1．1 模态词与模态命题
“模态”一词译自英文的“modal”，它有“形式的、情态的，语气的或模式的”等涵义。从字面上看，模态词是一些是表示情态、语气等的特殊语词。例如
（1）“太阳系有9颗行星是必然的。”
（2）“火星上有生命是可能的。”
（3）“9大于7是必然的。”
（4）“一个有黑眼睛的人没有眼睛是可能的。”
在上述语句中出现的特殊语词“必然”和 “可能”就是模态词。
“必然”和“可能”这两个模态词也是重要的哲学概念，它们哲学涵义直接关系到对“必然性”和“可能性”这两个哲学范畴的解释。在哲学中，“必然”被解释为一定如此的趋势，那么究竟应该怎样理解“一定如此”呢？进一步的说明则需要对“必然”和“可能”两个概念的哲学涵义作深入的逻辑分析。
从逻辑的角度分析，语句（1）-（4）如果没有模态词，它们都表达一个完整的命题，这些命题都有确定的逻辑值，它们或者是真的，或者是假的。模态词的出现则使这些命题的逻辑值发生了变化。如果去掉模态词，语句（1）-（4）分别表达如下命题：
（1*）“太阳系有9颗行星。”
（2*）“火星上有生命。”
（3*）“9大于7。”
（4*）“一个有黑眼睛的人没有眼睛”
其中的（1*）和（3*）是真的，因为它们所表达的都符合事实，而（2*）和（4*）则不是真的。但是在语句中增添模态词后，语句的真假出现的变化。我们看到，虽然（1*）是真的，但（1）却是假的。17世纪的著名学者开普勒曾用6颗行星和5个等边体来构造太阳系的模型, 因此虽然事实上太阳系有九颗行星因此（1*）是真的，但在开普勒理论中（1*）就不是真的，这意味着并不是在任何情况下“太阳系有九颗行星”都真，所以，“太阳系有九颗行星”是个假命题，即（1）是假的。
而命题（2*）“火星上有生命”不是真的，但增添模态词“可能”后得到的命题（2）“火星上有生命是可能的”却是真的。
上述分析说明说明了两点。首先，模态命题是一般命题加上模态词而形成的。有两个逻辑模态词，即“必然”和“可能”，我们分别用“L”和“M”表示。因此，模态命题语言是在一般命题语言基础上增添模态符号L和M得到的。因此，模态命题语言有如下基本符号：
1、命题变元： p，q，r，…；
2、命题联结词： ∧，∨，→，?，?；
3、模态词： L，M；
4、辅助符号： （，）。
其中第3类符号模态词与第2类符号即联结词一样，都是逻辑常元。
有了新的符号，则需要有新的形成规则。模态命题公式的形成规则如下：
1、 所有1类符号是模态命题公式；
2、 如果 ? 和 ? 是模态命题公式，那么 ，?∧?， F∨Y，F→Y以及F?Y也是；
3、 如果 ? 是模态命题公式，则L? 与 M? 也是模态命题公式；
4、 只有符合以上3条的才是模态命题公式。
由形成规则可见，不包含模态词的公式我们也称作模态公式，它们是特殊的模态公式，即包含有0个模态词的模态命题公式。
从上述讨论还说明，与命题联结词相类似，逻辑模态的出现将使命题的逻辑值发生变化。例如，命题（1*）“太阳系有9颗行星”是真的，增添模态词后得到的命题（1）“太阳系有9颗行星是必然的”却是假的。从这个意义上讲，模态词与命题联结词的有相同的功能，即它们都是逻辑算子，作用于命题将改变命题的逻辑值。
但是，模态算子与命题联结词有完全不同的逻辑性质。命题联结词是真值函项算子，它的逻辑值是由支命题的逻辑值唯一确定的。例如，由合取联结词作用于支命题得到合取式“p∧q”，当p真且q真时，该合取式是真的，否则它就是假的，即“p∧q”的值是由p和q的值确定。
逻辑模态词则不同，它作用于支命题得到模态命题，而模态命题的值不由支命题的值确定。例如，上述命题（1*）“太阳系有9颗行星”是真的，增添模态词“必然”后得到的命题（1）“太阳系有9颗行星是必然的”是假的，而命题（3*）“9大于7”都是真的，增添模态词后得到的（3）“9大于7是必然的”却仍然是真的。
命题（2*）“火星上有生命”和（4*）“一个有黑眼睛的人没有眼睛”都是假的，增添模态词“可能”后得到的命题（2）“火星上有生命是可能的”真，而命题（4）“一个有黑眼睛的人没有眼睛是可能的”仍然是假的。
因此，模态命题公式“Lp”和“Mp”的逻辑值不是由支命题“p”的逻辑值确定的。
1．2 模态命题的逻辑性质
为讨论模态命题公式的逻辑性质，即分析模态命题公式在什么情况下真，在什么情况下假，我们需要引入“可能世界”概念。
我们可运用维特根斯坦的图式论来解释“可能世界”。维特根斯坦指出，命题是现实的图式 。图式在逻辑空间中描述事态，描述存在的原子事态或不存在的事态 。在维特根斯坦那里，事态是与事实相联系但也相互区别的概念。事态只同可能情况相关，事实则是指实际发生的情况。举例来说，命题“李白生活在唐代”与“李白并非生活在唐代”描述两个不同事态，前一个符合实际，是真的，因此它描述事实；另一个的内容不是事实，但它并非逻辑不一致，即不是自相矛盾，因此它描述的是一个不存在（非现实）的可能事态。
维特根斯坦指出：世界是事态决定的。世界是事态的总和 。事态可以存在或者不存在，存在的原子事态就是事实 。就是说，可能世界是由事态构成的。如果构成世界的事态都是事实，即都是事实上存在的事态，那么其总和就是一个真实的世界。显然，有若干个可能世界，真实世界只是各种可能世界中的一部分。
对于非模态命题而言，判定其真假我们只需要考虑真实世界的情况。如果命题描述的事态在真实世界中存在，这个命题就是真的；如果它描述的事态在真实世界中不存在，这个命题就是假的。而模态命题就不同，判定其真假必须考虑我们所能想象的其它可能世界的情况。
首先，由于有各种各样的可能世界，我们总是在一个特定世界中讨论形式为“Lp”或“Mp”的模态命题的真假。因此，我们不能泛泛地说“Lp”或“Mp”真或假，而是具体地说“Lp”或“Mp”在世界w中真或假。
其次，我们在世界w中讨论“Lp”或“Mp”的真假，必须要考虑其它可能世界的情况。但这里所谓的其它可能世界不是任意的，而是与世界w有可及关系的可能世界。“可及关系”是一个非常重要的概念，我们可以用“想象”来理解可及关系。命题“Lp”在w真，当且仅当，我们在w所能想象的所有可能世界中p都真。如果我们在w能够想象一个世界w*，p在w*中为假，“Lp”在w就是假的。
“可及关系”我们用字母“R”表示，用字母“W”表达所有可能世界的集合，w是W的任一元素，即w表示任一可能世界。用“V(p, w) = T”表示“p在w真”，现在我们可以对模态命题公式的逻辑性质作出如下严格的描述：
命题“Lp”在w真，即V(Lp, w) = T，当且仅当，对于所有的w*?W，如果wRw*那么V(p, w*) = T。
命题“Lp”在w假，即V(Lp, w) = F，当且仅当，存在着w*?W，使得wRw*并且V(p, w*) = F。
命题“Mp”在w真，即V(Mp, w) = T，当且仅当，存在着w*?W，使得wRw*并且V(p, w*) = T。
命题“Mp”在w假，即V(Mp, w) = F，当且仅当，对于所有的w*?W，如果wRw*那么V(p, w*) = F。
由以上描述我们看到，分析模态命题公式的逻辑性质相对于分析非模态命题公式要复杂得多。我们必须既要考虑可能世界的组合情况，又要考虑可及关系的种种性质。
例如，分析命题公式“Lp ? p”的真假，我们考虑如下两种情况：
（1）设W 是所有可能世界的集合，而R是一个具有自反性质的关系，即对任一w，都有wRw。
在这一解释模型中，命题“Lp ? p”总是真的。证明如下：
假定“Lp ? p”在w是假的，根据联结词“?”的逻辑性质，则有
① V(Lp, w) = T，且
② V(p, w) = F
由①根据模态算子“L”的逻辑性质，可推知
③ 对于所有w*∈W，如果wRw*，那么V(p, w*) = T
由于这里的R是自反关系，即对所有的w∈W，都有wRw。由此根据③可推出
④ V(p, w) = T
②与④相矛盾。所以，命题“Lp ? p”在该模型中不可能是假的，即它是一个有效式。
这一模型的特征是它的可及关系R具有自反性，因此，只要R具有自反性，以其为基础建立的模型都使命题“Lp ? p”是一个有效式。
（2）现在对解释模型作些改变。令W= {w, w1}，R = {〈w, w1〉，〈w1, w〉}，即w只与w1有关系R且w1与w有关系R。显然R不再具有自反性，而是具有对称性。
在这一解释模型中，命题“Lp ? p”可以是假的。
假设①V(p, w) = F，且②V(p, w1) = T。
由于w只与w1有关系R，由②V(p, w1) = T可推知：对于所有w*?W，都有V(p, w*) = T。由此根据必然算子“L”的逻辑性质，可推出
③V(Lp, w) = T
由 ①和③，根据“?”的逻辑性质可知，
④V（Lp ? p，w）= F
这意味着我们该模型中找到了一个使“Lp ? p”假的解释。该模型的特征是R具有对称性，因此命题“Lp ? p”在这样的模型中不是有效式。
上述例子说明，分析模态命题公式的真假需要考虑两个因素：可能世界的集合W以及可能世界之间的可及关系R。我们称W和R一起构成特定的框架，这些框架是分析模态命题公式逻辑特征的基础，我们总是相对特定框架建立模态命题公式的解释模型。
有些模态公式只在特定的框架中有效，如上例所证明的，命题“Lp ? p”在自反框架中有效，而在对称框架中非有效。也有对所有框架而言都是有效公式。如下被称作“K公式”就是其中的一个
（K） L(p?q)?(Lp?Lq)
证明：“L(p?q)?(Lp?Lq)”相对所有框架都有效。
证：假定“L(p?q)?(Lp?Lq)”不是相对所有框架都有效，即有一个框架的某个可能世界w，使得
① V（L(p?q)?(Lp?Lq)，w）= F
由①根据“→”的逻辑特征，可推知
② V（L(p?q)，w）= T，且
③ V（Lp?Lq，w）= F
由①根据“→”的逻辑特征，可推知
④ V（Lp，w）= T，但
⑤ V（Lq，w）= F
由②和④根据模态算子“L”的逻辑性质推出，对于所有w*∈W，如果wRw*，那么
⑥ V（p?q，w*）= T，且V（p，w*）= T
由⑥根据分离MP规则，可推出
⑦ V（q，w*）= T
由⑤根据模态算子“L”的逻辑性质推出，存在w*∈W，使得wRw*且
⑧ V（q，w*）= F
⑧和⑦是矛盾的。因此，假定不成立，即不存在什么框架能使得“L(p?q)?(Lp?Lq)”无效。所以该公式在所有框架上有效。
根据模态算子的逻辑性质，可以推知必然模态算子“L”和可能模态算子“M”之间之间具有如下关系：
Lp ? ?M?p
Mp? ?L?p
至于模态命题构造的推理其有效性依赖于模态命题的逻辑特征。由于本教材重在讨论逻辑学的基本知识，对模态推理不作深入分析。
