1. 1 推理的有效性
推理是一个包含特殊词项的命题集合，根据这样的词项，我们可以区分出前提和结论。例如：
（1）如果张珊是中国公民并且她有选举选，那么她年满18岁。张珊是中国公民，但是她还没满18岁。所以，张珊没有选举权。
（1）是由三个命题构成的集合，它中间出现了特殊词项“所以”。由此我们把在“所以”前面出现的两个命题称作前提，我们由这两个前提推导出结论“张珊没有选举权”。因此这个命题集合是一个推理。
显然，作为推理的命题集合与一般的命题集合不同，它的元素的排列是有序的。排列在前面的是前提，排列在最后的一个是结论。因此推理是一个命题序列。推理描述的是一种推演关系，即作为结论的命题是由前提推导出来的，结论的真或可靠性依赖于前提。在（1）中，结论“张珊没有选举权”是否为真依赖于两个前提。
如果前提真时结论必然是真的，我们就称前提和结论之间有必然的逻辑联系。这种联系保证了推理决不会出现前提真而结论假的情况。因此，可以由前提的真来保证结论真，由前提可靠有效地推演出结论的可靠。前提和结论之间具有必然逻辑联系的推理就是有效推理。
如果前提和结论之间不具有必然的逻辑联系，那么前提真时结论是否为真不能确定，即不能由前提的真有效地推导出结论真，这样的推理就是无效推理。
推理的有效性是由推理的形式决定的。它表现为作为前提的命题同作为结论的命题之间的一种逻辑关联性，这种逻辑关联取决于构成推理的命题的形式结构特征。从（1）看，令p表示命题“张珊是中国公民”，q表示“张珊有选举权”，r表示“张珊年满18岁”，（1）的形式如下，
（2） ( p ∧ q ) → r
p ∧ ? r
∴ ? q
由（2）可见，（1）的第一个前提形式为蕴涵式“( p ∧ q ) → r”，第二个前提的形式是合取式“p ∧ ? r”。假定这两个前提都真，那么根据合取式的逻辑特征：p ∧ ? r 真时p和? r都真；而? r真时根据否定式的特征：r为假。r是蕴涵式 ( p ∧ q ) → r的后件，该蕴涵式是真的，根据蕴涵式的逻辑特征：其后件假则前件必假，因此p ∧ q是假的。再由合取式逻辑特征：合取式假其合取支至少有一个假，既然p是真的，q就一定假，因此? q必真。? q是结论的形式，因此，当（1）的前提真时结论必真。（1）是一个有效推理。
推理的有效性只能从推理的形式上去分析，而内容各异的种种具体推理则只是推理形式的代换实例，简称为例示。因此，（1）是（2）的一个例示，如下推理也是（2）的一个例示：
（3）如果这种商品价格低廉并且品质优良，那么它就能够畅销。
该商品确实价格低廉，但是它不畅销。
所以，这种商品品质不优良。
（3）是用具体命题“这种商品价格低廉”代换（2）中的变元p，用“这种商品品质优良”代换q，用“这种商品畅销”代换r而得到的一个具体命题。
必须注意，一个具体推理是某个推理形式的代换例示，那么它必须符合对代换的要求：代换必须是处处进行。
所谓代换处处进行是指，用一个具体命题对一个变元进行代换，对该变元的每一处出现都必须用这同一个命题来代换。在上述命题形式（2）中，每个变元都出现了两次，（1）和（3）是（2）的代换例示，因为它们对（2）中的每个变元的每次出现都是用同一个具体命题代换的。
现在可以给出有效推理的定义：
有效推理的定义 设命题序列Γ=〈p1，p2，…，pn，q〉是一个推理形式，其中p1，p2，…，pn是前提，q是结论。Γ是一个有效的推理式，当且仅当，Γ的每一代换实例都使得：如果p1，p2，…，pn真那么q真。Γ是无效推理式，如果至少有一个Γ的代换实例使得：p1，p2，…，pn真但q假。
如下就是一个无效的推理形式：
（4） ( p ∧ q ) → r
p ∧ ? q
∴ ? r
（4）所以无效是因为我们可以找到一个该推理形式的例示，使得它前提真而结论假。假定李司是一个被剥夺了政治权利的成年中国公民，那么如下推理是（4）的一个例示，它的前提真而结论假：
如果李司是中国公民并且他有选举选，那么他年满18岁。李司是中国公民，但是他没有选举权。所以，李司还没满18岁。
2．2 基本的有效推理式
根据基本命题公式的逻辑特征可推知如下一些推理形式是有效的。
1、 根据合取式的逻辑特征
合取式的逻辑特征指出：一个合取式真，当且仅当两个支命题都真。由此可得到有组合式和分解式两种有效的推理形式。
组合式（简记为∧+）
p
q
∴p∧q
简化式（简记为∧-）
p∧q
∴ p
显然，这两个推理形式都不可能由真前提推出假结论,因此它们都是有效式。如下是这两个推理形式的例示：
“菊花可以观赏。菊花可以入药。所以，菊花既可观赏又可入药。”
“当事人订立的合同既有书面形式又有口头形式。所以，当事人订立的合同有书面形式。”
2、 根据析取式的逻辑特征
析取式的逻辑特征指出：一个析取式真，当且仅当两个支命题至少有一个真，因此有选言三段论和附加式两个有效推理式。
选言三段论（简记∨-）
p∨q
?p
∴q
附加式（简记∨+）
p
∴ p∨q
如下是选言三段论的例示：
“拍卖的物品是委托人所有的或者是委托人依法可以处分的。该拍卖物品不是委托人所有的。所以，该拍卖物品是委托人依法可以处分的。”
选言三段论的有效性是显然的。一个析取式是真的，那么其析取支至少有一个真。因此，由p∨q和?p为真推出q必为真。因为如果q不是真的则p∨q也不可能真，这与p∨q为真的假定是矛盾的。
但是由p∨q和p为真，却推不出q的真假，因为析取式只要有一个析取支真就是真的。因此，当p∨q和p为真时，q可以是真的也可以是假的，即q的真假无法确定。所以，否定析取式的一个析取支必然推出肯定其另一个析取支的结论，但肯定析取式的一个析取支却推不出关于另一个析取支的结论。如下推理式是无效的：
p∨q
p
∴?q
至于附加式在日常思维中用得很少，但在推理有效性证明中这个推理式有重要作用。
3、根据蕴涵式的逻辑特征
一个蕴涵式只在前件真后件假时才是假的。因此，有分离式、逆分离式和假言三段论等三个有效式。
分离式（简记MP）
p → q
p
∴ q
如下是这个推理式的代换实例子：
如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪动机。王武是犯罪嫌疑人。所以王武有犯罪动机。
分离式的有效性是显然的。一个蕴涵式是真的，那么其前件真时后件必真。因此，由p→q和p为真一定推出q为真。因为如果q不是真的，那么要么p→q不是真的要么p不可能真。这与p→q和p为真的假定相矛盾。
但是，由p→q和q为真，却推不出p的真假。因为如果一个蕴涵式的后件真，那么无论其前件真还是假该蕴涵式都真。因此，当p→q和q为真时， p可以是真的也可以是假的，即p的真假无法确定。因此，肯定蕴涵式的前件必然推出肯定其后件的结论，但肯定其后件却推不出关于前件的结论。如下推理式是一个无效式：
p → q
q
∴ p
逆分离式（简记MT）
p → q
?q
∴ ?p
如下是逆分离式的例示：
如果天在下雨，那么地是湿的。外面的地不是湿的。所以，天没有下雨。
逆分离式的有效性也是显然的。一个蕴涵式是真的，那么其后件真时前件必真。因此，由p→q和?q为真一定推出?p为真。因为如果?p不是真的，即如果p不是假的，那么要么p→q不是真的要么?q不可能真。这与p→q和?q为真的假定是矛盾的。
但是，由p→q和?p为真，却推不出q的真假。因为如果一个蕴涵式的前件假，那么无论其后件真还是假该蕴涵式都真。因此，当p→q和?p为真时，q可以是真的也可以是假的，即q的真假无法确定。因此，否定蕴涵式的后件必然推出否定其前件的结论，但否定其前件却推不出关于后件的结论。如下推理式是无效的：
p → q
? p
∴ ? q
假言三段论（简记HS）
p → q
q → r
∴ p → r
根据蕴涵式的逻辑特征，假言三段论不可能由真前提推出假结论,因此它是一个有效式。如下是这个推理形式的例示：
如果这种商品定价过高，那么将使企业丧失部分销售市场。如果企业丧失了这部分销售市场，那么企业销售额将受到严重影响。所以，如果这种商品定价过高，那么企业销售额将受到严重影响。
4、二难推理
我们将讨论的最后一个基本的有效推理式是二难推理。
二难推理（简记CD）
(p→q) ∧ (r→s)
p∨r
∴ q∨s
二难推理的一个前提是合取式，其合取支是蕴涵式。另一个前提是析取式，两个析取支分别是对两个蕴涵式前件的肯定。结论也是一个析取式，两个析取支分别肯定了两个蕴涵式的后件。
由合取式、析取式和蕴涵式的逻辑特征可推知二难推理是一个有效的推理式。
假定两个前提真，那么由(p→q) ∧ (r→s)真根据合取式的逻辑特征可知：p→q和r→s都真。由p∨r真根据析取逻辑特征可知：p和r至少有一个真。p和r分别是蕴涵式p→q和r→s的前件，根据蕴涵式的逻辑特征，蕴涵式真时前件真后件必真，因此q和s至少有一个真。由此根据析取式的逻辑特征可知：q∨s必真。
如下推理式是二难推理的变形，又被称作二难推理的破坏式，显然它也是有效的：
(p→q) ∧ (r→s)
?q∨?s
∴ ?p∨?r
这个推理式所以叫做二难推理，是因为它可以揭示我们日常思维中隐涵的一些问题。以这些有问题的思想作前提，可以推出我们不能接受的结论，或者是使我们进退维谷的结论。著名的“半费之讼”充分体现了二难推理的这一特点。
传说古希腊的爱瓦梯尔曾拜著名辩者普洛太哥拉斯为师学习法律。关于学费二人订立了这样契约：学费分两次交清，开始学习时只交一半，另一半在学生第一次出庭胜诉后再交。
学生爱瓦梯尔学完后走了，很久也不交剩余的另一半学费。老师普洛太哥拉斯很生气，他告诉爱瓦梯尔要向法庭起诉他。
爱瓦梯尔回答说：如果你真的起诉我，我就可以不交那些学费了。
普洛太哥拉斯问：为什么？
爱瓦梯尔说：如果我胜诉，那么根据法庭判决，我可以不交那些学费；如果我败诉，这是我第一次出庭，那么根据契约，我也可以不交那些学费。或者我胜诉，或者我败诉。总之我可以不交那些学费。
普洛太哥拉斯反驳说：你错了。如果我真的起诉，你就必须交那些学费。
爱瓦梯尔问：为什么？
普洛太哥拉斯说：如果是我胜诉，那么根据法庭判决，你必须交那些学费；如果是我败诉，当然就是你胜诉，既然你是第一次出庭，那么根据契约，你也必须交那些学费。或者我胜诉，或者我败诉。总之你必须交那些学费。
我们看到，同一个契约并且同一个法庭，学生和老师运用相同的推理形式却推出了相互否定的结论。推理形式是有效的，两个推理都是二难推理的正确例示，问题只能出在前提上。实际上关于学费的这个契约是有问题的，它忽略了一种情况，即第一次出庭的当事人正是签订契约的当事人。由这个契约一定会导致这样的二难结局。
“半费之讼”说明，要推出可靠的结论，首先要求推理形式是有效的，形式无效的推理其结论一定不可靠。但是，形式有效的推理结论是否可靠还有赖于前提，如果前提象关于学费的契约那样是有问题的，结论也不一定可靠。因此，要推出可靠的结论不仅要求推理形式有效，还要求推理的前提可靠。
至此，我们讨论了八个基本的有效推理式。显然，构成推理式的基本命题公式的逻辑特征决定了这八个推理式的有效性。
