3．1 命题公式
从认识的角度看，复合命题的逻辑形式是从具体命题中抽象出来的。例如，对下列具体命题
“如果王进是犯罪嫌疑人，那么他有犯罪动机和犯罪时间。”
设“王进是犯罪嫌疑人”为p，“王进有犯罪动机”为q，“王进有犯罪时间”为r，我们就抽象出该命题的逻辑形式
“p →( q ∧ r )”
我们把复合命题的逻辑形式叫做命题公式。因此，从认识论角度看命题公式来源于具体命题。
具体命题不仅有逻辑形式的不同，还有表达内容的不同。对于如下具体命题
“如果一个公民是完全行为能力人，那么他年满十八周岁并且具有完全的行为能力。”
我们可以抽象出与上述命题相同的逻辑形式“p →( q ∧ r )”，但从内容上看，它们是完全不同的两个命题。
逻辑学注重的是命题的逻辑形式。尽管从认识论的角度看，命题的逻辑形式是从具体命题中抽象出来的，但是从逻辑的角度看，一个命题公式是用基本的逻辑符号构造出来的。
从逻辑的角度考察，上述命题公式“p →( q ∧ r )”是用命题符号p、q、r，逻辑联结词符号→和∧，以及一对括号构造而成的。命题公式中的命题符号我们可以将其仅仅看作构造命题公式的材料，完全不考虑它们究竟代表了什么。因此，从逻辑的角度分析，命题公式只有形式结构上的区分。两个命题公式不相同，一定是因为它们有不同形式结构。不同的形式结构决定了它们各自具有不同的逻辑特征。
构造命题公式的符号是人为创造出来的一种特殊的语言符号。人们创造这些符号是为了表达复合命题的逻辑形式以满足逻辑研究的需要。对于运用这些语言符号构造的表达式，我们只重视它们在形式结构上的区分。因此，我们把这样的语言叫做形式语言。
如同自然语言有基本构词要素，如英文有26个字母，形式语言也有其构造表达式的基本符号，称之为初始符号。构造命题公式的初始符号如下：
初始符号
1、 命题变元：p，q，r，…
2、 命题联结词：∧，∨，→，?，?
3、 辅助符号： （， ）
这里的第1类符号是逻辑变元，它们只是抽象的命题代表，如果代表真命题，命题变元可取值为真，如果代表假命题则取值为假。因此我们称1类符号是以真值为定义域的变元。
第二类符号是逻辑常元，它们有确定的逻辑解释因而能够表达某种确定的真假联系。
第3类符号则是为避免歧义以构造合式命题公式所需要的辅助符号。
所有命题公式都是运用上述初始符号构造出来的。然而，并不是运用初始符号构造出来的符号串都是命题公式。为了把是命题公式的符号串同不是命题公式的符号串区分开来，我们给出如下形式规则：
形成规则
1、 所有命题变元是命题公式；
2、 如果?是命题公式，那么 是命题公式；
3、 如果?、?是命题公式，那么（ ?），（?∧?）、（Φ∨Ψ）和（Φ?Ψ）也是命题公式；
4、 只有符合以上3条的才是命题公式。
上述第1条规则规定任意一个命题变元是公式，显然这是结构最简单的命题公式，因此被称作原子公式。
第2条规定在一个命题公式左边添加联结词“?”就得到一个新的命题公式。这条规则规定“?”只能作用于一个命题公式，“?”因此被称作一元联结词。
第3条规定，任意两个命题公式用联结词∧、∨、→和?联结起来，并在两头分别加上括号就形成一个新的公式。这四个联结词也因为所联结的必须是两个命题公式而被称作二元联结词。
运用第2条和第3条得到的命题公式都对应于一个基本的复合命题：
联结词是“∧”的命题公式“p∧q”表达联言命题，称其为合取式。
联结词是“∨”的命题公式“p∨q”表达选言命题，称其为析取式。
联结词是“→”的命题公式如“p→q”表达条件命题，称其为蕴涵式。
联结词是“?”的命题公式如“p?q”表达等值命题，称其为等值式。
联结词是“?”的命题公式如“?p”表达负命题，我们称其为否定式。
第3条规则还规定，运用二元联结词得到的新公式必须用一对括号括上。这一规定是为了避免发生歧义。根据这条规则，“p∧q→r”就不是命题公式，因为它是歧义的。加括号为“（p∧q）→r”得到一个蕴涵式，蕴涵式的前件是一个合取式。如果加括号为“p∧（q→r）”则得到一个合取式，该式的一个合取支是蕴涵式。显然这是两个完全不同的命题公式。
在命题公式的构造中正确添加括号是非常重要的。看如下几个命题公式：
（p∧q）→（r∨s）
p∧（q→（r∨s））
（（p∧q）→r）∨ s
虽然它们有相同的命题变元和联结词，但由于括号的位置不一样，它们是完全不同的命题公式。第一个是蕴涵式，其前后件分别为合取式和析取式。第二个是合取式，它右边的合取支是一个后件为析取式的蕴涵式。最后一个是析取式，它左边的析取支是一个前件为合取式的蕴涵式。
第4条规定，凡是不符合第1、2和3条要求的符号串就不是命题公式。
由形成规则可知，命题公式都是从原子命题出发，运用联结词一步步构造形成的。一个命题公式无论它的形式多么复杂，它总是由有限个命题变元，运用5个联结进行有限次组合而逐步构造而成的。
由于命题变元是公式，联结词组合变元得到的还是公式，因此，构造过程中的每一步都将得到一个新的，形式更复杂的命题公式。这意味着命题公式总是由命题公式构造而成的。我们把作为一个命题公式构成部分的公式叫做该命题公式的子公式。例如命题公式
( (p ∧? q ) ∨ r ) ? ( ( ?p ∨ r ) ? ( q ? s ) )
首先，它有4个变元，即有4个原子公式
p、q、r、s
我们运用联结词“?”得到子公式
?p、?q
再运用联结词“∧”、“∨”和“?”得到新的子公式
(p ∧? q )、( ?p ∨ r ) 、( q ? s )
再运用联结词“∨”和“→”得到更复杂的子公式
( (p ∧? q ) ∨ r )、( ( ?p ∨ r ) ? ( q ? s ) )
最后运用联结词“→”将2个子公式联结起来就得到上述命题公式。
形成规则还给我们提供了一个标准，根据它可以判定任一符号串是不是命题公式。例如，如下各符号串就不是命题公式：
pq∧r，p?q，p∧→q r
必须指出的是，如果说命题公式是构造出来的，那么具体命题与命题公式是怎样的关系呢？从逻辑的角度看，具体命题只是命题公式的例示，即命题公式的一个特例。如下具体命题都是命题公式“（p∧q）→r”的例示：
如果加温到了一定限度并且加压到一定限度，那么空气可以液化。
如果考试合格并且体验合格，那么就可以上大学。
3．2 命题公式间的逻辑等值关系
给定有限个命题变元，可以构造出无限多个命题公式。例如，给定p和q，可以无限多次运用联结词和括号，构造出无限多个命题公式。
由p和q构成的命题公式其真假是由p和q的真假决定的，这就相当于函数式的值是由构成函数式的变元值决定的，因此一个命题公式就相当于一个真值函项。由于p和q的真假组合情况有22种即4种。而在每一种情况下，每个真值函数或者为真或者为假，因此，由p和q只能构造出有限多个真值函项。这意味着实际上总有若干个不同的命题公式相当于同一个真值函项。这些命题公式尽管形式各不相同，由于它们表示的是同一个真值函项，无论构成公式的变元取什么样的值，这些公式要真都是真的，要假都是假的。由于这些表达同一真值函项的公式在任何情况下都具有相同的逻辑值，因此我们称这些公式是逻辑等值的公式。
由此可见，两个命题公式是逻辑等值的，那么它们一定有共同的命题变元，并且无论构成公式的变元取什么值，两个公式要真都真，要假都假。例如，命题公式“?p∨?q”与“?（p∧q）”是逻辑等值的。两个公式虽然形式不同，但它们有共同的变元p和q，并且从下列真值表可见，在变元的每一取值组合下两个公式都有相同的逻辑值：
p q ?p ?q p∧q ?p∨?q ?（p∧q）
T T F F T F F
T F F T F T T
F T T F F T T
F F T T F T T
这个例子说明，真值表给我们提供了一种方法，我们可以运用它来判定任意两个有共同变元的公式是否逻辑等值。
例1 判定命题公式“(p∧q)→r”与“p∨(q→r)”是否逻辑等值。
证：建立真值表如下
p q r p∧q q→r (p∧q)→r p∨(q→r)
T T T T T T T
T T F T F F T
T F T F T T T
T F F F T T T
F T T F T T T
F T F F F T F
F F T F T T T
F F F F T T T
从真值表的最后两行可见，两个公式不是逻辑等值的。
如果两个公式是逻辑等值的，如上面已证明的“?p∨?q”和“p∧q”，那么以这两个公式为子公式构造一个等值式
（?p∨?q?）?（p∧q）
这个等值式是恒真的，因为两个子公式总是等值的，等值式不可能假。由此可推知，一个等值式是重言式，那么它的两个子公式逻辑等值。
如果一个等值式是重言式，那么我们就用符号“?”代替等值联结“?”。公式“? ? ?”表示 ? 和 ? 逻辑等值，即“ ?”是重言式。因此我们有
（?p∨?q?）?（p∧q）
4．2 几个重要的重言等值式
这里我们将讨论几个重要的重言等值式，它们在证明推理有效性中发挥着重要的作用。
1、交换律 (p∧q) ? (q∧p)
(p∨q) ? (q∨p)
由于合取式只在每个支公式都真才真，只要有一个子公式假就假；而析取式只在每个子公式都假时才假，只要有一个子公式真就真。因此，合取式或析取式的两个子公式可以任意交换位置，对公式的逻辑值没有影响。
2、 结合律 ((p∧q)∧r) ? (p∧(q∧r))，
((p∧q)∧r) ? (p∧(q∧r))
结合律指出，对于多重的合取式和析取式来说，括号的位置不同并不影响公式的真假。因为无论括号在什么位置，一个合取式真当且仅当每个子公式都真，而一个析取式假当且仅当每个子公式都假。
3、 摩根律 ? (p∧q) ? (?p∨?q)，
? (p∨q) ? (?p∧?q)
德摩根律指出，否定一个合取式当且仅当至少否定它的一个合取支，而否定一个析取式当且仅当否定它的每一个析取支。我们前面已经用真值表证明了合取式的情况，关于析取式可做类似的证明
4、 分配律 (p ∧ (q ∨ r)) ? ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))，
(p ∨ (q ∧ r)) ? ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
现在用真值表证明其中的一条，另一条的证明可参照进行。
p q r q∨r p∧q p∧r p∧(q∨r) ? (p∧q) ∨ (p∧r)
T T T T T T T T T
T T F T T F T T T
T F T T F T T T T
T F F F F F F T F
F T T T F F F T F
F T F T F F F T F
F F T T F F F T F
F F F F F F F T F
5、实质蕴涵 (p→q) ? (?p∨q)
用真值表对其进行验证：
p q ?p p→q ? ?p∨q
T T F T T T
T F F F T F
F T T T T T
F F T T T T
6、假言易位 (p→q) ? (?q →?p)
假言易位指出，如果p蕴涵q，那么非q就蕴涵非p，即前件是后件的充分条件，当且仅当后件就是前件的必要条件。用真值表可以验证两个公式逻辑等值：
p q ?p ?q p→q ? ?q →?p
T T F F T T F
T F F T F T F
F T T F T T T
F F T T T T T
7、移出律 ((p∧q)→r) ? (p→(q→r))
用真值表可以验证两个公式逻辑等值：
p q r p∧q q→r ((p∧q)→r) ? (p→(q→r))
T T T T T T T T
T T F T F F T F
T F T F T T T T
T F F F T T T T
F T T F T T T T
F T F F F T T T
F F T F T T T T
F F F F T T T T
8、实质等值 (p?q) ? ((p→q) ∧ (q→p))
用真值表可以验证两个公式逻辑等值：
p q p→q q→p p?q ? （(p→q) ∧ (q→p)）
T T T T T T T
T F F T F T F
F T T F F T F
F F T T T T T
9、双否律 p ? p
双否律指出，一个公式与对该公式的否定之否定逻辑等值。两个公式的逻辑等值是显然。
10、重言律 p ? (p∧p)
p ? (p∨p)
可以用真值表判定这两个公式逻辑等值：
p p∧p p∨p p ? (p∧p) p ? (p∨p)
T T T T T
F F F T T
我们讨论了10组重言等值式。它们在命题演算中有重要作用。
4．3 命题联结词的相互定义
两个命题公式逻辑等值意味着它们表达同一个真值函项，而两个具体命题逻辑等值意味着两个命题描述的是同一个事件，因此它们都可以相互交替使用。如
（1）“如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。”
设“李司是犯罪嫌疑人”为 p，“李司有犯罪动机”为q，命题（1）的逻辑形式是“p→q”。根据实质蕴涵律“(p→q) ? (?p∨q)”，命题（1）等值于形式为“?p∨q”的命题
（2）“或者李司不是犯罪嫌疑人，或者李司有犯罪动机。”
又根据德摩根律“? (p∨q) ? (?p∧?q)”可推知“(p∨q) ? ? (?p∧?q)”。用“?p”代替“p”得到“(?p∨q) ? ? ( p∧?q)”。最后根据双否律“p ? p”可推知“(?p∨q) ? ? (p∧?q)”。即形式为“ ?p∨q ”的命题（2）等值于形式为“? (p∧?q)”的命题
（3）“并非李司是犯罪嫌疑人并且李司没有犯罪动机。”
虽然命题（1）、（2）和（3）的逻辑形式不同，但它们所例示的命题公式是逻辑等值的，
(p→q) ? (?p∨q) ? ? (p∧?q)
因此这三个命题是逻辑等的，它们描述的是同一个事件。如果描述符合事实，三个命题都是真的，如果不符合事实，则三个命题都假。因此，在人们日常交往以及在推理中，这三个命题可以相互进行替换。
我们在前面已经证明，如果两个命题公式逻辑等值，那么它们表达同一个真值函项，它们在任何情况下的逻辑值都是一样的，完全可以相互任意替换使用。因此，我们在表达时可以只取其中的一个公式，而另一个公式则用所取公式来定义。
我们在讨论复合命题的基本形式时就是这样做的。本来有两种基本的选言命题形式，即相容的选言命题“p∨q”和不相容的选言命题“p∨q”。由于后者可以用“(p∨q) ∧?(p∧q)”来定义，我们就只取了“p∨q”作为选言命题的基本形式。
条件命题也是如此。本来有充分条件和必要条件这样两种不同的条件命题，由于必要条件联结词“?”可以用充分条件“?”来定义，我们就只取了“?”。
