第二篇 真理痴情
“与数理哲学的蜜月”(9)
随着研究的深入，在《数学原理》写作期间，他曾经说：“数学成了我的生命中的最高点，是一种我从未体验过的后也再也没有体验过的精神上的蜜月旅行……”然而，到1901年6月，这段蜜月的愉悦就要结束了。康托尔（Cantor）证明没有最大的基数，将这一证据用于全类（universal class），就会导致不把自身包含在内的类与类之间的矛盾。他所碰到的难点是由这一问题引起的：在把数学归为逻辑之后，他发现逻辑本身存在着一些尚未得到解决的矛盾。比如，这样一个最简单的矛盾：假设有人说“我在说谎”，那么当他讲这句话时，他也是在说谎吗?如果他是在说谎，那么他就是讲了真话；如果他是在讲真话，那么他就是在说谎。当然，罗素发现的矛盾比这还要复杂。 1901年6月，罗素考查了康托尔悖论，通过分析其结构，发现了罗素悖论。构成罗素悖论所使用的也是康托尔集合论的最基本概念：集合、属于、元素。元素属于集合，一个集合也可以成为另一集合的元素。罗素说，集合可以分为两类，一类是集合本身也是自己的元素，例如“概念的集合”，它包含了所有概念为其元素，而“概念的集合”本身也是一个概念，因此也是它自己的元素，也就是说属于自己。又如“汉字符号组的集合”是由汉字组成的符号组，因此这一集合本身也是自己的元素。当然，“一切集合所组成的集合”也是自身的元素，因为它也是一个集合，这种集合罗素称为“非常集”。非常集并不是很多，最常见的还是第二类，即本身不是自己元素的集合，罗素称之为“平常集”。例如“兔子的集合”，这一集合本身是一概念，而不是一只兔子，因而它不是本身的元素。“英国首相的集合”则包含撒切尔、梅杰等人作为其元素，而这一集合本身却不是一个首相。此集合也是“平常集”。根据集合的特点，“兔子的集合”、“英国首相的集合”等等这些平常集也可以组成一个集合，即“所有不属于自身的集合的集合”。那么，现在就有一个问题：这一集合是平常集还是非常集？“所有不属于自身的集合的集合”属于自身还是不属于自身？如果它属于自身，那么，它就是非常集，也就不是“不属于自身的集合”，因此，也就不属于自身；如果它不属于自身，那么，它就是平常集，也就恰恰是自身的元素，即属于自身。 从集合论的基本概念引申出来的悖论令数学王国的臣民们开始惶惶不安，因为他们一贯追求严密性，而一旦发现他们自称绝对严密的数学基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想象他们是多么震惊！一时间，数学王国一片混乱，第三次数学危机到来了。 德国数学家弗雷格花了25年的时间写成了《算术的基本法则》，正当第二卷要付印的时候，他收到了罗素的一封信，罗素在信中把这一悖论告诉了他，弗雷格就在著作的末尾加了这样的附记：“一个科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之际，它的基础突然垮掉了。当这部著作只等付印的时候，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”数学家戴德金原来准备把《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他觉得由于罗素悖论，整个数学的基础崩塌了。有的数学家甚至宣布他以前的数学著作全部是“废话”。
第二篇 真理痴情
“与数理哲学的蜜月”(10)
为了有助于人们对悖论的理解，1918年罗素又用“理发师悖论”以一种通俗的方式加以说明： 西班牙的塞维利亚村只有一个理发师，自夸无人可比。他给自己的小店立了一条店规：“我给且只给村里不给自己刮胡子的人刮胡子。”他把此店规用一个牌子写出来，并把它挂在小店的墙上。小店开业后，顾客盈门，理发师当然喜不自胜。顾客们只管刮胡子，对其店规也都没大在意。然而有一天，理发师自己感到迷惑了：谁给他自己刮胡子呢？ 罗素指出他的悖论可以用逻辑的术语表示出来。 形容词可以分为两类：一类是这种形容词所表示的性质可以适用于形容词自身，比如“黑的”这个形容词本身就是黑的，所以它就适用自己。“四个字的”这个词本身也是四个字的，因此它也可以用来形容自身。又如“用汉语表示的”，既可以用来形容“一目了然”、“至高无上”等这些词，同时也可以用来形容自己，这种形容词称为“自状的”。而另一类形容词所表示的性质则不能形容自身，即它不具有自身所代表的性质，这种形容词称为“非自状的”。例如，“英文的”本身是汉语的，而不是英文的，它不能形容自己。“无意义的”自身是有意义，它并不适用于自己，所以也是非自状的。 然而，类的概念自相矛盾打断了他的数理哲学蜜月。但是，罗素被人们公认为最伟大的逻辑学家。 因为他指出逻辑所能做的事实在是太有限了。罗素说：“逻辑学愈来愈趋向完善，而能够得到证明的东西则愈来愈少。”他指出，一个缺乏逻辑思维能力的人的标志通常是，一个命题包含着与此无关的另一个命题。根据此罗素曾评论说，“逻辑学乃是一种得不出结论的艺术。”例如亚理士多德的三段论，有些已经过时，不再是正确的了。罗素继而坚持认为，逻辑学——数学也如此——给我们提供的知识全都是假说。它告诉我们的是，假如某个东西是真的，那么另一个东西也是真的。例如，“假如人都是要死的，再假如苏格拉底是个人，那么苏格拉底是要死的。” 因此，有人把逻辑看作是很像现代电脑之类的东西，它只能靠那些供它工作的现成资料来解决问题，如果不先把一些事实材料输入进去，它是不能产生任何结果的。逻辑只能靠预先准备好的、来自逻辑范围之外的那些前提才能够进行工作；一切证据都必须从尚未得到证明的某些前提开始。这里罗素把早在亚理士多德时期就已经从理论上得到承认，但是它在人类思想史上却一直被人们所忽视的问题强调出来。 第二篇 真理痴情
数学梦魇(1)
第八章 数 学 梦 魇 罗素“精神上的蜜月旅行”随着他的类的概念自相矛盾，噩梦般的结束了。1951年他的一篇《数学是纯语言学吗？》为他早期的数学理想的坟墓献上了一个花环，《数学家的噩梦》暗示了他的毕达哥拉斯之梦彻底破灭…… “类的概念是自相矛盾的”使得罗素的“精神上的蜜月旅行”噩梦般的结束了，他本来想把整个数学体系归纳为类的概念的计划破产了。为了理解这个发现对罗素的影响，我们就必须回顾他关于类的思考的过程。根据罗素对毕达哥拉斯数学的神秘主义的描述，类是一种客体，它是一种看不见、摸不着的对象，但是对于毕达哥拉斯来说它是一个真实的客观的存在。它们不在思维中存在，而只存在于“形式的世界”里。也就是毕达哥拉斯和柏拉图曾经描述的数字的那种存在，数字是类。 在罗素的理论中，数学是类的类，对他来说，这意味着类必须是某种客体，否则，怎么能够形成类的类呢？ 罗素通过对康托尔的无穷集理论的思考，总结出了类的概念的缺陷。康托尔的著名论断：世界上不存在最大的基数词，基数词是用来回答“多少”这个问题的数字。例如，如果要数一间屋子里的人数并得出结论“4”，那么，这个“4”就被用做一个基数词。另一方面，如果你让人排队，你就可以说：“你是第一个，你是第二个，你是第三个”和“你第四”，那么，你就把1、2、3和4作为序数词，在康托尔的理论中，基数词属于集合，并且基数词可以分为有限基数词和无限基数词。例如，自然数的集合就有一个无限的基数词——这个无限基数词康托尔用XO来表示——实数的集合中无限基数词也用XO来表示。康托尔的另一个论断：实数的集合中数字的数量要多于自然数集中数字的数量。这个论断的证明如下：首先，自然数是实数的子集，其次，实数不能同自然数——对应，康托尔于是得出结论，实数集合大于自然数集合。 另外，康托尔又有一个证明：从一般意义上而言，一个集合总是小于它的幂的集合（也就是说，它的主词集合）。如果一个集合中有n个数字，那么就会有2 n个子集，2 n总是大于n。将以上进行总结归纳，康托尔得出结论，实数的集合有2 n个自然数。据此，康托尔构建了一个关于不同的不确定的无限数的完整的体系分级结构。康托尔推理说：因为无论哪一个基数词，我们总是能够通过它的乘方得出更大的一个基数词，因而，世界上没有最大的无限基数词。这些最后罗素都接受了。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(2)
在读过维尔斯特拉斯、戴得金和康托尔的著作之后的激动中，罗素确信这种推理存在着一些不足之处。罗素说，如果数字是类，类是“客体”，就肯定会有更大的数字，也就是说，存在着“客体”的整体数字的数（不是存在于物质世界中——因为假设这个数字是有限的——而是存在于形式的世界中，在这种形式的世界里类也存在着），在1900年，他这样写道： 所有的无限数中有一个最大的无限数，这个最大的无限数是客体的总和，是每一类的最大无限数。很明显，没有比这个最大的无限数更大的数字，因为，如果一切都如此，那么就没有什么可以相加的了，康托尔证明了不存在最大的数字，如果他的证明是正确的，那么在纯形式中无限性的矛盾就会重新出现。但是，在这一点上，康托尔先生存在着一个非常微妙的谬误，我希望能在我以后的著作中解释这一点。 起初，罗素不能接受康托尔的证明，因为如果接受康托尔的证明，就必须承认类的理论存在着矛盾。矛盾来自于对所有类的类的思考。显然，因为数字是类，并且这个类包括每一个类——因此每一个数字——都有可能存在；所以这个类就有一个应当存在的最大的基数词。但是，如果康托尔是正确的，那么就有一个能够构建一个更大的类的简单方法，即把它所有的子集集中到一起。但是，如果这是一个更大的类，那么它就不能被包含在“所有的类的类”中，所有的类的类如何不能包含所有的类呢？ 罗素试图发现康托尔论据中的缺陷但是没有成功，之后，他不情愿地接受了它的悖论的结论，在他的《关于逻辑原子主义的讲演》中，他也的确把它作为哲学文献中最睿智（虽然承认了这一悖论，但并不认为是最滑稽的）的玩笑之一。 你能够提及的每一类客体都有一定的基数词。从作为相似类的类的基数词的定义中很容易接着向下思考，你将会有意识地设定在世界上存在着的所有客体的类会有它所期望的那么多。这个不是哲学家的人将会假设你不能得到比世界上存在着的所有的客体的类更大的一个类。另一方面，证明你是否选择了一类中的某些成员是很容易的，用你所能想到的所有方法进行这些选择，你能做出的不同选择的数目比项词的原本号数要大得多……一般说来，如果你有n个项词，你就可以做出2 n个选择。证明2 n总是大于n，无论n是不是有限的都是比较容易的。因此，你会发现世界上客体的总体数字与从这些客体中所能虚构出来的类的数目是不一样的，我要求你们把所有这些都看成是理所当然的，因为没有时间来调查证据，但是它们都出现在康托尔的著作中，因此你会发现这个世界上客体的总体数字并不是最大的数字。相反地，有一个更大的体系分级结构。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(3)
表面上看起来，这似乎是使人陷入矛盾之中。实际上，你有完全精确的数学证明来说明天地之中的客体比在我们的哲学梦想中的客体要少得多。 实际上，罗素通过放弃这种有着丰富想象力的本体论使自己的哲学向前发展。如果康托尔的证明是正确的，他推理道，那么类就不能是客体。毕竟，它们不是“世界中的客体”。现在，罗素声明，类是“逻辑虚构”，数字亦是如此：毕达哥拉斯的世界，至少部分地，是一种假象。 罗素的这种观念通过他对好像比最大基数的悖论更加重要的类的概念中的矛盾的发现被强化了，这个矛盾现在被称为“罗素悖论”，这个矛盾也成为罗素对数理逻辑的最知名的贡献。它也引起了后来的思考。罗素在对康托尔的理论进行思考后得出的“所有的类的类”是不同寻常的类，在这些类中它把它自身看成其中的一个成员。很明显，大多数的类不包含它们自身：例如人的类不是一个人。现在，假设我们构建不包含它们自己（也就是说，所有标准的类的类）的所有类的类，并且提出问题：那个类是包含它自身的类吗？我们走进了一个逻辑上的死胡同：如果这是包含它自身的类，那么它就不是类的类；如果它是不包含其自身的类，那么它就是类的类。 如果说罗素在思考数学世界中获得的快感被看作（因为他自己也倾向于把它看作）一种宗教快感，那么这些悖论就把他带到了无神论的边缘。他探索这些悖论，后来他说道：越是虔诚的天主教徒越是信奉邪恶的罗马教皇，从1901年到1906年，他苦苦思索试图发现解决悖论的方法。很多次他认为已经找到了解决方案，结果却发现解决方案是矛盾的。就像恶性循环一样，当他认为他把问题解决了的时候，矛盾就又出现了。在这项工作中，他的数学导师A·N·怀特海对他进行了帮助，罗素同A·N·怀特海一起合作来共同完成《数学原理》的写作，把数学归纳为逻辑。最后，俩人写成——几乎完全读不懂的——三卷册的著作《数理》。这三册书从1909年到1913年陆续出版。 《数理》中所包含的逻辑体系距罗素在《数学原理》中的那个预想的确已经很遥远了。罗素和怀特海抛弃了罗素曾经认为是数学的本质的十分清晰简单的类的理论，取而代之的是俩人创立的庞大的错综复杂的体系。在理论中的许多难题用强制的需要的名义来避免悖论。从广义上来说，从《数学原理》到《数理》期间罗素哲学观的转变可以被看作是从本体论到语义学，从确实存在不存在的问题到确实能够讲得通或确实讲不通的转变，在这个过程中，他被迫着手于他后来所说的“从毕达哥拉斯的撤退”。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(4)
这种撤退是个逐渐的过程，我们也可以看到，柏拉图主义（或毕达哥拉斯主义）的痕迹仍在《数理》中存在。他如何不情愿放弃曾经激励过他的毕达哥拉斯神秘主义在他发现所谓的“数学研究”的悖论后的一年中所写的一篇文章里有很明显的表现。在这篇文章中，他谈到数学的客观真理仍然在激励着他这个虔诚的信徒： 历史上对数学的研究可能比对希腊和罗马的研究还要多，但是，数学在人类的文明中，一直没有找到它恰当的位置。虽然传统业已裁定千千万万个有学识的人至少应该知道数学这门学科的组成部分，但是，这种传统产生的思考却被遗忘，被掩盖在故意卖弄学问，无足轻重、毫无意义的废话之中。对于那些努力探索数学的存在价值的人来说，最一般意义上的回答将是：数学促进了机器的制造生产，方便了人们的旅行，帮助国家在战争中或在商品贸易中取得胜利。……然而这些都不是数学这门学科存在的本质意义。众所周知，古希腊哲学家柏拉图把对数学真理的观照看作是神的旨义，并且他比任何其他人都更深刻地意识到数学是人类生活必不可少的组成部分。 ……对数学的正确看法是：数学不仅仅拥有真理，而且它也是最大的美——一种像雕塑般的冷峻的严格的美，它对人类的脆弱的天性不感兴趣，也没有像图画或音乐那样华丽的装饰，然而它却是崇高的，纯粹的，它有着只有最伟大的艺术才能展现出来的严格意义上的完美。作为最优秀的标准，喜悦、兴奋，超凡脱俗的感觉，这些将会在数学和诗歌艺术中得到充分的体验……对于大多数人来讲，真实的生活是居第二位的，是在理想和可能之间做出永远的妥协的状态；但是在纯粹理性的世界里是没有妥协的，也没有实践上的限制，更没有在充满激情的志向中具体的创造活动的壁垒。 ……对于严格的人来说，对真理的热爱永远是第一位的，并且，这种真理是在数学中而不是其他的学科中，对真理的向往与热爱对于苍白无力的信仰来说是一种鼓舞。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(5)
罗素坚定地坚持这个值得称道的观点是出于两个问题的考虑：1、在计划为数学的这个“辉煌的体系”进行基础论证后发现其中存在着重大的缺陷，即使这样，他仍然不得不表明这个体系是正确的。2、他必须回答这个问题：如果类和数字是“虚构的”，那么当柏拉图所谓的上帝在思考“数学的真理”时想的是什么，因为罗素要尽力解决这些问题，因而他开始着手削弱他的本体论的方案，通过一次又一次的归纳总结他得出他原来的一直认为是“客体”的东西实际上是字词和符号，什么都不代表。罗素首先把类（数字）的概念摒除，然后确定其意义是什么，接着把命题本身都描述为“不完全符号”。如果一个符号是“完全的”，这种削弱本体论的假设就是有意义的——应当有一个实体同符号相对应。人们应该不会忘记，罗素对于类的思考是：对于每一个有意义的命题函项来说都会有一个相应的类。现在，罗素对这个假设进行更严格的检验，在此期间，他越来越反对毕达哥拉斯的实体的类的存在概念，对于什么是有意义的概念进行越来越严格的限制。首先，他认为“类”是没有意义的，没有这样的东西，因而一个类是否属于它自身这个问题也没有再存在的必要，因为这个问题是无意义的，但是，如果“类”不存在了，那么数学的基础又是什么呢？罗素临时的答案是：命题函项，因为用类可以分析数字，用命题函项可以分析类。罗素在《关于逻辑原子主义的演讲》中这样写道：为了简明扼要，我一直都在讨论好像确实存在着所有的客体（数字，类，类的类等等）的不同的类，当然，那是毫无意义的。这里有很多内情，当人们遇到类，类的类，类的类的类时，人们就会谈论起逻辑虚构……什么样的客体你想说成是类呢？它们就是你想说的命题函项里所包含的东西。你想要说的命题函项在某些时候是正确的。 这同我们说一个类中有它的组成成员是一个道理。你想说变化的100个意义。这与我们说一个类中有100个成员是同样的道理。你想说的关于类的所有的一切与你想要说的关于命题函项的所有的一切是一样的，当然除了偶然的不相关的语言形式之外……用这种方法你会发现你所认为的类的所有规范的特征，它们在数学中的规范应用会让你认为确实有类的存在，也就是说，肯定的是：一个命题是以符号化的类的面目出现的，实际上，对于那个符号来说确实包含着与之相对应的成分。 按照这种思考，罗素在他的哲学中的主要目的是进行一种分析，这种分析能够揭露隐藏在“偶然的，不相关的语言形式”之后的真正的逻辑形式，问题是，在我们根深蒂固的思维习惯中总是试图为那些无法命名的东西命名，他说道：“如果我们有一种正确的逻辑语言，我们就不会试图那样做了。”于是，他和怀特海的任务就是来构建这样一种“正确的逻辑语言”，在这种逻辑语言中没有数字或者类的符号，只有特称命题和命题函项的符号。为了方便起见，应当用符号来代表数字和类，但是，为了把它们用逻辑上更加正确的形式表现出来，一套系统的，严格的方法技术是必不可少的，而且需要谨慎的是，这些似乎能用符号来命名的客体实际上并不存在。 在罗素的著作中，这种分析的最著名的是他的摹状词的理论，这一理论在1905年发表的题为《论指谓》的论文中首次提及。罗素提出这个理论的目的是试图弥补由于悖论而导致的数学哲学的缺憾，尤其是他想把类从他的本体论中消除——但是，现在此理论的这一目的似乎被遗忘了。
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数学梦魇(6)
指谓（称）是罗素在《数学原理》中提到的一个词，表明概念和客体，类或数字（当然，在《数学原理》中这些是同一个范畴，因为，当时罗素认为一个数字是一个类，一个类是一个客体）间的逻辑联系。因此“英国第一位女首相”就是指玛格丽特·撒切尔夫人。下一任首相是指四年之后的首相，所有的双数指的是无限的双数的类，等等。指称的概念与指称关系的概念是不同的，两者很容易混淆，指称关系是一种词或词组同客体之间的言语关系，例如，一个人同一个名称之间的关系。在罗素看来，名称不是指称；指称是一个概念，在语言学中指称是依靠摹状词而不是名称来定义的。更特别的是，在罗素的《数学原理》一书中，指称的概念是通过下面的六个词形成的：所有的，每一个，任何一个，一个，一些和这个。 对于罗素来说，指称的重要性在于指称短语是数学的核心（2是正方根，所有的双数都是最小数的平方的总和），并且，指称和命题函项是相辅相成的。在《关于逻辑原子论的演讲》中罗素这样写道：“无论何时你运用诸如‘一个’、‘一些’、‘所有的’、‘每一个’等这样的词语，你都会意识到一个命题函项的存在，因为这些是命题函项的标志。”例如，罗素说到“所有的狗都是脏的”，这就表明了一个命题函项，“如果X是一只狗，那么X是脏的”这个命题就正确的；“我遇到一个人”，这个命题函项表明“我遇到X并且X是一个人”是正确的，等等。 在写《数学的原理》时，罗素认为每一个有意义的命题函项都阐明了一个类（即使这个类是空的），因此，他相信每一个有意义的指称短语都对某事物甚至对根本不存在的某“物”进行了解释。现在，罗素对于“存在”采取了更加严肃的态度，他认为那些不存在的东西根本什么都不是，那些对不存在的客体进行解释的指称短语实际上是毫无意义的。 在《论指谓》中，罗素试图用消除根本不存在的指称客体这种方法对包含指称短语的叙述进行分析。他提出的这种理论认为所有的指称短语对于它们自身来说都是没有意义的。例如，定摹状词（开头的词是“这个”）“法兰西的现任国王”，“下一任首相”等等。罗素当时认为这些短语并不意味着什么，但是，如果要正确理解这些短语，那么这些短语在被翻译时定摹状词将不会存在，典型的例子是这样一个句子，“当今的法国国王是秃子”，这似乎是假定目前有一个法国的国王并且似乎是在阐述不存在的实体而且谓语是“秃子”。这个设定是虚假的，不真实的。罗素所建议的这种方法把假设变为清晰的陈述。把握罗素的摹状词理论，“当今法国国王是秃子”，实际上是3个判断的综合： 1、命题“X是当今的法国国王”是正确的。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(7)
2、对于任何一个y来说，如果命题y是当今法国的国王是正确，那么y等于X（当今的法国国王只是一个）。 3、X是秃子。 第一个判断是一个清晰的叙述，指出当今法国国王的存在并且因为这个叙述是假的，因而整个合取命题也是假的。所以通过这种非常迂回曲折的分析，“当今法国国王是秃子”，是一个有意义的但却虚假的命题。 于是，在罗素的“逻辑上正确的语言”中，指称短语是不出现的，同他在《数学的原理》中曾经说过的恰好相反，他认为像指称这样的东西根本不存在（在某种程度上，这会立即引起对类的存在的否定，因为，大多数情况下指称对象是一个类），我们所要论述的不是指称，而是论述一个确定的命题函项（“X是F”）。实际上，这最后成为一种关于存在的论述。例如，为了说明天使是存在的，就要说明命题函项“X是一个天使”有时是正确的。 罗素抛弃类的概念并且把命题函项作为他的全部理论的基础的决定从某种程度上来说是很不同寻常的，因为，在很早的时候，罗素就认识到属于或者不属于它们自身的类的悖论在命题函项的领域中有它的同源词（对应词），在命题函项的领域中是它们自身或不是它们自身的命题导致问题的产生。他似乎认为命题函项因为某些原因比类更有说服力。无论如何，他一直独立地坚定不移地在普通哲学领域构建着自己的理论。也就是说，他在构建着逻辑和没有类的数学一致的无矛盾的体系。在写成《论指谓》一文后他的本体论被进一步削弱，当时他坚定地认为在类似的领域里不存在像命题这样的“客体”。 直到1907年，罗素都认为命题在某种意义上是抽象的客体。对于他来说，命题不是句子；也就是说，命题不是语言单位，它们是思维的客体。因此，如果我认为“2+2=4”，你也这样认为，那么，“2+2=4”是我们两个人的思维所涉及的命题。这个命题有某种客观地位，也就是说，它有它的存在，这种存在不是在你我的思维里。可以这样说，这种存在是在真理的领域中。在罗素抛弃数字和类的观念后的短时期内，他把上述观念归为一种残留在关于数学的柏拉图主义的基础，这一点他在1906年3月26日给朋友M·I·戴维斯的信中进行了论述：
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数学梦魇(8)
我并不认为（在他的文章《数学研究》中）数学的客体或者其他的抽象思维存在于我们之外，何况当我们思考时会有各种各样的天才般的人物的理论在我们头脑中再现，我的意思是说任何抽象思维的客体都不是一种思维。思想家的或者任何其他人的思维根本就不存在，虽然思维是某种东西。所以，在数学中，一种新的原理是一种发现，是发现者首次理解被发现的事实，这个事实有一种无限的本质，而没有无限的存在。 然而，“本质”和“存在”的差异同罗素的本体论上的缩减不自然地联系在一起，同样的压力迫使他放弃由定摹状词所称的非存在“物”，也同样迫使他放弃命题理论。如果某物不存在，那么它不能是某物。这是由罗素通过思考虚假命题得出的结论，“2+2=4”这种观点是某物，那么它就是“一种永恒的本质”，这是有合理性的，特别是对那些遵循毕达哥拉斯在无限的数学真理世界的信念的人来说。但是，如果你和我都认为“2+2=5”呢？如果这样判断，那么它也是一种永恒的本质吗？用这种残酷的例子来分析他的以前的观点，罗素用自嘲的语气谈到这种观点： 当我认为命题存在时，对于我来说，如果认为除了事实之外还有这些奇怪的模糊的东西，例如：当实际上今天是星期二却说“今天是星期三”，这种命题似乎是不合理的。我相信（认为）这些在真实的 世界里是不会传播的。人们不会这样认为，我想任何有真实感觉的人都不会这样想象。 那么，命题不存在了，因而表示命题的句子像定摹状词一样不得不被看作“不完全符号”，只有在人们头脑中所思维的背景中才能使它们有意义。命题只有在被人判断是正确的或是错误的之后才能表示某种意思。如果命题与事实相符，那么此命题就是正确的，如果命题与事产不符，那么此命题就是错误的，是虚假命题。因此，事实在“世界中”存在，而思维在“头脑中”存在，这些奇怪的模糊的东西（客体）被认为介于正确和错误之间，这种命题根本就不存在，在《数理》一书的序言中，罗素这样论述这种观点： 我们所说的一个“命题”（与解释它的短语是有区别的）根本不是单一的个体。也就是说，对命题进行解释的短语就是我们所谓的“不完全”符号；短语本身并没有意义，它需要某种补充来获得一个完整的意义……因此，命题“苏格拉底是人”在某种意义上需要某种补充从而获得完整意义；但是，当我判断“苏格拉底是人”，此句的意思已经被判断的行为说明了，不完全符号也就不存在了。命题是“不完全符号”具有哲学上的重要意义，并且在某种程度上同符号逻辑有关。 那么，什么是判断呢？很显然，判断不是思想和命题之间的联系，因为如果命题不存在，它们也就不会同任何事物有任何联系。针对这一点，罗素提出了他所谓的“判断的多种关系理论”，根据这一理论，判断是思想与命题的成分间一系列的联系。因此，这个判断“苏格拉底死了”是三个事物间的一系列联系：个体、苏格拉底和谓语“必死性”，思维把它们综合到一起从而判断出苏格拉底死了。
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数学梦魇(9)
自从罗素在他的理论中把数字、类、指称短语和命题摒除之后，剩下的理论让人觉得非常复杂深奥，“逻辑上的正确语言”，在这种体系里甚至最简单的数学公式被都用晦涩难懂的迂回方式进行解释。但是，更严重的是，因为罗素仍然没有解决悖论这个问题，他现在开始认为悖论根源于自指句的可能性中，他认为，康托尔最主要的悖论和自己的不包含它们本身的类的类的悖论是古老的克里特人悖论的变体。这个克里特人（爱比米尼）说：“所有克里特人都是说谎者：如果他说的是真话，那么他就是在说谎；如果他在说谎，那么他说的就是真话。”当然，问题的产生是因为他的句子中包含他自己。因此，在逻辑完美的语言里对于一个判断来说它不能包含它自身。这是他的类型论（罗素为解决自身反指问题而做出尝试）中的基本观念，罗素把类型论发展成为《数理》的逻辑体系。 之后不久，类型论通过逻辑幻象进行解释从中得出结论：世界上存在着客体的体系分级结构问题，首先是特殊（性），然后是类，接着是类的类，等等。类只能在等级的一个特殊水平进行构建，即，仅低于它自身的水平，因此，类不能包含它自身。当然，所有类的类是不存在的，因此康托尔的悖论和罗素悖论都同体系无关，当然，因为类是不存在的，所以类型论就不得不用命题函项来进行解释。现在，类型论又认为如果命题函项把它自身作为可变性（命题在其意义上不能指其自身）的值，那么命题函项就是无意义的。 这时，体系分级结构就成为一个命题和命题函项：最低水平的是不含可变性的初级命题；紧接着是只能在超出特殊性之外的范围进行变化的命题函项；然后是能够把较低水平的命题函项作为它们的值的命题函项，等等。此时，类型论就成为罗素一直表明的那样，即“符号体系论”。当然，从严格的哲学意义上来说，命题也不存在，因此，类型论最终被用来确立不同的判断水平。 一般看来，《数理》中所概括的逻辑体系是十分错综复杂，令人困扰的。据说，这个逻辑体系可能是有史以来由个人单独发明的最复杂的体系（因为虽然怀特海同罗素合著此书，但是类型论却是罗素自己发明的），它把对数字的叙述简化为对类的叙述，依次地，对类的叙述又简化为对命题的函数论的叙述，最后又归结为对类型论的叙述。因此，许多定义和最初原理在演算开始之前就应该确立，例如，命题“1+1=2”能够成立就需要符合它的基本定义。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(10)
但是，从哲学上来看这幅图画依然是模糊不清的，当罗素相信类的存在的时候，把数学归纳为逻辑是相当清晰的：这表明数学真理是更大的客观逻辑真理领域中的一个组成部分，当然，这仍然是《数理》的目的，但是现在逻辑真理领域中的“客体”的意思要模糊得多了。它们不是数字，不是类，也不是命题，可能有人会问它们是形式吗？在写完《数理》不久罗素在一篇未完成的论文《逻辑是什么》中，极力使他的这个观点言之成理，他写道“形式是某种事物”，但是这篇论文也表明他对如何解释“事物”是什么同样困惑。 1913年，罗素接受了他比较欣赏的学生维特根斯坦的观点，即认为没有逻辑客体的存在，但他仍坚持认为存在着逻辑知识。根据当时罗素的认识论，这就要求在逻辑中有熟悉的知识，熟悉是我们自己同我们的知识体之间的一种直接联系。另外，罗素还在明显的前后矛盾中苦苦挣扎，“逻辑客体不能被看作‘存在’”，他写道，然而又必须要有“某种能够恰当地描述‘同逻辑客体熟悉’的事物的存在”。 从1914年到1917年，罗素放弃了哲学的研究来参加反对一战的运动，但是在1917年夏天，他又继续研究和分析逻辑客体的问题。在这个问题上，他的朋友，数学家P·霍顿在某种程度上给了他鼓舞与启发。霍顿要求他以《逻辑是什么》为题写一系列的文章。“我真的想知道逻辑是什么，”霍顿写道。在第二年所写的《数学逻辑介绍》中，罗素开始研究这个问题，并且认为虽然逻辑具有更抽象更一般的特征，但是它同动物学一样是与真实世界的联系，他的这个观点在同年所著的《关于逻辑原子主义的讲演》中有某种程度的解释。他在文章中写道：逻辑与事实的形式有关，随着对不同稳中有种类的事实的理解，就会有关于事实的不同的逻辑类型。但是，在何种意义上这些形式是“客体”呢？无论如何，罗素似乎是要表明我们的思维能被变为客体，并且这些客体同我们用来代表它们的符号是不同的，逻辑确实有它自己的论题，不过这个论题很精炼并且难以理解： （在哲学的逻辑中）要思考的主题是非常困难，非常难以理解的，以至于任何曾经试图思考它的人都知道如果在六个月中思考一次，一次思考半分钟就难能可贵了，剩余的时间就用来思考符号了，因为它们是真实的东西，但是你想要思考的主题实在是太难了，并且人们也不是能经常得出结论，真正优秀的哲学家是能够静下心来思考这个问题的。而那些不称职的哲学家则从来没有这样做过。
第二篇 真理痴情
数学梦魇(11)
罗素用一年的时间阅读了维特根斯坦的《逻辑哲学论》之后，他放弃了这种观点，他现在认为区别逻辑符号与它们所代表的东西实在是太难了，因为这两者之间根本没有区别，现在罗素这样描述道：“逻辑和所谓的思维规律都同符号有关；它们只不过是同一个事物的不同说法而已……为了理解一个逻辑命题，掌握语言的理解方式是很有必要的，他继续写道，一种逻辑原则并不说明什么，但是表明了这种符号，并且符号和其所代表的事物有相同的意思。”“另外：我是从维特根斯坦先生那里接受的这种观点。” 现在罗素已经完全成了“从毕达哥拉斯的撤退”：逻辑方式，像数字，类和命题都被维特根斯坦的形而上学幻想所取代。罗素仍然认为数学是逻辑的变形，但是，他现在认为只是与同一个事物的不同叙述方式有关： 在我看来，数学在它的主题的问题上的非人化状态已经结束了。虽然很不情愿，但我已经开始认为数学中包含着同义反复。我害怕对于一个有着足够智慧的头脑来说，整个数学体系会变得十分琐碎，如同说一个四蹄的动物是动物一样……我在思考数学真理时已经体会不到任何神秘的快感了……我也不再认为智力高于感觉了，只有柏拉图的理念世界才是“实在”的世界。 的确，现在对于罗素来说，不再相信理念世界的存在是很重要的，他现在开始把它作为对实在世界的病态的厌恶而加以取笑。 具有讽刺意味的是，在罗素根据数字被表现为语言学而不是逻辑从而把他观念中最后的毕达哥拉斯主义的色彩抹去之后不久，就有人对把数学归纳为逻辑提出严重的质疑。这就是著名的哥德尔不完全性理论，1931年首次出版，论文题目是《关于〈数理〉中规范的不确定命题与相关体系的论述》。在这篇文章中，哥德尔提出罗素和怀特海试图在《数理》中实现的目的永远也不可能被完全实现：从理论上来说，不可能存在一个从整个数学系统能派生出来的单一逻辑体系。哥德尔本人是一个柏拉图主义者，他和其他人把他的这一理论作为支持柏拉图理论的根据。 奇怪的是，罗素似乎对哥德尔的证据没有反应，1937年，他的《数学的原理》又一次出版，他为其写了新的序言并讨论了自1903年以来在这个领域做出的一些工作，但是，显而易见，他没有提到哥德尔，然而，1942年，哥德尔受委托写了一篇关于罗素的文章，被收入到P·斯科尔普斯的系列丛书《现存的哲学家的解放》中。并且，他想引起关于维特根斯坦对罗素的数学哲学的恶劣影响的辩论。他的文章《罗素的数理逻辑》批判了罗素在《数理》中对类的遗弃，赞同他以柏拉图的数学观念作为文章的开头，哥德尔认为，类确实可以被看作是真实的客体：“在我看来，对这种客体的设定同对物质体的设定一样具有合理性，而且，也有足够的理由使人相信它们的存在。”
第二篇 真理痴情
数学梦魇(12)
然而，罗素并没有受到引诱来参加哥德尔所希望引起的辩论，他回答了所有发表在斯科尔普斯所设专栏上面的文章，惟独没有对哥德尔的文章做出回应，他只是轻描淡写地写道：“他的（哥德尔）天才，如同他先前发表的著作中所表现出来的一样，使我认为他对我的许多批评很可能是有道理的”。然而，后来不久，罗素在普林斯顿遇到哥德尔，惊讶地发现哥德尔是一个纯粹的柏拉图主义者，并且显然哥德尔认为在天国里有一个永恒的“不”，那些高尚的逻辑学家希望死后能在天国里遇到它，哥德尔回答说他自己的柏拉图主义与罗素谈到例如逻辑同真实世界的联系与动物学与真实世界的联系一样真实，一样是纯粹、完整的。 那时罗素确实在这个领域接触到了“不”了，但是后来在维特根斯坦的影响下他又忽视了它。 罗素从来没有详细地回答过哥德尔对柏拉图主义的论证。可能这些论证来得太晚了吧；当哥德尔的不完全定理发表时他大约60岁了，当他被要求对哥德尔为斯科尔普斯的专题所写的关于他的文章做出回答时他已经70多岁了。不管怎么说，罗素的观点是：柏拉图的客观数学真理的世界是一个幻想。1951年他所写的一篇名为《数学是纯语言学吗？》的哲学论文中，他就表述了上面的观点，他为早期的数学理想的坟墓献上了一个花环： 毕达哥拉斯和之后的柏拉图各自的数字理论简直迷人……毕达哥拉斯认为数字是对数字的研究，每个数字都是居住在超感觉的天国中的独立的永恒的存在。当我年轻的时候，我对此深信不疑……但是，随着研究的深入，我对此产生了怀疑……数字其实只是为了语言上的方便，当包含数字的命题完成时数学即消失了。在天国中寻找“等等”一样都是徒劳无益的。 ……所有的数学命题和逻辑命题都主张对若干字（词）正确使用，如果这个结论是正确的，那么它可以看作是毕达哥拉斯的墓志铭。 罗素自己在《数学家的噩梦》的故事里戏剧性地表明了他在思考数学的时候思想变化的过程，故事里的主人公是“平方底教授”。他在研究了一整天的毕达哥拉斯的理论之后，疲倦地在椅子上睡着了。这时，他做了这个奇怪的梦： 在这个梦中，数字不再是他以前认为的没有生命的范畴了：它们是被赋予各种各样情感的活的存在。在梦中，他站在无穷无尽的同心圆的圆心。第一个圆包括从1到10的数字；第二个圆包括从11到100的数字；第三个圆包括从101到1000的数字；依次类推，无穷无尽，在无限的平面上蔓延。 单数是男性，双数是女性。在他的旁边站着的是∏，礼仪大师。∏戴着面具，没有人能看到他的真面目，但他锐利的双眼透过面罩注视着外面，那眼光是冷酷的，无情的，像迷一样难以理解，每个数字穿着自己的制服从而有了明显的标志。不同种类的数字穿不同的制服并有着不同的形状：方括号是牌，立方体是股子。约数是球形，素数是不可分的圆柱，完全数头戴着王冠。
