量化推理是指用量化命题构造的推理。量化推理的有效性与命题逻辑推理有效性的概念类似，即前提真时结论必真，不可能前提真而结论假。但是，量化命题的真假与个体域相联系。当且仅当对每一非空个体域中的所有代换实例，即对一个量化推理的所有例示，都使得推理的前提真时结论必真，那么这个推理就是有效的。
命题逻辑是量化谓词逻辑的基础。量化谓词逻辑是命题逻辑理论的扩展。与命题逻辑一样，一个量化推理是有效的，我们就可以建立推理 有效性的形式证明。建立形式证明必须要有推理规则。命题逻辑作为量化谓词逻辑的一个子系统，它的全部推理规则也都是量化谓词推理的规则。建立量化推理的形式证明同样可以运用这些规则。但是，仅仅有命题逻辑的推理规则还不够。由于量化谓词逻辑还涉及到个体词、谓词和量词等命题逻辑没有的符号，因此必须增加与这些符号相关的推理规则。
我们下面将要讨论的四条量化规则，就是专门用于处理量词等量化谓词逻辑所特有符号的规则。
4．1 全称例示规则（简记为US）
全称例示规则可以作这样的直观描述：如果某类事物的全部对象都具有某种属性，那么任意列举该类事物中的任一对象，它也有这种属性。例如，断定所有的商品都是有价值的，那么任意列举一种商品也是有价值的；全部自然数都是整数，任意一个自然数当然也是整数。
全称例示规则的模式如下；
（?x）?x
∴ Φv
这个推理形式的有效性是显然的。一个全称命题是真的，当且仅当的它的所有例示都真，因此，从一个全称命题可以推演出它任一个例示，前提真时结论必真。
推理模式中的“v”代表任一个体符号。根据这条规则，可以将前提（?x）?x中的全称量词（?x）消去，用任一个体符号v代换 ?x中x的每一自由出现，从而得到结论?v。例如有如下推理，运用US规则可以建立该推理有效性的形式证明：
“所有中国人如果年满18岁那么有选举权。张珊是中国人。所以如果张珊年満18岁那么他有选举权。”
令Cx：x是中国人；Ex：x年满18岁；Jx：x有选举权；z：张珊。先将前提和结论形式化，再建立形式证明：
（1） (?x) (Cx → (Ex → Jx))
（2） Cz / ∴ Ez → Jz
（3） Cz → (Ez → Jz) (1) US
（4） Ez→ Jz (2) (3) MP
4．2 存在概括规则（简记为EG）
存在概括规则的内容是，如果有某个个体如v具有某种性质Φ，那么个体域中存在着个体x，使得x具有性质Φ。例如，太阳是发光体，因此至少有一个个体是发光体。存在例示规则的模式如下：
?v
∴（?x）?x
这条规则的有效性是显然的。一个存在命题是真的，当且仅当它所概括的命题函项的例示至少有一个真。因此，该推理形式的前提真时结论必真。
如下是运用存在概括规则的一个实例：
“西施是人。西施很漂亮。所以，有人很漂亮。”
令Mx：x是人；Bx：x漂亮；s：西施。先将前提和结论形式化，再建立形式证明：
（1） Ms
（2） Bs / ∴ (?x) ( Mx ∧ Bx)
（3） Ms ∧ Bs (1) (2) ∧+
（4） (?x) ( Mx ∧ Bx) (3) EG
4．3 全称概括规则（UG）
在数学证明中，我们常常这样进行推演：从某类事物中的任意列举一个对象，证明它具有某种属性，由此推论该类事物的全部对象都具有这样的属性。例如，任意列举一个三角形，然后证明这个三角形的内角之和为180度。由于这个三角形是任意列举的，不附加其它任何特殊条件，由此就可概括地得出结论，全部三角形都具有这个性质性质，即三角形三内角之和为180度。
全称根据规则正是根据这一思想得到的一条推理规则。令“y”代表一个任意选出的个体，如果证明y具有某性质“?”，即证明“?y”，那么就可以推演出所有个体都具有性质?。就象证明了任意选择的一个三角形内角和是180度，那么就可推演出所有三角形的内角和180度。
全称概括规则的模式如下：
Φy ( y代表任意列举的个体符号，它不是个体常项或存在
∴（?x）?x 命题的例示，并且不在任何关于y的假设辖域内出现）
如下是全称概括规则的一个实际运用：
“所有人都是有感情的。所有机器人都没有感情。所以，所有机器人都不是人。”
先将前提和结论符号化，再构造有效性的形式证明：
①（?x）（Mx → Bx）
②（?x）（Cx → ?Bx） /∴（?x）（Cx → ?Mx）
③ My → By ① US
④ Cy → ?By ② US
⑤ By → ?Cy ④ Tran
⑥ My → ?Cy ③⑤ HS
⑦ Cy → ?My ⑥ Tran
⑧（?x）（Cx → ?Mx） ⑦ UG
在使用UG规则时，一定要注意该规则对y的两条限制：
第一，?y中的y不能是个体常项或存在命题的例示；
第二，?y不在任何关于y的假设辖域中出现。
如果违反这两条限制，就将导致逻辑错误。例如，如下推理是无效的：
“太阳是自身发光的。所以，所有物体都自身发光。”
如果错误运用UG规则，却可以为这个推理建立形式证明：
① Ps /∴（x）Px
② (?x) Px ①UG（错误）
在这个形式证明中，第②行是对个体常项s使用UG规则，违反了第一条限制，因而是错误的。
再看如下推理：
“并非所有物体都是植物。所以，所有物体都不是植物。”
该推理是无效的，如果错误运用UG规则，也可以为其构造一个形式证明：
① ?(?x)Sx /∴（?x）?Sx
② Sx 假设
③（?x）Sx ② UG（错误）
④ Sx → (?x)Sx ②—③ C?P
⑤ ?Sx ①④ MT
⑥ (?x)? Sx ⑤ UG
这个形式证明的错误在第③行。由于在第②行出现的Sx是一个假设，对在假设辖域内出现的x使用UG规则，违反了对UG规则的第二条限制。错误运用UG规则，这个形式证明不可能正确。
运用UG规则来建立形式证明时，必须遵守有关该规则的限制。下面再举一例，说明怎样正确运用UG规则。
“所有人都会犯错误。圣人都是人。孔子是圣人。所以，孔子会犯错误。”
将前提、结论符号化，构造该推理有效性的形式证明：
①（?x）（Mx → Rx）
②（?x）（Sx → Mx）
③ Sc /∴Rc
④ My → Ry ① US
⑤ Sy → My ② US
⑥ Sy → Ry ④⑤ H?S
⑦（?x）（Sx→Rx） ⑥ UG
⑧ Sc → Rc ⑦ US
⑨ Rc ③⑧ MP
4．4 存在例示规则（ES）
一个存在量化命题是真的，当且仅当它所概括的命题函项的例示至少有一个真。根据存在量化命题的这一逻辑特征，我们由一个存在命题可以推演出命题函项的一个例示。这就是存在例示规则所表达的内容：由一个存在命题推演出一个命题函项的例示。
但是必须注意，存在命题只断定个体域中存在有个体，至于是哪个或哪些个体存在命题是无法保证的。因此，为了有效地运用存在例示规则，我们必须对例示所使用的个体符号进行严格限制。例如，我们在这里规定，例示的个体符号必须是前面证明过程中没有出现过的个体符号，并且它不能是个体常项，即不能代表某个特定个体。
存在例示规则的模式如下：
（?x）?x
∴ Φv (v在前面没出现过，并且不是特定的个体常项)
在使用UG规则时，一定要注意该规则对例示的个体符号v的限制：
第一，v是在前面的证明过程中没有出现过的个体符号；
第二，v不是任何特定的个体常项，即不代表任何特定个体。
违反这些限制将导致错误的形式证明。看如下推理：
“有的动物是马。有的动物是猪。所以，有的马是猪。”
这本来是个无效推理，错误运用ES规则却可以建立形式证明：
①（?x）（Ax ∧ Hx）
②（?x）（Ax ∧ Px） /∴（? x）（Hx ∧ Px）
③ Aw ∧ Hw ①ES
④ Aw ∧ Pw ②ES（错误）
⑤ Hw ③ Com, ∧-
⑥ Pw ④ Com, ∧-
⑦ Hw ∧ Pw ⑤⑥ ∧+
⑧ (?x) (Hx ∧ Px) ⑦EG
该证明错在第④行，因为第④行存在例示使用了一个在第③行已经出现过的个体符号，违反了对ES规则的第一条限制。违反限制就将导致错误的结论。
如下举例说明怎样正确运用存在例示规则，即ES规则：
“所有马都是吃草的。有些动物是马。所以，有些动物是吃草的。”
将推理符号化并建立有效性的形式证明：
① (?x)(Hx → Cx)
②（?x）（Ax ∧ Hx） / ∴（?x）（Ax ∧ Cx）
③ Aw ∧ Hw ② ES
④ Hw → Cw ① US
⑤ Hw ③ Com, ∧-
⑥ Cw ④⑤ MP
⑦ Aw ③ ∧-
⑧ Aw ∧ Cw ⑥⑦ ∧+
⑨（?x）（Ax ∧ Cx） ⑧EG
这个形式证明既运用了US规则（第④行），又运用了ES规则（第③行）。这两条规则的运用都必须遵守相关的规则。我们看到，当既需要全称例示又需要存在例示时，我们必须先使用ES规则，再运用US规则。就是说，必须先进行存在例示，然后再进行全称例示。因为存在例示必须使用新的个体符号，全称例示则没有这样的限制。先进行存在例示再进行全称例示，才能使个体符号保持一致，正确建立推理有效性的形式证明。如果先进行全称例示，存在例示就必须使用新的个体符号，个体符号不一致，将使得推演无法进行，从而影响形式证明的建立。因此，为保证正确运用ES规则，当需要既使用US又ES以消去全称量词和存在量词时，必须先使用ES规则 ，再使用US规则。
