第10章分拆数.3

用了这个就能再继续往下走。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1－x<k次方>)>>

＜(x/(1－x))Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

＝(x/(1－x))(π<平方>/6)贝塞尔问题

对于『东边的森林』的观察就到这里。

对了，为了以后的方便，就令t＝x/(1－x)吧，所以『东边的森林』如下所示。

※※『东边的森林』的上界

Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1－x<k次方>)>>＜(π<平方>/6)t但是t＝x/(1－x)

10．7．4『西边的山丘』调和数

我们的旅程已经过了一半，回到『岔路』吧，这次要向『西边的山丘』前进。

令0＜x＜1，现在开始要检讨㏒<以e为底，1/x<n次方>>。

和刚才一样，令t＝x/(1－x)，就能在0＜x＜1时，使0＜t，而且x＝t/(1＋t)。

『西边的山丘』＝㏒<以e为底，1/x<n次方>>

＝n㏒<以e为底，1/x>由㏒<以e为底，a<n次方>>＝n㏒<以e为底，a>得到

＝n㏒<以e为底，(1＋t)/t>将x以t表示

＝n㏒<以e为底，1＋1/t>

这里要注意㏒<以e为底，1＋1/t>，令u＝1/t，然后调查当u＞0时，㏒<以e为底，(1＋u)>的情形，这和调查调和数(Harmonicnumber)时十分类似，先画出和缓的『西边的山丘』。

[插图：平面直角坐标系u-y，1/1+u，过(0,1)向右画直线，任取直线上一点作u轴射影构成长方形。长方形的面积为u，曲线与射影线与u-y轴所成的图形面积为㏒<以e为底，1+u>]

(无名之声：这图我作了1个小时，斜线阴影要一条一条地作，怎么几何画板上阴影就不能用斜线呢？一定要填充颜色，我纠结。)

由于u＞0时，斜线部分的面积小于长方形的面积，所以……

㏒<以e为底，1＋u>＜u

又因为u＝1/t……

㏒<以e为底，1＋1/t>＜1/t

即可得到下式。

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＝n㏒<以e为底，1＋1/t>＜n/t

以上就是对『西边的山丘』的观察。

※※『西边的山丘』的上界

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＜n/tt＞0

10．7．5旅途的终点

那么，再一次回到『岔路』吧，快一点快一点。

观察『东边的森林』与『西边的山丘』利用到的㏒<以e为底，P<n>>，就会变成下面的式子。

㏒<以e为底，P<n>>＜n/t＋(π<平方>/6)tt＞0

就快结束了，将上面右边的式子命名为g(t)，求函数g(t)在t＞0时的最小值，这个最小值就能将㏒<以e为底，P<n>>的头压住了。

g(t)＝n/t＋(π<平方>/6)t

g’(t)＝－n/t<平方>＋π<平方>/6微分

解方程式g’(t)＝0，得到t＝±(<根号6n>/π)，所以在t＞0的范围内得到以下的增减表。

t 0 …<根号6n>/π…

g’(t)-0+

g(t)最小

故最小值如下。

g(<根号6n>/π)＝(<根号6π>/3)×<根号n>

用比较容易懂的图表示就会像下面的图表，解出方程式g’(t)＝0是为了要找出图中水平切点的位置。

[插图：只有正半轴的平面直角坐标系，画y=g(t)=(n/t)+(π<平方>/6)t，描点(<根号6n>/π×3)<根号n>,(<根号6>π/3)×t]

终于到高潮的部分了，现在关心的只有n，所以其它烦人的常数通通集合起来命名为K。

㏒<以e为底，P<n>>＜K×<根号n>但是K＝<根号6>π/3

在『第一个转角』时有取对数，所以现在反取回来，回到转角就能看见家了。

P<n>＜e<K×<根号n>次方>但是K＝<根号6>π/3

好了，这样终于告一段落了。

虽然是漫长的旅程，不过已经到家了……欢迎回来。

※※分拆数P<n>的上界之一

P<n>＜e<K×<根号n>次方>但是K＝<根号6>π/3

※※求㏒<以e为底，P<n>>的上界×的旅行地图

㏒<以e为底，P<n>>

↓≤

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/(1-x<k次方>)>>

西边的山丘↑ 东边的森林↑

↓

『西边的山丘』←『岔路』→『东边的森林』

↓＜↓＜

n/t→n/t＋(π<平方>/6)t←(π<平方>/6)t

↓

(<根号6>π/3)×<根号n>

10．7．6蒂蒂的回顾

我和蒂蒂一起享受米尔迦这段漫长的旅程，虽然有些地方还想亲自确认，不过现在最重要的是品尝在漫长旅途结束之后……追逐算式之后无法言喻的感觉。

我看向蒂蒂，她摆出认真的表情不发一语。

「蒂蒂，难道你很泄气吗？」我小声地问。

「不！怎么会，我完全不会泄气。」蒂蒂开朗地笑着。「在米尔迦学姐推导的过程中，有很多我不懂的地方，不过我没有泄气，因为我也有很多地方听得懂。」

蒂蒂点点头之后继续说：

「……总觉得好像用脑过度了，真是好长的旅途啊，虽然还有很多地方没消化完，不过已经抓到大概的感觉了，而且出现许多武器让我感到很有趣，能亲手使用这些武器也令我觉得很厉害。」-

将有限和变成无限和，做出不等式-

放弃变形成简便的形式，让上界的观察更为仔细-

为了将积变和而取对数-

使用无穷级数的求和公式-

瓶颈时的泰勒展开式-

麻烦时的变数变换-

尤拉老师的贝塞尔问题-

为了求最小值而微分的增减表

「武器到手之后要靠自己磨练，然后挑战问题，这样才会有跃动的实感。不是解答理所当然的问题就好，而是要将这种栩栩如生的感动传达出去……从『第一个转角』到『岔路』，然后是『东边的森林』与『西边的山丘』……我想自己去寻找！想学习更多知识！米尔迦学姐，谢谢你，虽然我还没办法将每样武器好好地运用，而且在使用之前……要先取得这些知识当武器吧，我会加油的。」

蒂蒂紧握拳头。

10．8再见！明天见

我们三个在回家的路上继续讨论数学，像是刚才的上界，要得到比斐波那契数列更好的上界的话，n要到多大？或是最后要求出P<n>吗？诸如此类的讨论，蒂蒂兴奋地一直提出问题，然后我回答，有时候米尔迦也会提出她的建议……我们不断互动。

最后……通过一如往常的道路，到达一如往常的车站。

平常米尔迦都会迅速离开，不过今天蒂蒂却要跟她一起走。

「咦？蒂蒂，为什么你会往那里走？」

「嘿嘿～～今天我要和米尔迦学姐一起去书店。」

啊，原来如此……感情很好嘛。

「我们先走了，明天见。」米尔迦说。

「学长！明天再来算数学吧。」

蒂蒂大声说完后，就和米尔迦一起并肩向前走。

两人离去。

留下我一个人。

咦？啊……刚刚还在一直交谈，却突然只剩下我一个人……总觉得好像有点寂寞。

我们现在在同一所高中上学，但是总有一天会走向各自的道路，无论再怎么分享，我们的时间与空间仍然有限，结束终将来临，我的胸口传来一阵心痛。

……不远处的蒂蒂正在米尔迦耳边说些什么，突然间，两个人转过身面对我。

怎么了吗？

蒂蒂高举右手，猛烈地摇摆。

米尔迦则是静静地举起右手。

然后两人配合节奏，同时摆动手指。

「一、一、二、三……」蒂蒂的声音传来。

啊，斐波那契手势，而且两人还同时做。

我露出苦笑。

没错，时间确实有限，结束也终将来临，不过正因为如此，才会更尽力地去学、尽力地前进，享受着属于我们的那名为数学的语言。

因为——『数学是超越时间的』。

我用力高举双手，响应这两位数学少女。

米尔迦。

蒂蒂。

明天再一起算数学吧！

对我们来说，这是整个故事的结束，

我们可以真挚地说，他们从此以后过着幸福快乐的日子。

但是对他们而言，这才是真正故事的开始。

他们在这个世界的生活与他们在纳尼亚的冒险，

都不过是这本故事书的封面与标题。

——C．S．刘易斯『最后的战役』(濑田贞二译林静华译／大田出版社)

尾声

——春天。

「老师！」

一位少女跑进了教师办公室。

「老师你看你看，学年徽章变成Ⅱ了。」

「是啊，因为是新学期了……所以报告呢？」

「有～～我有带来……这次是用硬算的，P<15>等于176，所以比1000小，证明完毕，对了吧，老师？」

少女摊开笔记本。

「正确答案……原来如此，全部写上去了啊。」

「没办法用头脑解的话就只能动手了，可是176也和1000差太远了吧！……对了，老师，有表示分拆数的一般项P<n>的式子吗？」

「嗯，算是有吧。」

※※解答X(表示分拆数的一般项P<n>的式子)

P<n>＝(1/(π×<根号2>))×Σ<k=1到∞,A<k>(n)×<根号k>×(d/(dn))×(sinh(<根号n-1/24>/k)/<根号n-1/24>)>

其中C＝π

（JoyJ：成功表示出这个式子以后我泪流满面……结束啦结束啦结束啦啊啊啊啊啊啊啊……）

「……老师，这个夸张的式子是什么？」

「很惊人吧，这是拉德梅御在一九三七年发表的式子。」

「喔……不，等一下。这个Ak(n)是什么？没有定义啊。」

「嗯，你注意到了，这个问题代表你有仔细看这个算式，虽然老师没办法用一句话详细说明A<k>(n)，不过是从某个有限和得出的，这个有限和的24次方是1，详细的话就要挑战论文了。」

「唔，需要到这种程度吗……」

「总之，在整数的分拆中还隐藏着许多不可思议的『宝物』喔。

「老师，先别管数学……这张照片是老师的女朋友吗？地点……是在欧洲吗？」

「好了好了，不要擅自看别人的信。」

「咦，这一封信又是不一样的女生？这张照片……不在日本，是在哪里呢？」

「喂，别拿走。」

「老师很受欢迎呢！」少女发出呵呵的笑声。

「不是你想的那样，她们两个……是老师很重要的朋友，是从高中时代开始就一起在数学世界旅行的同伴。」(无名之声：渣就是渣，还解释什么)

「喔，原来老师也有高中生的时代啊。」

「这当然啊，好了，快回去快回去。」

「给我新的卡片我就回去。」

我递出卡片，少女用两手接过。

「咦？老师……这次是两张卡片啊？，

「嗯，这张是你的卡片，另外一张是他的。」

『啊，好～～那就打扰了！」

少女微笑着摆动手指四次。

我将手张开回应她后，她满足地走出教师办公室。

春天啊……

望向教师办公室窗外的樱花，让我回想起当时的情况。

将手无限地展开，

想获得丰富果实的采收作业，

就要等待读者的努力。

——尤拉[25]

后记

我是结城浩。

我对数学的『憧憬』——和男孩对女孩抱持的情感在某些地方有点相似。

想解出困难的数学问题却找不到答案，甚至连一点头绪都没有，可是无法忘记问题本身的魅力，问题之中无疑地藏着某种美好。

想知道她的心情，她喜欢我吗？无法得知答案让我非常焦急，脑海里总是浮现她的身影。

不晓得这本书有没有将这样的心情传达给你呢？

我在二○○二年写出本书的原型，并公开在网站上，许多读了文章的读者热心地留下许多留言支持我，假如没有那些留言，我想就不会出

现『数学少女』这本书了，在这里再一次致上我的感谢之意。

本书使用了LATEX2ε与EulerFont(AMSEuler)的字型排版，冠上尤拉之名的EulerFont字型，是由写的一手好字的数学家赫尔曼×察普夫

手写兼设计，专门给计算用的字型。

排版上感谢奥村晴彦先生的『LATEX2ε美文书作成入门』，派上了很大的用场。

一部分的图版使用了大熊一弘先生(tDB先生)开发的初等数学プリント作成マクロmath（JoyJ：这个不好翻译，プリント=print印刷品，印刷物；マクロ=macro宇宙……大概是个软件名字？）印制而成，真是非常感谢。(编按：以上指日文原书)

感谢以下阅读原稿，并给予宝贵意见的各位。

青木久雄先生、青木峰郎先生、上原隆平先生、植村光秀先生、金矢八十男先生(ガスコン研究所)、川岛稔哉先生、田崎晴明先生、前原

正英先生、三宅喜亿先生、矢野勉先生、山口健史先生、吉田有子小姐。

也感谢所有的读者、光临我的网站的朋友们，以及总是为我祈祷的基督教教友。

感谢在本书完成之前以无比耐心支持我的野泽喜美男总编辑长，以及企划本书时大力协助的中岛绫子小姐。

也感谢我最爱的妻子以及两个儿子，特别是给予原稿建议的长男。

将这本书献给我的老师，莱昂哈德-尤拉。

非常感谢您阅读本书，希望能有机会再见。

结城浩

2007年，于尤拉诞生300年的春天

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