规范逻辑涉及到许多复杂的问题，它还没有建立起象命题逻辑和量化谓词逻辑那样具有普遍适用性的推理系统。这里我们不可能对规范逻辑的所有问题进行深入的讨论，我们只是运用比较成熟的理论来讨论规范命题之间的推理问题。
我们讨论的规范推理是指由规范命题推演出规范命题的推理。讨论规范推理的目的是要为有效推理建立形式证明，并给出可行的方法判定什么样的推理是无效的。由于规范命题是对一般命题增添规范算子得到的，规范命题逻辑是命题逻辑的扩张。因此，命题逻辑的所有规则在规范推理中仍然适用。
规范命题逻辑的讨论也包括两方面的内容，一是给出推理规则以建立有效规范推理的形式证明，一是给出特定的方法以判定什么样的规范推理是无效的。
3．1 规范命题的对当关系推理
规范命题作为一种特殊的模态命题，从逻辑的角度看，它是通过对任一命题增添规范算子O（必须）、P（允许）或F（禁止）得到的。这意味着给定命题p，通过增添规范算子可以得到“Op”、“Pp”和“Fp”这样三种形式的命题，再加上否定词还可以得到“O?p”、“P?p”和“F?p”三种形式的命题。我们称这六个命题是相同素材的规范命题。所谓规范命题间的对当关系推理，就是讨论在这些相同素材不同规范命题之间存在着哪些有效的逻辑推演关系。
规范命题的对当关系推理如下图的逻辑方阵所示：
（图8.1）
由上图描述的相同素材规范命题之间的对当关系可知，有如下一些有效推理式：
（1） Op ? ?O?p （上反对关系，一个真另一个必假）
（2） O?p ? ?Op （上反对关系，一个真另一个必假）
（3） Op ? Pp （差等关系，上位真下位必真）
（4） O?p ? P?p （差等关系，上位真下位必真）
（5） ?Pp ? ?Op （差等关系，下位假上位必假）
（6） ?P?p ? ?O?p （差等关系，下位假上位必假）
（7） ?Pp T P?p （下反对关系，一个假另一个必真）
（8） ?P?p T Pp （下反对关系，一个假另一个必真）
（9） Op ? ?P?p （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（10） O?p ? ?Pp （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（11） Pp ? ?O?p （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（12） P?p ? ?Op （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
第五章命题逻辑的2.4节指出，一个推理式总有一个与之等价的蕴涵式。证明了与规范对当关系所描述的推理式等价的蕴涵式都是普遍有效式，就证明这些推理是有效的。
证明需要运用在2.4节中讨论的几个有效公式，它们是：
（D1）?Op ? P?p
（D2）?Fp ? Pp
（D3）?Pp ? Fp
（D4）Pp ? ?O?p
（D5）Op ? Pp
我们将证明除上述5个已证明在规范逻辑中普遍有效的公式外，我们不需要其它任何前提就可以根据推理规则把这些蕴涵式推演出来。由于根据推理规则从有效式只能推演出有效式，这些蕴涵式就是有效式，因此与这些蕴涵式等价的推理式就有效推理式。
显然式（3）“Op ? Pp”就是（D5），（11）式“Op ? ?P?p”就是（D4），（12）式 P?p ? ?Op 这里（D1）。
我们这里只证明（1）和（7）。
例证明：Op ? ?O?p，
即证明“Op→?O?p”是个普遍有效式
证： ① Op 假设
② Op → Pp 由D5推得
③ Pp ①②MP
④ ?O?p ③根据D4等值替换
⑤ Op→?O?p ①-④C.P
再证明：?Pp T P?p
即证明“?Pp→P?p”是个普遍有效式。
证： ① ?Pp 假设
② Op→Pp 由D5
③ ?Op ①②MT
④ P?p ③D1等值替换
⑤ ?Pp→P?p ①-④C.P
由“禁止算子”F的逻辑性质V（F）可知，“禁止p”等于“必须非p”，即
（D6）Fp ? O?p
由D6可得到规范对当关系方阵的如下变形：
（图8.2）
由图8.2可得到10个新的有效推理式：
（13） Fp ? ?F?p （上反对关系，一个真另一个必假）
（14） F?p ? ?Fp （上反对关系，一个真另一个必假）
（15） Fp ? P?p （差等关系，上位真下位必真）
（16） F?p ? Pp （差等关系，上位真下位必真）
（17） ?Pp ? ?F?p （差等关系，下位假上位必假）
（18） ?P?p ? ?Fp （差等关系，下位假上位必假）
（19） Fp ? ?Pp （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（20） F?p ? ?P?p （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（21） Pp ? ?Fp （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
（22） P?p ? ?F?p （矛盾关系，一个真当且仅当另一个必假）
3．2 复合规范命题的推理
复合规范命题是指其中有二元联结词出现的规范命题。推理涉及到复合规范命题，要建立其有效性的形式证明，除了在前面3.1节中已运用过的推理规则外，还需要引入一个新的普遍有效式作为推理的根据，这就是我们在本章1.2节中证明过的K公式，由于O相当于全称算子L，K公式可以变形如下
（K） O(p?q)?(Op?Oq)
既然K是普遍有效式，由它可以推导出如下规范推理规则，
（K*） O（p→q）?（Op→Oq）
我们这样定义“?”，即（K*）可重写为
O（p→q）
∴ Op→Oq
此外，我们还需要引入一条新的规范推理规则：
（N）如果p是一个普遍有效式，那么Op也是一个普遍有效式。即
┠ p ?┣ Op
N规则的合理性不难理解。如果p是普遍有效的，意味着在任何情况下p都真，即对于任一w∈W都有V(p, w) = 1。因此，给定任一世界w1，对所有w2∈W，如果w1Rw2那么必有V(p, w2) = 1；根据V（O）即V (Op, w1) = 1。由于w1是任一世界，这意味着Op也是在任何情况下都真，即Op是普遍有效的。
由于规范命题逻辑是以命题逻辑为基础的扩张，因此所有命题逻辑的重言式都是规范命题逻辑的普遍有效式。如我们在前面说明的，它们也同其它规范逻辑的普遍有效式一样，在形式证明中有重要作用。
我们用“TP”表示引入命题逻辑的重言式。
现在我们举例说明如何建立复合规范命题推理的有效性形式证明。
[例] 证明“O（p∧q）→ (Op∧Oq)”是规范逻辑中的普遍有效式。
证： ① O（p∧q） 假设
② (p∧q)→p TP
③ O((p∧q)→p) ②N
④ O(p∧q)→Op ③K*
⑤ Op ①④MP
⑥ (p∧q)→q TP
⑦ O(p∧q)→Oq ⑥K*
⑧ Oq ①⑦MP
⑨ Op∧Oq ⑤⑧∧+
⑩ O(p∧q) → (Op∧Oq) ①-⑨C.P
[例] 证明 (Op∧Oq) →（O(p∧q)）是普遍有效式。
证： ① Op∧Oq 假设
② (p∧q)→(p∧q) TP
③ p→(q→(p∧q)) ②Exp
④ O (p→(q→(p∧q) ) ③N
⑤ Op→ O(q→(p∧q) ) ④K*
⑥ Op ①∧-
⑦ O(q→(p∧q) ) ⑤⑥MP
⑧ Oq→O(p∧q) ) ⑦N
⑨ Oq ①Com,∧-
⑩ O(p∧q) ⑧⑨MP
⑾ (Op∧Oq) →（O(p∧q)） ①-⑩C.P
由得证的两个公式可推出“(Op∧Oq)?O(p∧q)）”是个普遍有效式，即
（D7） O(p∧q) ? (Op∧Oq)
由D7可推出“P(p∨q) ? (Pp∨Pq)”也是个普遍有效式
[例] 证明“P(p∨q) ? (Pp∨Pq)”在规范逻辑中是普遍有效式。
证： ① (Op∧Oq)?O(p∧q) 由D7
② (O?p∧O?q)?O(?p∧?q) 对①用?p,?q分别代入p,q
③ (O?p∧O?q)→O(?p∧?q) ②Equi, ∧-
④ ?O(?p∧?q)→?(O?p∧O?q) ③Trans
⑤ ?O(?p∧?q)→(?O?p∨?O?q) ④Dem
⑥ P ? (?p∧?q)→(Pp∨Pq) 由⑤根据D4用算子P等值替换O
⑦ P (p∨q) → (Pp∨Pq) ⑥Dem
⑧ O(?p∧?q)?(O?p∧O?q) ②Equi, ∧-
⑨ ? (O?p∧O?q)→?O(?p∧?q) ⑧Trans
⑩ (?O?p∨?O?q)→?O(?p∧?q) ⑨Dem
⑾ (Pp∨Pq)→P? (?p∧?q) 由⑩根据D4用算子P等值替换O
⑿ (Pp∨Pq)→P (p∨q) ⑾Dem
⒀ (P (p∨q)→(Pp∨Pq)) ∧ ((Pp∨Pq)→P (p∨q)) ⑦⑿∧+
⒁ P(p∨q) ? (Pp∨Pq) ⒀Equi
我们还可以证明“O(p∨q)→(Op∨Oq)”与“(Pp∧Pq)→P(p∧q)”也是普遍有效式。留给读者作为练习。
但是“(Op∨Oq)→O(p∨q)”与“P(p∧q)→(Pp∧Pq)”不是普遍有效式，
建立形式证明可以说明规范命题推理的有效性，但却不能说明一个规范命题推理为什么是无效的。
对于一般的复合命题推理来说，推理的无效性可以用真值表方法来判定，但这种方法不能直接用于复合规范命题推理。因为规范命题作为一类特殊模态命题，对其进行解释需要考虑两个因素：可能世界的集合W以及可能世界之间的可及关系R。W和R一起构成特定的框架，我们总是相对特定框架建立模态命题公式的解释模型。
但是，如果在考虑解释框架基础上运用归谬赋值法，就可以得到对规范模态命题进行解释的方法，我们称其为模态语义图方法。运用模态语义图我们判定一个规范模态命题推理是否有效。
由于我们讨论的是逻辑学基础知识，因此不讨论模态语义图理论。读者若有兴趣可参考专门讨论模态逻辑的教材或专著。
第八讲 逻辑思维的基本规律
人们的日常思维只有遵守了一定的逻辑规则，才能够是正确的；违反了这些规则的任何一条，就将导致思维错误。传统逻辑把这些在思维中运用非常广泛的规则称为形式逻辑的基本规律。
然而,这些规则同客观事物的规律毕竟是有差别的。规律是事物本身所客观具有的，它表现为必然如此的趋势。人们可以认识规律，遵循规律并利用规律，但决不可能违反规律。规则却不同，人们可能违反规则。违反规则将导致错误，人们是有可能犯错误的，因此需要用规则来规范人们的行为。
本章讨论的同一律、排中律和矛盾律则是正确思维所必须遵循的三条规则。人们有可能违反这些规则，我们称违反这些规则的思维是不符合逻辑的思维，是错误的思维。因此，这三条规则是判定思维是否正确的基本标准。能够正确思维，符合逻辑地思维是人们有理性的一个标志。
下面，我们将讨论逻辑思维的基本规律。
