序插在第5卷的相应处，因为当第5卷出版时，这封信还没有公开。）
[448]Mileva Mari to Einstein, Oct.4，1911.
[449]Overbye，201.爱因斯坦的话出自1952年5月5日的一封给塞利希的信。
[450]她出生时就叫爱尔莎·爱因斯坦，后来嫁给了一个柏林商人，在这段不长的婚姻期间成了爱
尔莎·勒温塔尔。爱因斯坦在同她结婚之前就称其为爱尔莎·爱因斯坦。为了清晰起见，我通篇
都称她为爱尔莎。
[451]Reiser，126.
[452]Highfield andCarter，145.
[453]Einstein to Elsa Einstein L?wenthal, Apr.30，1912；关于她保存的信件，参见CPAE 5：
389（German edition），footnot 12。
[454]Einstein to Elsa Einstein, Apr.30，1912；Einstein“scratch notebook”，CPAE 3（German edition），appendix A；CPAE 5：389（German edition），foot-note 4.
[455]Einstein to Elsa Einstein,May 7 and 12，1912.
[456]Einstein to Michele Besso,May 13，1911；Einstein to Hans Tanner, Apr.24，1911；Einstein to Alfred and Clara Stern, Mar.17，1912.
[457]Mileva Mari to Helene Savi ，Dec.1912，in Popovi ，106.
[458]Willem Julius to Einstein, Sept.17，1911；Einstein to Willem Julius, Sept.22，1911.
[459]Heinrich Zangger to Ludwig Forrer, Oct.9，1911；CPAE 5：291（German edition），footnote 2；CPAE 5：305（German edition），footnote 2.
[460]虽然学校有了新名字，但爱因斯坦称它为“联邦工学院”（Polytechnikum），为清晰起见，
我将继续沿用这个名字。
[461]Einstein to Heinrich Zangger, Nov，15，1911.
[462]Einstein to Willem Julius, Nov.16，1911.
[463]Marie Curie, letter of recommendation, Nov.17，1911；Seelig 1956a，134；F?lsing，291；
CPAE 5：308（German edition），footnote 3.
[464]Henri Poincaré，letter of recommendation, Nov，1911；Seelig 1956a，135；Galison，300；
F?lsing，291；CPAE 5：308（German edition），footnote 3.
[465]Einstein to Alfred and Clara Stem, Feb.2，1912.
[466]文章刊登于Bienna's weekly paper Montags-Revue on July 29，1912和 Prague's Prager Tagblatt on May 26 and Aug.5，1912.CPAE 5：414（German edition），footnotes 2，3，11；
Einstein statement, Aug，3，1912。
[467]Einstein to Ludwig Hopf, June 12，1912.
[468]Overbye，234，243；High-eld and Carter，153；Seelig 1956a，112.
[469]在Einstein to Elsa Einstein, July 30，1914中，爱因斯坦回忆了爱尔莎如何取笑他在1912年5
月7日的那封宣布停止通信的信中附上了这个新地址。
[470]Einstein to Elsa Einstein, ca.Mar.14，1913.
[471]Einstein to Elsa Einstein, Mar.23，1913.
[472]Seelig 1956a，244；Levenson，2；CPAE 5：451（German edition），footnote2；Clark，
213；Overbye，248；F?lsing，329.根据能斯特的女儿后来写的一封信，《爱因斯坦全集》说是
白手帕，而其他文献都基于塞利希的叙述说是白玫瑰。
[473]Max Planck, Walther Nernst, Heinrich Rubens, and Emil Warburg to the Prussian Academy, June 12，1913，CPAE 5：445.
[474]Seelig 1956a，148.
[475]Einstein to Jakob Laub, July 22，1913.
[476]Einstein to Paul Ehrenfest, late Nov.1913.
[477]Einstein to Hendrik Lorentz, Aug.14，1913.
[478]Einstein to Heinrich Zangger, June 27，1914，CPAE8：5a，2006年公之于众，作为附录刊印
于CPAE第10卷。
[479]Einstein to Elsa Einstein, July 14，19，before July 24，and Aug.13，1913.
[480]Einstein to Elsa Einstein, after Aug.11，1913.
[481]Einstein to Elsa Einstein, after Aug.11 and Aug.11，1913.
[482]Eve
Curie， Madame
Curie（New
York：Doubleday，1937），284；F?lsing，325；
Highfield and Carter，157.
[483]1913年9月21日，洗礼于诺维萨德的圣尼古拉教堂举行。Hans Albert Einstein to Dord Krstic,
Nov.5，1970；Elizabeth Einstein，97；Highfield and Carter，159；Overbye，255；Einstein to
Heinrich Zangger, Sept.20，1913；Seelig 1956a，113.
[484]Einstein to Elsa Einstein, Oct.10，1913.
[485]Einstein to Elsa Einstein, Oct 16，1913.
[486]Einstein to Elsa Einstein, before Dec.2，1913.
[487]Einstein to Elsa Einstein, after Dec.21 and Aug.11，1913.
[488]Einstein to Elsa Einstein, after Dec.21，1913.
[489]Einstein toElsa Einstein, after Feb.11，1914；Lisbeth Hurwitz diary, cited inOverbye，265.
[490]Marianoff ， 1；Einstein to Mileva Mari ，Apr.2，1914.
[491]Einstein to Paul Ehrenfest, ca.Apr.10，1914；Paul Ehrenfest to Ein-stein, ca.Apr 10，1914；
Highfield andCarter，167.
[492]Whitrow，20.
[493]Einstein to Heinrich Zangger, June 27，1914，CPAE 8：16a，2006年公之于众，作为附录刊
印于CPAE第10卷。
[494]Einstein, Memorandum to Mileva Mari ，ca.July 18，1914，CPAE 8：22，Anna Besso-
Winteler to Heinrich Zangger, Mar.1918，关于爱因斯坦离婚的备注，参见appendix, CPAE
8b（German edition），p.1032。
[495]Einstein to Mileva Mari ，ca.July 18 and also July 18，1914.
[496]CPAE 8a：26，footnote 3（German edition）：memo from Anna Besso-Winteler to Heinrich Zangger, Mar.1918，CPAE 8b（German edition），p.1032；Overbye，268.
[497]Einstein to Elsa Einstein, July 26，1914.
[498]Einstein to Elsa Einstein, after July 26，1914.
[499]Einstein to Elsa Einstein, July 30，1914（two letters）；Michele Besso to Einstein, Jan.17，
1928（recalling the breakup）；Pais，242；F?lsing，338.
[500]Einstein to Elsa Einstein, after Aug.3，1914.
[501]Einstein to Mileva Mari ，Sept.15，1914包括了对恶语中伤的指控。1914年的许多其他书信
都详细记述了他们在钱、家具和对待孩子等方面的冲突。
[502]Renn and Sauer 2006，117.
[503]参见第七章。就这里的讨论而言，我们指的是一个勻加速直线运动的参照系和一个静态的
均勻引力场。
[504]这种等效原理的描述遵循着爱因斯坦在1907年的年鉴文章和1916年的广义相对论论文中的
表述。后来的其他描述有所修改。亦参见Einstein, Fundamental Ideas and Methods of Relativity
Theory，1920，unpublisheddraft of a pa-per for Nature magazine, CPAE 7：31。
本章的某些内容源自《爱因斯坦全集》编者之一的一篇论文：Jeroenvan
Dongen,
Einstein’s
Unification：General Relativity and the Quest for Mathematical Natualnes，2002。他不但给了我这
篇文章的一个副本，也对本章提出了建议和意见。本章也借鉴了其他学者研究爱因斯坦广义相
对论著作的研究成果。我感谢他和所有帮助我撰写本章的人，包括绍尔、雷恩、诺顿和扬森。
本章参考了他们以及斯塔契尔的著作，见参考文献。
[505]Einstein, The Speed of Light and the Statics of the Gravitational Field， An-nalen der Physik（Feb.1912），CPAE 4：3：Einstein 1922c；Janssen 2004，9.在1907年和1911年的论文
中，爱因斯坦称之为“等效假说”，但在这篇1912年的论文中，他把它提升至“等效原理
（Aequivalenzprinzip）的地位。
[506]我使用的是爱因斯坦始计算中的数据。后来的数据使之被修正为大约0.85弧秒，1弧秒是1
度的1/3600。
[507]Einstein,On the Influence of Gravity on the Propagation of Light, Annalen der Physik（June 21）：1911，CPAE 3：23.
[508]Einstein to Erwin Freundlich, Sept.1，1911.
[509]Stachel 1989b.
[510]Record and grade transcript, CPAE 1：25；Adolf Hurwitz to Hermann Bleuler, July 27，1900，
CPAE 1：67；Einstein to Mileva Mari ，Dec.28，1901.
[511]F?lsing，314；Pais 1982，212.
[512]Hartle，13.
[513]Einstein to Arnold Sommerfeld, Oct，29，1912.
[514]爱因斯坦为通俗著作 Relativity，1923的捷克语译本写的前言，参见
utf.mff.cuni.cz/Relativity/Einstein, htm。爱因斯坦写道：“直到1912年我回到苏黎世之后，才想到
要把理论的数学表述类比于高斯的表面论，当时我还不知道黎曼、里奇和莱维-契维塔的工作。
是我的朋友曼第一次让我注意到了它们。Einstein 1922c“我认识到几何基础具有物理含义。当我
从布拉格回到苏黎世时，我的挚友数学家格罗斯曼在那里。从他那里我第一次听说了里奇和黎
曼。”
[515]Sartori，275.
[516]它的道理是这样的。如果你处于空间中的某一点，想知道距离邻近点（无限近）有多远，
你只能利用勾股定理一般性的几何学知识，事情就会比较困难。计算与北边邻近点的距离的方
法可能不同于计算与东边或上方邻近点的距离的方法。在空间中的每一点，我们都需要某种类
似于小计分卡那样的，告诉我们该点与每一点的距离。在四维时空中，你的计分卡需要有十个
数，才能使你能够处理与邻近点的时空距离相关的所有问题。对于时空中的每一点，你都需要
这样一个计分卡。但是一旦你有这些计分卡，你就可以计算沿任何曲线的距离：只要利用相应
的计分卡，将途经的每一个无穷小距离加起来就可以了。这些计分卡构成了度规张量，它是时
空中的一个场。换句话说，它在各点都有定义，但在各点可以有不同的值。感谢诺顿教授的帮
助。
[517]Amir Aczel, Riemann's Metric, in Aczel 1999，91—101；Hoffmann 1983，144—151.
[518]感谢绍尔和科皮就本节提供的帮助。
[519]Janssen 2002；Greene 2004，72.
[520]Calaprice，9；Flückiger，121.
[521]苏黎世笔记本收在CPAE
4：10。网络版可参见echo,
mpiwg-
berlin.mpg.de/content/relativityrevolution/jnul亦参见Janssen and Renn。
[522]Norton 2000，p.147.亦参见Renn and Sauer 2006，151。感谢绍尔对本节的编辑工作。
[523]Zurich Notebook, CPAE 4：10（German edition），p.39第一次记录了所谓的爱因斯坦张
量。
[524]Renn and Sauer 1997，42—43对这一难题提出了一种解释，·关于爱因斯坦为什么没有在
1913年年初找到正确的引力张量，以及他对坐标条件选择的理解，Renn 2005b，11—14做了很
好的分析。他基本同意Norton1984的结论，并且提出了一些修正。
[525]诺顿、扬森和绍尔都指出，爱因斯坦在1913年的糟糕经历，即放弃数学策略采取物理策
略，以及他后来采用数学策略所取得的成功，1933年他在牛津大学斯宾塞讲演中表达的观点，
以及他后半生寻找统一场论的过程中都可以反映出来。
[526]Einstein, Outline [ Entxvurf] of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation（with Marctl Grossmann），before May 28，1913，CPAE 4：13；Janssen 2004；
Janssen and Renn.
[527]Einstein to Elsa Einstein, Mar.23，1913.
[528]Einstein- Besso manuscript, CPAE 4：14；Janssen，2002.
[529]Einstein,On the Foundations of the General Theory of Relativity， Annalen der Physik（Mar.6，
1918）CPAE 7：4.关于对牛顿水桶的生动说明以及它与相对论的关联，参见Geene 2004，23—
74。在很大程度上正是爱因斯坦推出了马赫对一个空的宇宙的看法。参见Norton 1995c：Julian
Barbour，“General Relativity as a Perfectlv Machian Theory”；Carl Hoefer，“Einstein’s Formulation
of Mach’s Princi-ple”以及Hubert Goenner，“Mach's Principle and Theories of Gravity”，均载于
Barbour and Pfister。
[530]Janssen 2002，14；Janssen 2004，17；Janssen 2006.扬森有一项重要工作分析了贝索和爱因
斯坦在1913年的合作。克里斯蒂拍卖行有一份288页的目录收入了爱因斯坦-贝索手稿的复印本
以及其他相关材料，还有扬森写的一篇讨论其重要性的论文，克里斯蒂拍卖行于2002年10月4日
拍卖了原稿。（50页的爱因斯坦-贝索手稿以59.5万美元拍出。）关于爱因斯坦如何没有理会贝
索的建议，即旋转坐标的闵可夫斯基度规不是《纲要》场方程的一个有效解（以及爱因斯坦如
何一直感觉《纲要》实际上与马赫原理并不相容）的一个例子，参见Einstein to Michele Besso,
ca.Mar.10，1914.
[531]Einstein to Ernst Mach, June 25，1913.Misner, Thorne and Wheeler，544.
[532]Einstein to Hendrik Lorentz, Aug.14，1913.但两天以后，他又给洛伦写信说，他已经屈从于
协变不可能的想法。“只有现在，在似乎檫掉了这一丑陋的污点之后，这理论才给我带来了喜
悦。”Einstein to Lorentz, Aug.16，1913.
[533]空穴论证大致是说，广义协变的引力理论将是非决定论的。广义协变的场方程无法唯一地
确定度规场。完全指定某个没有物质的小区域，即所谓的“空穴”之外的度规场，将无法确定那
一区域内部的度规场。参见Stachel 1989b；Norton 2005b；Janssen 2004。
[534]Einstein to Ludwig Hopf, Nov.2，1913.亦参见Einstein to Paul Ehren-e s, Nov.7，1913：“可以
证明，完全由物质张量来决定引力场的广义协变方程，是根本不可能存在的。必要的限定来自
于守恒定律，还有什么事情能比这更美妙呢？这一守恒定律就能从所有的曲面中决定可以特许
为坐标面的面。我们可以指定这些特许的面为平面，因为我们剩下的线性代换是唯一正当
的。”爱因斯坦对空穴论证的最清晰的解释参见“Onthe Foundations of the Generalized Theory of
Relativity and the Theory of Gravitation”，Jan.1914，CPAE 4：25。
[535]1913年9月，当爱因斯坦出现在德国科学家年会时，持不同观点的引力理论家古斯塔夫·米
他发起了“实时”攻击，结果引发一场激辩，其言辞的尖刻远远超过了科学争论的范畴。爱因斯
坦还与马克斯·亚伯拉罕进行了激烈争论，整个1912年，爱因斯坦都怀着极大的兴趣对拉罕的引
力理论进行批评。Report on the Vienna conference, Sept.23，1913，CPAE 4：17.
[536]Einstein to Heinrich Zangger, ca, Jan.20，1914.
[537]Einstein to Heinrich Zangger, Mar.10，1914.雷恩指出，虽然1913—1915年对《纲要》的桿卫
和打磨并没有能够挽救理论，但它的确帮助爱因斯坦更好地理解了他用数学策略研究的张量所
面临的困难。“事实上，爱因斯坦在苏黎世笔记本中碰到的所有技术问题，都在这一时期考察与
《纲要》理论相关的问题的过程中得到了解决。”Renn 2005b，16.
[538]Einstein to Erwin Freundlich, Jan，8，1912，mid-Aug.1913；Einstein to George Hale, Oct.14，1913；George Hale to Einstein, Nov.8，1913.
[539]Clark，207.
[540]Einstein to Erwin Freundlich, Dec，7，1913.
[541]Einstein to Erwin Freundlich, Jan，20，1914.
[542]F?lsing，356—357.
[543]Einstein to Paul Ehrenfest, Aug.19，1914.
[544]Einstein to Paul Ehrenfest, Aug，19，1914.
[545]Einstein to Paolo Straneo, Jan.7，1915.
[546]参见Levenson，特别是pp.60—65。
[547]Elon，277，303—304.
[548]F?lsing，344.
[549]Einstein to Hans Albert Einstein, Jan.25，1915.
[550]Nathan and Norden，4；Elon，326.
[551]Einstein to Georg Nicolai, Feb.20，1915.全文见CPAE 6：8以及Nathanand Norden，5.Clark，
228指出其中有些内容是爱因斯坦写的。亦参见Lev-enson，63；F?lsing，346—347，Elon，
328。
[552]Nathan and Norden，9；Overbye，275—276；F?lsing，349；Clark，238.
[553]Einstein to Romain Rolland, Sept.15，1915；CPAE 8a：118（German e-dition）footnote 2；
Romain Rolland diary, Nathan and Norden，16；F?lsing，366.
[554]Einstein to Paul Hertz, before Oct.8，1915；Paul Hertz to Einstein, Oct.8，1915；Einstein to Paul Hertz, Oct.9，1915.
[555]Einstein, My Opinion on the War, Oct.23—Nov.11，1915，CPAE 6：20.
[556]Einstein to Heinrich Zangger, after Dec.27，1914，CPAE 8：41a, in sup?plement to vol.10.
[557]Hans Albert Einstein to Einstein, two postcards, before Apr.4，1915，这部分家庭通信直到
2006年才公之于世。CPAE 8：69a，8：69b, in supplement to vol.10.
[558]Einstein to Hans Albert Einstein, ca.Apr.4，1915.
[559]Einstein to Heinrich Zangger, July 16，1915.
[560]Einstein to Elsa Einstein, Sept.11，1915；Einstein to Heinrich Zangger, Oct.15，1915；Einstein to Hans Albett Einstein, Nov.4，1915.关于爱因斯坦抱怨自己在1916年9月访问期间很难见到儿子
们，参见Mileva Mari ，Apr 1，1916：“我希望这次你不会又让孩子们几乎完全远离我。”
[561]Einstein to Heinrich Zangger, Oct.15，1915；Michele Besso to Einstein, ca.Oct.30，1915.
[562]我这里又一次引用了雷恩、绍尔、斯塔契尔、扬森和诺顿等人的著作。
[563]Horst Kant, Albert Einstein and the Kaiser Wilhelm Institute for Physics in Berlin, Renn 2005d，
168—170.
[564]Wolf-Dieter Mechler, Einstein’s Residences in Berlin, Renn 2005d，268.
[565]Janssen 2004，29.
[566]Einstein to Heinrich Zangger, July 7，and ca.July 24，1915；Einstein to Arnold Sommerfeld, July 15，1915.
[567]具体而言，这个问题是《纲要》场方程在非自主地变换到标准对角线形式的闵可夫斯基度
规的旋转坐标时是否保持不变。
[568]Michele Besso memo to Einstein, Aug，28，1913，Janssen 2002；Norton 2000，149；
Einstein to Erwin Freundlich, Sept.30，1915.
[569]Einstein to Hendrik Lorentz, Oct.12，1915.在以下给洛伦兹和索默菲的信中，爱因斯坦描述
了他在1915年10月的突破。Einsteinto Hendrik Lorentz, Jan.1，1916：“去年秋天，我逐渐认识
到，以前提出的引力场方程是不正确的，这使我经历了一段满腹懊恼的时光。过去我早就发
现，得出的的水星近日点运动结果太小。加之我又发现，对于新坐标系的均勻旋转变换来说，
这些方程并不具有协变性。最后我发现，我去年为了确定引力场的哈密顿函数H而进行的研究
工作完全是白干了，因为很容易将其修改为完全自由地选择H，而根本不必对它施加任何限制
性条件。于是我确信，引入合适系统是误入歧途了，必须要求一种范围更广的协变性，最好称
之为广义协变性。现在广义协变性是实现了，以后指定坐标系时什么改变也不会发生。现在这
些方程本质上就是我在三年前同格罗斯曼——是他使我注意到黎曼张量——一起考虑过的方
程。”Einstein to Arnold Sommerfeld, Nov.28，1915：“最近这一个月，是我的生命中最令我激动
和紧张的时期之一，当然也是成果最丰硕的时期之一。因为我认识到，我迄今为止的引力场方
程统统都是站不住脚的！这么说有下列几条根据：1）我证明，一个勻速旋转系统的引力场并不
满足场方程：2）水星近日点移动是每世纪18"而不是45"；3）我去年论文中思考的协变性并没
有给出哈密顿函数H。如果得到恰当的推广，它容许任意的H。由此证明，相对于‘合适’坐标系
的协变性是失败。”
[570]Norton 2000，152.
[571]关于他声称的1915年10月到11月由物理方案转向数学方案，研究广义相对论的史学有微妙
的观点分歧。诺顿主张，爱因斯坦“新的策略是倒转他1913年的决定”，回到一种数学方案，强
调产生广义协变的张量分析（Norton 2000，151）。类似地，杰伦·范·东恩说，策略的转移是清
清楚楚的。“爱因斯坦立即发现了走出《纲要》困境的道路：他回到了曾经在苏黎世笔记本中放
弃的广义协变的数学要求。”（Van Dongen，25）两位学者都引用了爱因斯坦后来说过的话，即
声称他所吸取的一大教训就是要相信数学方案。而雷恩和扬森则认为，诺顿和东恩（以及记忆
有些模糊的老年爱因斯坦）过于强调这一转移了。在1915年发现最终理论的过程中，物理考虑
仍然挥着关键作用。“然而，在我们的重构中，爱因斯坦通过对《纲要》理论（这一理论几乎完
全是基于物理考虑）做出重大调整而发现了回到广义协变场方程的道路……数学考虑指向了同
一方向，这无疑加强了这是正确方向的信念，但引导他沿着这条道路走下去的是物理考虑而不
是数学考虑。”（Janssen
and
Renn，13：我在文中引用的段落出自p.10），此外，Janssen
2004，35：“无论他后来怎么想、怎么说和怎么写，爱因斯坦只有在不平坦的物理学之路的尽头
找到这些方程之后，才发现了通往爱因斯坦方程的数学道路。”
[572]Einstein to Arnold Sommerfeld, Nov，28，1915.
[573]Einstein,On the General Theory of Relativity, Nov.4，1915，CPAE 6：21.
[574]Einstein to Michele Besso, Nov，17，1915；Einstein to Arnold Sommerfeld, Nov.28，1915.
[575]Einstein to Hans Albert Einstein, Nov.4，1915.
[576]Einstein to David Hilbert, Nov.7，1915.
[577]Overbye，290.
[578]Einstein,On the General Theory of Relativity（Addendum），Nov.11，1915，CPAE 6：22：
Renn and Sauer 2006，276：Pais 1982，252.
[579]Einstein to David Hilbert, Nov.12，1915.
[580]Einstein to Hans Albert Einstein, Nov.15，1915；Einstein to Mileva Mari ，Nov.15，1915；
Einstein to Heinrich Zangger, Nov.15，1915.（2006年公之于世，刊印于第10卷补遗）
[581]Einstein to David Hilbert, Nov.15，1915.
[582]Einstein, Explanation of the Perihelion Motion of Mercury fromthe General Theory of Relativity, Nov.18，1915，CPAE 6：24.
[583]Pais 1982，253；Einstein to Paul Ehrenfest, Jan.17，1916；Einstein to Arnold Sommerfeld, Dec，9，1915.
[584]Einstein to David Hilbert, Nov.18，1915.
[585]David Hilbett to Einstein, Nov.19，1915.
[586]这个方程可以以多种方式来表达。我这里用到的是爱因斯坦在1921年普林斯顿讲演中使用
的表述。方程的整个左边用现在所谓的爱因斯坦张量 G 来更简洁地表示。
