第10章分拆数.2

×……

×(x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>k＋x<3k次方>＋……)的贡献度

×……

无限和可以让硬币的枚数不受限制。

无限积可以让硬币的种类不受限制。

常这个无限和的无限积展开时，支付方式的可能性就会一口气出现，取积之后整理同类项，调查x<n次方>的项，可以发现x<n次方>的系数就是n的分拆数，这是因为x<n次方>的系数与『支付n元』的方法数相同。

『将系数变为分拆数的形式幂级数』——也就是上面所写的无限和的无限积为『分拆数的生成函数』，那P(x)就可以写作下面这样。

P(x)＝(x<0次方>＋x<1次方>＋x<平方>＋x<立方>＋……)

×(x<0次方>＋x<平方>＋x<4次方>＋x<6次方>＋……)

×(x<0次方>＋x<立方>＋x<6次方>＋x<9次方>＋……)

×(x<0次方>＋x<4次方>＋x<8次方>＋x<12次方>＋……)

×……

×(x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>＋x<3k次方>＋……)

×……

接着转换视点，将形式变量x设定成0≤x＜1范围里的实数，然后用等比级数的求和公式，于是k元硬币的贡献度就会变成下面的分数。

x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>＋x<3k次方>＋……＝1/(1-x<k次方>)

由P(x)展开得来的无限和全部都可以用这个公式变成分数。

P(x)＝1/(1-x<1次方>)

×1/(1-x<平方>)

×1/(1-x<立方>)

×1/(1-x<4次方>)

×……

×1/(1-x<k次方>)

×……

这样『无限和的无限积』就变成了『分数的无限积』，这就是变成积形式的生成函数P(x)，将×以×表示。

※※解答10－3(拆分数P<n>的生成函数P(x)『积形式』)

P(x)＝1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

整理一下到目前为止的部分，我为了解出木村老师的问题，也就是求P<15>而想要求出一般项P<n>，然后为了抓住P<n>的生成函数P(x)而设定问题10－3，结果上面解答10－3所示，已经求到了积形式的生成函数P(x)。

接下来我要思考下一个问题X。

问题X

函数P(x)幂级数展开x<n次方>的系数为何？

P(x)＝1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

x<n次方>的系数就是P<n>，从求一般项P<n>，来讨论问题10－2的不等式P<15>＜1000。

※※『求分拆数的一般项』的旅行地图

分拆数→生成函数P(x)

↓问题10-3

分拆数的一般项P<n>←积形式的生成函数P(x)

问题X

到这里我停下讲解。

◎◎◎

「你打算从正面突破吧。」米尔迦立刻接在我之后说。

「没错。」

「嗯，不过，只是要证明问题10－2的不等式，不用非得求出P<n>……对吧？」米尔迦说。

「嗯……理论上……是这样没错……」我变得有点不安。

「我这样说，是因为我不用求一般项P<n>，也不用求P<15>，就能解答题10－2。」米尔迦淡淡地说。

「咦？」

10．5．2米尔迦的发表(分拆数的上界)

「要证明问题10－2的不等式，并不是非得求出P<15>不可。」

米尔迦边说边站到黑板的前面，取代了我的位置。

「就如同蒂德菈所说的『非常大的数』，分拆数P<n>是以急遽的速度在增加的函数，而现在我想先调查分拆数P<n>的上界。」

「什么是上界？」蒂德菈马上发问。

「上界就是对任意整数n≥0满足P<n>≤M(n)的函数M(n)。当n变大时，P<n>虽然也会跟着变大，但是却不会大于M(n)，这就是M(n)的意义，上界有无数个，不局限于一种。」

「上方的界线，是这意思吗？」蒂蒂将手放在头上。

「没错，上界这个用语虽然是用在定数上，但是在这里并非定数。M(n)可以说是n的函数。观察P<0>，P<1>，P<2>，P<3>，P<4>之后，就可以发现他们等于斐波那契数的F<1>，F<2>，F<3>，F<4>，F<5>。」

P<0>＝F<1>＝1

P<1>＝F<2>＝1

P<2>＝F<3>＝2

P<3>＝F<4>＝3

P<4>＝F<5>＝5

米尔迦用手比出1，1，2，3，然后在5停了下来。

「但是很可惜P<5>并不等于F<6>。因为P<5>＝7，F<6>＝8所以……

P<5>＜F<6>

我在这里推测P<n>＝F<n＋1>的这个等式虽然不成立，但是……

P<n>≤F<n＋1>

这个不等式或许会成立，接着我实际证明出它确实会成立，也就是上界M(n)＝F<n＋1>，证明方法则是用数学归纳法。」

◎◎◎

※※根据斐波那契数找出分拆数P<n>的上界

令分拆数为P<n>＝1，1，2，3，5，7，……，斐波那契数列Fn＝0，1，1，2，3，5，8……，这时对所有整数n≥0，下式成立。

P<n>≤F<n＋1>

使用数学归纳法证明。

首先，n＝0与n＝1时P<n>≤F<n＋1>成立。

而后证明对任意整数k≥0……

P<k>≤F<k＋1>P<k＋1>≤F<k＋2>P<k＋2>≤F<k＋3>

成立即可。

证明过程如下：

×因为P<0>≤F<1>与P<1>≤F<2>，所以P<2>≤F<3>。

×因为P<1>≤F<2>与P<2>≤F<3>，所以P<3>≤F<4>。

×因为P<2>≤F<3>与P<3>≤F<4>，所以P<4>≤F<5>。

×因为P<3>≤F<4>与P<4>≤F<5>，所以P<5>≤F<6>……

也就是说，对任意整数n≥0，P<n>≤F<n＋1>成立……以上是对数学归纳法的解说，这是为了头上冒出一个大问号的蒂德菈所做的说明。

现在假设提出『支付k＋2元的方法」，依照此支付方法使用的最小硬币面额来分的话，有以下3种情形。

(1)硬币最小面额为①的情形。

(2)硬币最小面额为②的情形。

(3)硬币最小面额为③以上的情形。

之后，依照以下操作，将『支付k＋2元的方法』变化成『支付k＋1元的方法』，或是变成『支付k元的方法』。

(1)在硬币最小面额为①的情形，将①除去1枚。则剩下的硬币会变成『支付k＋1元的方法』。

(2)在硬币最小面额为②的情形，将②除去1枚。则剩下的硬币会变成『支付k元的方法』，且此支付方法之最小硬币面额不会是①。

(3)在硬币最小面额为②以上的情形，将最小硬币面额设为<m>，然后将1枚<m>硬币如下置换。

②＋①＋①＋……

①共(m-2)个

于置换后取出1枚②，则剩下的硬币就会变成『支付k元的方法』，且此支付方法之最小硬币面额不会是①。

简单来说，依照上述操作可将任何『支付k＋2元的方法』变成『支付k＋1元的方法』或是『支付k元的方法』。此时，这些支付方法会全部相异，也就是说，这些支付方法并不会彼此冲突。

或许有点难懂，将k＋2＝9的分拆数具体地操作一次的话，就会像下表一样，拿掉的硬币以双线划掉，置换的部分以<>表示，许多1的部分则以……省略。

P<9>

9

8＋1

7＋2

7＋1＋1

6＋3

6＋2＋1

6＋1＋1＋1

5＋4

5＋3＋1

5＋2＋2

5＋2＋1＋1

5＋1＋1＋1＋1

4＋4＋1

4＋3＋2

4＋3＋1＋1

4＋2＋2＋1

4＋2＋1＋1＋1

4＋1＋…＋1＋1

3＋3＋3

3＋3＋2＋1

3＋3＋1＋1＋1

3＋2＋2＋2

3＋2＋2＋1＋1

3＋2＋1＋1＋1＋1

3＋1＋…＋1＋1

2＋2＋2＋2＋1

2＋2＋2＋1＋1＋1

2＋2＋1＋…＋1＋1

2＋1＋…＋1＋1

1＋…＋1＋1

(1)P<8>的部分

8＋<删除线1>

7＋1＋<删除线1>

6＋2＋<删除线1>

6＋1＋1＋<删除线1>

5＋3＋<删除线1>

5＋2＋1＋<删除线1>

5＋1＋1＋1＋<删除线1>

4＋4＋<删除线1>

4＋3＋1＋<删除线1>

4＋2＋2＋<删除线1>

4＋2＋1＋1＋<删除线1>

4＋1＋…＋1＋<删除线1>

3＋3＋2＋<删除线1>

3＋3＋1＋1＋<删除线1>

3＋2＋2＋1＋<删除线1>

3＋2＋1＋1＋1＋<删除线1>

3＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋2＋2＋2＋<删除线1>

2＋2＋2＋1＋1＋<删除线1>

2＋2＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋1＋…＋1＋<删除线1>

1＋…＋1＋<删除线1>

(2)P<7>的部分

7＋<删除线2>

5＋2＋<删除线2>

4＋3＋<删除线2>

3＋2＋2＋<删除线2>

(3)P<7>的部分

<<删除线2>＋1＋…＋1>

<6＋<删除线2>＋1>

<5＋<删除线2>＋1＋1>

<3＋3＋<删除线2>＋1>

由于这种操作存在，所以『支付k＋2元的方法』的个数不会超过『支付k＋1元的方法』与『支付k元的方法』的个数总和。

所以从以上的讨论，可以得到对所有整数k≥0，分拆数P<k＋2>，P<k＋1>之间会成立以下不等式。

P<k＋2>≤P<k＋1>＋P<k>

再来假设

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>

成立时，加上上面的结果，下面的式子就会成立。

P<k＋2>≤F<k＋2>＋F<k＋1>

从斐波那契数的定义可以得到右边的算式等于F<k＋3>，因此下式成P<k＋2>≤F<k＋3>

因此对任意整数k＞0……

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>所以P<k＋2>≤F<k＋3>

成立。

由数学归纳法得到对任意整数n≥0，P<n>≤F<n＋1>成立。

嗯，到这里告一段落，分拆数P<n>会一直被斐波那契数F<n＋1>压住。喔，工作还没结束唷，我们还没解出问题10－2，用F<k＋2>＝F<k＋1>＋F<k>做出斐波那契数的列表。

n012345678910111213141516……

P<n>01123581321345589144233377610987……

从表中得知F<16>＝987，所以会变成下列算式成立……

P<15>≤F<16>＝987＜1000

也就是说

P<15>＜1000

因此问题10－2的不等式成立，好，这样就真的结束了。

不用求一般项P<n>，也不用求P<15>的证明完成了。

※※解答10－2

P<15>＜1000

米尔迦心满意足地结束她的发表。

10．5．3蒂蒂的发表

「那、那个……」这次换蒂蒂举手。

「好的，蒂德菈，哪里有问题吗？」米尔迦指向她。

「不，不是问题……我也要发表问题10－2的解。」蒂蒂说。

「喔，那就换手吧。」说完，米尔迦递出粉笔。

「啊，不用了。我的发表很快就会结束，我将支付15元的方法全部写了出来，直接数的话，P<15>的值会是176，所以……

P<15>＝176<1000

故问题10－2的不等式成立。」

蒂蒂说着，并将笔记本面对我们摊开。

①×15①×13＋②

①×11＋②×2①×9＋②×3

①×7＋②×4①×5＋②×5

①×3＋②×6①＋②×7

①×12＋③①×10＋②＋③

①×8＋②×2＋③①×6＋②×3＋③

①×4＋②×4＋③①×2＋②×5＋③

②×6＋③①×9＋③×2

①×7＋②＋③×2①×5＋②×2＋③×2

①×3＋②×3＋③×2①＋②×4＋③×2

①×6＋③×3①×4＋②＋③×3

①×2＋②×2＋③×3②×3＋③×3

①×3＋③×4①＋②＋③×4

③×5①×11＋④

①×9＋②＋④①×7＋②×2＋④

①×5＋②×3＋④①×3＋②×4＋④

①＋②×5＋④①×8＋③＋④

①×6＋②＋③＋④①×4＋②×2＋③＋④

①×2＋②×3＋③＋④②×4＋③＋④

①×5＋③×2＋④①×3＋②＋③×2＋④

①＋②×2＋③×2＋④①×2＋③×3＋④

②＋③×3＋④①×7＋④×2

①×5＋②＋④×2①×3＋②×2＋④×2

①＋②×3＋④×2①×4＋③＋④×2

①×2＋②＋③＋④×2②×2＋③＋④×2

①＋③×2＋④×2①×3＋④×3

①＋②＋④×3③＋④×3

①×10＋⑤①×8＋②＋⑤

①×6＋②×2＋⑤①×4＋②×3＋⑤

①×2＋②×4＋⑤②×5＋⑤

①×7＋③＋⑤①×5＋②＋③＋⑤

①×3＋②×2＋③＋⑤①＋②×3＋③＋⑤

①×4＋③×2＋⑤①×2＋②＋③×2＋⑤

②×2＋③×2＋⑤①＋③×3＋⑤

①×6＋④＋⑤①×4＋②＋④＋⑤

①×2＋②×2＋④＋⑤②×3＋④＋⑤

①×3＋③＋④＋⑤①＋②＋③＋④＋⑤

③×2＋④＋⑤①×2＋④×2＋⑤

②＋④×2＋⑤①×5＋⑤×2

①×3＋②＋⑤×2①＋②×2＋⑤×2

①×2＋③＋⑤×2②＋③＋⑤×2

①＋④＋⑤×2⑤×3

①×9＋⑥①×7＋②＋⑥

①×5＋②×2＋⑥①×3＋②×3＋⑥

①＋②×4＋⑥①×6＋③＋⑥

①×4＋②＋③＋⑥①×2＋②×2＋③＋⑥

②×3＋③＋⑥①×3＋③×2＋⑥

①＋②＋③×2＋⑥③×3＋⑥

①×5＋④＋⑥①×3＋②＋④＋⑥

①＋②×2＋④＋⑥①×2＋③＋④＋⑥

②＋③＋④＋⑥①＋④×2＋⑥

①×4＋⑤＋⑥①×2＋②＋⑤＋⑥

②×2＋⑤＋⑥①＋③＋⑤＋⑥

④＋⑤＋⑥①×3＋⑥×2

①＋②＋⑥×2③＋⑥×2

①×8＋⑦①×6＋②＋⑦

①×4＋②×2＋⑦①×2＋②×3＋⑦

②×4＋⑦①×5＋③＋⑦

①×3＋②＋③＋⑦①＋②×2＋③＋⑦

①×2＋③×2＋⑦②＋③×2＋⑦

①×4＋④＋⑦①×2＋②＋④＋⑦

②×2＋④＋⑦①＋③＋④＋⑦

④×2＋⑦①×3＋⑤＋⑦

①＋②＋⑤＋⑦③＋⑤＋⑦

①×2＋⑥＋⑦②＋⑥＋⑦

①＋⑦×2①×7＋⑧

①×5＋②＋⑧①×3＋②×2＋⑧

①＋②×3＋⑧①×4＋③＋⑧

①×2＋②＋③＋⑧②×2＋③＋⑧

①＋③×2＋⑧①×3＋④＋⑧

①＋②＋④＋⑧③＋④＋⑧

①×2＋⑤＋⑧②＋⑤＋⑧

①＋⑥＋⑧⑦＋⑧

①×6＋⑨①×4＋②＋⑨

①×2＋②×2＋⑨②×3＋⑨

①×3＋③＋⑨①＋②＋③＋⑨

③×2＋⑨①×2＋④＋⑨

②＋④＋⑨①＋⑤＋⑨

⑥＋⑨①×5＋⑩

①×3＋②＋⑩①＋②×2＋⑩

①×2＋③＋⑩②＋③＋⑩

①＋④＋⑩⑤＋⑩

①×4＋<11>①×2＋②＋<11>

②×2＋<11>①＋③＋<11>

④＋<11>①×3＋<12>

①＋②＋<12>③＋<12>

①×2＋<13>②＋<13>

①＋<14><15>

(JoyJ：ANSI编码中没有10以后的序号，因此用<>代替。话说结城你确定你不是在骗稿费？)

米尔迦迅速确认蒂蒂列举的支付方法。

「……没有错误，这是蒂德菈坚持到底的胜利呢。」苦笑的米尔迦摸摸蒂蒂的头。

「嘿嘿，这次没错了。」蒂蒂开心地说。

而我只是哑口无言。

10．6教室

为了拿书包而回到教室的我，心情突然变得很糟。

我在自己的位置上坐下，并趴在桌子上。

固执地求一般项P<n>是个败笔，题目都已经特别用不等式表达了，我还一时兴起想求出生成函数，对解题完全没有帮助。

真不甘心。(无名之声：终于肯承认自己是个废柴男了么＝。＝)

有人走进教室，这个脚步声……是米尔迦，她的脚步声逐渐接近。

「怎么了？」是米尔迦的声音。

我没有回答，也没有抬头看她。

「哇……真阴沉啊。」

在安静的教室中，米尔迦仍旧没有任何动作。

一阵沉默。

我像是输给她似地抬起头。

她的表情并不像平常一样悠闲，而是带点困惑的神情，突然间，米尔迦的手指动了。

1123

这是斐波那契手势，是爱好数学的人打招呼的方式，但是现在的我并没有心情响应她。

米尔迦把手背在背后，将脸朝向旁边说：

「……蒂德菈很可爱呢……」

我没有回答。

「不晓得我能不能像她一样可爱……」

我……没有回答。

教室的扩音器响起了德弗札克的『新世界』。

「……没有解出来，因为走错路了。」我说。

「嗯……」米尔迦说着：「……在地球上的任何地方以及壮大时间之流中，数学家们不断地寻找着各种问题的解答，在这中间，毫无斩获地结束也是常有的事，但是这样就要说寻找是没有意义的吗？当然不是，不去寻找就无法得知是否能够找到、不实际去做怎么得知是否能够做到……我们是旅人，或许有疲倦的时候、或许有迷路的时候，即此如此，我们仍然会继续旅行。」

「我……装成很懂的样子，得意洋洋地求出生成函数，但是这对解决问题并没有帮助……真像个笨蛋一样。」我自嘲。

「那么……」米尔迦面对着我说：「……那么，我来试着找找发现的生成函数P(x)的相关问题吧。」说完话的她露出微笑。

米尔迦再一次伸出手指，再度摆出斐波那契手势。

1123……

接着她将手张开，响应自己的手势。

……5

然后她张开的手缓缓伸向坐在位置上的我，温暖的手指触碰到我的脸庞。

「疲倦的时候便休息吧，走错路的时候就往回走吧……因为这一切全都是我们的旅程。」

她说完话后将身体向前弯曲，把脸凑近我。

我们的眼镜互相碰撞。

镜片的两侧是深邃的瞳孔。

无言诉说感情的脸庞不断靠近，

缓缓地……

「假如瑞谷老师出现的话，会吓一跳吧。」我不经意地说出感想。

「闭上嘴巴。」米尔迦说。

10．7寻找更好上界的旅途

过了几天。

放学后，米尔迦突然对我说：

「我找到比斐波那契数更好的上界了，你来听听看吧，对了，把蒂德菈也找来。」

10．7．1从生成函数出发

米尔迦拿着粉笔站在讲台前面。

蒂蒂和我被叫出来，坐在教室的最前排听她「上课」，除了我们三个人之外没有任何人。

「要求分拆数P<n>的上界，就是求满足P<n>≤M(n)的M(n)，之前已经证明斐波那契数为分拆数的上界了，现在要求的是更好的上界。」

「所谓更好的上界是指比斐波那契数更小的上界吗？」蒂蒂举手发问。

「没错，不过这是在n相当大的时候了。」米尔迦简单地回答。

然后她眯起眼睛说：「我们的起点是生成函数。」

◎◎◎

我们的起点是生成函数，首先思考分拆数P<n>与生成函数P(x)的大小关系，在0＜x＜1的范围内思考的话，将P<n>乘上x<n次方>会比P(x)小。

P<n>x<n次方>＜P(x)

这是因为在生成函数的定义中有包含P<n>x<n次方>的关系，在下式中，右边各项皆为正数，因此左边会比右边小。

P<n>x<n次方>＜P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋……＋P<n>x<n次方>＋……

而我们还知道生成函数P(x)的另一个形式，没错，就是积的形式(这时候她稍微瞄了我一下)，所以右边可以替换成下式。

P<n>x<n次方>≤1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

将两边除以x<n次方>。

P<n>＜1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……

右边的式子会比P<n>还要大，也就是上界的候补，但是无限积并不好处理，所以要将其限制在n枚的情况，要从下面的有限积思考。

P<n>≤1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)

到这个不等式为止还算单纯，但是右边的积仍旧很难处理，这里要稍微动一下脑。

……我是这样想的，因为积很麻烦，所以想把它变成和，要怎么将积变成和呢？

10．7．2『第一个转角』将积变成和

「只要取对数就好了，取对数的话，就能将积变成和了。」我说。

「就是这样。」米尔迦回答。

◎◎◎

就是这样。

P<n>≤1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)

将两边取对数，这里是『第一个转角』，我们从家里出发，从『找寻P<n>上界的道路』转到『找寻㏒<以e为底，P<n>>上界的道路』。蒂德菈，没问题吧？虽然细节的讨论也很重要，但是不能迷失了大方向。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>×1/(1-x<1次方>)×1/(1-x<平方>)×1/(1-x<立方>)……1/(1-x<n次方>)>

取了对数之后，积就变成和，会得到以下式子。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋㏒<以e为底，1/(1-x<1次方>)>＋㏒<以e为底，1/(1-x<平方>)>＋㏒<以e为底，1/(1-x<立方>)>＋……＋㏒<以e为底，1/(1-x<n次方>)>

长式子让人厌烦，用Σ来写吧，意思一样。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

在这里问题分成东西两条路，也就是『岔路』。之后还会回来，所以要将这里记好。

㏒<以e为底，P<n>>≤<以e为底，P<n>>≤

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

西边的山丘↑ 东边的森林↑

往西边前进的话是山丘，往东边前进则是森林。

10．7．3『东边的森林』泰勒展开式

先看『东边的森林」吧。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

东边的森林有n棵树木，现在要求构成『东边的森林』的『东边的树木』，也就是㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>的上界。

现在的问题需要评估下面的函数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>

在思考的同时，令t＝x<k次方>为函数f(1)。

f(t)＝㏒<以e为底，1/(1-t)>

要研究这个函数f(t)，该怎么做比较好呢？你说说看，蒂德菈，该怎么找呢？

◎◎◎

「咦？我……吗？可是我还不太清楚㏒是什么……对不起。」

「这里有不知道的函数f(t)，你看你，蒂德菈，不是『一辈子都不会忘』吗？」

「啊……泰勒展开式！」

「没错。」米尔迦说：「将f(t)以泰勒展开式变回幂级数。」

◎◎◎

将f(t)以泰勒展开式变回幂级数。

由于会用到对数函数的微分以及合成函数的微分，这里就只写出结果。

函数f(t)＝㏒<以e为底，1/(1-t)>以泰勒展开式成为下列幂级数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/(1-t)>

＝t<1次方>/1＋t<平方>/2＋t<立方>/2＋……但是0＜t＜1

这里将t还原成xk，就可以得到『东边的树木』的幂级数展开。

㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>＝x<1k次方>/1＋x<2k次方>/2＋x<3k次方>/2＋……但是0＜x<k次方>＜1

将这个式子取k＝1，2，3，……，n的和，也就是从『东边的树木』回到『东边的森林』。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,>『东边的树木』

＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

泰勒展开式。

＝Σ<k=1到n,x<1k次方>/1＋x<2k次方>/2＋x<3k次方>/3＋……>

里面的和也用Σ表示。

＝Σ<k=1到n,Σ<m=1到∞,x<mk次方>/m>>

交换和的顺序。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,x<mk次方>/m>>

在这里由于m不被里面的Σ约束，所以将1/m提到外面。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,(1/m)x<mk次方>>

将内侧Σ的展开，确定与自己理解的一致。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>)>

我们在中间交换过和的顺序，在无穷级数中交换和的顺序时要非常注意，不过这里就先不深究了。

在这里休息一下，由于现在要求的是上界，所以要试着找出比『东边的森林』更大的式子，在这里将有限和视为无限和做出不等式，做出无限和是因为要利用等比级数的求和公式，我们继续前进吧。

『东边的森林』＝Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>)>

将内侧的有限和作成无限和的不等式。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)(x<1m次方>＋x<2m次方>＋x<3m次方>＋……＋x<nm次方>＋……)>

令0＜x<m次方>＜1，然后使用等比级数的公式。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/(1－x<m次方>))>

在这里再度停下脚步，就算不求出最后的式子也没关系，因为现在要求上界，只要找出更大的式子就可以，所以这次要注意分数(x<m次方>)/(1－x<m次方>)下的分母1－x<m次方>，将这个分母用更小的式子取代的话，还可以做出不等式。

懂吗？是将『让式子更容易处理』与『做出稍微大一点的式子』交换，将容易处理的式子妥协成稍微大一点的上界，每次妥协的时候就会出现不等号。

继续观察『东边的森林』吧。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/(1－x<m次方>))>

将分母因式分解。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)(1＋x＋x<平方>＋……＋x<m－1次方>))>

将分母项中最小的x<m－1次方>以和形成不等式。

＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)(1＋x＋x<平方>＋……＋x<m－1次方>))>

(分母中后一项共m项)

因为x<m－1次方>有m个，所以用积表示。

＝Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)mx<m－1次方>)>

「将这个式子整理之后，蒂德菈会大叫喔。」米尔迦对蒂蒂露出不怀好意的微笑。

「咦？米尔迦学姐，为什么我会大叫？」

「那就来试试吧。」

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,(1/m)((x<m次方>)/((1－x)mx<m－1次方>)>

将式子做整理。

＝Σ<m=1到∞,(1/m<平方>)(x/(1－x))>

将没有受到Σ限制的因式移到外面……

＝(x/(1－x))Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

「啊～～啊啊啊啊啊啊！」

「看吧。」

「贝塞尔问题！这式子是π<平方>/6！」蒂蒂叫道。

「没错。」米尔迦竖起食指。

◎◎◎

没错，我们在此心怀感激地使用尤拉老师解出的贝塞尔问题的结果吧。

Σ<m=1到∞,1/m<平方>>＝π<平方>/6贝塞尔问题