在我们前面讨论的命题逻辑中，构成推理的基本要素是复合命题。复合命题由原子命题和联结词构成，而在命题逻辑中，推理有效性只同联结词相关，与构成复合命题的原子命题内部的逻辑结构无关。有一些推理则不同，它们不仅与联结词相关，而且同原子命题内部的逻辑结构密切相关。如果不注意这两种推理的区别，仅仅根据联结词的逻辑性质进行分析，则无法对推理的有效性做出恰当的说明。例如
（1）文学家的著作都是有价值的；
鲁迅是文学家；
所以，鲁迅的著作是有价值的。
（1）是由两个前提和一个结论构成的演绎推理。它的前提和结论都是简单命题，没有联结词。因此，它的推理形式为：
P
q
∴γ
如果用命题逻辑理论分析，很容易为这个推理形式找到一个使其前提都真而结论假的代换实例，从而证明它是无效的。
但是，推理（1）是一个有效推理。在这里，命题逻辑的分析方法之所以是错误的，因为它只把简单命题看作一个整体，它不能分析简单命题内部的逻辑结构，也就不可能分析说明（1）的有效性。因此，要解决推理（1）的有效性问题，就必须突破命题逻辑的局限，把逻辑分析深入到简单命题内部的结构。
虽然三段论推理也是建立在分析简单命题逻辑结构基础上的，但三段论的分析方法不适用于推理（1）。一个三段论推理只能包含三个词，而推理（1）包含有五个词项：“文学家的著作”、“有价值的”、“鲁迅”、“文学家”以及“鲁迅的著作”。这意味着我们需要做的不是回到三段论去，而是要以命题逻辑为基础进行理论扩展，以进入到一个新的逻辑理论——量化谓词逻辑。
1． 1 个体词和谓词
如何分析简单命题呢？我们首先从单称命题开始分析。先考虑结构最简单的一种单称命题：即直言命题中的单称命题。直言命题是以一个主语和一个谓语为构成要素的性质命题。单称直言命题也是如此，它有一个主语和一个谓语，但单称命题的主语是单独词项。单独词项指称的是一个特定的个体，在谓词逻辑中，指称个体的词项被称作个体词。因此，单称直言命题是主语是个体词的直言命题。如下就是几个单称直言命题：
（2） 张珊是中国人。
（3） 地球是行星。
（4） 中国是发展中国家。
在命题逻辑中，简单命题被当作一个最基本单位处理，所以这三个命题只须笼统地用三个不同的大写字母P、Q、R表示。谓词逻辑则不同，我们必须区分每个命题的个体词和谓词。我们用小写字母a、b、c分别表示个体词“张珊”、“地球”、“中国”；用大写字母P、Q、R分别表示谓词“是中国人”、“是行星”和“是发展中国家”，并规定代表个体词的a、b、c一律写在代表谓词的P、Q、R的右下角（作为下标）。这样，命题（2）、（3）和（4）的逻辑形式分别示为如下的（2*）、（3*）和（4*）：
（2*）Pa
（3*）Qb
（4*）Rc
个体词就是指称个体的词项。谓词则是刻划个体的性质或个体间的关系的词项。如在命题（2）中，“是中国人”这个谓词是刻划了“张珊”这个个体具有的性质，命题（3）中，谓词“是行星”刻划了“地球”这个个体的性质。至于个体之间的关系，请看如下实例：
（5） 小张和小李是同乡。
（6） 3大于2，
（7） 武汉位于上海与重庆之间
命题（5）的谓词“…和…是同乡”（用F表示）刻划两个人（用a、b表示）之间的关系。命题（6）的谓词“…大于…”（用B表示）刻划两个数（用c、d表示）之间的大小关系。命题（3）中的谓词“…位于…与…之间”（用T表示）刻划三个城市（用e、f、g表示）间的地理位置关系。这三个命题的逻辑形式如下：
（5*） F（a，b）
（6*） B（c，d）
（7*） T（e，f，g）
在上述公式中，个体符号出现的顺序是不能随意更换。固然“小张和小李是同乡”为真，且“小李和小张是同乡”也为真，但是“3大于2”是真的而“2大于3”却是假的。“武汉位于上海与重庆之间”是真的，但“上海位于武汉与重庆之间”是假的。
刻划个体性质的谓词叫一元谓词，刻划两个个体之间的关系、三个个体关系的分别叫做二元谓词和三元谓词，……。以至于刻划n个个体间关系叫做的n元谓词。
任何单称命题都有个体词和谓词两个构成要件，单独一个谓词不具有完整的意义。因为个体都是具有某种性质或处在某种关系之中的个体，而任何性质或关系也都是依存于个体的。象“是中国人”、“是行星”、“位于…与…之间”等这样单独的谓词都没有表达出完整的意义，我们总要问谁是中国人？什么东西是行星？谁位于谁和谁之间？等等。只有把谓词同个体相结合，如把“是中国人”同个体词“张珊”相结合，把“位于…与…之间”同个体词“武汉”、“上海”和“重庆”相结合，才得到有完整意义的命题“张珊是中国人”以及“武汉位于上海与重庆之间”。
然而谓词在简单命题逻辑形式中具有很重要的作用。我们分析如下命题
“张珊是学生，”
“李司是学生，”
“王武是学生，”
这几个命题有相同的谓词“是学生”，尽管它们的主词不同，我们还是可以说它们是同类型的命题，即都描述的是个体具有“学生”的性质。用“x”代表任一个体词，“S（…）”表示“…是学生”，那么这几个命题具有共同的谓词模式
“S（x）”。
谓词模式“S（x）”中的“x”与前面讨论过的代表特定个体的个体词不同，它代表任意一个个体，究竟是哪一个不确定，因此被称作个体变元。而指称特定个体的个体词则用“a，b，c”等表示，称作个体常元。
变元只有相对特定的变域即定义域才有意义，个体变元的定义域称作个体域。个体域说明变元代表什么范围内的个体。个体域可以是有限的，如由一个系所有480名学生构成的个体域，由中国所有城市构成的个体域，等等；也可以是无限的，如由全部自然数构成的个体域，由所有人构成的个体域，等等。如果没有特别说明，个体变元的定义域就是客观存在的所有个体。
1．2 谓词公式与命题函项
如果用“H（…）”表示“…是行星”，谓词模式“H（x）”表示的是：
x是行星。
显然这个表达式的涵义是不确定的，因为个体变元x 的指称不确定。当我们把个体变元代换为个体常元如“地球”时，就可以得到一个真命题：
“地球是行星”。
如果用个体常元“太阳”代换变元x，得到的就是一个假命题：
“太阳是行星”。
因此，谓词模式“H（x）”就相当于一个函数式，公式的值随变元的值而确定。这个函数式变元是个体变元，因此函数式的定义域是个体域。确定变元的值即用个体常元代换个体变元，得到的是或真或假的单称命题。因此，这个函数式的值域是一个单称命题的集合。谓词模式又称作谓词公式，它是一个以个体域为定义域，以单称命题集合为值域的函数式，我们称这样函数式为命题函项。
谓词公式不是命题。一个命题的真假是确定的，“地球是行星”为真，“太阳是行星”为假。而谓词公式却没有确定的真假，我们无法确定“x是行星”是真还是假，因为“x”是什么不确定。
从认识的角度看，谓词公式即命题函项是从具体的单称命题中抽象出来的。但是从逻辑的角度看，单称命题是个体常元代换谓词公式中的个体变元得到的，单称命题是谓词公式的代换实例。命题
“地球是行星”，
“太阳是行星”，
“月亮是行星”，
“金星是行星”，
等都是谓词公式“H（x）”的代换实例，简称为谓词公式的例示。
谓词公式可以是简单的，如“H（x）”，“S（x）”等都是简单的谓词公式。简单谓词公式即不包含命题联结词的谓词公式。由简单谓词公式运用联结词可以得到复合的谓词公式，如下都是复合的谓词公式：
? H（x）
H（x）∧ S（x）
（H（x）∧ S（x））→ T（x）
如果只有一个个体符号，谓词公式中的括号可以省略，即“H (x)∧S(x)”可简写为“Hx ∧ Sx”。
显然，复合谓词公式的例示是复合的单称命题。“Px → Qx”的例示则是“Pa→Qa”。令“Px”表示“x是年满18岁的中国人”，“Qx”表示“x有选举权”，“a”表示“张珊”，“Pa→Qa”表示的就是：
“如果张珊是年满18岁的中国人，那么张珊有选举权”。
1．3 量化命题
前面介绍的简单命题是单称命题，其主语是单独词项，只涉及个体词和谓词。但是更多简单命题主词不是单独词项而是普遍词项，它们涉及到的是许多多个体，因此涉及到量词问题。我们把包含量词的命题称作量化命题。
首先看量化命题与单称命题的区别。如下是一个单称命题：
“地球是运动的。”
我们用 Px表示谓词“x是运动的”，a表示“地球”。此命题的逻辑形式为：
Pa
但是象如下全称命题：
“每一个物体都是运动的。”
其逻辑形式就要复杂得多，它表达的涵义可分析为：
“对于每一个体x，x都是运动的”。
引入谓词公式来表示，即
“对于每一x，Px”。
上式中的短语“对于每一x”表达的就是全称量词，我们用符号“?x”表示。由此，全称命题“每一个物体都是运动的”可以形式化为
(?x) Px
再看另一个量化命题：
“有些物体是运动的”。
逐步深入地分析该命题的逻辑形式，可得到：
“存在这样的个体x，x是运动的”，
“存在着x，Px”。
上式中的短语“存在着x”表达的就是存在量词，我们用符号“?x”表示。命题“有些物体是运动的”因此被称作存在命题，其逻辑形式为
(? x) Px.。
有两个不同的量词，它们分别是全称量词“?x”和存在量词“?x”。因此，有两类不同的量化命题，即基本形式为“(?x) Px”的全称量化命题和基本形式为“(? x) Px”的存在量化命题。
对量化命题的逻辑结构进行分析我们不难看到，量化命题是通过对一个谓词公式中的个体符号进行量化概括得到的。全称命题“(?x) Px”是对谓词公式“Px”中的个体符号“x”进行全称概括得到的，存在命题“(? x) Px”则是对“Px”中的“x”进行存在概括得到的。
由此我们看到，谓词公式在简单命题逻辑形式中发挥着关键要素。单称命题是谓词公式的例示，而量化命题则是对谓词公式中的个体符号进行概括得到的。例如，有谓词公式
“Px → Qx”。
用个体常项“a”代换谓词公式中的个体变项“x”，就得到单称命题
“Pa → Qa”。
对谓词公式的“x”进行全称概括，就得到全称量化命题
“(?x) (Px → Qx)”。
1．4 量化逻辑的公式
同命题逻辑中我们已经讨论过的情况一样，从认识的角度看，量化命题公式是从具体命题中抽象出来的。但是从逻辑的角度看，量化命题公式是构造出来的，是用基本符号，又叫做初始符号，根据形成规则构造出来的。
但是量化命题公式的初始符号不同命题逻辑中的初始符号。在量化理论中，命题公式是以个体符号、谓词、量词为基础，再加上命题联结词构造而成的。而个体符号、谓词和量词这些符号是命题逻辑中所没有的，而命题联结词沿用于命题逻辑。这意味着命题逻辑中的公式在量化理论中仍然是公式，因此，量化谓词逻辑被称作命题逻辑的扩展。而扩展后的量化逻辑有了许多不同于命题逻辑的特殊性质。
一、一阶量化逻辑公式的初始符号和形成规则
现在讨论量化谓词逻辑的初始符号与形成规则。
一、初始符号
量化谓词逻辑有如下几类初始符号：
① 个体符号{
② 谓词符号： F1，… Fi，…，F1n，…, Fin, …
③ 逻辑联结词：～，∧，∨，→，?；
④ 量 词： ?，?；
⑤ 辅助符号： （ ， ）。
量化谓词逻辑初始符号与命题逻辑不同，它的个体符号、谓词符号和量词命题逻辑没有。如果只把个体符号中的个体变元看作变元，就得到一阶量化逻辑。本教材只讨论一阶量化逻辑，简称一阶逻辑，因此它的变元是个体符号。
②类符号是谓词符号。对于任一n≥1，Fn表示n-元谓词。当n = 1时，Fn是一元谓词，表示个体具有的性质。当n＞1时，Fn是n-元谓词，表示n个个体间的关系。
③类符号是命题联结词，它们也是命题逻辑的初始符号。④类符号是量词，?是全称量词，?是存在量词。用量词对谓词公式中的个体符号进行概括就得到量化公式。辑辅助符号是构造一阶逻辑的公式所必需的。
并非所有用上述初始符号构成的表达式都是一阶量化逻辑的公式。一个表达式是否一阶量化逻辑的公式只能从形式上来判定，形成规则提供了判定的标准。形成规则规定了怎样用量化逻辑的初始符号构造合式的一阶量化逻辑的公式。只有符合形成规则要求的表达式才是一阶量化逻辑公式。
讨论形成规则前首先引入原子谓词公式概念。我们前面已经讨论过谓词公式，并指出谓词公式是很重要的一个概念，它是单称命题和量化命题的基本构成要素。谓词公式是由n元谓词同n个个体符号组合而成的，若n=1则谓词公式被称作一元谓词公式。为了统一起见，我们把命题看作n元谓词公式的特殊情况：零元谓词公式，即把命题理解为不含个体变元的谓词公式。
如果谓词公式中不含有任何③、④类符号，我们就称这个谓词公式是原子公式，即原子谓词公式是不包含联结词和量词的n元谓词公式。其形式为
Fn（xl，x2，…，xn）。
如下都是原子谓词公式：
P（x），
Q（x，y），
P（a，x），
R（x，b，z）。
现在可以给出一阶量化逻辑公式的形成规则：
一阶量化逻辑公式的形成规则：
① 所有原子谓词公式是公式；
② 如果Φ是公式，则～Φ也是公式；
③ 如果Φ、Ψ是公式，则（Φ∧Ψ）、（Φ∨Ψ）、（Φ→Ψ）、（Φ?Ψ）也是公式；
④ 如果Φ是公式，x是个体变元，则（?x）?，（? x）?也都是公式；
⑤ 只有符合以上各条的才是公式。
根据形成规则，如下表达式
（?x），（? x）?P，(?x)∧P(x)
都不符合一阶逻辑公式形成规则的要求，因而不是一阶逻辑公式。
而“Px”符合第①条；“?Px”符合第②条，“? Px∧Qx”符合第③条，“（?x）Px”符合④条，因而都是公式。
二、自由变元与约束变元。
根据形成规则得到的一阶逻辑公式并不都是命题。为理解命题公式与谓词公式的区别，我们引入“辖域”概念。在量化公式中紧随在量词后出现的最短公式叫做该量词的辖域。如下两个公式
（1）?x (Px ? Ox)
（2）?x Px ? Ox
量词“?x”在公式（1）中的辖域是（Px ?Ox），在公式（2）中则是Px。
如果一个个体符号既作为量词组成部分出现并且还在量词辖域内出现，我们就称该个体符号是约束出现的，否则称其为自由出现的个体符号。个体符号x在公式（1）中出现了三次，一次是作为全称量词?x的组部分出现，另外两次都出现在量词的辖域内，因此它们都是约束出现的。x在公式（2）中也出现了三次，但只有在“?x Px”中的两次是约束出现，在“Ox”中的出现则是自由出现。
由于在一阶谓词中个体符号是变元，自由变元，就是在公式中至少有一次自由出现的变元；约束变元，就是在公式中全部都是约束出现的变元。
显然，在公式（1）中，x是约束变元。而在公式（2）中，x在Px中是约束变元，在Qx是自由变元。
在一阶逻辑的公式中，个体符号可以是约束出现的也可以是自由出现的，因此一阶逻辑公式就有了闭公式和开公式的区分。我们把所有个体符号都约束出现，即不包含自由变元的公式叫做闭公式。而包含有自由变元的公式就称做开公式。显然，上述公式（1）是闭公式，公式（2）是开公式。
只有闭公式才是命题公式，开公式不是命题公式。因此，（1）是一个命题公式，（2）不是命题，是一个谓词公式。
1．5 量化命题的真假问题
量化命题与谓词公式不同。谓词公式是命题函项，它无所谓真假；而量化命题作为是命题，它有确定的真假。由于量化命题与谓词公式，以及谓词公式与其例示单称命题之间的密切相关性，我们可以联系谓词公式的例示来讨论量化命题的真假问题。
量化命题的真假条件如下：
一个全称量化命题 (?x) ?x 是真的，当且仅当，命题函项“?x”的所有例示都真；如果“?x”的例示有一个假，(?x) ?x 就是假的。
一个存在量化命题 (?x) ?x 是真的，当且仅当，命题函项“?x”的例示至少有一个真；如果“?x”的所有例示都假，(?x) ?x 就是假的。
命题函项“?x”的例示即单称命题，它是用个体常项代换命题函项中的变元“x”得到的。命题函项“?x”的所有例示都真，说明用个体域的任一个体代换“?x”中的“x”都得到真的单称命题。因此，“对任一x，总有?x”是真的。即“(?x) ?x”是真的。如果“?x”的例示至少有一个是假的，这意味个体域中存在这样的个体，用它去代换“x”得到一个假命题。这意味着 “对任一x，总有?x”不可能是真的，即“(?x) ?x”是假的。
例如，我们把个体域解释为“所有金属的集合”，把“?x”为“x是导体”。在这个解释下，“?x”的所有例示为真。因为用任何一种金属去代替“x是导体”中的个体变元x都得到一个真命题。即：
金是导体，
银是导体，
铜是导体，
……
总之，任何一种金属都是导体，即对金属这个个体域的任一个体而言，它总是导体。因此，就金属这个个体域而言，“任何x，x是导体”是真的，即“(?x) ?x”是真的。
但是，如果把“?x”解释为“x是液体”，由于存在着不是液体的金属，如铁。用“铁”代换“?x”中的“x”，得到的就是假命题“铁是液体”。因此，就金属这个个体域而言，“任何x，x是液体”是假的，即“(?x) ?x”是假的
我们分析了全称命题的真假条件。对存在命题而言，命题函项的例示至少有一个真，说明个体域中存在着的这样的个体，用其代换“x”将得到一个真命题。因此，“存在x，使得?x”是真的，即“(?x) ?x”是真的。如果“?x”的所有例示都是假的，就说明个体域中不存在这样的个体，用它代换“x”可得真假命题。因此，“存在x，使得?x”是假的，即“(?x) ?x”是假的。
仍以金属个体域为例分析存在命题。如果把“?x”解释为“x是液体”，由于存在是液体的金属，如水银，用“水银” 代换“?x”中的“x”，得到的就是真命题“水银是液体”，即“?x”的例示至少有一个真。因此，就金属这个个体域而言，“存在x，使得x是液体”是真的，即“(?x) ?x”是真的。如果把“?x”解释为“x是气体”，由于不存在是气体的金属，因此用任何个体代换“x”都只能得到假命题，即“存在x，使得x是气体”是假的，也就是说“(?x) ?x”是假的。
由量化命题的真假条件可见，一个全称命题是假的，当且仅当其命题函项的例示至少有一个假；而一个存在命题是假的，当且仅当其命题函项的所有例示都假。由此我们得到如下等值式：
? (?x) ?x ? (?x) x
? (?x) ?x ? (?x) x
这两个等值式说明，全称命题和存在命题实际上是可以相互定义的，即：
(?x) ?x ? ? (?x) x
(?x) ?x ? ? (?x) x
从上述例子我们还看到，对量化命题公式的解释不同于复合命题。解释复合命题公式是通过直接对原子公式赋值进行。而对量化命题公式进行解释首先要设定个体域。个体域可以有一个、两个、n个以至无限多个个体。个体域还可以是空的，即没有个体。只有相对个体域才能分析量化命题的真假。
我们把对命题公式的一个解释称作该命题公式的一个模型。无论是量化命题公式还是复合命题，它们在这点上是共同的：一个命题公式是重言式，当且仅当它在所有模型上都真；如果一个命题公式只在某些模型上真，那么它是协调式；如果一个命题公式我们无法建立使它为真的模型，那么它是矛盾式，即在任何情况下都假的命题公式。显然，“(?x) ?x”和“(?x) ?x”都是协调式。
量化命题还涉及到谓词公式。我们已经指出，谓词公式不是命题，它没有真假，但它有一个是否可满足的问题。一个谓词公式是可满足的，如果可以建立一个模型，使得谓词公式的例示为真；如果找不到使其例示为真的模型，则谓词公式是不可满足的。
