一道题化解了后宫的恩怨。)

所有无穷级数的和，

就像1＋1/2<n次方>＋1/3<n次方>＋1/3<n次方>……一样，

可以用广义的型态明白地展现，

当n为偶数时，可以藉由圆周率π的帮忙表示。

实际上，这些级数和对π<n次方>的比一直是有理数。

——尤拉[25]