1664 年，剑桥大学有了校史上第一位数学教授——艾萨克·巴罗，另一
位三一学院的工读生，比牛顿早十届。巴罗最初学习的是希腊语和神
学，之后离开了剑桥，开始学习医学、更多的神学、教会史和天文学，
最后转向了几何学。牛顿上过巴罗最早开设的课程。那一年，牛顿要参
加奖学金资格考试，巴罗就是主考，考察内容主要基于欧几里得的《几
何原本》（ Elements）。牛顿以前没有学过这本书。他在史托尔桥集市
找到一本关于占星的书，突击学习了书中一个以掌握三角学为理解前提
的图表 1——这远远超过了剑桥学生需要掌握的知识范畴。牛顿买来和
借来了更多的书。不久以后，他就用简短的篇章总结出当时欧洲大陆先
进数学思想的纲要。他购买了弗兰斯·凡·斯霍滕的《杂记》
（ Miscellanies）和斯霍滕的拉丁文译作——笛卡儿艰涩难懂的杰作《几
何学》（ La
Géométrie），他还购买了威廉·奥特雷德的《数学之钥》
（ Clavis
Mathematic?）和约翰·沃利斯的《无穷算术》（ Arithmetica
Infinitorum）。2 这些著作对于牛顿来说深奥难懂，猜测的部分要多过理
解的部分。
1康杜特，《棣莫弗先生
1727
年
11
月交给我的关于艾萨克·牛顿爵士的备忘录》
（“Memorandum relating to Sr Isaac Newton given me by Mr Demoivre in Novr 1727”）：
（16）63 年，他在史托尔桥集市上买了一本关于占星术的书……他读了又读，直到眼前
呈现出各种天体的轮廓，却因为不熟悉三角学而无法理解这些内容。他买了一本三角学
的书，但无法理解书中的论证。他借助欧几里得的论述去理解三角学的理论。他只阅读
这些命题的标题，并觉得非常容易理解，以至于纳闷儿有谁会闲来无事去论证这些命
题。当读到底相同、在相同平行线之间的平行四边形相等，以及直角三角形斜边之平方
等于其他两边平方之和的命题时，他开始改变想法。
参见 Keynes MS 130.4；《自然哲学的数学原理》，第一卷，第 15 页。
2因此，怀特赛德说道：“我们或许也会感到有些失望，因为牛顿只读过这么几本标准的当
代数学著作，或者说他并没有留下读过其他著作的任何线索——我们在他早期的手稿中
没有看到过纳皮尔、布里格斯、笛沙格、费马、帕斯卡、开普勒、托里拆利的名字，甚
至也没有见到阿基米德和巴罗的名字。”《牛顿早期数学思想的渊源和长处》（“Sources
and Strengths of Newton's Early Mathematical Thought”），罗伯特·帕尔特编著的《艾萨克·
牛顿爵士的奇迹之年：1666 至 1966》（ The Annus Mirabilis of Sir Isaac Newton: 1666–
1966），第 75 页。除了牛顿的笔记，他对阅读内容的二手和三手回忆，包括那本“占星
术的书”，都在亚伯拉罕·棣莫弗的一本记事簿（Add MS 4007）中保留了下来；以及《通
信集五》，信函 394。
那一年的年底，就在冬至前，一颗彗星出现在低空中，拖着亮闪闪的神
秘彗尾向西飞去。牛顿整夜整夜地待在户外，观察彗星在恒星构成的背
景中留下的痕迹，每次都看到黎明时分，直到彗星消失在光亮之中才毫
无睡意、脑中一片混乱地回到房间。那时，彗星是一种不祥的征兆，就
像苍穹中的一位变化无常、神出鬼没的旅者：英格兰流言四起，称荷兰
出现了一种新型瘟疫——可能来自意大利或黎凡特，也可能来自克里特
岛或塞浦路斯。
疫病紧随流言而来。在伦敦，有三个人死在一幢房子里；到了次年一
月，这种传染力很强的疾病从一个教区扩散到另一个教区，每周都有人
死去，一开始是数百人，后来是数千人。在疫情大爆发前的一年多里，
伦敦几乎每六个人中就有一人死于疫病。3 牛顿的母亲从伍尔索普给他
来了信：
3一些人幸免于瘟疫，但很多人没有躲过一劫。剑桥的《疫情终报》（ Plague Bill）称，从
1664 年 6 月 5 日至 1665 年 1 月 1 日，共有 758 人死亡，其中只有 9 人不是死于瘟疫。约
有 400 人感染瘟疫并康复。伊丽莎白·里德姆–格林，《剑桥简史》（ A Concise History of
the University of Cambridge），第 74 页。
艾萨克：
来信已收到，我理解你
随信附上你的衣物
但是没人对你（……）
我和你的妹妹们都爱你
你和为你我向上帝的祈祷（……）
爱你的妈妈
汉娜
1665 年 5 月 6 日
于伍尔索普 4
4这是唯一一封保存下来的牛顿母亲（或其他近亲）的信件。信纸的边缘已经破损，一些
字迹已无法辨认。《通信集一》，信函 2。
剑桥大学的各个学院先后关闭，校董会成员和学生们纷纷到乡下避灾。
牛顿回到家里。他给自己做了几个书架，还开辟出一间小书房。他翻开
继父遗留下来的那本有将近上千张空白书页的摘抄簿，并把它命名
为“杂录”（Waste Book）。5 他开始在摘抄簿上写读书笔记，这些笔记
不知不觉间变成了他最初的研究记录。牛顿不断向自己提出问题，无时
无刻不在思考这些问题，接着计算答案并提出新的问题。他的研究已经
超越了那个时代的知识前沿（尽管他并没有意识到这一点）。瘟疫肆虐
之年正是牛顿脱胎换骨之年。6 孤独一人、几乎不与外人交流的他，成
了世界上最杰出的数学家。
5Add MS 4004。
6这一“年”（牛顿的信徒在传统上认为的“奇迹之年”）跨越 18、20 或 25 个月。讲究的牛
顿信徒们有时更喜欢说那是奇迹之年的“神话”。德里克·杰特森毫不留情地揭穿了这个神
话：“这种描述显然具有误导性，因为……无论是 1665 年还是 1666 年，都没有任何受到
青睐的理由……尽管如此，这位 24 岁的大学生在很短的时间内创造了现代数学、力学和
光学的说法确实属实，而且毫不夸张。在思想史上，几乎没有类似的情况。”德里克·杰特
森〔《牛顿手册》（ Newton Handbook），第 24 页。参见德瑞克·托马斯·怀特赛德，《数
学家牛顿》；参见泽夫·巴赫勒的《当代牛顿研究》，第 115 页〕写道：“17 世纪从未有
人像牛顿那样在如此短的时间内建立起如此庞大的数学专业知识的储备，而且大部分是
他的个人发现。”
无论如何，牛顿在伍尔索普待了大约 20 个月，但曾在 1666 年春季短暂返回剑桥。
人们发现的大多数数字真理和方法，在相隔遥远的不同文化中一而再，
再而三地被人遗忘和重新发现。数学是一门常青的学科，一名“智人”的
年轻后裔仍然可以领悟这一物种几乎所有共同已知的知识。直到最近，
这种形式的知识才开始以自身为发展基础。7 古希腊数学已经几乎消失
殆尽，在曾经的几个世纪中，阿拉伯数学家们让数学存活了下来，同时
发明了叫作代数的抽象解题方法。此时，欧洲成了一个特例：这一地区
的人们使用书籍、信函和单一语言——拉丁语，来联络分散在数百英里
范围内的群体；这里的人们正自觉地接受一种在一千多年前繁荣而后瓦
解的文化。知识可以不断积累——好像一架梯子，或是一座石砌塔楼，
越垒越高。这一概念只是多种可能性之一。数百年中，渊博的学者们认
为他们之所以能够看得更远，是因为站在了巨人的肩膀上，但比起进
步，他们更愿意相信重新发现。即便是那时，西方数学的发展第一次超
过了古希腊的数学水平，但仍然有很多哲学家认为他们不过是领略到了
古老的奥秘，这些奥秘在更为灿烂的时代就已为人所知，随后失去踪影
或隐形匿迹。
7阿尔弗雷德·诺思·怀特海指出，1500
年欧洲的数学家少于希腊阿基米德时期的数学家。
菲利普·J. 戴维斯和鲁本·赫什，《数学经验》（ The Mathematical Experience），第 18
页。
印刷书籍为世界的组织带来了新的隐喻。书籍是一种信息的容器，以条
理分明的模式设计出来，用符号对真实进行编码，或许自然界本身也是
如此。《自然之书》（ The book of nature）成了哲学家和诗人最爱的奇
书：上帝已书写，我辈读之。8
伽利略说过：“哲学写在这本宏伟的书
（我是指宇宙）中，它一直吸引着我们的目光。但想要读懂这本书，就
得先学会理解写成这本书的语言和字母。它是用数学的语言书写而成
的……” 9
8“他获得了三倍的快乐，的确/在读过自然的神秘之书以后！”安德鲁·马维尔，《论阿普尔
顿庄园，致费尔法克斯勋爵》（“Upon Appleton House, to My Lord Fairfax”）。
9伽利略，《试金者》（ Il
Saggiatore，1623
年），参见《1618
年彗星论战》（ The
Controversy on the Comets of 1618），第 183-184 页。
但伽利略所说的数学并非数字：“它的字符是三角形、圆形和其他几何
图形，没有这些图形，人类就连这本书中的一个字都看不懂；没有这些
图形，人就会在黑暗的迷宫中徘徊。”
对不同语言的学习形成了一种对语言的认识：它具有任意性和可变性。
在学习拉丁语和希腊语时，牛顿曾尝试过速记字母和语音书写法，在进
入三一学院之后，他又根据哲学原理发明了一种“通用”语列表，目的是
团结人类的各民族。他表示：“每种语言的方言实在太多，任意性又
强，想要由本而发地从中合理推演出一种通用语言是行不通的。” 10 牛
顿把语言理解为一个过程，即变换或翻译的行为——把现实转换为符号
形式。数学也一样，最纯粹的数学就是符号转换。
10拉尔夫·W. V. 艾略特，《艾萨克·牛顿的“关于通用语言”》（“Isaac Newton's ‘Of an Universall Language’”），第 7 页。
对一位孤身一人、披荆斩棘去寻路的学者来说，数学具有独特的优越之
处。在获得答案的时候，牛顿通常可以在无须公开辩论的情况下判断这
些答案是否正确。这个时候的牛顿开始认真研读欧几里得的《几何原
本》。这本数学著作最初以希腊语残本的形式从亚历山大港流传出来，
后被翻译成中世纪阿拉伯文，又被翻译成拉丁文。它教会了牛顿用几个
给定的公理推导三角形、圆形、直线、球体的性质。11 他掌握了欧几里
得的定理，为日后的研究打下了基础，同时也受到笛卡儿《几何学》跨
越性进展的启发。《几何学》是一本内容庞杂的小书，也是笛卡儿《方
法论》（ Discours de la Méthode）的第三篇（也是最后一篇）附录。12
就这样，几何与代数这两大思想领域永远地连接在了一起。代数（笛卡
儿说它是一种“粗俗的”艺术，13 但仍把它作为研究主题）给未知量分配
符号，把它们当作已知量来处理。符号记录信息、节省记忆，就像印刷
书籍一样。14 事实上，在文字可以通过印刷传播之前，符号的发展并无
多大意义。
11德瑞克·托马斯·怀特赛德，《数学家牛顿》，参见泽夫·巴赫勒的《当代牛顿研究》，第
112-113 页。牛顿带注释的《几何原本》学习笔记，三一学院图书馆，NQ.16.201。
12约翰·康杜特带有浪漫色彩的记录〔Keynes MS 130.4，参见《艾萨克·牛顿的数学研究》
（ The mathematical works of Isaac Newton），第一卷，第 15-19 页〕：
那时年纪尚轻的牛顿已经开始研读笛卡儿的《几何学》（笛卡儿在他的《信札》中带着
某种蔑视的语气说这本书很难理解）。他从最晦涩难懂的研究和书籍开始，就像一匹精
神振奋的骏马，必须首先在艰险之地、最艰难和最陡峭的道路上受挫，否则就有可能成
为脱缰的野马。在读了两三页且无法理解时，太过内向和羞怯的牛顿不愿去请教任何
人，于是他重新开始读，读上三四遍，一直读到另一个艰深之处，然后又开始重读并取
得一些进展，之后再继续这么读下去，直到他不仅在没有任何来自他人的指导和解释的
情况下掌握了全部内容，而且还发现了笛卡儿的错误。……
牛顿在 1664 年夏天阅读了斯霍滕的拉丁文译本。在对自己数学思想发展历程的回忆中，
牛顿试图最大限度地淡化笛卡儿的影响，但怀特赛德的阐述更为令人信服：“牛顿在 1664
年最后几个月中得以保存下来的一厚摞研究论文有力地证实了，其数学思想的确受到笛
卡儿的《几何学》中上百页内容的启发……我可以断言，《几何学》让牛顿第一次真正
认识到代数中自由变量的泛化能力，认识到它可以泛化特定量并令其内部结构一目了然
的能力。”《数学家牛顿》，参见泽夫·巴赫勒的《当代牛顿研究》，第 114 页。
但牛顿还针对《几何学》写了很多批评注释，比如“错误，错误，这不是几何”和“不完
美”。三一学院图书馆，NQ.16.203。
13“它看起来不过是那种被人们称为‘代数’这一粗俗之名的艺术，如果它能够从各种数字和
将之淹没的难解图形中挣脱出来的话……”笛卡儿，《指导心智的规则》（ Regul?
ad
directionem ingenii），规则四，第 5 页。
14这一新发现的事实必须被明确地加以阐述。迈克尔·马奥尼在《代数思想的发端》（“The
Beginnings of Algebraic Thought”）中引述了笛卡儿的话：“那些眼下不需要关注，但对结
论而言必不可少的事情，应该用简要的符号而不是整幅图解来表示：这样我们就不会忘
记，也不会在此期间因这些需要留存下来的事情而分心。”
随符号而来的是方程：量与量之间的关系，以及其中可变的关系。这是
一个全新的领域，笛卡儿最先展开了这一领域的研究。他把一个未知量
当作一个空间维度——直线，那么两个未知量就构成一个平面。如此一
来，不同的线段就可以叠加甚至相乘。方程生成曲线，曲线体现方程。
笛卡儿打开了笼门，释放出新奇的曲线怪兽，这些曲线比希腊人研究的
优雅二次曲线更变化多端。牛顿立即开始扩展笛卡儿曲线的可能性，他
增加了维度，进行归纳概括，用新的坐标系将一个平面绘制到另一个平
面上。他自学了计算方程的实根和复根、用多项式来表示有多个项的式
子。当曲线上的无穷多个点对应无穷多个解时，所有的解就都可以被看
作一个整体。那么方程就不仅仅有解，还有其他性质：最大值和最小
值、切线和面积。这些性质都可以用图来表示，而且都有特定的名称。
没人知道我们所称的数学直觉是什么，对数学天才就知道得更少了。人
与人的大脑并没有太大的区别，但相较于其他的能力，数字能力似乎更
为罕见且特殊。它具有一个阈值。其他任何智力领域都不会像数学这
样，天才和低能特才之人可以拥有那么多的共同点。从外部世界转向内
心的思维方式所看到的数字都是发光的造物，可以在一串串数字中看到
秩序和魔法，可以像了解自己那样了解数字。数学家也是通晓多种语言
的人。创造力的一个强大来源就是翻译的能力，也就是可以用看似不同
的方法讲述同样的事情。如果一种公式行不通，那就尝试另一种。
仪器草图
牛顿早期的仪器草图。
Add MS 3965，f 35v。*
*经英国剑桥大学委员会许可。
牛顿拥有无穷的耐心，此话不假，他后来曾说，真理是“沉默冥想的产
物”。15
15Keynes MS 130(7)，盖尔·E. 克里斯蒂安森，《在造物主的面前》（ In the Presence of the Creator）引述，第 66 页。
他还说：“我始终把研究主题摆在自己的面前，等待着第一缕曙光缓缓
出现，一点一点，直到它变成饱满敞亮的光明。” 16
16《大不列颠传》（ Biographia Britannica，伦敦，1760 年），第五卷，第 32-41 页；理查
德·S. 韦斯特福尔，《永不止息》（ Never at Rest）引述，第 174 页。
牛顿的“杂录”就这样一天天逐渐记满了他对数学这一最抽象的领域的研
究。他如痴如醉地计算，并想出一种把方程从一组轴系转换成其他替代
参考系的方法。他在一张纸页上画了一个双曲线，并计算出曲线下方的
面积，也就是对它进行“平方”。牛顿超越了笛卡儿掌握的代数知识。他
没有把自己局限于几个（或多个）式子的表达上，而是构造出无穷级
数：永远持续下去的式子。17 这个无穷级数无须加到无穷大，相反，由
于项数的增加而幅度越来越小，因此项数可能逼近一个目标函数或极
限。牛顿构想出这样一个式子来计算双曲线下的面积：
17对无穷级数的认识源于代数中对π 的表达方式的研究。牛顿的前辈詹姆斯·格雷果里，尤
其是约翰·沃利斯，率先在这一问题上取得了进展。从最简单的意义上来说，人们一看到
小数符号就会想到无穷级数。在少量得以保存下来的牛顿早期的研究资料中，牛顿在其
中一份上写道：“如果用小数来表示 10/3，它就会是 3. 333 333 33…。而每个数字仅代表
分数 10/3 中的一个数位，因此这个分数就可以被分成无穷个部分。”《问题》，第 65
页。
并一直计算到小数点后五十五位，总计两千多个数字整齐地顺序排列在
一页纸上。18
构想无穷级数并学习处理它们，这意味着转变数学的状
态。牛顿这时似乎拥有了非凡的概括能力，可以把数学领域中一个或几
个已知的例子概括成普遍规律。数学家们大致了解如何对两个量之和
进行求幂运算。通过对无穷级数的研究，牛顿在 1664 年的冬天发
现了如何对两个量之和进行任何次幂（无论是否为整数）的运算方法，
即求二项式的乘方。
18《牛顿数学论文集》，第一卷，第 134-141 页；理查德·S. 韦斯特福尔，《永不止息》，
第 119-121 页。牛顿认识到，这又是一个隐藏的问题，也就是对数的计算。多年后，牛顿
回忆道：“我当时无论走到哪里都随身带着这些计算的草稿，别的事一概不理，因为在那
个时候，我对这些发现感到实在太高兴了。现在说起来真是觉得惭愧。”牛顿致奥尔登堡
的信，1676 年 10 月 24 日，《通信集二》，信函 188。
双曲线平方的无穷级数
Add MS 3965，f 35v。*
*经英国剑桥大学委员会许可。
牛顿对无穷兴致盎然，笛卡儿则没有。笛卡儿曾写道：“我们根本就不
应该进入对无穷的讨论。”
既然我们是有限的，那么让我们去确定任何与无穷有关的事情就是
荒谬的，因为这就等于去限制它和支配它。所以我们不该去费心回
应那些线段的一半是否无穷、一个无穷数是奇数还是偶数等疑问。
任何人都不应该考虑这样的问题，除非他认为自己的思想是无限
的。19
19笛卡儿，《哲学原理》（ Principles of Philosophy），参见《笛卡儿哲学著作集》（ The Philosophical Writings of Descartes），第一卷，第 201 页。
但事实证明，人的思想虽然囿于有限的脑壳，却可以分辨出无穷并对它
进行测量。
无穷的一个特征困扰着牛顿；他一次次地反复思考这个特征，一次次地
推翻得出的结论，又一次次地用新的定义和符号重新阐述这个特征。那
就是无穷小量的问题——这个量奇妙而不可思议，它比任何有限量都要
小，但又没有小到零。欧几里得和亚里士多德对无穷小量绞尽脑汁，牛
顿对它也并非信手拈来。20 牛顿首先想到的是“不可分割”这个说法，也
就是那些有可能通过无限相加而形成一个有限量的点。21 这就引出了被
零整除的悖论：
20即使在此七十年后，最早的后牛顿微积分论文之一，约翰·寇森加注的 1737 年版《流数
与无穷级数法》（ The Method of Fluxions and Infinite Series），以如下方式对这一既危险
又陌生的主题进行了讨论：“……这个量是无限可除的，或到目前为止（至少在智力上）
是可以在最终完全消失之前不断减小的，以得到可以被称为消失量的量，或者无穷小的
量，它比任何可指定的量都要小……”参见 I. 伯纳德·科恩和理查德·S. 韦斯特福尔的《牛
顿：文章、背景与评论》（ Newton: Texts, Backgrounds, Commentaries），第 400 页。
21《关于量》（“Of Quantity”），《问题》，第 25 页；《牛顿数学论文集》，第一卷，第
89 页。
如此一来， 是 的 2 倍，而 是 的 2 倍，先乘以 2，然后再用 0
除以 ，得到
和
……
如果 0 是真正意义上的零，结果就是无意义的，但如果 0 代表某些无穷
小量，即“不可分割的”量，结果就是有意义的。牛顿后来又进行了补充
说明：
（结果待定）
这个无定限的 一个球体到底可以有多大，一个数字的计算值可以
有多大，一种物质可以分割到何种程度，我们对时间和广延可以想
象到何种程度，但所有的广延都是永恒， 是无穷的。22
22《问题》；参见《牛顿数学论文集》，第一卷，第 90 页，n. 8。
将“无定限”和“待定”交替应用于数学量和认知程度，从而令这两个字眼
变得含混不清。尽管笛卡儿的观点有所保留，但这已经体现出了宇宙的
无限性——上帝之空间和时间的无限。无穷小量（几近没有）则是另一
回事。这或许只是一个问题的正反两面：无穷大和无穷小。如果一颗大
小有限的恒星可以在一段无限的距离之外被看到，那么它看起来就会无
穷小。牛顿的无穷级数里的项逼近无穷小量。伽利略说：“我们身在无
穷大的量和不可分割的量之中，前者因其大而让人难以理解，后者因其
小而让人难以理解。” 23
23伽利略，《论述》（ Discorsi）。
牛顿试图探索更好的方法，也是更具普遍性的方法，以找到一条曲线上
任意一点的斜率，以及另一个相关但曾被剔除掉的量——曲率，也就是
弯曲的程度，即牛顿所说的“线的弯曲”。24 牛顿专注于切线，也就是过
曲线上某一点与之相切的直线，如果用高倍放大镜进行观察，我们就会
发现，切线就是在这一点上“变成”直线的曲线。牛顿勾画出的结构比欧
几里得和笛卡儿的任何图示都更为复杂和自由。他反复思考无穷小
量：“那么（如果
和
之间的距离是一个无穷小量，否则）
……”“……（在这种情况下，除非从几何的角度看待无穷小量，否则这
种算法是无法理解的。）……” 25 牛顿不能回避无穷小量，于是在用到
它时用一个私人符号——小写字母 o 来代替这个近乎零却非零的量。在
他的一些示意图中，有时两个长度“相差无几，但无穷小”，而有时两个
长度则“毫无差别”。保留这种异乎寻常的区别是至关重要的，这使得牛
顿对曲线无限分割并对分割的曲线无限相加来计算出曲线的面积。他创
造出“一种方法来计算可被平方的曲线的面积” 26 ——“整合”（用后来微
积分的术语来说就是“积分”）。
24《牛顿数学论文集》，第一卷，第 280 页。
25同注 24，第 282 页。
26同注 24，第 302 页和第 305 页。
就像代数和几何的结合，物理中对应的运动问题同样也与几何相结合。
无论什么样的曲线，都必然代表了运动点的轨迹，切线则代表了运动的
即时方向，一条扫过平面的直线就可以生成面积。这是从运动的角度思
考，而无穷小量在这里就发挥了决定性的作用。运动是流畅的、连续的
和不间断的——怎么可能会是别样的呢？物质可能缩减为不可分割的原
子，但用来描述运动时，数学中的点似乎更为合适。一个从点 到点
的物体必定会经过点 与点 之间的每一个点。无论点 与点 有多么
接近，两者之间必定存在一些点，就像两个数之间必定存在更多的数。
但是这种连续性引出了另一种悖论，就像两千多年前古希腊哲学家提出
的阿基里斯追乌龟的悖论。乌龟先出发，阿基里斯比乌龟跑得快，但他
永远追不上乌龟，因为每当他跑到乌龟刚刚经过的位置时，乌龟又向前
爬了一段距离。根据这一逻辑，芝诺证明了任何运动的物体都不可能到
达任何指定的位置，也就是说，运动本身是不存在的。只有同时引入无
穷大和无穷小的概念，这些悖论才可能被消除。哲学家必须找到逐渐减
小的无穷量之和。牛顿将此视为一个用语的问题：变快、变慢、最小距
离、最小进程、即时区间。
可能人人都知道运动变快和变慢是怎么一回事：运动中存在一个最
小距离和一个最小进程，以及一个最小时间段……在每一个有物体
移动的时间段内都会产生运动，否则，在这些时间段的总和内什么
都不会产生：……在时间的某一刻或某一段内没有产生运动。27
27《问题》，第 10 页。
一种缺乏时间与速度计算方式的文化，也会缺乏数学家需要用来量化运
动的基本概念。当时英语中刚刚出现最早的速度单位用词
——“节”（knot），源自水手在海上唯一的测速工具——抛入海中的测
程绳。最渴望了解地球物体运动的科学是弹道学，它测算了枪管的角度
及其射出子弹的行进距离，但几乎没有考虑速度；即便可以将速度这个
量定义为距离与时间之比，依然无法对它进行测算。当伽利略把物体从
塔顶抛下时，尽管使用了一个当时令人难以理解的时间单位——秒，他
也依然只能对速度进行粗略的估算。牛顿被伽利略严密计算的雄心壮志
所折服：“伽利略认为，一个重 100 磅（佛罗伦萨重量单位，相当于英
制常衡的 78 磅 28）的铁球在 5 秒内下落 100 腕尺（约 66 码 29）。” 30
281 磅≈ 0.45 千克。——译者注
291 码≈ 91.44 厘米。——译者注
30《问题》，第 68 页。
1665 年秋天，牛顿做了关于“机械”线的笔记，这种线与单纯的几何线不
同。机械曲线是由一个点的运动产生的，或由两个这样的运动复合而成
的：螺旋、椭圆和摆线。笛卡儿研究过摆线，即一个圆沿一条直线运动
时，圆边界上的一个定点所形成的曲线轨迹。他认为这种奇怪的现象并
不可靠，而且不是数学问题，因为人们无法用解析的方式来描述它（当
时尚未有微积分）。但是这些来自全新机械领域的人造物不断地介入数
学领域。风中高悬的缆绳和风帆会画出机械曲线。31
就算摆线是机械
线，它也依旧是一个抽象概念：一种多个运动或速率以某种方式相加的
产物。实际上，牛顿此时已经能够从几何和解析两个不同的角度去看待
椭圆。椭圆是二次方程的体现，或是用“园丁画法”在地上画出的闭合图
形：用两个钉子将一根松散的绳子固定在地面上，“用笔撑着绳子画出
的图形就是椭圆” 32 。它也是一个拥有额外自由度的圆，一个消除了一
种约束的圆，一个压扁的、圆心分为两个焦点的圆。牛顿设计出在机械
曲线上作切线的方法，从而计算它们的斜率；同年 11 月，他提出了一
种从两条或多条曲线上的切线推导两个或多个运动物体速度间对应关系
的方法。33
31参见《牛顿数学论文集》，第一卷，第 377 页；迈克尔·马奥尼，《自然的数学范畴》
（“The Mathematical Realm of Nature”），参见丹尼尔·加伯和迈克尔·埃尔斯的《剑桥十七
世纪哲学史》（ Cambridge History of Seventeenth-Century Philosophy），第 725 页。
32《牛顿数学论文集》，第一卷，第 29 页。
33“通过它们描绘的线来找到物体的速度。”《牛顿数学论文集》，第一卷，第 382 页。
牛顿通过计算曲线上间隔距离无穷小的点的关系来找到切线。在计算
中，这些点几乎合并为一个，“这种在
时出现的合并消失为
零。” 34 o 是一个针对无穷小量而人为设置的量，作为一个任意小的增量
或某一时刻。牛顿演示了带有 o 的项如何“可以被消除”。35 借助这种方
法，牛顿还找到了曲线的几个中心和曲线的半径来计算曲率。
34《牛顿数学论文集》，第一卷，第 273 页。
35牛顿在很久以后回忆道：“在我研究一个数学问题的真相或解决办法的时候，我会使用
各种近似值，而忽略了要写下字母
o，但在我证明一个命题的时候，我总是会写下字母
o，并完全遵照几何的规则。”Add MS 3968.41。
如此一来，一个几何研究主题就和一个运动研究主题匹配了起来：测量
曲线就是找到变化率。“变化率”本身就是抽象之抽象；速度之于位置的
变化率，就如同加速度之于速度的变化率。这就是微积分中的微分。牛
顿把变化率视为一个完整的体系：切线问题和求积问题是互逆的两类问
题；微分和积分实质相同，运算方式互逆。这些步骤看似各不相同，但
形成互逆关系。这就是微积分的基本定理，这一数学分支已成为制造发
动机和测量动力的核心知识。时间与空间合二为一。“速度”和“面积”这
两个看似无关的抽象概念被证明同源。
牛顿一次又一次地翻开新的篇章——在 1665 年 11 月、1666 年 5 月和
1666 年 10 月，为的是尝试提出一套“用运动解决问题”所需的定理体
系。36 在最后一次尝试中，牛顿写满了一本用八张纸折叠缝成的二十四
页小册子。他研究了朝着圆心移动的点、相互平行移动的点、“成角
度”或“成圆周”运动的点（当时还没有能够描述这种现象的语言）和沿
着与平面相交的线运动的点。一个代表时间的变量构成了牛顿方程的基
础——时间作为运动必不可少的背景因素。在速度发生改变时，牛顿假
定速度的变化是匀速和连续的——在用 o 表示的无穷小的时刻。他写下
这样的说明：
36《牛顿数学论文集》，第一卷，第 377ff 页；第一卷第 392ff 页和第一卷第 400ff 页。
《1666 年 10 月流数摘要》（“The October 1666 Tract on Fluxions”，Add MS 3958）在 296
年后首次发表在
A.
鲁泼特·霍尔和玛丽·博厄斯·霍尔编著的《未发表的科学论文》
（ Unpublished Scientific Papers）中，第 15-65 页。
将所有的项设置在方程的一侧，令这些项等于零。首先，根据 的
维数将每一项乘以 ；然后，根据 的维数将每一项乘以 ……如
果方程还有更多的未知量，则对每个未知量进行以上算法。37
37《牛顿数学论文集》，第一卷，第 402 页。
时间是流动的。就速度而言，位置是时间的函数；但就加速度而言，速
度本身就是时间的函数。牛顿用字母上标和用语组成了自己的符号体
系，将这些函数称为“流量”和“流数”：流动量和变化率。他对此进行过
多次修改，但从未全部完成。
在进行这种数学创新的过程中，牛顿碰到了一个悖论。牛顿相信宇宙是
离散的，他相信原子很小，但最终是不可分割的——非无穷小的。然
而，他基于直线几何和平滑变化的曲线建立的数学构架却是连续的，而
不是离散的。赫拉克利特在两千多年前说过：“一切都在流动，没有什
么是静止的。没有什么可以持久，唯有改变永存。”但是这种存在的状
态——“流动”或“改变”——在当时和后来都对数学提出了挑战。在此之
前，哲学家们几乎看不到连续的变化，更不用说对这种变化进行分类和
估算了。现在，大自然的命运之轮让这个问题得到了数学上的解答。自
此以后，空间将具有维度和量度，运动将被纳入几何的范畴。38
38正如柯瓦雷所说的：“这一转变的完成是牛顿得以不朽的贡献之一……从某种意义上来
说，数学实体必须进一步向物理学靠近，经受运动的洗礼，并在其‘变成’或‘变化’而非‘存
在’中对之进行观察。”《牛顿研究》（ Newtonian Studies），第 8 页。
英格兰各地陷入大火和瘟疫的死亡阴影之中。数字命理学家曾警告
1666 年会是“野兽之年”（year of the beast）。伦敦大部地区躺在黑色的
废墟之中：干燥的风让面包房里燃起的火蔓延到成片的茅草房，失控的
