5．1 量化公式的真值函项展开式
我们在分析量化命题时已经指出，对量化命题公式进行解释首先要设定个体域。个体域可以有一个、两个、n个以至无限多个个体。个体域还可以是空的，即没有个体。只有相对个体域才能分析量化命题的真假。
假定个体域有有限的n个个体，我们对这 n个个体依次编号为1，2，3，4，…，n。由于全称命题描述的是所有个体的情况，即述说的是个体1并且个体2并且…并且个体n的情况，因此，在有限个体域上全称命题等同于一个合取式。而存在命题述说的是某个体或有些个体的情况，即述说的是个体1或者个体2或者…或者个体n的情况，因此，在有限个体域上存在命题等同于一个析取式。这些合取式或析取式的子公式是与量化命题相关的命题函项的例示。
假定个体域只有一个个体，即D = {a}，则
(?x) ?x ? ?a， (?x) ?x ? ?a；
设个体域D = {a,b}，则
(?x) ?x ? ?a∧?b， (?x) ?x ? ?a∨?b；
设个体域D = {a1，a2，…，an}，则
(?x) ?x ? ?a1∧?a2∧…∧?an，
(?x) ?x ? ?a1∨?a2∨…∨?an 。
这些等值式的恒真性是显然的。一个全称量化命题真，当且仅当命题函项的所有例示都真，而这所有例示恰好是合取式的合取支，所有合取支都真则合取式必真。一个合取式是假的当且仅当其支命题至少有一个假，这意味着命题函项的例示有一个假，即全称量化命题是假的。因此，全称量化命题与这样的合取式逻辑等值。
一个存在命题是真的，当且仅当命题函项的例示至少有一个真，而这些例示就是析取式的析取支，析取支有一个真则析取式必真。一个析取式是假的当且仅当其所有支命题都假，这意味着命题函项的所有例示都假，而所有例示都假时存在量化命题必假。因此，存在量化命题与这样的析取式逻辑等值。
合取式和析取式都是复合命题，即都是真值函项式。因此，在个体域有限的假设下，一个量化命题与一个复合命题，或者说一个真值函项式逻辑等值。
由这些等值式根据DeM律，我们还可以推导出全称命题与存在命题之间的逻辑关系：
设D = { a1，a2，…，an}，则
? (?x) ?x ? ? (?a1∧?a2∧…∧?an)
? a1∨ a2∨…∨ an? (?x) x
? (?x) ?x ? ? (?a1∨?a2∨…∨?an)
? a1∧ a2∧…∧ an? (?x) x
即
? (?x) ?x ? (?x) x
? (?x) ?x ? (?x) x
必须指出，如果个体域是无限的，那么这种等值关系就不再成立。因为如果个体域无限，那么命题函项就有无限多个例示，有无限多个支命题的合取式或析取式其真假是无法确定的。而量化命题有确定的真假：一个全称量化命题真，当且仅当找不到一个假的例示；一个存在命题假，当且仅当找不到一个真的例示。
5．2 无效量化推理的判定
与命题逻辑所讨论的无效推理概念是一样的，一个量化推理是无效的，那么前提真时结论可以是假的，即存在着一个解释，或者说一个模型，使得推理的前提真而结论假。对于命题逻辑而言，我们可以使用简化真值表方法，又叫做归谬赋值法来证明推理的无效性：只要能找到一组赋值使得推理的前提真而结论假，就证明了推理是无效的。但是量化推理的无效性不能简单运用赋值的方法来证明，因为赋值方法只适用于复合命题。
然而，如前所述，在个体域有限的假设下，量化命题与一个复合命题逻辑等值：全称命题等值于一个合取式，存在命题等值于一个析取式。由此，我们可以在有限的非空个体域上将量化命题展开为相关复合命题公式，将量化推理推理转化为复合命题的推理。既然是复合命题推理，其无效性就可以用赋值的方法来判定。
现在我们结合实例说明怎样用赋值方法来证明量化推理的无效性。看如下推理：
“所有狗是动物。所有猫是动物。所以，所有猫是狗。”
先将推理符号化，
（?x）（Dx → Ax）
（?x）(Cx → Ax )
∴ (?x) (Cx → Dx)
设个体域D = {a}，则上述推理展开为：
Da → Aa
Ca → Aa
∴ Ca → Da
对展开式进行归谬赋值：
Da Aa Ca Da → Aa Ca → Aa Ca → Da
F T T T T F
在上述赋值下推理的前提真而结论假，即我们找到了一个模型使得推理前提真而结论假，因此，推理是无效的。
如果在只有一个个体的个体域上不能使展开式的前提真而结论假，即不能证明推理无效，但这并不意味推理一定是有效的。看如下推理：
“有些学生是学法律。有些年轻人是学生。所以，有些年轻人是学法律的。”
首先将推理符号化：
（?x）（Sx ∧ Lx）
（?x）(Yx ∧ Sx)
∴ (?x) (Yx ∧ Lx)
设个体域D = {a}，则上述推理展开为：
Sa ∧ La
Ya ∧ Sa
∴ Ya ∧ La
显然，对个体域D = {a}上的展开式，没有使其前提真结论假的赋值。
再设D = {a，b}，则上述推理的展开式为：
（Sa ∧ La）∨（Sb ∧ Lb）
（Ya ∧ Sa）∨（Yb ∧ Sb）
∴ （Ya ∧ La）∨（Yb ∧ Lb）
对展开式进行归谬赋值：
Sa La Ya Sb Lb Yb (Sa∧La)∨(Sb∧Lb) (Ya∧Sa)∨(Yb∧Sb) (Ya∧La)∨(Yb∧Lb)
T T F T F T T T F
我们看到，在上述赋值下推理的前提真而结论假，即我们找到了一个模型使得推理前提真而结论假。因此，尽管在D = {a}时推理是有效的，但是它并非在所有模型上都有效，所以该推理仍然是一个无效推理。
综上所述，一个量化推理是有效的，当且仅当，在所有模型上推理都有效；只要有一个模型使得推理的前提真而结论假，推理就是无效的。因此，在设定个体域上展开量化推理式，再进行归谬赋值的方法，能够证明推理的无效性。因为我们由此可以找到使推理无效的模型。然而，由于个体域的设定是无限的，一个推理可以有无限多个模型，要穷举这些模型事实上是不可能的。因此，这种方法只能证明量化推理的无效性，而不能证明其有效性。要证明一个量化推理是有效的，必须正确运用推理规则建立推理有效性的形式证明。
第七讲 模态命题与规范命题
