4．1 什么是三段论
三段论是由两个包含着一个共同项的直言命题推出一个新的直言命题的推理。如下就是一个三段论：
所有哺乳动物都是有脊椎的；
所有人都是哺乳动物；
所以，所有人都是有脊椎的。
这个推理从两个包含着“哺乳动物”这个共同项的直言命题，推出了一个新的直言命题“所有人部是有脊椎的”。显然，三段沦由三个直言命题构成。两个包含共同项的命题是前提，推出的新命题是结论。但是并非任意的三个直言命题相组合就能构成三段论。作为三段论的前提和结论的直言命题，必须包含有并且只能包含有三个项。
三段论的三个项分别称作主项、谓项和量项。小项是结论的主项，大项是结论的谓项，在两个前提中都出现的项是中项。在上例中，“人”是小项，“有脊椎的”是大项，“哺乳动物”是中项。
三段论的两个前提分别称作大前提和小前提。包含大项的前提是大前提，包含小项的前提是小前提。在上例中，“所有哺乳动物都是有脊椎的” 包含有大项，因而三大前提，“所有人是哺乳动物”包含有小项，因而是小前提。
可见，分析一个三段论的形式必须从结论开始，首先区分小项和大项，再区分出大前提和小前提，然后根据中项在两个前提中的位置对三段论作进一步分析。
我们通常用“S”表示小项，“P”表示大项，用“M”表示中项。由此，上例的推理形式为：
所有M是P
所有S是M
所有S是P
也可记为
MAP
SAM
SAP
4．2 三段论的规则
在传统逻辑中，一个三段论推理是否有效，是通过一系列规则来判定的。凡是遵守了这些规则的三段论推理是有效的，而一个三段论如果违反了这些规则中的任何一条都将是个无效推理。
三段论的规则有多种表达方式，我们将其归结为七条。
其中前三条规则是关于项的规则，后四条规则是关于前提的规则。
1．一个三段论有，且只有三个项。
这条规则是由三段论推理的定义决定的。
凡是在三段论谁理中出现了四个项的，被叫做“四项错误”例如，
鲁迅的著作不是一天能读完的，
《祝福》是鲁迅的著作，
《祝福》不是一天能读完的。
这个推理的前提真而论假，显然是无效的。推理无效的原因在于在两个前提中出现的词项“鲁迅著作”具有不同的含义，在大前提中“鲁迅著作”是在集合意义上使用的，而在小前提中它又是在非集合意义上被使用的，因此，两次出现的“鲁迅著作”是两个不同的词项。该推理犯了四项错误。
2．中项在前提中至少要周延一次。
三段论要通过中项的联结作用确定大项和小项之间的关系。如果中项在两个前提中都不周延，则就意味着它有一部分外项同大项的某种关系，一部分外延同小项有某种关系，至于究竟是哪部分外延同大项有关系，哪部分外延同小项有关系，这在直言命题的表达中是无法确定的。以这种不确定的关系显然无法确定大小项之间的关系，中项也就不能发挥中介联结作用而推出必然性的结论。例如，
狗是动物；
猫是动物；
猫？狗
凡中项在两个前提中都不周延的，被称作“中项不周延”的错误．
3．前提中不周延的坝结论中不得周延。
在结论中出现的延是大项和小项，如果大项或小项在前提中不周延在结论中却周延了。则说明结论表达的内容超出了前提，这就不能保证从美前提推出必然真的结论，从而导致推理无效。
凡是大项在前提中不用延而在结论中周延的，被称作 “大项扩大”的错误．例如，
所有枪劫是犯罪行为；
所有贪污都不是抢劫：
所有贪污都不是犯罪行为。
在这个推理中，大项“犯罪行为”在前提中作为肯定命题的谓项，是不周延的，在结论中作为否定命题的谓项却周延了，因而犯了大项扩大的错误，导致推理无效。
凡小项在前提中不周延在结论中周延的，被称作“小项扩大”的错误。例如，
所有金属是导电的；
有金属是固体：
所有固体是导电的。
4．两个否定前提推不出结论。
一个直言命题是否定的，表明它的主项和谓项之间具有相互排斥的关系。如果一个三段论的两个前提都否定。则表明中项既和大项相排斥，又和小项相排斥。在这种情况下，我们无法通过中项的联结作用来确定大项和小项之间的关系。因此，两个否定前提推不出必然性的结论。例如，
经验主义不是科学的方法论
教条主义不是经验主义；
教条主义？科学方法论
显然由给定的两个前提推不出小项“教条主义” 与大项“科 学方法论” 之间的关系究竟怎样。
5． 结论的联项必须与前提保持一致。
就是说，如果前提中有一个否定的，结论必否定；如果两前提肯定，结论必肯定。
两前提中如果有一定否定，另一个必肯定， 因为两个否定前提推不出结论。在否定前提中，中项与一个项是柏排斥的关系；在肯定前提中，中项与另一个项有相容关系。根据中项的联结作用，我们只能推出同中项相排斥的项与问中项相容的项之间也是一种相排斥的关系。而反映两个项之间相互排斥关系的直言命题是否定命题，因此，前提有一个否定时结论必否定。
两个前提都肯定，说明大项和小项都同中项有相容关系。在这种情况下，通过中项的联结作用只能推出大小项之间也是相容关系．而只有肯定命题才能表达大小项之间的相容关系，因此，当两个前提一定时结论必肯定。
由这条规则可以推论，如果结论是肯定的，两个前提就必肯定；如果结论是否定的，两前提中必有一个否定。
6．两个特称前提推不出结论。
两个前提都是特称命题的有三种情况，一是两个前提都是特称肯定命题，即II；二是两个两提都是特称否定命题，即OO；三是一个前提特称肯定，一个前提特称否定，即IO。
根据规则4，两前提为OO时推不出必然结论。
当两前提为I I时，由于I命题的主调项都不周延，因此必然要犯中项不周延的错误，因而推不出必然性结论。
当两前提为IO时，则有，并且也只有O命题的谓项这一个项是周延的。如果这个周延的项做中项，那么根据规则5，前提否定结论必否定，因此大项在结论中作为否定命题的谓项必周延；而在前提中除作中项的那个项外其它项都不周延，显然，这就必然要犯大项扩大的错误。如果把那个周延的项用来作大项，又必然要犯中项不周延的错误。所以IO前提也推不出必然性结论。
两前提都特称的有，并且只有这三种情况，而在这三种情况下都推不出必然性结论。因此两前提特称推不出结论。
7. 前提有一个特称则结论必特称。
如果三段论有一个前提是特称，另一个前提必全称，因为两个特称前提推不出结论。由此可知，前提有一个特称的有四种情况，一是两前提分别为AI，二是两前提为AO，三是两前提为EI，四是两前提为EO。
根据规则4，由EO两个前提推不结论。
当前提是AI两个命题时，只有A命题的主项这一个项周延，根据规则2，中项在前提中至少要周延一次，这个周延的项必须用来做中项。而余下的项无论哪个做小项都是不周延的。小项是结论的主项，主项不周延的命题只能是特称命题。所以以Al命题为前提时，结论必特称。
当前提是EI命题时，只有E命题的主项和谓项这两个项周延。根据规则2，中项必周延；又根据规则5，前提否定结论必否定，大项在结论中周延。因此按规则3要求大项在前提中必周延。这样，两个周延的项必项一个做中项，一个做大项，而剩下的两个项无论哪个做小项都是不周延，即结论总是特称的。
当前提是AO两个命题时，只有A命题的主项和O命题的谓项这两个项周延。根据规则2、规则3规则5的要求，这两个周延的项必须一个做中贡一个做大项，而剩下的两个都不周延，无论哪个做小项都只能得到特称的结论。
综上所述，当前提中有特称命题时，结论必持称。由此可推论，当结论全称时前提也必全称。
4．3 三段论的格
1、什么是三段论的格
三段论的中项在两个前提中都出现，它在大前提中既可是主项，也可是谓项，在小前提中亦是如此，中贡在前提中的位置不同，三段论的形式就不同。我们把这种由中项在前提中的不同位置所决定的三段论形式叫做三段论的格。
中项在前提中的位置有四种，由此决定了三段论有四个格。它们分别是，
第一格：中项是大前提的主项，小前提的谓项，即
M P
S M
第二格：中项是大前提的谓项，小前提的谓项，即
P M
S M
第三格：中项是大前提的主项，小前提的主项，即
M P
M S
第四格：中项是大前提的谓项，小前提的主项，即
P M
M S
2、各个格有效推理式的特点
各个格的三段论都必须具备一定的特殊条件才有可能是正确的推理。这些特殊条件我们称作各个格有效推理式的特点。只有具备这些特点各个格的推理式才可能是有效的。
第一格有效式的特点：
（1） 小前提必肯定。
如果第一格形式的三段论小前提否定，根据规则5，结论必否定，大项作为否定合题的谓项就是周延的。根据规则3，大项在前提必须周延，而大项是大前提的谓项，谓项周延的命题只能是否定命题，因此，由小前提否定必须推出大前提都否定推不出结论，而大前提不否定又必然犯大项扩大的错误。因此，当小前提否定时，第一格形式的三段论推理无论如何都是无效的。所以，第一格的有效推理式小前提必肯定。
（2） 大前提必全称。
在第一格形式中，中项在小前提中处于谓项的位置。小前提必肯定决定了中项在小前提中是不周延的。根据规则2，中项在大前提中必周延。而中项在大前提中是主项，主项周延的命题只能是全称命题。所以，第一格形式的三段论大前提必全称。
（3）结论可以是A、E、I、O四种命题。
这一条应该说是刻画了第一格形式的三段论推理的特点。当大小前提均为A命题时，结论可以是A命题；当大小前提分别为EA命题时，结论可以是E命题；当大小前提分别为AI时，结论是I命题；当大小前提分别为EI时，结论是O命题。
第二格有效式的特点：
（1）必有一个前提否定。
在第二格中，中项在两个前提中都处于谓项的位置。根据规则2，中项在前提中要周延一次，而只有否定命题的谓项才周延，因此，第二格形式的有效三段论必有一个前提是否定。否则将犯中项不周延的错误。
（2）大前提必全称。
既然第二格形式的三段论必有一个前提否定，根据规则5，结论也必否定，因此大项在前提中必须周延。而大项在大前提中处于主项的位置，主项周延的命题是全称命题。所以第二格形式的三段论大前提必全称。
（3）结论只能否定命题。
这一条是用以刻划第二格形式三段论的特点。由于在第二格中必有一前提否定，所以结论也只能是否定的。
第三格有效推理式的特点：
（1）小前提必肯定。
同第一格形式的三段论一样，第三格三段论的大项在前提中处于谓项的位置，如果小前提否定，结论必否定，大项在结论中周延，这就要求它在前提中也周延，由此推出大前提也须否定，否则就要犯大项扩大的错误。因此，当第三格形式三段论的小前提否定时，它或者要犯大项扩大的错误，或者将因而前提否定不能推出结论。
在第三格形式中，小项处于小前提谓项的位置，即然小前提必肯定，作为肯定命题谓项，小项在前提中是不同延的，根据规则3；小项在结论中也不得周延。小项是结论的主项，主项不周延的命题是特称命题。所以第三格形式的三段论结论必特称。
第四格有效推理式的特点：
共有如下五条，读者可作为练习自行证明：
（1）两前提若有一个否定，大前提必称。
（2）大前提肯定则小前提必全称。
（3）小前提肯定则结论必特殊。
（4）任何一个前提都不能是O命题。
（5）结论不能是A命题。
我们讨论了各个格有效式的特点。不难看出，这些特点都是由七条规则推导出来的，它们是七条规则在各格三段论形式中的具体体现。了解和掌握这些特点是为了帮助我们理解和正确运用三段论。
必须指出，各格推理式不具备相应的特点必然违反七条规则，导致推理无效，而具备了相应特点的推理式不一定有效。例如，
所有金属是导电的；
有些固体是金属；
所有固体是导电的。
这个第一格形式的三段论大前提全称，小前提肯定，显然具备第一格有效式的特点。但推理却是无效的，因为它违反了八条规则中的第3条，犯了小项扩大的错误。当我们具体分析一个三段论的推理形式是否有效时，必须充分注意这利情况。
4．4 三段论的式
三段论是由包含三个项的三个直言命题构成的，这些直言命题可以是任意的A、E、I、O四种形式的命题。A、E、I、O四种命题在前提和结论中的不同组合，构成了三段论的不同形式。所谓三段论的式，就是由A E I O四种命题在前提和结论中的不同组合所决定的三段论形式。例如，
所有抢劫罪都是侵犯财产罪；
所有抢劫罪都是故意犯罪；
有些故意犯罪是侵犯财产罪。
这个推理的大前提是A命题，小前提是A命题，结论是I命题，因此，我们称它是一个式的三段论。注意，在“A A I”字母的排列是有序的，最先出现的是大前提，其次是小前提，最后是结论。由于该推理的中项在大、小前提中都是主项，它是第三格形式的三段论。我们将其记作“A A I—3”．
又例如，
所有鱼都是用鳃呼吸的；
所有鲸都不是用鳃呼吸的：
所有鲸都不是鱼。
这个推理是AEE式的三段论。它是第二格形式的，我们将其记作AEE—2
即然AEIO四种形式的命题都可以充当三段论的前提或结论，这就决定了三段论可以有多种不同的式。便如，以A命题为大前提的就是AAA，AAE，AAI，AAO，AEA，……，AOO等16个式。把所有可能三段论式列举出来，共有16×4=64个式。
根据中项在前提中的不同位置每个式的三段论可以是第一格，第二格，第三格或者第四格的。因此，三段论共有64×4=256个可能的具体形式。
在这256个具体推理形式中，绝大部分是无效。例如，AEA式无论如何都不可能有效，因为它违反的了规则5，前提有否定结论却肯定的。我们从64个式中除去这样显然无效的推理形式，仅剩下AAA，AAI，AEE，AEO，AII，AOO，EAE，EAO，EIO，IAI，OAO这样11个可有有效的式。
这11个式前非都在每个格都有效，例如，AAA—2就是无效式，它违反规则2，犯中项不周延错误。排除在各个格中无铲的情况，有效的三段论形式有如下24种。
AAA—1， EAE—1，AII—1，EIO—1， （AAI—1），（EAO—1）
AEE—2，EAE—2，AOO—2，EIO—2， （AEO—2），（EAO—2）
AAI—3，AII—3，EAO—3，EIO—3，IAI—3，OAO—3
AAI—4，AEE—4，EAO—4，EIO—4，IAI—4，（AEO—4）
在这24种推理形式中，括号内的是弱式，由这些推理形式的前提本来可以推出全称的结论，现出却只推出特称结论，因而是一种弱化了的推导。弱式仍然是有效式，因为根据对当关系，全称命题（上位）真时，特称命题（下位）必真。
4．5 非标准形式的三段论
从逻辑结构上分析，一个三段论是由三个包含三个项的A、E、I、O四种形式的直言命题构成的。凡是具有这样形式的三段沦，我们称之为标准形式的三段论。但是在人们的自然思维活动中，三段论推现并不总是以其标准的形式出现的。有些三段论表达形式不是标准的A、E、I或O命题；有些三段论表达的推理结构是不完整的，或者省略了前提，或者省略了结论；还有一些推理是将多个三段论组合在一起运用。
1．语言表达形式不标准的三段论
语言表达形式不标准有多种情况。一是前提或结论中出现了负命题。例如，
并非有哺乳动物不是温血运物；
所有蛇都不是温血动物；
所以，所有蛇都不是哺乳动物。
我们不能认为这个推理的两提都是否定的。它的大前提是个POM形式的命题，它逻辑地等值PAM。因此，我们将这个推量整理为标准的三段论后，它是一个AEE—2式，是有效式。
其次是前提或结论中出现的直言命题是不规范的。如，
没有不能被2整除的偶数；
没有哪个偶数不是自然数；
所以，有些自然数是能被2调除了。
这个推理的前提是不规范的直言命题，将其整理为规范的命题表达形式后我们得到。
所有偶数都是能被2整除的；
所有偶数都是自然数；
所以，有些自然数是能被2整除的。
显然，这是一个A AI—3式的有效三段论。
最后是推理中似平出现了三个以上的项。如，
所有温血动物都是有脊椎的；
所有软体动物都是无脊椎的；
所有软体动物都是非温血动物。
这里似乎有“温血动物”，“非温血动物”，”有脊椎的”，“无脊椎的”和“软体动物”这样五个词项。但通过换质法整理，我们可得到一个标准的三段论推理：
所有温血动物都是有脊椎的；
所有软体动物都不是有脊椎的；
所有软体动物都不是温血动物。
这是一个AEE—2式的有效三段论．
2．省略形式的三段论
一个标准的三段论必须有大小前提和结论，缺一不可。但在日常思维活动中，这三个部分并不都被完全地表达出来。那些在表达形式上被省略了一部分的三段论被称作省略形式的三段论。例如，“盗窃是危害社会利益的行为，所以盗窃要受到惩罚。”就是一个省略了大前提：“所有危害社会利益的行为都要受到惩罚”的三段论。它使得推理在治言表达上显得简洁、精练。
但是，省略形式的三段论并不意味着三段论的逻辑结构的减少，而仅仅是语言表达上的简略。对于一个正确的三段论来说，大小前提及结论这三个部分缺一不可，否则就不是三段论。因此，当我们具体分析一个省略形式的三段论时，第一步就是把它补充完整，找出其标准形式。例如，“我不是共产党员，所以我不必遵守社会公德。”这个推理省略的前提，而出现的前提包含有小项，是小前提，所以省略的是大前提。将大前补充出来．该推理的标准形式为，
所有共产党员都是必须遵守社会公德；
我不是共产党员；
我不必遵守社会公德。
显然，这是一个无效的AEE—1式，犯大项扩大错误。
分析省略结论的三段论要注意，既然大小前提是根据包含大项还是小项来区分的，而大小项由结论决定，因此，当省略结论后，我们就无法判定一个前提是大前提呢还是小前提。分析这样的省略三段沦。我们要具体情况具体分析。例如，由下面两个前提
所有贪污都是犯罪行为；
所有抢劫都不是贪污；
可以推出结论“有些犯罪行为不是抢劫”。我们绝不能只把它只看作第一格形式，认为它违反，“小前提必肯定”规则因而推不出结论。在没有结论的情况下，我们不能说哪个前提而推不出结论。在没有结论的情况下，我们不能说哪个前提只能大前提而不是小前提。
3．复合形式的三段论
这是由多个三段论组成的复合推理。例如，
鸭嘴兽是用乳汁哺育后代的动物；
所有用乳汁哺育后代的动物是哺乳动物；
（所以，鸭嘴兽是哺乳动物）
所有哺乳动物都是有脊椎的；
所以，鸭嘴兽是有脊椎的．
这个推理是由两个三段论组成的，只不过它省略了第一个三段论的结论“鸭嘴兽是哺乳动物”，这个被省略的结论作为第二个三段论的小前提，由此推出了上述结论。
复合形式的三段论仍然要遵守三段论的所有规则。我们判定一个复合三段论是否有效，只能将其分解为一个个独立的标准三段论，然后逐个分析，只有当每个三段论都有效时，复合三段论才有效．
第三讲 复合命题与命题公式
本章开始进入现代逻辑的讨论。现代逻辑认为命题是具有完整意义的最基本表达单位，因此逻辑研究的起点是命题。
本章要明确什么是复合命题，复合命题的几种基本形式及各自的逻辑性质。在此基础上理解什么是命题公式，命题公式与具体命题的关系，理解什么是命题公式的基本符号和形成规则，掌握什么样的表达式是才命题公式。要理解什么是真值函项，真值函项与命题公式的关系，掌握什么是重言式、矛盾式和协调式。
