上反对关系是A与E之间的关系，其内容是：A与E不能都真，一个真时另一个必假；
差等关系是A与I、E与O的关系，其中A和E是上位，I和O是下位。差等关系的内容是：上位真时下位必真，下位假时上位必假；
下反对关系是I 与O之间的关系，其内容是：I与O不能同假，一个假时另一个必真；
矛盾关系是A与O、E与I的关系，其内容是：一个真时另一个必假，一个假时另一个必真。
用量化理论分析，A、E、I、O之间的对当关系只有矛盾关系成立，即：
（?x）（Sx→Px）? ?（?x）（Sx∧?Px）
（?x）（Sx→?Px）? ?（?x）（Sx∧?Px）
（?x）（Sx∧Px）? ?（?x）（Sx→?Px）
（?x）（Sx∧?Px）? ?（?x）（Sx→Px）
A与E之间的上反对关系不成立。假定不存在具有S性质的个体，即Sx是不可满足的，Sx的所有例示都是假的。在这样的模型中，（?x）（Sx→Px）和（?x）（Sx→?Px）的例示都是前件假的蕴涵式，根据蕴涵式的逻辑性质，它们都是真的。A与E可以同时为真，上反对关系不成立。
A与I、E与O之间的差等关系不成立。仍然假定不存在具有S性质的个体，即Sx不可满足，它的所有例示都是假的。在这样的模型中，两个全称命题是真的，而两个特称命题是假的。上位真而下位假，差等关系不成立。
I与O之间的下反对关系不成立。仍以上述假定建立模型，由于Sx不可满足，它的所有例示都是假的，因而两个特称命题都是假的。I与O可以同假，下反对关系不成立。
从上述讨论我们看到，只要假定主项不存在，即主项Sx不可满足，它的所有例示都是假，对当关系就不成立。因此，传统直言命题的对当关系理论有一个预设前提：主项存在。而要使三段论推理的所有有效式成立，则还需要附加谓项也存在的预设。
2．2 一般简单命题的形式化
A、E、I、O只是特殊的主谓形式的简单命题，它们只是一般简单命题的特例。量化谓词逻辑适用于处理所有复杂形式的简单命题。如下是一个简单命题：
（1）“所有蔬菜和水果都是有营养的”。
逐步深入地分析这个命题的逻辑涵义如下：
对任一个体而言，无论它是蔬菜还是水果，它都是有营养的；
对任一x，无论x是蔬菜或者x是水果，x都是有营养的；
对任一x，无论Vx或者Fx，都有Yx；
（?x）(无论Vx或者Fx，都有Yx)
（?x）（（Vx∨Fx）→Yx）
命题（1）是一个全称命题，其量化形式的谓词公式一定是一个蕴涵式。而（1）的蕴涵式其前件为析取式而不是合取式。如果用合取式表达，表达的涵义就是“x既是蔬菜又是水果”，显然（1）并不是说“既是蔬菜又是水果的东西有营养”，而泛指的所有蔬菜及所有水果。只有析取式才能准确表达命题（1）的涵义。
再看如下命题：
（2）“所有考试合格并且体检合格的人都被能录取”。
逐步深入地分析这个命题的逻辑涵义如下：
对任一个体而言，如果它是考试合格并且体检合格的人，它都能被录取；
对任一x，如果x是人并且x考试合格并且x体检合格，x都能被录取；
对任一x，如果Mx并且Kx并且Tx，那么Nx；
（?x）（（Mx∧Kx∧Tx）→Nx）
命题（2）的谓词公式中出现的是合取式，合取式才正确表达了这个命题的涵义。
再看命题“所有获奖者是教师或者是工人”，其量化形式为
（?x）(Jx →(Tx∨Wx))
这个量化形式与“所有获奖者是教师或者所有获奖者是工人”的量化形式
（?x）(Jx →Tx) ∨（?x）(Jx →Wx)
是完全不同的。
命题“有些获奖者是教师或者是工人”的量化形式是：
（?x）(Jx ∧ (Tx∨Wx))，
我们在后面的讨论将说明，它与“有些获奖者是教师或者有些获奖者是工人”的量化形式是等值的。
我们看到，对一般命题的形式化处理没有什么固定的程序或统一的方法。我们首先需要的是准确分析和把握命题的逻辑涵义，再根据命题的涵义来考虑采用什么样的量词和谓词，考虑采用什么联结词能准确描述命题的逻辑涵义。
不过有一点要注意：在全称命题的量化形式中，谓词公式大多情况下是一个蕴涵式，形式为“（?x）(?x ∧ ?x)”的命题只在极特殊的情况下可能真。而存在命题量化形式中的谓词公式一般是合取式，说“有?是Ψ”就是说“存在这样的个体，它既是Φ又是Ψ”，“（?x）(?x ∧ ?x)”恰好表达了这个涵义。
2．3 多重量化命题
我们前面讨论的量化命题结构比较简单，它们都只有单个量词。但是有些命题的结构要复杂一些，它们往往含有多个量词，例如，命题
“如果所有中国儿童都要接受义务教育，那么有些中国人要接受义务教育。”
令“Rx：x是中国儿童”，“Ex：x要接受义务教育”，“Cx：x是中国人”，则该命题的逻辑形式为
（?x）（Rx ? Ex）? (?x) (Cx ? Ex)
我们看到，虽然在这个命题中出现了一个全称命题和一个存在命题，但全称量词的辖域独立于存在量词的辖域。因此，我们可以说这是一个条件命题，它分别以一个全称量化命题为前件，一个存在量化命题为后件，即它的前后件分别是独立的命题。
如下也是一个类似的命题：
“如果有手提包丢了，那么如果没有人报警，则有人会不高兴。”
该命题具有如下逻辑形式：
（?x）(x是手提包∧x丢了) →（(?y)(y是人 (y报警)
?(?z)(z是人∧z会不高兴)）
我们看到，这个命题中出现了三个量词，但量词的辖域都是相互独立的。因此，它是一个是由三个独立的量化命题构成的条件命题，它的前件是一个存在命题，后件是一个蕴涵式，蕴涵式的前件是全称命题，后件是存在命题。
但如下命题则不同：
“如果有手提包丢了，那么如果有人报警，则该手提包可以找回来。”
显然，如果把它形式化为
（?x）(x是包 ∧ x丢了) →[（?y）(y是人 ∧ y报了警) → x被找回来]
是错误的。因为上式不是命题，x在后件中是自由出现的，它是一个开公式。
这个命题的正确逻辑形式是：
（?x）[ (x是包 ∧ x丢了) →（（?y）(y是人 ∧ y报了警) → x被找回来）]
这意味着只有当存在量词的辖域是整个公式时，才正确表达了命题的逻辑涵义。尽管我们也可以把这个量化命题公式的结构公为几部分，但并非每一部分都是独立的命题，它们整合在一起才表达一个量化命题。
上述例子说明，我们有必要对复杂的谓词公式进行更深入的分析。一个谓词公式中可以包含多个个体符号，如
Fx∨Gy， (Fx∧Gy)→Hx， (Fx∧Gy)∨Hz
等等。当我们对这样的谓词公式进行例示时，对同一变项的每次自由出现都必须用同一个常项去代换。例如，对如下谓词公式：
(Fx∧Gy)→Hx
如下公式都是其代换实例：
(Fa∧Gb)→Ha ， (Fb∧Ga)→Hb， (Fb∧Gc)→Hb。
但如下公式则不是其例示：
(Fa∧Gb)→Hc。
同一个变项必须用同一个体常项去代换，而同一个体常项则可以代换不同的个体变项。当我们用同一个体常项去代换不同个体变项时，并不违反“同一变项的每次自由出现都必须用同一个常项去代换”的要求。因此，下列公式也是谓词公式“(Fx∧Gy)→Hx”的正确例示：
(Fa∧Ga)→Ha， (Fb∧Gb)→Hb， (Fc∧Gc)→Hc。
当谓词公式只包含一个个体符号时，对公式的量化概括要简单得多，例如，如下都是对谓词公式“Gx → Hx”的全称概括：
（?x）（Gx→Hx）， （?y）(Gy→Hy)， （?z）（Gz→Hz）。
这些量化公式的区别仅仅记法上的，它们相互之间逻辑等值，即它们具有相同的逻辑涵义。
但是，对于包含多个个体符号的谓词公式，在量化概括时情况就要复杂得多。假定谓词公式的形式是“Fx∧Gy”，我们分别对公式中的x和y进行全称概括，得到
（?x）（Fx∧Gy） 和 （?y）（Fx∧Gy）
这两个公式的区别就不是记号上的，而是实质上的了。两个公式具有完全不同的逻辑涵义。两个公式化的例示分别是：
（?x）（Fx∧Ga） 和 （?y）（Fa∧Gy）
“（?x）（Fx∧Gy）”的涵义是“所有个体具有性质F且个体a具有性质G”，而“（?y）（Fx∧Gy）”的涵义是“个体a具有性质F且所有个体具有性质G”。显然这是两个不同的命题。
因此，对含有多个个体符号的谓词公式或者说命题函项而言，量化是对公式中的个体符号进行的。我们就不能笼统地说“对命题函项进行量化概括”，而是要具体地说明对函项式中的哪个个体符号进行怎样的量化概括。在上述例子中，“（?x）（Fx∧Gy）”是对命题函项“Fx∧Gy”中的“x”进行全称概括得到的，“（?y）（Fx∧Gy）”则是对“Fx∧Gy”中的“y”进行全称概括得到的。
